ESPACE Rn, MATRICES ET SYST `EMES LIN ´EAIRES.
Table des mati`eres
1. L’ensembleRn, ses ´el´ements et ses parties. 1
2. Syst`emes d’´equations lin´eaires `a ninconnues : d´efinitions. 2 3. Un cas favorable : les syst`emes triangulaires et apparent´es. 3
3.1. Syst`emes triangulaires. 3
3.2. Syst`emes triangulaires ´elargis vers le bas ou vers la droite. 4
4. M´ethode du pivot. 5
4.1. Syst`emes ´equivalents. 5
4.2. Op´erations autoris´ees sur les syst`emes d’´equations lin´eaires `a ninconnues. 5 4.3. M´ethode du pivot de Gauss pour r´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires (S) `a n
inconnues. 6
Remarque : je signale l’excellent site http ://wims.unice.fr/wims/ .
1. L’ensemble Rn, ses ´el´ements et ses parties.
En consid´erant deux points distincts Ω, I sur une droite, on peut rep´erer tout point M de la droite par un nombre r´eel - l’abscisse deM dans le rep`ere (Ω, I). Ainsi une droite correspond `a l’ensemble R des r´eels ;Rest le mod`ele de toutes les droites.
En consid´erant deux axes dans un plan, suppos´es perpendiculaires en un point Ω, on peut rep´erer tout point du plan par ses deux projections sur les axes. Une fois des rep`eres (Ω, I) et (Ω, J) choisis sur chacun des axes, les projections du point sont rep´er´es par un nombre r´eel, donc le point est rep´er´e par un couple de r´eels. Ainsi un plan correspond `a l’ensemble R×R des couples de nombres r´eels ;R×R est le mod`ele de tous les plans.
De mˆeme (par projection sur trois axes perpendiculaires rapport´es `a des rep`eres), l’espace usuel correspond `a l’ensemble R×R×R des triplets de nombres r´eels ;R×R×Rest le mod`ele de l’espace.
Pour simplifier on note R×R=R2 etR×R×R=R3.
D´efinition 1.1. Soit nun entier fix´e mais ind´etermin´e,n≥1. On noteRn l’ensemble desn-uplets de r´eels, autrement ditRnest l’ensemble de toutes les suites possibles (x1, x2, . . . , xn) o`u chaquexi est r´eel.
Les ´el´ements de Rn seront appel´es des n-vecteurs, ou plus simplement des vecteurs. Les composantes d’unn-vecteur u= (x1, x2, . . . , xn) sont les nombres x1, . . . , xn. Pour tout n-vecteur u, et pour chaque entier i, 0≤i≤n, on notera xi(u) lai-`eme composante deu.
On pensera `a unn-vecteur comme `a un meuble `antiroirs ; ou alors `a un ensemble deninformations unidimensionnelles. Par exemple quand on fait un certain (grand) nombre n de mesures de natures diff´erentes, on peut ranger toutes les observations dans un n-vecteur. Formellement un n-vecteur est identique `a une fonction de l’ensemble fini{1,2, . . . , n} vers R.
Date: 18 mars 2010.
1
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Exemple 1.2 (quelques vecteurs particuliers). Le vecteur nul, c’est `a dire dont toutes les composantes sont nulles, autrement dit (0,0, . . . ,0), not´e 0 ou parfois 0Rn.
Sinest fix´e (quoique pas pr´ecis´e) on peut consid´erer le vecteure1dansRnd´efini pare1 = (1,0, . . . ,0) : toutes les composantes sont nulles sauf la premi`ere qui vaut 1.
Plus g´en´eralement ek est le vecteur dans toutes les composantes sont nulles, sauf la k-i`eme qui vaut 1.
Par exemple dans R2 on a e1 = (1,0), e2 = (0,1). Dans R3 on a e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1). Dans R4 on ae1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0), e4 = (0,0,0,1). Et ainsi de suite.
La notatione1 n’est ambigu¨e que si on n’a pas pr´ecis´e la taille desn-vecteurs consid´er´es.
Pour n = 2,3,4 au lieu d’´ecrire les composantes x1, x2, . . . on utilise plutˆot les notations : (x, y), (x, y, z), (x, y, z, t).
Pour que deuxn-vecteursu, vsoient ´egaux il est n´ecessaire et suffisant qu’il aient mˆemes composantes.
