3.1. Boucle de courant

(1)

MAGNÉTOSTATIQUE

Chapitre 3

Dipôle magnétique

3.1. Boucle de courant

Champ d’induction magnétique sur l’axe d’une boucle de courant circulaire Nous avons démontré, dès le

premier chapitre du cours de magnétostatique, l’expression du champ d’induction magnétique créé par une boucle de courant filiforme circulaire en un point M de son axe de symétrie. Ce champ est axial, il est maximal au centre de la boucle de courant et il décroît comme le cube du sinus de l’angle α sous lequel est vu le rayon de la boucle de courant. En notant R le rayon de la boucle et i le courant compté positivement dans le sens de rotation positif autour de Oz, nous obtenons :

( )

⁰

( )

³

3

2 2

0

2

M sin

2

2 1

z

B i e

R

i z

R R e

−

=µ α

 

=µ  + 

 

Comportement limite à l’infini sur l’axe d’une boucle ce courant circulaire

À très grande distance sur l’axe, le champ a une forme équivalente plus simple :

( )

M ⁰ ³3

2 ^z

z

B i R e

R z

→∞

µ

∼

Le champ est axial et sa valeur algébrique est une fonction paire de z décroissante en z ⁻³ à l’instar du comportement du champ électrique sur l’axe d’un dipôle électrique.

O

z

R 2R

−R

−2R

( )

⁰

B

^{B R}

( )

O

z

R 2R

−R

−2R

( )

B z

( )

B −R

α R

(2)

Moment magnétique d’une boucle de courant

Par définition, nous appellerons moment magnétique d’une boucle de courant le vecteur m =i S

où S

est le vecteur surface de la boucle dont le module est égal à la surface de la boucle, le vecteur étant orienté par le courant i dans le sens Sud→Nord.

Pour l’exemple de la boucle de courant circulaire, S= πR e²_z

et donc m= πR i e² _z

. Le champ magnétique à l’infini sur l’axe de la spire prend alors la forme suivante :

( )

dip

( )

⁰ 3

M 2 z 4

B B z m

→∞ z

=µ π

∼

Remarque : Cette expression est analogue à celle du champ électrique créé par un dipôle électrique en un point de son axe, pourvu que l’on établisse une correspondance entre moment dipolaire magnétique et moment dipolaire électrique.

( )

dip 3

0

1 2 4 E z p

z

= πε

3.2. Dipôle magnétique

Potentiel vecteur dipolaire

Ainsi nomme-t-on le potentiel vecteur équivalent créé par une boucle de courant dans la limite où l’on se place à une très grande distance de la boucle de courant. Nous admettrons, sans démonstration¹, l’expression du potentiel vecteur dipolaire :

0

dip 3

4

m r

A r

µ ∧

= π

Remarquons simplement l’analogie avec l’expression du potentiel scalaire du dipôle électrique qui laisse attendre quelques analogies de comportement.

_________________________ ____________________________

0 0

1

4 4

moment dipolaire électrique NP moment dipolaire magnétique produit par un scalaire

électrostatique magnétostatique

p q m i S

p

↔ µ

πε π

= ↔ =

0

dip 3 dip 3

0

produit vectoriel potentiel scalaire dipolaire potentiel vecteur dipolaire

1

4 4

m

V A

p r m r

V A

r r

⋅ ↔ ∧

↔

µ

⋅ ∧

= ↔ =

πε π

1 Une démonstration, réduite au seul cas de la boucle de courant circulaire, est présentée en annexe de ce chapitre : elle doit être considérée comme un exercice d’application assez difficile.

(3)

Champ d’induction magnétique dipolaire

Le champ d’induction magnétique d’un dipôle magnétique dérive du potentiel vecteur dipolaire par la relation B_dip =rotA_dip

. Nous admettrons sans démonstration² l’expression du champ dipolaire :

0 3

0

dip 3

2 cos 4

sin 4

0

r

B m

r B B m

r B

θ

ϕ

µ θ

= π

µ θ

= π

=

Cette expression du champ dipolaire d’induction magnétique n’est en aucun cas à mémoriser.

