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Oscillateurs nanomagnétiques soumis à une boucle de
rétroaction à retard : Bruit, chaos et applications
neuromorphiques
Jerôme Williame
To cite this version:
Jerôme Williame. Oscillateurs nanomagnétiques soumis à une boucle de rétroaction à retard : Bruit, chaos et applications neuromorphiques. Matière Condensée [cond-mat]. Université Paris Saclay (CO-mUE), 2019. Français. �NNT : 2019SACLS119�. �tel-03125502�
Oscillateurs nanomagnétiques
soumis à une boucle de rétroaction
à retard : Bruit, chaos et
applications neuromorphiques
Thèse de doctorat de l'Université Paris-Saclay
préparée à l’Université Paris Sud
École doctorale n°575 Electrical, optical, bio : physics
and engineering (EOBE)
Spécialité de doctorat : Physique
Thèse présentée et soutenue à Palaiseau, le 14 juin 2019, par
Jérôme Williame
Composition du Jury :Arnaud Bournel
Professeur, Université Paris-Sud (C2N) Président Mohamed Belmeguenai
Maître de conférences, Université Paris 13 (LSPM) Rapporteur Ursula Ebels
Chercheur-Ingénieur, CEA (SPINTEC) Rapporteur Felipe Garcia-Sanchez
Chargé de recherche, Université de Salamanque (DAP) Examinateur Damien Rontani
Enseignant-Chercheur, CentraleSupélec (LMOPS) Examinateur Thibaut Devolder
Directeur de recherche, CNRS (C2N) Directeur de thèse Joo-Von Kim
Chargé de recherche, CNRS (C2N) Co-Directeur de thèse
NNT
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Titre : Oscillateurs nanomagnétiques soumis à une boucle de rétroaction à retard : Bruit, chaos et applications neuromorphiques
Mots clés : nanomagnétisme, spintronique, dynamique non linéaire, chaos, calcul neuro-inspiré
Résumé : Une boucle de rétroaction à retard a lieu
lorsque la sortie d’un système est utilisée pour modifier le signal d’entrée de ce dernier. Ce phénomène apparaît dans des domaines aussi variés que la physique des amplificateurs, la biologie de la régulation de l’insuline ou encore les sciences sociales. Les effets d’une boucle de rétroaction à retard sur un système électronique sont bien connus et ont donné lieu à de nombreuses applications : boucle à verrouillage de phase pour améliorer les propriétés stochastiques, boucle d’amplification ou de régulation, etc. Cependant ces effets ont étés relativement peu étudiés dans le cadre des systèmes nanomagnétiques.
Dans ces travaux de thèse j'ai étudié théoriquement les conséquences d'une boucle de rétroaction à retard sur la dynamique de l'aimantation de trois différents systèmes nanométriques avec un objectif distinct pour chaque système. Le premier concerne un oscillateur à transfert de spin dont j’ai étudié les propriétés
stochastiques. La rétroaction engendre de fortes variations de la largeur spectrale et fait apparaitre de bandes secondaires à larges retards. Le deuxième système étudié est l'oscillateur macrospin dans lequel des transitions chaotiques entre deux modes de précession (dans le plan de la couche et hors du plan) sont induites par la rétroaction. Je montre qu'il est possible d'exploiter de telle dynamique pour la génération de nombres aléatoires. Enfin le troisième système représente une implémentation d'un oscillateur du type « Mackey-Glass » avec une paroi de domaine piégée dans un ruban. En déformant cette paroi par courant polarisé de spin, et avec un choix judicieux du signal de sortie, je démontre que ce système peut servir comme élément de base pour une architecture temporelle d'un calculateur avec réservoir (« reservoir computer »), qui permet d'effectuer des tâches comme la prédiction des séries temporelles non linéaires.
Title: Nanomagnetic oscillators with time delayed feedback: Noise, chaos, and neuromorphic applications
Keywords: nanomagnetism, spintronics, nonlinear dynamics, chaos, neuroinspired computing Abstract: A delay feedback loop occurs when the
output of a system is used to modify the input signal of the system. This phenomenon appears in fields as varied as the physics of amplifiers, the biology of insulin regulation or in social interactions. The effects of a delay feedback loop on an electronic system are well known and have given rise to many applications: phase-locked loops to improve stochastic properties, amplification or regulation loops, and so on. However, these feedback effects remain relatively unexplored in the context of nanomagnetic systems.
In this thesis I have studied theoretically the consequences of delayed feedback on the magnetization dynamics of three different nanoscale systems with a separate focus for each system. The first involves spin-torque nano-oscillators whose stochastic properties and the impact of a feedback
loop on them have been studied. It is found that significant changes can occur to the spectral linewidth, along with the appearance of secondary frequencies at large delays. The second system involves the macrospin oscillator, where I investigated how delayed feedback can induce chaotic transitions between the in-plane and out-of-plane precession states. These complex dynamics can be used to generate random numbers. The third system represents a proposal for implementing a Mackey-Glass oscillator using a domain wall racetrack-like geometry. By deforming this domain wall with spin polarized currents and with a suitable readout function, I show that this oscillator can be used for a time-delay architecture for reservoir computing. Tests of nonlinear time series prediction are conducted to evaluate the performance of this system.
Table des matières
1 Préambule 1 1.1 Introduction . . . 1 1.1.1 Rétroaction positive . . . 4 1.1.2 Rétroaction négative . . . 4 1.1.3 Rétroactions complexes . . . 51.1.4 Importance de la durée du retard . . . 6
1.1.5 Boucle de rétroaction à base de signaux électriques et magné-tiques . . . 8
1.2 Aperçu de la thèse . . . 9
2 Effets de rétroaction sur l’oscillateur à transfert de spin 11 2.1 Oscillateur à transfert de spin . . . 11
2.1.1 Contexte . . . 11
2.1.2 Oscillateurs à cycle limite . . . 13
2.1.3 Dynamique induite par transfert de spin . . . 14
2.1.4 Exemples de STNO . . . 17
2.1.5 Améliorer les propriétés spectrales . . . 20
2.2 Effets de rétroaction à T = 0 . . . . 25
2.2.1 Modèle . . . 25
2.2.2 Intégration numérique . . . 27
2.3 Propriétés stochastiques . . . 31
2.3.1 Modèle stochastique . . . 31
2.3.2 Propriétés spectrales dans le régime sur-critique . . . 32
2.3.3 Mise en place des simulations . . . 33
2.3.4 Vérification du modèle par simulation . . . 35
2.4 Effets de rétroaction sur les propriétés stochastiques . . . 40
2.5 Conclusion . . . 45
3 Dynamique chaotique d’un oscillateur macrospin 47 3.1 Systèmes chaotiques et leurs applications . . . 47
3.2 Modèle macrospin . . . 51
3.2.1 Description du modèle . . . 51
3.2.2 Modes de fonctionnement . . . 52
3.2.3 Comparaison au modèle micromagnétique . . . 53
3.2.4 Implémentation de la boucle de rétroaction à retard . . . 55
3.3 Diagramme de phase . . . 57
3.3.1 Choix des paramètres de la boucle de rétroaction . . . 57
3.3.2 Résumé des régimes observés . . . 57
3.3.3 Identification des régimes . . . 58
3.3.4 Diagramme de phase . . . 61
3.4 Projection de l’espace de phase en deux dimensions . . . 65
3.4.1 Trajectoire 2D des dynamiques observées . . . 65
3.4.2 Ajout de paramètres au diagramme de phase . . . 71
3.5 Étude détaillée du régime chaotique . . . 76
3.5.1 Transitions induites par synchronisation partielle . . . 76
3.5.2 Différence de phase et chaos . . . 77
3.5.3 Retour sur les très faibles retards . . . 79
3.6 Etude détaillée de la première transition chaotique . . . 80
3.7 Génération de nombres aléatoires . . . 81
3.8 Conclusion . . . 82
4 Un oscillateur à paroi de domaine pour le calcul neuromorphique 85 4.1 Apprentissage machine . . . 85
4.2 Réseau de neurones artificiels et « reservoir computing » . . . 86
4.2.1 Réseau de neurones récurrent et « feed-forward » . . . 87
4.2.2 Reservoir Computing . . . 88
4.2.3 Exemple de réservoir : le sceau d’eau . . . 91
4.2.4 Topologie du Reservoir Computing . . . 91
4.2.5 Apprentissage dans un Reservoir Computer . . . 92
4.3 Reservoir Computing avec un système à retard . . . 93
4.3.1 Préparation des données . . . 94
4.3.2 L’oscillateur Mackey-Glass comme nœud non linéaire . . . 95
4.4 L’oscillateur Mackey-Glass . . . 95
4.4.1 Impact des paramètres sur la performance du réservoir Mackey-Glass . . . 97
4.4.2 Reservoir Computer spintronique . . . 99
4.5 Oscillateur Mackey-Glass à paroi de domaine . . . 100
4.5.1 Parois de domaine dans un ruban magnétique . . . 100
4.5.2 Géométrie du dispositif . . . 101
4.5.3 La rétroaction dans les simulations micromagnétiques . . . . 103