2. Syst`emes d’´equations lin´eaires `a n inconnues : d´efinitions.
En alg`ebre lin´eaire, il est indispensable de savoir r´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires : c’est un outil constamment utilis´e, car on ram`ene les ´equations vectorielles `a des syst`emes d’´equations lin´eaires.
Exemple 2.1.
(2x−y = 0 x−3y = 0,
(2x−y = 1 x−3y = 2,
(x+y−2z = 1
−x+ 2y+z = 0,
4x+ 3y+ 2z+t = 0 3x+ 2y+z = 4 2x+y+ 4t = 3
x+ 4z+ 3t = 2
2y−z+t =−1
Mais on va ´etudier des syst`emes g´en´eraux, `a un nombrend’inconnues,nn’´etant pas d´etermin´e. Ces syst`emes seront lin´eaires comme dans les exemples, constitu´es de p ´equations, p ind´etermin´e, et avec des coefficients eux aussi ind´etermin´es. Notre but est de trouver des r`egles g´en´erales pour r´esoudre les syst`emes lin´eaires. La difficult´e viendra de ce qu’on manipulera dans le cours des objets plus abstraits que dans les exemples, puisque pas explicites.
D´efinition 2.2 (matrices). Soit p ≥ 1 et n ≥ 1 deux nombres entiers. Une matrice r´eelle p×n (ou : `a p lignes et n colonnes) est un tableau rectangulaire de nombres r´eels (appel´es les coefficients de la matrice), ayant p lignes et n colonnes. Pour p = 1 on parle de matrice-ligne, pour n = 1 de matrice-colonne. On noteMp,n(R) l’ensemble de toutes les matrices r´eelles `ap lignes et ncolonnes.
On note souvent (aij)1≤i≤p,1≤j≤n une matrice `a plignes etncolonnes : cela signifie que le coefficient de la matrice situ´e `a la i-`eme ligne et `a la j-`eme colonne estaij.
Lai-`eme ligne de Aest la (matrice) ligneA= ai1 ai2 · · · ain
, laj-`eme colonne estA=
a1j
a2j
· · · apj
.
Exemple 2.3. p = 2, n = 2 ; A =
2 −1 1 −3
. Dans ce cas a11 = 2, a21 = 1, a12 = −1, a22 = −3. La premi`ere ligne est 2 −1
, la deuxi`eme colonne est −1
−3
.
Autre exemple, avecp= 5 etn= 4, puisp= 5, n= 1 :
4 3 2 1
3 2 1 0
2 1 0 4
1 0 4 3
0 2 −1 1
,
0 4 3 2
−1
.
En fait ces matrices sont tir´ees des premier et dernier syst`emes dans les exemples ci-dessus. Pour d´efinir un syst`eme lin´eaire on proc`ede dans l’autre sens : on prend des matrices et on fabrique avec elles un syst`eme.
D´efinition 2.4 (syst`emes lin´eaires `a ninconnues). SoitA=
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n
· · · · ap1 ap2 . . . apn
une matricep×n
et soitB =
b1 b2
· · · bp
une matrice colonne `a nlignes.
Alors le syst`eme lin´eaire `a ninconnues de matriceA et de second membreB est
(S)
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn =b2
· · · ·
ap1x1+ap2x2+· · ·+apnxn =bp .
Lesinconnues sontx1, . . . , xn.
Les diff´erenteslignesdu syst`eme (S) sonta11x1+a12x2+· · ·+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn=b2, etc... Nous noterons (L1), . . . ,(Lp) les lignes, qui sont chacune des ´equations lin´eaires aux inconnues x1, . . . , xn.
Unesolution est unn-vecteur (s1, s2, . . . , sn) qui v´erifie chaque ligne du syst`eme, c’est `a dire tel que a11s1+a12s2+· · ·+a1nsn=b1, a21s1+a22s2+· · ·+a2nsn=b2, . . . , ap1s1+ap2s2+· · ·+apnsn=bp. Nous noterons toujours Sol(S) l’ensemble de tous lesn-vecteurs (s1, s2, . . . , sn) solutions du syst`eme (S).
Enfin le syst`eme (S) est ditcompatible lorsque Sol(S) est non vide, etincompatible si Sol(S) est vide.