Remarquons cependant l’analogie parfaite avec le champ dipolaire électrique :

( ) ( )

0

dip 3 dip 3

0

dip 3 dip

0

champ dipolaire électrique champ dipolaire d’induction magnétique

1 2 cos sin 2 cos sin

4 4

3 3

1

4 4

r r

r r r r

p m

E e e B e e

r r

p e e p m e e

E B

r

θ θ

↔

= θ + θ ↔ = µ θ + θ

πε π

⋅ − µ ⋅

= ↔ =

πε π

3

m r

−

Lignes de champ dipolaire

Les lignes de champ d’un dipôle magnétique ont la même forme que les lignes de champ d’un dipôle électrique. Elles sont invariantes par rotation autour du moment dipolaire et se referment sur elles-mêmes à l’endroit où se trouve le dipôle. Notons que le champ magnétique n’est pas défini en ce point : il y présente une singularité.

2 Une démonstration de l’expression du champ d’induction magnétique dipolaire est présentée en annexe de ce chapitre.

Il s’agit d’une excellente lecture pour les amateurs d’analyse vectorielle.

m

(4)

Exemples de dipôles magnétiques

Barreau aimanté

Un petit barreau de matière aimantée équivaut à grande distance à un dipôle magnétique dont le moment magnétique m

est dirigé du Sud vers le Nord de l’aimant.

Les lignes de champ d’induction magnétique « sortent » par le pôle Nord de l’aimant et « entrent » par le pôle Sud de l’aimant.

Magnétisme terrestre

Le magnétisme terrestre trouve son origine dans le noyau composé de fer et de nickel en fusion. Du point de vue électromagnétique, la Terre se comporte principalement comme dipôle magnétique qui serait situé en son centre, de moment m_T =0, 75 10 A m× ²³ ⋅ ²

, et dont l’axe est actuellement incliné d’une dizaine de degrés par rapport à l’axe de rotation de la planète sur elle-même.

Une boussole soumise au champ magnétique terrestre s’oriente spontanément vers le

« Nord magnétique ».

L’intensité du champ d’induction magnétique terrestre est actuellement, à la surface de la Terre, de l’ordre de grandeur de 50 000 nT (nano Tesla). Le Nord magnétique fluctue à la surface du globe et les géologues ont établi la preuve de l’inversion aléatoire des pôles magnétiques, à raison de plusieurs basculements par million d’année, le Nord devenant Sud et vice-versa.

Notons que la Terre s’est formée il y a plus de 4,5 milliards d’années et que donc un million d’année est un intervalle de temps assez court à l’échelle géologique : le magnétisme terrestre est extrêmement actif !

Attention ! Le « Nord magnétique » est bien mal nommé, puisqu’il correspond en réalité au pôle Sud du dipôle géomagnétique.

Note : Les lignes de champ dipolaire obéissent à l’équation différentielle dr B_r =r dθ B_θ ce qui conduit à l’équation en coordonnées polaire dans chaque plan méridien : ^r ⁼^K

(

^sin^θ

)

²

Le tracé précédent est réalisé par un simple programme de quelques lignes en langage MAPLE :

> restart: with(plots): n:=5:

for r from -1 to 1

do champ[r]:=spacecurve({[r*cos(theta)^2*cos(2*Pi*k/n)*cos(theta), r*cos(theta)^2*sin(2*Pi*k/n)*cos(theta), r*cos(theta)^2*sin(theta),

theta=0..Pi] $k=-n..n},color=red):

od:

display(champ[t]$t=-1..1,scaling=constrained,projection=NORMAL);

m

Nord Sud

Ω ΩΩ Ω

m S

N

Axe géomagnétique de la Terre

N

N S

S

Axe de rotation de la Terre

(5)

Magnétisme microscopique

Le magnétisme à l’échelle atomique et subatomique est quantifié. Seule la théorie quantique permet d’en donner une description cohérente et cela est bien au-delà de notre programme d’étude.

