Réponses (Exercice 1)
1/ F est une primitive de :
𝑓(𝑥) =𝑥4
4 + 𝑥33+𝑥22 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+ 2𝑥 + 1 2/
a/ lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) =
+ - -0,4
b/ 𝑓′(𝑥) ≤ 0 𝑓′(𝑥) ≥ 0 𝑓′(𝑥) 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒
c/ 𝑓([1; +∞[ ) = [-0,4 ; 1] ]-0,4 ; 1] [1 ; +[
3/
a/ det(𝐴) =
-1 0 2
b/ La matrice A est :
Inversible non inversible
Prof : Brahem.M DEVOIR SYNTHESE NO1 Lycée EL-ALIA
Durée : 2 H
Classe 4 G 2015-2016
Exercice 1 : (3points)
Choisir la bonne réponse : (Les réponses seront notées sur la page(4)) 1/ On donne la fonction F sur IR par : 𝐹(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥2+ 𝑥
F est une primitive de :
𝑓(𝑥) =𝑥4
4 + 𝑥33+𝑥22 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+ 2𝑥 + 1
2/ On donne la courbe suivante d’une fonction f définie sur [1 ; +[ et qui admet une asymptote horizontale d’équation (y= - 0,4).
a/ lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) = + - -0,4 b/ 𝑓′(𝑥) ≤ 0 𝑓′(𝑥) ≥ 0 𝑓′(𝑥) 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 c/ 𝑓([1; +∞[ ) = [-0,4 ; 1] ]-0,4 ; 1] [1 ; +[
3/ On donne la matrice 𝐴 = (
−1 1 0
1 0 −1
1 −1 0
)
a/ det(𝐴) = -1 0 2
b/ La matrice A est : Inversible non inversible Exercice 2 : (6 points)
On donne les matrices 𝑀 = (
1 3 0
0 −1 1
−1 −3 1
) et 𝑁 = (
3 0 3
−1 0 0
−2 −3 0 ) 1/ a/ Calculer det(M).
b/ En déduire que M est inversible.
2/ a/ Calculer M2 – MN
b/ En déduire la matrice inverse M-1 de M.
3/ Trouver la matrice carrée X d’ordre 3 sachant que XM = N Page -1-
Page -4-
Exercice 3 : (7 points)
On considère une fonction f représentée graphiquement sur la page(3) fig(1).
1/ On suppose que la fonction dérivée 𝑓′ est représentée sur la page(3) [ fig(2) ou fig(3) ]
a/ Justifier pourquoi la courbe de la fig(3) s’est-elle qui représente 𝑓′
b/ Donner, graphiquement : 𝑓(0) , 𝑓(1) , 𝑓′(1) 𝑒𝑡 lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) c/ En déduire l’équation de la tangente T à la courbe de f en A.
d/ Montrer que l’équation f(x)=2 admet une solution unique dans l’intervalle [0,1]
2/ a/ Montrer que f réalise une bijection de [0, +[ sur un intervalle J que l’on précisera.
b/ Tracer la courbe de la fonction réciproque f-1 de f 3/ Justifier la dérivabilité de f-1 en 52 puis calculer [𝑓−1]′(5
2) Exercice 4 : (4 points)
Dans cet exercice on suppose que la courbe de la fig(1) est celle de la fonction f définie sur [0, +[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑎𝑥
𝑥2+𝑏 et que 𝑓′ est représenté dans la fig(3) 1/ a/ En admet que 𝑓(2) =165 et en utilisant 𝑓(1) =52.
Montrer que a et b vérifient le système (𝑆) {2𝑎 − 3𝑏 = 3 5𝑎 − 3𝑏 = 12 b/ Transformer le système (S) en écriture matricielle.
(Noter A la matrice carrée d’ordre 2 obtenue) c/ Justifier que A est inversible puis déterminer A-1 d/ En déduire que 𝑎 = 3 et 𝑏 = 1
2/ a/ Montrer que f est dérivable sur [0, +[ et que 𝑓′(𝑥) =𝑥4−𝑥2+4
(𝑥2+1)2
b/ En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [0, +∞[ on a : 𝑥4− 𝑥2+ 4 > 0
Nom : Prénom :
Fig(1)
Fig(2) Fig(3)
BON TRAVAIL
Page -2- Page -3-