4.5.4 Dynamique de l’oscillateur à paroi de domaine . . . 104
4.5.5 Fonction de transfert . . . 106
4.5.6 Impact de la position du capteur et le diagramme de phase . . 108
4.6 Test de performance NARMA10 . . . 110
4.6.1 Principe du test . . . 111
4.7 Conclusion . . . 115
5 Conclusion et perspectives 119
5.1 Conclusion . . . 119 5.2 Perspectives . . . 120
Table des figures
1.1 Représentation schématique d’une boucle de rétroaction. . . 1
1.2 Principe de fonctionnement d’un régulateur à boule sur une machine à vapeur. . . 2
1.3 Représentation schématique de l’effet Larsen. . . 4
1.4 Évolution temporelle d’un système à retard simple soumis à l’équation 1.4 avec K = −0.2, y = 0 pour différentes durées de retard τ . . . . 7
1.5 Oscillateur à rétroaction basé sur une jonction tunnel magnétique . . . 9
2.1 Principe du fonctionnement de l’oscillateur à transfert de spin . . . 12
2.2 Exemples d’orbites périodiques . . . 13
2.3 Dynamique d’un oscillateur à cycle limite . . . 14
2.4 Illustration de la dynamique de précession de l’aimantation . . . 16
2.5 Oscillateur à transfert de spin basé sur une vanne de spin en géométrie de nanopilier . . . 18
2.6 Oscillateur à effet Hall de spin . . . 19
2.7 Oscillateur à vortex . . . 20
2.8 Analyse spectrale à partir des traces temporelles . . . 21
2.9 Entrainement d’un STNO par forçage externe . . . 22
2.10 Synchronisation mutuelle de deux STNO . . . 23
2.11 Schéma d’un STNO avec boucle de rétroaction . . . 24
2.12 Schéma d’un oscillateur à vortex dans une boucle de rétroaction . . . . 25
2.13 Dynamique dans l’espace de phase à ζ = 2. . . . 28
2.14 Densité spectrale de puissance de c dans le repère tournant à tempéra-ture nulle . . . 30
2.15 Cartographie de la densité spectrale de puissance en fonction du retard à température nulle . . . 30
2.16 Représentation du bruit dans un oscillateur . . . 33
2.17 Trajectoires de c en présence des fluctuations thermiques . . . . 35
2.18 Variation de c en présence des fluctuations thermiques . . . . 36
2.19 Méthode de Welch pour l’estimation de la densité spectrale de puissance 37 2.20 Vérification du modele stochastique de l’oscillateur à transfert de spin par simulation . . . 38
2.21 Vérification du modele stochastique de l’oscillateur à transfert de spin par simulation . . . 39
2.22 Densité spectrale de puissance de c dans le repère tournant à tempéra-ture finie . . . 40 2.23 Cartographie de la densité spectrale de puissance en fonction du retard
à plusieurs températures . . . 41 2.24 Variation des propriétés de la raie principale en fonction du retard τ
pour n = 1, G = 2 et q = 0.001 . . . 43 2.25 artographie montrant la variation des propriétés spectrales en fonction
du retard τ et du gain G pour des faibles valeurs du retard . . . . 44
3.1 Dynamique chaotique d’un pendule double. (a) Représentation schéma-tique. (b) Exemple d’une trajectoire chaoschéma-tique. . . 47 3.2 Attracteurs et sensibilité aux conditions initiales . . . 49 3.3 Génération de nombres aléatoires avec la dynamique chaotique d’une
diode laser . . . 51 3.4 Évolution des composantes de l’aimantation et de la période d’un
oscil-lateur macrospin avec le courant injecté . . . 53 3.5 Modes de précession d’un oscillateur macrospin . . . 54 3.6 Évolution des composantes de l’aimantation et de la période d’un
oscil-lateur à transfert de spin micro-magnétique avec le courant injecté . . 54 3.7 Modes de précession obtenus par simulation micromagnétique . . . 56 3.8 Évolution temporelle du MODF à retard dans le régime de précessions
chaotique . . . 58 3.9 Évolution temporelle du MODF en mode de précessions semi-stationnaires 59 3.10 Valeurs moyennes des composantes de l’aimantation du MODF en
fonc-tion du retard et de l’amplificafonc-tion . . . 60 3.11 Sensibilité du MODF en fonction de la durée du retard et de
l’amplifica-tion de la rétroacl’amplifica-tion . . . 61 3.12 Diagramme de phase RVB . . . 62 3.13 Trajectoires bidimensionnelles du MODF dans les différents régimes de
précession en absence de rétroaction . . . 65 3.14 Exemples de trajectoire bidimensionnelle du MODF en régime de
pré-cession chaotique . . . 66 3.15 Exemples de trajectoire bidimensionnelle du MODF en régime de
pré-cession semi-stationnaire pour un retard de τ = 32 ns. . . . 68 3.16 Exemples de trajectoire bidimensionnelle du MODF en régime
d’extinc-tion pour un retard de τ = 32 ns. . . . 69 3.17 Trajectoires bidimensionnelles du MODF pour différents régimes de
précessions complexes . . . 70 3.18 Différents paramètres du MODF en fonction de la durée du retard τ et
de l’amplification de la rétroaction ∆j. . . . 72 3.19 Différents indicateurs de chaos calculés pour le MODF en fonction de la
3.20 Portraits de phase et spectres de puissance spectrale du MODF pour
différents paramètres de rétroaction . . . 75
3.21 Comparaison des traces temporelles du signal de rétroaction et de sortie dans le cadre de précessions chaotiques . . . 76
3.22 Période d’oscillation moyenne et différence de phase entre le signal de rétroaction et de sortie de l’oscillateur en fonction de la durée du retard 78 3.23 Classification par apprentissage machine supervisé des différentes dy-namiques du MODF pour des amplifications élevées de rétroaction ∆j > 1.7. . . . 80
3.24 Classification par apprentissage machine supervisé des différentes dy-namiques du MODF pour des amplifications modérées de rétroaction 0.85 < ∆j < 1.15. . . . 81
4.1 Représentation d’une machine de Turing . . . 86
4.2 Réseau de neurones artificiels de type feed-forward . . . 88
4.3 Principe de fonctionnement d’un Reservoir Computer . . . 89
4.4 Représentations en deux et trois dimensions de couples de données binaires traitées par une porte logique XOR . . . 90
4.5 Reservoir Computer avec système à retard . . . 94
4.6 Préparation des données pour un réservoir temporel . . . 96
4.7 Comparaison de la fonction de transfert du réservoir électronique avec celle d’un Mackey-Glass idéal . . . 98
4.8 Fonctions de transfert 4.12 d’un oscillateur Mackey-Glass idéal pour différents paramètres de non linéarité p . . . 99
4.9 Représentations des différentes formes de paroi de domaine présentes dans un ruban magnétique à aimantation planaire . . . 100
4.10 Oscillateur Mackey-Glass à paroi de domaine . . . 101
4.11 Évolution d’une paroi de domaine piégée dans un ruban de permalloy avec le courant . . . 102
4.12 Aimantation mesurée en fonction de la position de la paroi de domaine 103 4.13 Traces temporelles de l’oscillateur à paroi de domaine . . . 105
4.14 Réponse de l’oscillateur à paroi de domaine à un changement de courant injecté . . . 107
4.15 Comparaison de la fonction de transfert du réservoir basé sur une paroi de domaine et de celle d’un oscillateur Mackey-Glass idéal . . . 108
4.16 Fonctions de transfert de l’oscillateur à paroi de domaine pour diffé-rentes position du senseur . . . 109
4.17 Diagramme de phase de l’oscillateur à paroi de domaine pour différentes valeurs d’amplification G et de retard τ e fonction de la position du capteur . . . 110
4.18 Générations des valeurs cibles par la fonction de récurrence NARMA3 . 112 4.19 Principe du test de performance NARMA10 . . . 113
4.20 Valeurs cibles du test NARMA10 et prédictions correspondantes réalisées par différents systèmes . . . 115 4.21 Résultats du test de performance NARMA10 pour différents réservoirs 116
Liste des tableaux
3.1 Paramètres de simulation micromagnétique de l’oscillateur. . . 53 3.2 Résultats des tests statistiques du NIST sur une séquence de 1000
bits générée par un MODF et par le générateur pseudo-aléatoire de MATHEMATICA11. . . 82
4.1 Paramètres de simulation du ruban magnétique. . . 101 4.2 Coefficient multiplicateur a et point de fonctionnement J0∗ pour chaque
position de senseur tel que fDW = 0.5pour J0 = J0∗. . . 109
1
Préambule
1.1
Introduction
En mécanique et dans de nombreux domaines scientifiques ou sociaux une action entraine une réaction, la réciproque en revanche n’est pas automatique. Il arrive également que la réaction vienne modifier l’action en cours ou les futures occurrences de l’action : on parle alors de rétroaction car la réaction va venir modifier l’action à posteriori. On parle plus généralement de rétroaction lorsque la sortie d’un système a un impact sur l’entrée du même système comme représenté sur la figure 1.1. Les rétroactions sont très présentes que ce soit en science ou dans la vie quotidienne, un exemple simple et concret est l’écriture de cette thèse : au fur et à mesure que j’ai écrit les différentes parties de la thèse mon directeur est venu apporter sa rétroaction sous formes de corrections et conseils ce qui a modifié ma façon d’écrire.