Remarque : quand le syst`eme est homog`ene, il y a toujours au moins la solution nulle. Autrement dit un syst`eme homog`ene est toujours compatible.
Un exemple de syst`eme incompatible :
(x+y = 1 x+y = 2
Probl`eme : d´eterminer l’ensemble de toutes les solutions.
3. Un cas favorable : les syst`emes triangulaires et apparent´es.
3.1. Syst`emes triangulaires.
Exemple :
x+y+z = 1 y−2z = 3
z =−1
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D´efinition 3.1 (syst`emes triangulaires). Le syst`eme lin´eaire `an inconnues
(S)
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn =b2
· · · ·
ap1x1+ap2x2+· · ·+apnxn =bp
est dittriangulaire lorsque
(1) p=n(autant d’´equations que d’inconnues)
(2) Les coefficients a21, . . . , an1 sont nuls et plus g´en´eralement pour tout i = 1, . . . , n, tous les coefficientsai+1i, . . . , ani sont nuls.
Donc le syst`eme est triangulaire ssi la matriceA du syst`eme est de taille n×n et ne peut avoir de coefficients non nuls que dans le triangle sup´erieur droit - d’o`u la terminologie.
Un syst`eme triangulaire est ditde Cramer si les coefficients diagonaux aii sontnon nuls (pour tout i= 1, . . . , n).
Le r´esultat suivant est tr`es utile, quoiqu’imm´ediat (noter qu’`a chaque ´etape on peut vraiment d´eterminer si car le coefficient aiiest non nul) :
Lemme 3.2 (r´esolution des syst`emes triangulaires de Cramer). Un syst`eme triangulaire de Cramer admet toujours une unique solution (s1, . . . , sn). Pr´ecis´ement :
(1) Le nombresn est exactement d´etermin´e par la derni`ere ligne, soit sn=−abn
nn.
(2) Puissn−1 est exactement d´etermin´e par l’avant-derni`ere ligne et la valeur de sn, soit sn−1=−bn−1−an−1nsn
an−1n−1
.
(3) Et ainsi de suite : en remontant dans le syst`eme on d´etermine de proche en proche tous les si. 3.2. Syst`emes triangulaires ´elargis vers le bas ou vers la droite.
Exemples :
x+y+z = 1 y−2z = 3
z =−1
0 =−3
(une ´equation en plus que dans un syst`eme triangulaire) ou
x+y+z+t = 1 y−2z−t = 3
z+ 2t =−1 (une inconnue en plus que dans un syst`eme triangulaire)
D´efinition 3.3 (syst`emes triangulaires ´elargis). Le syst`eme lin´eaire `an inconnues
(S)
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn =b2
· · · ·
ap1x1+ap2x2+· · ·+apnxn =bp
est dit triangulaire ´elargi lorsque les coefficients a21, . . . , ap1 sont nuls et plus g´en´eralement pour tout i= 1, . . . ,min(p, n), tous les coefficientsai+1i, . . . , api sont nuls.
Le syst`eme (S) est triangulaire ´elargi vers le bas sip≥n, et (S) est triangulaire ´elargi vers la droite sip≥n.
Lescoefficients diagonaux sont les a11, a22, . . . , amin(p,n),min(p,n).
Lemme 3.4 (r´esolution des syst`emes lin´eaires triangulaires ´elargis vers le bas). Un syst`eme lin´eaire
´
elargi vers le bas `a coefficients diagonaux non nuls est compatible ssibn+1 =· · · =bp = 0, auquel cas il admet la mˆeme unique solution que le syst`eme triangulaire (T) associ´e (obtenu en supprimant les lignes Ln+1, . . . , Lp du syst`eme (S)).
Lemme 3.5 (r´esolution des syst`emes lin´eaires triangulaires ´elargis vers la droite). Un syst`eme lin´eaire triangulaire ´elargi vers la droite (S) est toujours compatible si ses coefficients diagonaux sont non nuls.
On obtient les solutions (s1, s2, . . . , sp, sp+1, . . . , sn) comme suit. On prend d’abord pour sp+1, . . . , sn n’importe quels nombres r´eels, puis pour (s1, s2, . . . , sp) l’unique solution du syst`eme triangulaire de Cramer dont la matrice a pour coefficients (aij)1≤i≤p,1≤j≤p, et le second membre est donn´e par la matrice B0 ayant p lignes et une colonne, avecb0i =bi−(Pj=n
j=p+1aijsj).