Retenons cependant qu’à l’échelle atomique les électrons sont la cause de propriétés magnétiques de la matière. D’une part, certaines orbitales électroniques correspondent à un mouvement de rotation d’ensemble du nuage électronique et l’atome perd alors sa symétrie sphérique au profit d’une symétrie cylindrique. D’autre part, les électrons possèdent un moment magnétique intrinsèque associé à leur moment cinétique intrinsèque de « spin ». Les moments magnétiques correspondants sont quantifiés par le « magnéton de Bohr » :

23 2

B e

0, 93 10 A m 2

m e m

= = × − ⋅

Enfin, à l’échelle du noyau des atomes, les protons sont à l’origine de phénomènes magnétiques quantifiés cette fois par le « magnéton nucléaire » :

26 2

n p

0, 51 10 A m 2

m e m

= = × − ⋅

L’action d’un champ d’induction magnétique sur ces moments magnétiques élémentaires peut provoquer leur organisation collective si bien qu’il en résulte un phénomène d’aimantation induite à l’échelle macroscopique : on parle de diamagnétisme lorsque l’aimantation de la matière est de sens opposé au champ inducteur et de paramagnétisme lorsque l’aimantation est de même sens que le champ inducteur.

Enfin, l’interaction entre les moments magnétiques élémentaires peut conduire à un phénomène d’aimantation de la matière y compris en l’absence de champ magnétique extérieur : c’est le cas, en particulier du ferromagnétisme qui concerne le fer, le cobalt et le nickel dans certains domaines de température.

3.3. Action d’un champ d’induction magnétique extérieur sur un dipôle magnétique

Orientation d’un dipôle magnétique

Action mécanique exercée par un champ uniforme sur une boucle de courant filiforme Considérons un circuit fermé indéformable C

parcouru par un courant constant i et plongé dans une région de l’espace où règne un champ d’induction magnétique uniforme et constant

B0

. Chaque élément de courant iδ

est alors soumis à une force élémentaire de Laplace δF telle que δ = δ ∧F i B₀

.

La résultante de ces forces a donc pour expression : ^F ⁼

∫

C^{δ =}^F

∫

C

(

ⁱ^{δ ∧}^B⁰

)

^{= −}^iB⁰^∧

∫

C^δ

L’intégrale

∫

Cδ

est nulle quel que soit le circuit C, pourvu simplement qu’il soit fermé.

Nous en déduisons donc que la résultante des forces de Laplace agissant sur un circuit fermé indéformable est nulle, ce qui signifie que l’action résultante est un couple, entièrement caractérisé par son moment.

Remarque : Dans le cas particulier d’un circuit filiforme rectangulaire, les forces de Laplace s’exerçant sur deux cotés opposés sont opposées.

B0

C i

(6)

Action d’un champ d’induction magnétique sur un courant rectangulaire

Considérons une région de l’espace soumise à un champ d’induction magnétique uniforme et plaçons en ce lieu un cadre rectangulaire A A A A indéformable parcouru par un courant i. Nous l’avons vu, ce ₁ ₂ ₃ ₄ cadre est alors soumis à un couple de moment M

que nous allons évaluer.

Notons a=A A₁ ₂ = −A A₃ ₄

et b=A A₂ ₃ = −A A₄ ₁

les côtés du cadre dont le moment magnétique est alors égal à m=i ab n₊ =i a∧b

où n₊

est la normale au cadre orientée dans le sens Sud→Nord.

Notons I , ₁₂ I , ₂₃ I et ₃₄ I les milieux des côtes ₄₁ A A , ₁ ₂ A A , ₂ ₃ A A et ₃ ₄ A A . Ces points milieux sont les ₄ ₁ points d’application des forces de Laplace agissant sur les côtés.

Examinons les forces et moments résultants par paires de cot és opposés :

12 A A1 2 0 0

F =i ∧B =i a ∧B

et ^M¹² ⁼^M^O

( )

^F¹² ⁼^OI¹²^∧^F¹² ⁼ⁱ^OI¹²^∧

(

^a^∧^B⁰

)

34 A A3 4 0 0

F =i ∧B = −i a ∧B

et ^M³⁴ ⁼^M^O

( )

^F³⁴ ⁼^OI³⁴^∧^F³⁴^{= −}ⁱ^OI³⁴^∧

(

^a^∧^B⁰

)

12 34 0

F +F =

et ^M¹²⁺^M³⁴⁼ⁱ

(

^OI¹²⁻^OI³⁴

) (

^∧ ^a^∧^B⁰

)