Les rétroactions peuvent être des événements ponctuels isolés, des événements cycliques – possiblement périodiques – ou être continues. Dans le cas de rétroactions non ponctuelles on parlera alors de boucle de rétroaction. L’expression de la rétro-action peut également être plus ou moins complexe et directe. Prenons le premier exemple des intérêts bancaires où le solde de notre compte augmente chaque année d’un pourcentage fixe : nous avons a une boucle de rétroaction simple, directe et périodique. Maintenant regardons l’évolution de la population d’une espèce animale donnée. Le nombre de naissance et de décès dépendra non seulement de la taille de la population mais aussi de la quantité de nourriture, de la présence des préda-teurs, etc. Or ces derniers paramètres sont eux mêmes influencés par la taille de la population : plus d’individus consommeront plus de nourriture mais permettent d’en récolter d’avantage, les prédateurs proliféreront plus si les proies sont plus
Système
Entrée Sortie
Rétroaction
Figure 1.1:Représentation schématique d’une boucle de rétroaction.
Flux de vapeur
Vitesse de rotation Ecartement des boules
Hauteur du panthographe Energie thermique Travail mécanique Machine à vapeur Rétroaction
Figure 1.2: Principe de fonctionnement d’un régulateur à boule sur une machine à vapeur.
nombreuses et donc en mangerons plus, etc. On se retrouve au final avec une boucle de rétroaction continue complexe avec des composantes directes et indirectes.
Le terme rétroaction a d’abord était utilisé dans le domaine industriel pour automa-tiser les systèmes. En effet avec l’arrivée de la machine à vapeur il fut nécessaire de contrôler certains paramètres, comme la vitesse de la machine, de façon automatique. C’est dans ce contexte que James Watt inventa en 1788 le régulateur à boules[1] qui est considéré comme le premier dispositif industriel mettant en place le principe de rétroaction. Ce régulateur permet de stabiliser la vitesse de rotation d’une machine à vapeur en altérant le flux de vapeur entrant. Pour se faire deux boules sont placées de part et d’autre d’un pantographe : la vitesse de rotation du pantographe va impacter sur l’écartement des boules qui lui même va modifier la hauteur du pantographe. En assujettissant le flux de vapeur entrant, et donc la vitesse, proportionnellement à la hauteur du pantographe on peut alors réguler la vitesse de rotation de la façon suivante (également imagée sur la figure 1.2). Lorsque l’afflux de vapeur augmente le pantographe tourne plus vite, les boules s’écartent par effet centrifuge ce qui va faire s’abaisser le pantographe et diminuer le flux de vapeur. A l’inverse si l’afflux et la vitesse diminuent les boules vont se rapprocher, augmentant la hauteur du pantographe ce qui va accroitre le flux de vapeur et la vitesse. Ainsi le flux de vapeur et donc la vitesse se retrouvent stabilisés autour d’une valeur déterminée à l’avance que l’on appellera valeur de consigne.
Cette notion de valeur de consigne aussi appelé objectif est essentielle pour les pion-niers de l’expression « rétroaction » que sont Norbert Wiener, Arturo Rosenblueth et Julian Bigelow auteurs de la dissertation « Behavior, Purpose and Teleology » en 1943 [2]. Ils utilisent le terme de rétroaction pour indiquer que le comportement d’un objet est déterminé par l’écart entre sa valeur de contrôle actuelle et sa valeur
d’objectif. L’exemple le plus utilisé pour expliqué cette définition est celui du ther-mostat : l’utilisateur va définir une température comme objectif et le therther-mostat va venir modifier la température de la pièce dans le but d’atteindre la température désirée.
Les boucles de rétroaction sont présentes dans de nombreuses dynamiques allant du domaine physique comme le thermostat à la biologie avec le cycle de régulation de l’insuline ou encore l’économie, les interactions sociales ou même lorsque l’on est en train de conduire dans un trafic dense [3–5]. On peut voir dans ces exemples qu’un changement du système n’entrainera pas forcement une modification immédiate de la rétroaction : une augmentation du taux de glucide dans le sang entrainera une modification du taux d’insuline mais le corps aura besoin d’un certain temps pour générer cette insuline, lorsque la voiture devant nous ralentira il y aura un délai entre le moment où cette voiture freinera, le moment où nous le verrons et l’instant auquel nous appuierons nous même sur le frein. Cet écart temporel entre un changement du système et la modification de la boucle de rétroaction appliquée à ce système que l’on nomme couramment retard a de nombreuses origines. On parle alors de boucles de rétroaction à retard. Du point de vue mathématique on peut définir une boucle de rétroaction à retard appliquée à un système x donné en écrivant l’évolution de ce système sous la forme :
˙
x = f [x(t), t] + g[x(t − τ )], (1.1)
où f représente l’évolution normale du système sans rétroaction, g est l’expression de la rétroaction qui peut être plus ou moins complexe et τ est la durée du retard. Dans le domaine industriel la boucle de rétroaction sera sous la forme simplifiée suivante :
˙
x = K [x(t − τ ) − y] , (1.2)
où K correspond à l’amplitude de rétroaction et y est la valeur de consigne. Dans le cas d’une régulation K sera négatif.
Une boucle de rétroaction à retard a de nombreuses applications qui sont liées à la forme de la rétroaction. On définit principalement deux formes de rétroactions : les positives et négatives. Cependant de nombreuses formes ne rentre dans aucunes de ces deux catégories et possèdent des applications encore différentes. D’une manière générales les rétroactions négatives vont venir stabiliser un système alors que les positives vont chercher à le déstabiliser et augmenter sa complexité [6].
microphone
amplificateur
haut-parleur
Figure 1.3: Représentation schématique de l’effet Larsen.
1.1.1
Rétroaction positive
On parle de rétroaction positive lorsque la boucle de rétroaction va venir renforcé un phénomène. Dans le cadre de la régulation la boucle aura pour conséquence d’augmenter l’écart entre la valeur du système et la valeur de consigne ce qui corres-pondrait à un K positif dans l’équation 1.2. Un exemple de boucle de rétroaction positive est l’effet Larsen[7] (Fig. 1.3). Cet effet arrive lorsque qu’un microphone est connecté à une enceinte qui a pour but d’amplifier le son du microphone et que le microphone va capter son propre son amplifié. Si le son capté est plus fort que le son originel due à l’amplification on se retrouve alors dans une boucle où le même son va être capté, amplifié, capté à nouveau à un niveau sonore plus élevé, amplifié à nouveau, recapturé etc. Cette boucle va résulter en une auto-amplification continue qui va déboucher sur une saturation du microphone et/ou de l’enceinte. Les boucles de rétroaction positives sont souvent appelées effet boule de neige ou cercle vicieux/vertueux. La principale application de la rétroaction positive sera justement d’amplifier en chaine des phénomènes pour les renforcer et/ou créer de nouveaux phénomènes. Nous avons par exemple les explosions nucléaires qui sont générés par une réaction en chaîne et donc une rétroaction positive. Un autre exemple est celui du laser où l’on va venir amplifié en boucle une source lumineuse dans le but d’obtenir le faisceau laser. Ce qui est appelé pompage optique dans le cas du laser est une forme de boucle rétroactive [8].