Ainsi, pour n’importe quel choix de nombres r´eels sp+1, . . . , sn il existe une unique solution dont les n−p derni`eres composantes sont sp+1, . . . , sn.
4. M´ethode du pivot.
4.1. Syst`emes ´equivalents.
D´efinition 4.1 (syst`emes lin´eaires ´equivalents). Soient (S1) et (S2) deux syst`emes lin´eaires ayant le mˆeme nombrend’inconnues (mais pas n´ecessairement le mˆeme nombre d’´equations).
On dit que les syst`emes (S1) et (S2) sont´equivalents si et seulement si Sol(S1) = Sol(S2), autrement dit si on a l’´equivalence :
(s1, . . . , sn) solution de (S1) ⇐⇒ (s1, . . . , sn) solution de (S2).
Autrement dit (S1) et (S2) sont ´equivalents lorsque toute solution de (S1) est solution de (S2), et toute solution de (S2) est solution de (S1).
Plus g´en´eralement, siτ est une certaine permutation des inconnuesx1, . . . , xn, on dit que les syst`emes (S1) et (S2) sont´equivalents `a la permutation τ pr`es si et seulement si Sol(S2) se d´eduit de Sol(S1) par la permutation (s1, . . . , sn)7→τ(s1, . . . , sn).
Les seules permutation d’inconnues qu’il suffit de consid´erer sont les ´echanges de deux inconnues, comme par exemple (x, y) 7→(y, x), ou bien (x, y, z, t)7→ (x, t, z, y) (voir l’op´eration “Permutations de colonnes” ci-dessous)
Lorsqu’on cherche `a r´esoudre rigoureusement un syst`eme, les seules op´erations autoris´ees sont celles qui transforment un syst`eme en un syst`eme ´equivalent (´eventuellement `a permutation d’inconnues pr`es).
Si on travaille par implications, on perd des contraintes sur les inconnues, et on ´elargit peut-ˆetre l’en- semble des solutions.
Exemple 4.2.
(2x−y = 0 x−3y = 0 ⇐⇒
(x−3y = 0 2x−y = 0 ⇐⇒
(x−3y = 0
5y = 0 ⇐⇒
(x = 0
y = 0
4.2. Op´erations autoris´ees sur les syst`emes d’´equations lin´eaires `a n inconnues.
Voici des op´erations simples sur les syst`emes qui permettent de graduellement simplifier le syst`eme jusqu’`a arriver `a un syst`eme imm´ediat `a r´esoudre (par exemple un syst`eme triangulaire ´elargi `a droite).
L’int´erˆet de ces op´erations, c’est qu’elles font toujours passer d’un syst`eme (S) `a un syst`eme (S0)
´
equivalent (ou ´equivalent `a une permutation de deux inconnues pr`es), donc la r´esolution de (S0) permet la r´esolution de (S).
A chaque fois, l’´equivalence du syst`eme (S0) au syst`eme (S) est justifi´ee par la donn´ee d’une op´eration inverse (toujours de mˆeme nature !), qui fait passer de (S0) `a (S).
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Permutations de lignes :
Quand on ´echange deux lignes (Li) et (Lj) d’un syst`eme (S) on obtient un syst`eme (S0) ´equivalent.
La matriceA0 de (S0) s’obtient `a partir de la matriceA de (S) en permutant les lignes ietj.
Si on repermute les lignesietj de (S0) on retombe sur (S).
Permutations d’inconnues (ou de colonnes) :
Quand on ´echange deux inconnues xi etxj d’un syst`eme (S) on obtient, par d´efinition, un syst`eme (S0) ´equivalent `a permutation dexi etxj pr`es. La matriceA0 de (S0) s’obtient `a partir de la matriceA de (S) en permutant les colonnes ietj.
Si on repermute les inconnues xi etxj de (S0) on retombe sur (S).
C’est pourquoi la sym´etrie deRn
(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xj−1, xj, xj+1, . . . , xn)7→(x1, . . . , xi−1, xj, xi+1, . . . , xj−1, xi, xj+1, . . . , xn)
´
echange Sol(S) avec Sol(S0). Donc si on a r´eussi `a r´esoudre (S0) on trouve Sol(S) en repermutant s0i et s0j dans chaque solution (s01, . . . , s0n) de (S0).
