Mathématique ECS 1 14 mai 2018
Devoir libre 13.
Exercice 1. Soitf une fonction réelle, définie sur l’intervalle[0,+∞[, convexe et de classeC2. 1. Montrer quef0 est croissante sur cet intervalle.
2. Soitkun entier naturel. Exprimer Z k+1
k
x−k−1 2
f0(x) dxen fonction def(k), f(k+ 1) et de Z k+1
k
f(x) dx.
3. Montrer que : f(k) +f(k+ 1)
2 ≥
Z k+1
k
f(x) dx.
4. Montrer que pour tout entier natureln≥1: 1
2f(1) +f(2) +f(3) +. . .+f(n−1) + 1 2f(n)≥
Z n
1
f(x) dx 5. Montrer que :
Z k+1
k
x−k−1 2
f0(x) dx≤ f0(k+ 1)−f0(k) 8
(On remarquera quex7→ 1
2 (x−k)2−(x−k)−1 4
est une primitive de la fonctionx7→x−k−1 2.) 6. Montrer que pour tout entier natureln≥1:
1
2f(1) +f(2) +f(3) +. . .+f(n−1) + 1 2f(n)−
Z n
1
f(x) dx≤ f0(n)−f0(1) 8
Exercice 2. SoitE unR-ev de dimension finien∈N∗ et f ∈ L(E)un endomorphisme de E tel quef3+f = 0. On note idl’endomorphisme identité deE.
1. Dans cette question, on suppose quef est bijectif.
a) Justifier quef vérifief ◦f =−id.
b) Soituet vdeux vecteurs de E.
Montrer que si la famille u, v, f(u)
est libre, alors la famille u, v, f(u), f(v)
est libre.
c) En déduire quenne peut pas être égal à3.
Dans la suite, on supposen= 3.
2. On noteF= ker(f2+id).
a) Montrer queE= ker(f)⊕F.
b) Montrer queF est stable parf, et quedim(F)6= 1.
c) En déduire la dimension deker(f).
3. Soite1 un vecteur non nul deker(f),e2un vecteur non nul de F et e3=f(e2).
Justifier queB= (e1, e2, e3)est une base deE.
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