1.1.2
Rétroaction négative
Au contraire de la rétroaction positive une boucle de rétroaction négative va cette fois chercher à s’opposer à un phénomène dans le but de le supprimer ou le réguler. C’est à la base dans cette optique que les boucles de rétroactions furent étudiées et l’utilisation de rétroactions dans ce but remontent au moins à l’antiquité. Les mécaniciens grecs utilisaient déjà la rétroaction négative pour contrôler leurs lampes à huile au travers d’une valve régulée par rétroaction. Aristote aurait selon certaines légendes également utilisé une méthode de rétroaction rudimentaire pour se tenir éveillé : il tenait une boule métallique dans sa main au dessus d’un récipient en
métal lui aussi si bien qu’en s’assoupissant il lâchait la boule qui le réveillait aussitôt à cause du bruit généré par sa chute dans le récipient. Nous avons déjà vu des exemple de ce genre d’application avec le thermostat ou le régulateur à boules de James Watt mais des applications plus complexes et néanmoins très courante on vue le jour et méritent qu’on s’y attarde. La première est la boucle à verrouillage de phase qui est mise en place sur les oscillateurs. Le but d’une telle boucle est de contrôler la phase de sortie de l’oscillateur pour l’asservir à une phase d’entrée choisie ou à un multiple de celle ci. Cette boucle de phase asservie ou « phase-locked loop » (PLL)[9, 10] en anglais permet alors de synchroniser des signaux, traquer une fréquence d’entré ou encore de multiplier la fréquence d’un signal. Ces applications rendent les PLLs très importantes en informatique et en télécommunications pour synchroniser des fréquences d’horloge, faire de la synthèse de fréquence ou faire de la modulation/démodulation. Le deuxième système d’intérêt est le contrôleur PID[11]. Ce contrôleur a pour but de réguler un système autour d’une valeur de consigne comme une boucle de rétroaction négative standard mais ce qui nous intéresse ici est la complexité de la rétroaction. En effet le contrôleur PID va appliquer une rétroaction qui dépend à la fois de la valeur actuelle de la variable à réguler mais aussi des valeurs précédentes et des valeurs futures prédites. PID représente en fait les initiales « Proportionnel Intégral et Dérivé » qui exprime sa triple action que l’on peut écrire de la forme suivante :
f (x, t) = apx(t) + ai
Z t
t−τ
x(T )dT + adx(t).˙ (1.3)
Le premier terme de coefficient ap sera proportionnel à la valeur actuelle de x(t), le
second terme de coefficient ai dépendra de l’ensemble des valeur précédentes de
x(t)en intégrant ces valeurs sur les τ derniers instants et finalement le troisième terme sera lui lié à l’évolution actuelle de x(t). Cette rétroaction complexe peut être optimisé en ajustant les paramètres ap,ai,adet τ et permet une régulation bien plus
efficace qu’une rétroaction simple comme celle de l’équation 1.2.
1.1.3
Rétroactions complexes
Bien que les rétroactions positives et négatives représentent une grande partie des applications des boucles de rétroaction il en existe toute une flopée qui ne rentrent pas dans ces deux catégories. Cela peut être en raison de forme de rétroaction très complexe ou plus généralement à cause d’un système soumis à la rétroaction qui possède une dynamique très riche. Pour ce qui est des applications recherchées elles se séparent majoritairement en deux catégories. La première est de contrôler un système dynamiquement complexe sans toutefois brider cette complexité ou la supprimer : nous avons par exemple Heinz G. Schuster qui décrit dans son livre « Handbook of Chaos Control »[6] comment on peut utiliser les boucles de
tion à retard pour contrôler des systèmes chaotiques ou au bord du chaos [12]. La deuxième catégorie d’application va quand à elle justement chercher à atteindre le chaos ou son bord en augmentant la complexité d’un système. En effet en soumettant un système à une boucle de rétroaction à retard son espace de phase devient théori-quement infini et des dynamiques extrêmement riches peuvent apparaitre. Il faut toutefois distinguer cette émergence des phénomènes générés par une rétroaction positive car ici la dynamique émergente sera intrinsèquement complexe et surtout contrôlée. Une équipe a par exemple soumis un système laser à une boucle de rétroaction pour amené le système dans un état chaotique contrôlé afin de générer des nombres aléatoires ce qui est une application possible du chaos. Les boucles de rétroaction à retard sont également présentes dans le cerveau humain [13–15] et présentent un intérêt certain dans le domaine neuromorphique comme nous le verrons plus tard dans cette thèse.
1.1.4
Importance de la durée du retard
Un biais de raisonnement classique lorsque l’on aborde les boucles de rétroaction à retard est de surestimer l’importance du signe de la rétroaction et de sous-estimer l’importance de la durée du retard [16]. Revenons à l’équation d’une boucle à retard simple :
˙
x = K [x(t − τ ) − y] . (1.4)
Ceci est surement l’exemple le moins mathématiquement complexe d’une boucle de rétroaction au premier abord mais cette équation présente pourtant une richesse de dynamique bien plus élevée qu’on ne pourrait le penser. Le premier point est que le fait que K soit positif ou négatif n’implique pas forcément que la rétroaction sera positive ou négative. Une valeur négative de K peut tout à fait être utilisé dans une boucle de rétroaction positive. Le deuxième point est de penser que la durée τ du retard ne va impacter que sur le temps caractéristique d’évolution du système. Or cette durée à elle seule peut faire passer une boucle de rétroaction négative à positive et inversement. Prenons K = −0.2, une valeur de consigne de y = 0 et x(t) = 1 pour t < 0 et observons l’évolution de x(t) quand on met en place la rétroaction de la forme Eq. (1.4) à partir du moment t = 0. Cette évolution est présentée pour différentes valeur de τ sur la figure 1.4. Dans le cas τ = 5 le système va venir se stabiliser autour de l’origine est nous sommes en présence d’une rétroaction négative. Pour τ = 7.5 la rétroaction est toujours négative avec un temps caractéristique bien plus élevé. Finalement quand τ = 10 l’effet de la rétroaction se retrouve inversé et le système va amplifier sa perturbation et totalement dévié de l’origine, on a alors une boucle de rétroaction positive bien que la valeur de K n’ai pas changé.
0 100 200 300 - 100 0 100 200 0 100 200 300 - 0.5 0 0.5 1 0 100 200 300 - 1 - 0.5 0 0.5 1 (a) (b) (c)
Figure 1.4:Évolution temporelle d’un système à retard simple soumis à l’équation 1.4 avec
K = −0.2, y = 0 pour différentes durées de retard τ . (a) τ = 5, rétroaction négative. (b) τ = 7.5, rétroaction négative. (c) τ = 10, rétroaction positive.
1.1.5
Boucle de rétroaction à base de signaux électriques et
magnétiques
Afin de mettre en place une boucle de rétroaction il est nécessaire de modifier l’entrée d’un système en fonction de sa sortie. Deux cas de figures sont alors possible. Dans le premier cas la sortie et l’entrée sont sous la même forme : travail mécanique, courant électrique, flux thermique, etc. Il est alors facile de lier le signal d’entrée et de sortie. Dans le second cas l’entrée et la sortie d’un système ne sont pas sous la même forme, comme dans le cas de machine à vapeur où l’entrée est un flux thermique et la sortie un travail mécanique, ce qui implique qu’il sera surement nécessaire de convertir la sortie du système pour être utilisée en tant qu’entrée ou comme modification de l’entrée : c’est ce qui est réalisé par le régulateur à boule qui converti le travail mécanique de sortie en modification du flux de vapeur d’entrée.
Il est parfois plus simple d’utiliser une forme intermédiaire pour faire la liaison entre la sortie et l’entrée. Une forme extrêmement utilisée pour cela est le signal électrique. En effet les scientifiques et ingénieurs ont développées nombre de détecteurs, mo-teurs ou autres dispositifs qui nous permettent de convertir la majorité des grandeurs physiques en signal électrique et inversement. Il est alors naturel que l’étude et l’utilisation de boucles de rétroactions dans les circuits électriques est très répandue et a donné lieu à la création de divers systèmes électroniques. La rétroaction est notamment utilisée dans des amplificateurs, pour générer des oscillations ou encore dans des multivibrateurs.
Pour les travaux de cette thèse j’ai choisi d’étudier des systèmes magnétiques dans lesquels j’applique des boucles de rétroaction. Le premier avantage des systèmes magnétiques est qu’ils peuvent être réduits à l’échelle nanométrique. Le deuxième est que les propriétés électriques, notamment la résistance, d’un tel système est liée à son état magnétique à travers de phénomènes physiques comme l’effet de magnétorésistance géant. A l’inverse un champ électrique, ou un champ magnétique créé par la circulation d’un courant électrique, a pouvoir agir sur le système ma-gnétique. Ce lien entre électronique et magnétisme est bien connu et les systèmes magnétiques actuels sont compatibles avec la technologie des semi-conducteurs avec des applications comme le stockage de données ou les télécommunications.