Multiplication d’une ligne par une constante non nulle :
Quand on multiplie une ligne (Li) d’un syst`eme (S) par une constanteα6= 0, on obtient un syst`eme (S0) ´equivalent. La matrice A0 de (S0) s’obtient `a partir de la matriceA de (S) en multipliant la lignei parα.
Si on multiplie la ligne ide (S0) par α1 on retrouve le syst`eme (S) (possible parce que α6= 0 ! ! !) Ajout `a une ligne d’un multiple quelconque d’une ligne diff´erente :
Quand on multiplie une ligne (Lj) d’un syst`eme (S) par une constante λ ∈R puis qu’on ajoute la ligne λLj `a une ligne (Li) diff´erente (i6=j), on obtient un syst`eme (S0) ´equivalent. La matrice A0 de (S0) s’obtient `a partir de la matrice Ade (S) en multipliant la lignej parλet en l’ajoutant `a lai-`eme ligne.
Si on multiplie la lignej de (S0) par −λ, qu’on l’ajoute `a lai-`eme, on retrouve le syst`eme (S) (donc inutile d’avoir λ6= 0 ! ! !).
4.3. M´ethode du pivot de Gauss pour r´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires (S) `a n inconnues.
Voici comment “traiter” un syst`eme (S) ayant p ´equations (de matrice A et de second membre B) ; la m´ethode est par r´ecurrence surp≥1.
L’id´ee de l’algorithme consiste `a syst´ematiquement examiner le coefficient en haut `a gauche : a11. (1)Premier cas : a116= 0.
1-a) Ou bien le syst`eme (S) n’a qu’une ligne, et dans ce cas les solutions sont : {(b1−a12x2− · · · −a1nxn
a11
, x2, x3, . . . , xn) avec x2, x3, . . . , xn des r´eels quelconques ;
1-b) Ou bien (S) a au moins deux lignes, dans ce cas on ajoute−aa21
11×L1`a la ligneL2, puis−aa31
11×L1
`
a la ligne L3, ... , enfin−aap1
11 ×L1 `a la ligne Lp.
Le nouveau syst`eme obtenu est ´equivalent au premier puisqu’on a utilis´e (p−1 fois) l’op´eration d’ajout `a une ligneLi d’un multiple d’une autre ligne (L1).
Et tous les coefficients de x1 dans les lignesL2, L3, . . . , Lp du nouveau syst`eme sont nuls.
Alors on consid`ere les lignes L2, L3, . . . , Lp comme un syst`eme (S0) aux inconnues x2, . . . , xn. Ce syst`eme admet p−1 ´equations, donc, par r´ecurrence, on sait d´ej`a le traiter.
Les solutions de (S) sont alors :
{(b1−a12x2− · · · −a1nxn
a11 , x2, x3, . . . , xn) avec (x2, x3, . . . , xn) une solution quelconque de (S0).
(2)Deuxi`eme cas :a11= 0.
2-a) Ou bien il existe un coefficient non nul dans la premi`ere ligne. Mettons que a1j est le premier coefficient non nul dans L1 : on permute alors les inconnues x1 et xj, ce qui nous donne un syst`eme
´
equivalent `a permutation pr`es des inconnues x1 et xj, et qui de plus se trouve dans le cas (1) - qu’on applique donc.
2-b) Ou bien tous les coefficients devant les inconnuesx1, . . . , xn de la premi`ere ligne sont nuls. Dans ce cas ou bien b1 6= 0 et (S) est incompatible, ou bien b1 = 0 et le syst`eme est ´equivalent au syst`eme (S0) obtenu en effa¸cant la premi`ere ligne. Si (S) n’avait qu’une seule ligne (nulle) on a Sol(S) = Rn. Sinon comme (S0) a une ligne en moins que (S), on peut repartir `a l’´etape (1).
L’algorithme pr´ec´edent ou bien assure que (S) est incompatible, ou bien fabrique un syst`eme triangulaire
´
elargi `a droite avec des coefficients non nuls sur la diagonale. ´equivalent au syst`eme de d´epart (S) (`a une ´eventuelle permutation des inconnues pr`es) : c’est ce qui permet la r´esolution.