En spintronique, les effets de rétroaction restent peu étudiés. Aujourd’hui, la plupart des contributions dans le domaine proviennent de l’équipe de Ashwin Tulapurkar à Indian Institute of Technology-Bombay en Inde, qui a mis en évidence de nombreux phénomènes non linéaires en utilisant le champ magnétique comme signal de forçage de la rétroaction. D’abord, il a été démontré par simulation que l’aimantation de la couche libre d’une jonction tunnel magnétique peut être mise en précession
(a) (b)
Figure 1.5:(a) Schéma d’un oscillateur à rétroaction basé sur une jonction tunnel magné-tique. Les variations de la magnétorésistance par effet tunnel, qui sont liées à la dynamique de l’aimantation de la couche libre, sont re-injectées comme un champ hyperfréquence à travers un guide co-planaire. (b) Densité spectrale de puissance des fluctuations magnétiques pour plusieurs valeurs du courant appliqué. D’après Dixit et al. [17].
entretenue par un champ magnétique oscillant qui est généré par les fluctuations de magnétorésistance de la jonction [17]. Un schéma de ce dispositif est présenté sur la figure 1.5. Ce schéma a été réalisé expérimentalement en 2016 par la même équipe [18]. Il a été démontré également par simulation que la rétroaction par l’effet Hall de spin dans un dispositif à trois terminaux pourrait conduire à des oscillations entretenues [19]. Enfin, des travaux théoriques et expérimentaux montrent que ces oscillateurs à rétroaction peuvent être verrouillés en phase par un forçage externe [20, 21].
1.2
Aperçu de la thèse
Dans ces travaux de thèse j’ai étudié le rôle d’une boucle de rétroaction à retard dans plusieurs systèmes micromagnétiques avec des objectifs différents qui permettent d’apprécier le panel de possibilités qu’offre les boucles à retard.
Dans lechapitre 2, je présente une étude des effets de rétroaction sur les propriétés stochastiques d’un oscillateur à transfert de spin. Je trouve une forte variation de la largeur de raie, ainsi que l’apparition de plusieurs bandes latérales qui sont liées à la modulation apportée par la rétroaction. Ces phénomènes sont importants à comprendre afin d’optimiser les propriétés spectrales de ces oscillateurs.
Dans lechapitre 3, je mets en évidence une dynamique chaotique qui est induite par la rétroaction dans un oscillateur macrospin. Cette dynamique est provoquée par les transitions chaotiques entre deux modes de précession, dont les propriétés dépendent fortement du délai et du facteur d’amplification. Je montre qu’il est possible d’utiliser un tel système pour la génération de nombres aléatoires.
Lechapitre 4 est consacré à une implémentation d’un oscillateur du type « Mackey-Glass » avec une paroi de domaine piégée dans un ruban magnétique, qui peut constituer l’élément de base d’une architecture temporelle d’un calculateur avec réservoir. Il s’agit d’un système neuro-inspiré avec lequel il est possible d’effectuer des taches comme la reconnaissance vocale. Je montre l’utilité du système magnétique pour la prédiction de séries temporelles non linéaires.
Je conclus par un résumé de mes travaux et quelques perspectives dans lechapitre 5.
2
Effets de rétroaction sur
l’oscillateur à transfert de spin
2.1
Oscillateur à transfert de spin
2.1.1
Contexte
Le nano-oscillateur à transfert de spin, ou STNO pourSpin Torque Nano Oscillator, est un dispositif spintronique de taille nanométrique composé des empilements des matériaux ferromagnétiques. La brique de base est constituée d’un empilement de deux couches magnétiques séparées par une couche non magnétique, soit un métal normal, soit un isolant, comme illustrée sur la figure 2.1. La première couche magnétique possède une aimantation fixe (désignée par ~p sur la figure) tandis que l’aimantation de la seconde (désignée par ~m) peut changer librement d’où les nominations de couche fixe et de couche libre. En injectant un courant électrique dans cet empilement les électrons traversant la couche fixe deviennent polarisés selon l’axe de l’aimantation de cette couche. Ensuite lors de leur passage dans la seconde couche ils transmettent une partie de leur moment magnétique de spin à l’aimantation de la couche libre à travers un couple. L’origine de ce couple est l’interaction sd, qui décrit l’interaction entre les spins des électrons de conduction et les moments magnétiques. C’est cet effet que l’on appelle le transfert de spin [23, 24].
Par le biais de ce transfert de spin l’aimantation de la couche libre peut présenter différentes dynamiques en fonction des paramètres de matériaux, des champs ap-pliqués, de la direction de l’aimantation de la couche fixe ainsi que l’intensité du courant injecté. En présence d’un courant suffisamment élevé l’aimantation de la couche libre suivra des précessions auto-entretenues. Une telle dynamique est simi-laire à celle d’un système dynamique possédant un cycle limite. Nous reviendrons sur ce point dans la section suivante.
La dynamique de précession de ces oscillateurs est modifiée par le courant injecté entre autres. Grâce à cette propriété la période d’oscillation peut alors être modifiée en changeant le courant sur une large bande de fréquence. Les matériaux utilisés dans la réalisation des oscillateurs à transfert de spin sont compatibles avec la technologie
Magnétorésistance Transfert de spin Dynamique de l’aimantation Variations de résistance (b)
(a) Spin torque
Figure 2.1: Principe du fonctionnement de l’oscillateur à transfert de spin. (a) Les électrons passant à travers la première couche ~pse retrouvent polarisés puis vont trans-férer leur moment angulaire à la deuxième couche ~m par le phénomène du transfert de spin. (b). Grâce à l’effet de la magnétorésistance, toute dynamique de l’aimantation dans la couche libre se traduit par une variation temporelle de la résistance, qui peut être mesurée dans le domaine temporel ou fréquentiel. D’après Locatelli et al. [22].
des semi-conducteurs utilisée principalement dans l’électronique actuelle si bien qu’il est très facile d’intégrer ces oscillateurs aux appareils actuels. De plus, avec le bon choix de paramètres, ces oscillateurs présente des gammes de fréquence de l’ordre du gigahertz qui est l’ordre de grandeur utilisé dans les télécommunications. Toutefois pour servir dans les télécommunications il nous faut pouvoir avoir accès à l’état de l’oscillateur avec une grandeur physique exploitable. C’est ici qu’entre en jeu le phénomène de magnétorésistance géante. En effet il a été démontré que la résistance électrique d’un oscillateur à transfert de spin dépend de l’orientation relative des deux couches : la résistance est maximale lorsque les aimantation de la couche libre et la couche fixe sont dans des directions opposées (antiparallèles) et minimale lorsque qu’ils sont alignés selon la même orientation (parallèles) (voir fig. 2.1). En mesurant la résistance de l’oscillateur on a donc accès à l’état de l’aimantation dans la couche libre et ces oscillateurs peuvent donc bien être utilisées pour les télécommunications.
Au final les oscillateurs à transfert de spin sont des dispositifs nanométriques com-patible CMOS avec une fréquence réglable qui peuvent être utilisées pour les tech-nologies de l’information de la communication. Dans cette thèse nous aborderons uniquement les oscillateurs à transfert de spin dits uniformes opposés aux oscillateur de type vortex qui possèdent une dynamique différente bien qu’utilisant les mèmes interactions électromagnétiques.
(a) y (b) (c) x t t y x x
Figure 2.2:Exemples d’orbites périodiques : (a) Orbites circulaires stables d’amplitudes différentes d’un oscillateur linéaire. (b) Orbite d’un oscillateur non linéaire. Les états initiaux en dehors du cycle limite sont attirés vers celui-ci. (c) Dyna-mique transitoire d’un oscillateur non linéaire pour une amplitude initiale plus élevée(bas)ou plus basse(haut) que l’amplitude du cycle limite.
2.1.2
Oscillateurs à cycle limite
Avant de discuter les spécificités de l’oscillateur de transfert de spin, il est utile d’abord d’examiner de manière générale les ingrédients nécessaires pour une oscilla-tion entretenue. Lorsque qu’un système présente des oscillaoscilla-tions auto-entretenues cela implique l’existence d’un cycle limite stable dans son espace de phase. Ce cycle limite représente une trajectoire périodique fermée que le système cherche à at-teindre et il ne dépend pas des conditions initiales ce qui rend ce cycle limite non linéaire par nature. Dans un système conservatif linéaire l’amplitude d’oscillation changera de façon permanente si l’on perturbe l’oscillateur, alors que dans le cas non linéaire le système peut se relaxer pour revenir au cycle limite et la perturbation aura alors totalement disparue. La figure 2.2 représente deux systèmes ayant un mouvement circulaire autour de l’origine. Pour le premier système qui est linéaire une infinité de trajectoires circulaires existent et une perturbation ou un changement de conditions initiales va simplement faire passer le système d’une trajectoire à l’autre. Pour le second, non linéaire cette fois, une seule trajectoire fixe existe : le cycle limite. Lorsque le système dévie de ce cycle il va relaxer de façon à y revenir en décrivant des spirales dans cet exemple.
Un exemple d’oscillateur à cycle limite est le suivant. Soit c(t) = r(t)eiφ(t) une
variable complexe qui décrit l’amplitude r et la phase φ de l’oscillateur. La dynamique de l’oscillateur peut alors s’écrire :
dr
dt = (µ − r
2)r, (2.1)
dφ
dt = ω. (2.2)
ωreprésente la vitesse angulaire et µ est le paramètre d’amortissement. Lorsque µ est négatif ou nul la seule orbite stable est r = 0 donc les précessions du système
(a) (b)
Figure 2.3: Dynamique d’un oscillateur à cycle limite en fonction du paramètre d’amortisse-ment µ : (a) µ < 0, les oscillations sont amorties jusqu’à l’extinction. (b) µ > 0, les oscillations sont attirées par le cercle limite de rayon r =√µ.
vont juste être amorties jusqu’à disparaitre, comme montré sur la figure 2.3(a). Au contraire si µ est positif il existe une autre trajectoire stable avec r 6= 0 et un cycle limite apparait. Toutes les trajectoires, excepté celles où r = 0, convergeront vers ce cercle limite de rayon r =√µdonnant lieu aux spirales visibles sur la figure 2.3(b). Toutes perturbations écartant la trajectoire de ce cycle sera amortie jusqu’à restaurer le cycle.
2.1.3
Dynamique induite par transfert de spin
Les matériaux typiques pour élaborer des oscillateurs à transfert de spin sont des métaux ferromagnétiques de transition dont la température de Curie est plusieurs centaines de degrés au dessus de la température ambiante (par exemple, de 627 K pour le nickel à 1388 K pour le cobalt). Par conséquent on peut supposer que l’ordre magnétique de la couche libre peut être décrit par un champ continu ~M = Msm~ avec
Msl’aimantation à saturation du matériau et ~mpossède une norme fixe k ~mk = 1.
Cette approximation dite « micromagnétique » est valable lorsque ~mvarie lentement dans l’espace par rapport au paramètre de maille du cristal. Cette hypothèse est vérifiée pour les métaux ferromagnétiques comme le fer, le cobalt, le nickel et leur alliages grâce à la forte interaction d’échange au sein de ces matériaux.
En absence de courant, l’évolution temporelle de l’aimantation ~mest décrite par l’équation de Landau-Lifshitz-Gilbert :
d ~m
dt = −γ0m × ~~ Heff+ α ~m × d ~m
Le premier terme du membre de droite de l’équation décrit la précession de l’aiman-tation autour de son champ effectif, ~Heff, qui représente la dérivée variationnelle de
l’énergie interne totale U par rapport à ~m:
~ Heff = − 1 µ0Ms δU δ ~m. (2.4)
γ0 = µ0gµB/~ est la constante gyromagnétique, où g est le facteur gyromagnétique,
µ0 est la perméabilité du vide, µB est le magnéton de Bohr et ~ représente la
constante de Planck réduite. Le deuxième terme du membre de droite est le terme de l’amortissement visqueux proposé par Gilbert [25], dont l’amplitude est donné par le paramètre d’amortissement α.
L’énergie U comprend toutes les interactions présentes. Pour un métal ferromagné-tique de transition, la contribution la plus importante est l’interaction d’échange,
Uex = A
Z
dV (∇ ~m)2, (2.5)
qui favorise l’ordre ferromagnétique en privilégiant un alignement parallèle entre les moments magnétiques. Cette interaction est de courte portée et son amplitude est donnée par la constante d’échange, A. Les moments interagissent entre eux également par l’interaction dipolaire, qui est une interaction de longue portée. Dans l’approximation micromagnétique, on peut exprimer cette interaction en terme des charges magnétiques ; la densité surfacique de charge s’écrit
σs = ~m · ˆn, (2.6)
où ˆnreprésente le vecteur normal à la surface, et la densité volumique de charge s’écrit
ρv = −∇ · ~m. (2.7)
Par analogie avec l’électrostatique, on peut définir le potentiel magnétostatique ainsi : Φ(~r) = Ms 4π " Z dV0 ρv(~r 0) k~r − ~r0k + Z dS0 σs(~r 0) k~r − ~r0k # , (2.8)
à partir duquel on peut obtenir le champ demagnétisant, ~Hd= −∇Φd. L’énergie de
l’interaction dipolaire s’écrit
Ud= 1 2Ms Z dV ρv(~r)Φd(~r) + Z dS σ(~r)Φd(~r) . (2.9)
(a) (b)
Figure 2.4: Illustration de la dynamique de précession de l’aimantation. (a) Trajectoire amortie de l’aimantation ~ms’approchant du champ effectif ~Heffselon une orbite en spirale. (b) Vue de dessus avec représentation des couples de précession − ~m× ~Heff, d’amortissement − ~m×( ~m× ~Heff)et du transfert de spin − ~m×( ~m×~p) pour ~p || ~Heff.
Quant aux interactions locales, il existe l’interaction Zeeman qui décrit l’interaction entre les moments magnétiques et un champ magnétique externe ~H0,
UZ = −µ0Ms
Z
dV ~m · ~H0, (2.10)
et l’anisotropie magnéto-cristalline, qui privilégie certaines orientations dans l’es-pace pour les moments magnétiques et provient du couplage spin-orbite. Pour une anisotropie uniaxiale avec un axe facile selon la direction ˆz, cette énergie s’écrit :
UK = −Ku
Z
dV ( ~m · ˆz)2 (2.11)
avec Ku la constante d’anisotropie.
Pour mieux illustrer la dynamique décrite par l’équation 2.3, on applique ~m×aux membres de gauche et de droite afin d’obtenir :
~ m ×d ~m
dt = −γ0m × ( ~~ m × ~Heff) − α d ~m
dt . (2.12)
Puis en remplaçant le membre de gauche de l’équation 2.12 par le membre de droite de l’équation 2.3 cette dernière devient :
d ~m dt = −γ0 1 + α2m × ~~ Heff− γ0 1 + α2m × ( ~~ m × α ~Heff). (2.13)
L’amortissement s’applique dans la direction perpendiculaire au mouvement de précession. De ce fait l’aimantation précesse en spirale autour du champ effectif jusqu’à être alignée avec ce dernier. Ce phénomène est représenté sur la figure 2.4(a).
Comme nous l’avons vu précédemment, un courant électrique devient polarisé en spin en traversant un matériau ferromagnétique. Dans un empilement comme une vanne de spin ou une jonction tunnel magnétique, ce phénomène peut conduire à un transfert de moment angulaire de spin entre les deux couches magnétiques qui composent l’empilement. Dans la configuration habituelle où l’aimantation de la couche de référence est piégée (par exemple, par un couplage à un matériau antiferromagnétique), nous pouvons supposer que ce courant soit polarisé par l’aimantation de la couche de référence, qui exerce par la suite un couple sur l’aimantation de la couche libre. Désignons ~p l’orientation de l’aimantation de la couche de référence. Berger [23] et Slonczewski [24] ont montré indépendamment que le transfert de spin peut être décrit dans le cadre de l’équation Landau-Lifshitz-Gilbert en ajoutant un terme supplémentaire au membre de droite de l’équation 2.3 :
d ~m dt = − γ0 1 + α2m × ~~ Heff− γ0 1 + α2m ×~ ~ m × (α ~Heff− J ~p) . (2.14)
On notera que le courant injecté J est ici exprimé comme un champ en utilisant la relation J = ~j/(µ0Msed). Pour des oscillateurs à transfert de spin comme ceux
présentés dans les travaux de Kiselev et al., qui sont des nano-piliers de Co/Cu/Co, cela correspond à un champ J = 10 mT pour une densité de courant de j = 107
A/cm2. Pour un choix judicieux de ~p, le terme de transfert de spin ~m × ( ~m × ~p)peut
s’opposer (en moyenne) au terme d’amortissement − ~m × ( ~m × ~Heff)et ainsi permet
l’existence de précessions entretenues au delà d’un certain courant seuil Jth.
2.1.4
Exemples de STNO
La précession entretenue de l’aimantation, qui constitue la base d’un oscillateur de transfert de spin, peut prendre plusieurs formes. Lorsque l’état fondamental est l’état uniforme ou quasi-uniforme, comme pour les géométries confinées tels que les nanopiliers, l’excitation principale induite par transfert de spin est une précession quasi-uniforme. Un exemple des premières observations est montré sur la figure 2.5, où l’on voit des pics dans la densité spectrale de puissance dans la gamme des GHz. Le transfert de spin excite une précession entretenue de la couche libre, qui se traduit par une variation de la magnétorésistance de la vanne de spin en géométrie d’un nanopilier elliptique (130 × 70 nm) [26]. La position de ces raies spectrales varie en fonction du champ appliqué, ce qui confirme l’origine magnétique des oscillations. On peut remarquer également une forte dépendance de la fréquence de la raie principale sur le courant appliqué, une propriété distinctive des oscillateurs à transfert de spin. Il s’agit d’une nonlinéarité de la fréquence, car la fréquence dépend de l’amplitude de l’oscillation. Cette nonlinéarité provient du fait que la fréquence de la précession de l’aimantation dépend de l’angle de la précession, dont l’origine pourrait être l’interaction dipolaire ou une anisotropie magnéto-cristalline.
Figure 2.5: Oscillateur à transfert de spin basé sur une vanne de spin en géométrie de nanopilier. (a) Schéma du dispositif et du banc expérimental. (b) Résistance différentielle en fonction du courant statique appliqué sous plusieurs valeurs de champ externe. (c) Densité spectrale de puissance à µ0H = 200 mT pour plusieurs valeurs du courant appliqué. (d) Densité spectrale de puissance sous les mêmes conditions que (c) avec des intervalles de courant plus faibles. D’après Kiselev et al. [26]
Le transfert de spin peut provenir également de l’effet Hall de spin [27]. Cet effet décrit la génération d’un courant de spin lorsque un courant de charge circule dans un milieu à fort couplage spin-orbite. L’effet de Hall « classique » décrit l’apparition d’une tension perpendiculaire au courant électrique qui traverse un matériau soumis à un champ magnétique. De la même manière, l’effet Hall de spin génère une différence de potentiel chimique pour les spins grâce au couplage spin-orbite, ce qui résulte en un courant de spin circulant dans une direction perpendiculaire au courant de charge. Une des premières démonstrations d’un oscillateur à effet Hall de spin est montrée sur la figure 2.6. Deux contacts en or amènent une forte densité de courant dans un empilement NiFe/Pt [Fig. 2.6(a,b)], où la composante du courant circulant dans la couche de Pt génère un courant de spin, qui exerce un couple sur l’aimantation dans la couche de NiFe. Les mesures de spectroscopie Brillouin, qui permettent de détecter les ondes de spin dans la couche de NiFe, montrent clairement une forte augmentation l’amplitude de précession de l’aimantation au dessus d’un seuil de courant [Fig. 2.6(c)]. Dans cette géométrie, un couple peut être exercé sur l’aimantation même si le courant de charge ne traverse pas le milieu magnétique. Il est donc possible de dissocier le courant d’excitation et le courant de lecture, ce qui permet une géométrie à trois terminaux comme l’ont proposé Liu et al. en 2012 [29].
La nonlinéarité en fréquence peut avoir un effet important sur le profil spatial de l’os-cillation. Pour un décalage vers le rouge, c’est-à-dire une décroissance de la fréquence
1 μm H a b Probing laser light d.c. current Au(150) top electrodes Normalized current density 250 nm x Py(5)Pt(8) disk 0.0 0.5 1.0 0 1 ¬1 x ( μm) 2 ¬2 100 60 80 40 20 Frequency (GHz) I = 16.1 mA I = 16.3 mA I = 16.5 mA l = 17.0 mA I = 17.5 mA 7 8 9 10 11 120 0 BLS intensity (a.u.) c
Figure 2.6:Oscillateur à effet Hall de spin. (a) Géométrie de l’oscillateur. (b) Courant. (c) Densité spectrale de puissance mesurée par spectroscopie Brillouin pour plusieurs valeurs du courant appliqué. D’après Demidov et al. [28].
en fonction de l’amplitude de l’oscillateur, il est possible que la fréquence entre dans la bande interdite des ondes de spin pour un milieu continu. Ce phénomène peut se produire dans une géométrie de nanocontact, où le courant est appliqué à une couche continue à travers un contact métallique de 20-100 nm de diamètre. Le transfert de spin s’applique uniquement dans une région localisée sous le contact ponctuel. Par conséquent, la fréquence de la précession sous le contact tombe en dessous de la fréquence de la résonance ferromagnétique lorsque le courant appliqué franchi le seuil d’auto-oscillation, ce qui donne lieu à une auto-localisation de la zone de précession. On parle d’un mode du type « bullet » dans ce cas de figure [30]. En revanche, un décalage vers le bleu n’engendre pas de localisation car les fréquences d’excitation restent dans la bande des ondes de spin. Dans ce cas, l’auto-oscillation de l’aimantation génère des ondes de spin qui sont rayonnées de la région du contact ponctuel [31, 32].
Enfin, l’oscillation entretenue de l’aimantation n’est pas limitée à une précession uniforme. Pour une géométrie circulaire comme une disque en couche mince, l’état fondamental de l’aimantation est un vortex pour certains rapports d’aspect [33]. Lorsque qu’un courant polarisé en spin transverse perpendiculairement à ce disque, le transfert de spin peut donner lieu à une giration entretenue du vortex [34–38]. Un exemple du spectre des oscillations de vortex est présenté sur la figure 2.7. De la même manière qu’une précession quasi-uniforme, le déplacement du vortex entraine une variation de la magnétorésistance. La fréquence liée à la giration de vortex est typiquement inférieure à celle d’une précession uniforme, c’est-à-dire dans la gamme entre 100 MHz et 1 GHz. Cette fréquence est régie par le potentiel de confinement lié à la géométrie.
–500 0 500 19.85 19.90 dV /d I ( Ω )
Magnetic field (Oe)
0 0.9 1.0 1.1 1.2 0.1 0.2 0.3 11.5 mA 10.5 mA 9.5 mA 8.5 mA 5 – A m 5 . 7 6.5 mA ×10 6 0 FW H M (M H z) 30 60 8 I (mA) 10 12 Frequency (GHz) P o w e r d e n si ty (n W G H z –1) Frequency (GHz) Frequency (GHz) Frequency (GHz) P o we r d e n si ty (n W G H z –1) P o w e r d e ns it y (n W G H z –1) P o we r d e n si ty (n W G H z –1) 2 1 Fr e q u e n cy (G H z) FW H M (M H z) Freq u e n cy (G H z) 0 12 mA 11 mA 10 mA 9 mA 8 mA ×2 ×5 0 2.0 2.1 2.2 2.3 0.1 0.2 0.3 6 0 2 1 0 30 60 8 10 12 I (mA) 1.60 1.65 1.112 1.114 1.116 0 1 2 3 Cu Py Py Cu Cu a b c d .. H|| = ~6 Oe 0 0.04
Figure 2.7: Oscillateur à vortex. (a) Variation de la magnétorésistance en fonction du champ appliqué. (b) Densité spectrale de puissance sous un champ perpendiculaire appliqué de 160 mT. (c) Densité spectrale de puissance sous un champ perpen-diculaire appliqué de 54 mT. (d) Zoom sur la raie principale à 9 mA sous un champ perpendiculaire de 48 mT. L’insert montre un schéma de la géométrie. D’après Pribiag et al. [34].
2.1.5
Améliorer les propriétés spectrales
Comme nous l’avons vu le principal attrait des oscillateurs à transfert de spin est leur taille nanométrique et leur fréquence réglable qui sont des propriétés prometteuse pour les technologies de l’information de la communication. Pour les télécommuni-cations mobiles, par exemple, il est désirable d’avoir un seul dispositif qui permet de gérer plusieurs bandes de fréquences dans la gamme de GHz. Cette propriété est possible grâce à la nonlinéarité en fréquence. Cependant les performances actuels de ces oscillateurs sont insuffisante pour ces applications. En premier lieu la puissance émise est assez faible : de l’ordre du nanowatt pour les oscillateur basés sur des valves de spin et de l’ordre du microwatt pour ceux basés sur des jonctions tunnels magnétiques.
En second lieu le facteur de qualité Q est également plusieurs ordre de grandeur en dessous des standards en télécommunications. Ce facteur est défini par :
Q = f0
V ( m V ) t (ns) 0 2 4 t (ns) 8 10 t (ns) 0 50 100 150 200 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 V ( m V ) t (ns) ) d ( ) c ( ) b ( ) a ( -0 .8 0 m A t (ns) f (G H z ) 7.7 7.6 7.5 (e) f (G H z ) 7.5 7.4 7.3 t (ns) -0 .9 5 m A 0 200 400 Count 0 1k Count 0 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 τc= 3.2 ns Γ τ (ns) 0 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 τc= 40 ns Γ τ (ns) 0 50 100 150 200 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 V ( m V ) t (ns) 0 2 4 t (ns) 8 10 t (ns) 0 50 100 150 200 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 V ( m V ) t (ns) ) d ( ) c ( ) b ( ) a ( -0 .8 0 m A t (ns) t (ns) 0 500 1000 f (G H z ) 7.7 7.6 7.5 (e) f (G H z ) 7.5 7.4 7.3 t (ns) t (ns) 0 500 1000 -0 .9 5 m A 0 200 400 Count 0 50 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure 2.8:Analyse spectrale à partir des traces temporelles pour deux courants, qui révèle des phénomènes d’extinction (haut) et des sauts de phase (bas). (a) Série tem-porelle et (b) une vue détaillée montrant les oscillations à haute fréquence. (c) Histogrammes des enveloppes du signal. (d) Temps de cohérence, τc, calculé à
partir de la fonction d’autocorrélation, Γ(τ ). (e) Spectrogramme de la fréquence d’oscillation en fonction du temps. D’après Houssameddine et al. [39].
où f0 est la fréquence d’oscillation et ∆f la largeur spectrale. Sa valeur pour des
oscillateurs à quartz utilisés en télécommunication est de l’ordre de 106 alors que
les oscillateurs à transfert de spin peinent à dépasser 104. Cette largeur spectrale
est liée à la perte de la cohérence des oscillations qui est engendré par le bruit thermique. Ce bruit provient des fluctuations magnétiques qui agissent comme un champ magnétique aléatoire dans le champ effectif.
Plusieurs processus peuvent engendrer cette perte de cohérence. Une contribution majeure provient du bruit de phase. Considérons un ensemble de ces oscillateurs comme des horloges initialement synchronisées à minuit. Avec le temps chacune de ces horloges gagnerait ou perdrait quelques secondes de façon aléatoire, et après une certaine intervalle de temps, l’ensemble d’oscillateurs serait complètement déphasé. Une autre contribution provient de l’instabilité de l’oscillation elle-même, c’est-à-dire, il est possible que des événements d’extinction se produisent de manière aléatoire. Ces deux processus sont illustrés sur la figure 2.8, où on montre des traces temporelles mesurées expérimentalement pour un oscillateur basé sur des jonctions tunnels magnétiques [39]. Lorsque des extinctions sont présentes, on peut constater un faible temps de cohérence – d’environs 3,2 ns pour l’exemple montré, ce qui représente une vingtaine de périodes d’oscillation. On peut observer également des sauts de la fréquence d’oscillation en fonction du temps, ce qui suggère que les conditions pour stabiliser un cycle limite ne soient pas systématiquement remplies en présence du bruit thermique. Lorsque l’élargissement spectral est dû aux sauts de phase, on observe une meilleure stabilité en fréquence et un temps de cohérence plus élevé – d’environs 40 ns dans l’exemple de la figure 2.8.
15.6 15.8 d V /d I ( Ω ) 10.7 10.8 10.9 11.0 f ( G H z ) 15.6 15.8 d V /d I (Ω ) 10.7 10.8 10.9 11.0 f (G H z) a c b d n V 2/H z 0 100 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 0 10 20 30 40 P o w e r (p W ) I dc(mA) 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 -5 0 5 10 Vre c t ( μ V ) I dc (mA) f e locked Fixed Idc Vac Insulator Free
Figure 2.9: Entrainement d’un STNO par forçage externe. (a) Fréquence en fonction du courant. La géométrie est illustrée dans l’insert. (b) Résistance différentielle en absence de forçage. (c) Puissance de l’oscillateur en absence de forçage. (d),(e) sont identiques à (a),(b) mais en présence d’un forçage sinusoïdale à 10.86 GHz. (f) Tension rectifiée en présence du forçage. D’après Rippard et al. [40].
Boucle à verrouillage de phase et synchronisation
Il existe plusieurs méthodes pour améliorer la cohérence des oscillations. Ces mé-thodes reposent sur le fait que la dynamique de l’oscillateur est non linéaire, ce qui permet son entrainement par un forçage externe. Un exemple est présenté sur la figure 2.9 où nous montrons le verrouillage de phase grâce à une modulation sinusoïdale du courant appliqué. Dans cette expérience menée par Rippard et al., les oscillations induites par le transfert de spin dans une géométrie de nanocontact s’ac-crochent à la fréquence du signal externe lorsque la fréquence du forçage tombe dans une fenêtre de verrouillage ou « locking window » en anglais. Sur la figure 2.9(d), on observe que la fréquence de l’oscillateur reste verrouillée à celle du signal externe lorsque le courant est varié dans cette fenêtre, et qui se décroche abruptement une fois la valeur du courant quitte cette zone. Nous pouvons constater également une augmentation de l’amplitude de signal [Fig. 2.9(f)]. Ce phénomène d’entrainement peut être exploité dans les boucles à verrouillage de phase [41, 42].
Une autre méthode consiste en la synchronisation mutuelle de plusieurs oscillateurs. Il s’agit d’un entrainement mutuel par lequel le couplage entre les oscillateurs mène à un état collectif où les phases deviennent verrouillées entre elles. Comme pour le cas précédent du forçage externe, la synchronisation résulte en une diminution du bruit de phase (ou une augmentation du temps de cohérence), qui est accompagnée d’une augmentation de la puissance de l’oscillateur qui varie comme le carré du nombre d’oscillateurs. Un des premiers exemples de la synchronisation mutuelle de deux oscillateurs à transfert de spin est illustré sur la figure 2.10. Le dispositif comprend deux oscillateurs à nanocontact dans lequel la couche libre magnétique est commune aux deux oscillateurs [43]. L’interaction entre les oscillateurs est
Figure 2.10:Synchronisation mutuelle de deux STNO. (a) Variation de la densité spectrale de puissance (PSD) des deux oscillateurs en fonction du courant appliqué à l’oscillateur B. (b) PSD correspondant à la ligne verte verticale dans (a) à 8,65 mA. (c) PSD correspondant à la ligne magneta verticale dans (a) à 9,5 mA. (d) PSD correspondant à la ligne verte verticale dans (a) à 11,5 mA. (e) Variation de la largeur de raie des deux oscillateurs. D’après Kaka et al. [43].
principalement médiée par des ondes de spins générées à chaque nanocontact, plutôt que le champ dipolaire rayonné par la précession de l’aimantation [44, 45]. En dehors de la fenêtre de synchronisation les oscillateurs se comportement comme des systèmes indépendants, la densité spectrale de puissance est caractérisée par deux raies spectrales bien définies. En variant le courant appliqué à un des contacts ponctuels, les deux fréquences s’approchent et lorsque la différence tombe en dessous d’un seuil critique, le système se retrouve dans le régime de synchronisation dans lequel nous pouvons constater une seule raie dans la densité spectrale de puissance, comme montré sur la figure 2.10(c). La fréquence de l’état synchronisé se trouve entre celles des deux oscillateurs indépendants, et l’amplitude de la raie spectrale augmente par un ordre de grandeur. On constate également une forte diminuition de la largeur de raie, comme illustré sur la figure 2.10(e).
De manière générale, la synchronisation est un phénomène non linéaire dont la nature dépend de nombreux paramètres comme l’intensité et la distance des interac-tions entre les oscillateurs ainsi que la distribution de leurs fréquences. Depuis de nombreux mécanismes de synchronisation ont été démontrés ainsi que la possibilité de synchroniser plus de deux oscillateurs à la fois. Ruotolo et al. ont démontré la possibilité de synchroniser jusqu’à quatre oscillateurs à vortex dans la géométrie de nanocontact, où l’interaction entre les oscillateurs est médiée par des antivortex [46]. Plus récemment, Awad et al. ont démontré la synchronisation mutuelle dans un réseau linéaire d’oscillateurs à effet Hall de spin, où des signatures de verrouillage de phase mutuel entre neuf oscillateurs ont été révélées [47].