^{= − ∧}^{i b}

(

^a^∧^B⁰

)

De la même façon, nous avons :

23 41 0

F +F =

et ^M²³⁺^M⁴¹⁼ⁱ

(

^OI²³⁻^OI⁴¹

) (

^∧ ^b^∧^B⁰

)

^{= +}^{i a}^∧

(

^b^∧^B⁰

)

Le moment résultant est donc indépendant du point O (il s’agit là d’une propriété générale des couples) et a pour expression : ^M⁼^M¹²⁺^M³⁴⁺^M²³⁺^M⁴¹^{= − ∧}^{i b}

(

^a^∧^B⁰

)

⁺^{i a}^∧

(

^b^∧^B⁰

)

^.

Développons les doubles produits vectoriels :

(

⁰

) ( )

⁰

(

⁰

) ( )

⁰

(

⁰

) (

⁰

) ( )

⁰

M = −i b B a⋅ +i b a B⋅ +i a B b⋅ −i a b B⋅ = −i b B a⋅ +i a B b⋅ =i a ∧b ∧B

Nous avons ainsi démontré l’expression du moment du couple appliqué au cadre rectangulaire soumis à l’action d’un champ d’induction magnétique uniforme et constant :

( )

⁰ ⁰

M =i a ∧b ∧B =m ∧B

B0

i A1

A2

A3

A4

I41

I12

I23

I34

B0

F12

F34

F23

F41

a

b

(7)

Généralisation

Nous admettrons, sans démonstration, que les actions mécaniques d’un champ d’induction magnétique uniforme B₀

appliquées à un dipôle magnétique se réduisent à un couple dont le moment est donc indépendant du point particulier de l’espace où on l’exprime. Ce moment a pour expression :

M =m ∧B0

Dans la mesure où l’on considère que le dipôle magnétique a une extension spatiale a très petite par rapport à l’étendue de la zone d’espace dans laquelle le champ d’induction magnétique extérieur varie de façon notable, l’approximation d’un champ uniforme est excellente.

Ce moment tend à orienter le moment dipolaire magnétique dans la direction et le sens du champ d’induction magnétique extérieur appliqué.

Remarque : le moment des forces est nul pour une orientation du moment dipolaire parallèle au champ et de sens opposé. Une telle situation correspond certes à une position d’équilibre, mais instable.

Énergie potentielle d’interaction d’un dipôle magnétique avec un champ d’induction magnétique

Nous admettrons, par analogie avec le comportement d’un dipôle électrique dans un champ électrique, l’expression de l’énergie d’interaction d’un dipôle magnétique avec un champ d’induction magnétique dans le vide :

pm = − ⋅m B E

En présence d’un champ d’induction magnétique, le dipôle sera dans une position stable lorsque son énergie d’interaction avec le champ sera minimale, c’est-à-dire lorsque le moment dipolaire et le champ sont colinéaires et orientés dans le même sens.

Sous l’action d’un champ électrique extérieur, le dipôle, après s’être orienté dans le sens du champ, tend à minimiser encore davantage son énergie en se déplaçant selon la ligne de champ dans le sens des champs d’induction magnétique forts.

Remarque : B

étant à flux conservatif, lorsque son module augmente, les lignes de champ se resserrent nécessairement.

F

B

m

(8)

Annexe 1 : Potentiel vecteur créé à grande distance par une boucle de courant circulaire La démonstration qui suit est clairement hors

programme, mais elle n’est pas si difficile que cela à suivre et peut être vue comme une bonne lecture.

Considérons une boucle de courant circulaire C de rayon a parcourue par un courant i. Nous choisissons un système de coordonnées sphériques

(

^r^{, ,}^{θ ϕ}

)

ayant pour axe polaire Oz l’axe de la boucle. Le moment dipolaire magnétique de cette boucle s’écrit alors : m= πa i e² _z

.

Considérons un point M à une distance r=OM très grande par rapport au rayon a de la boucle de courant.

Le plan méridien de M, défini comme le plan passant par M et contenant l’axe Oz, est un plan d’antisymétrie de la distribution de courant et nous savons donc que le potentiel vecteur ^A

( )

^M ^{en M est}

orthogonal à ce plan, c’est-à-dire orthoméridien et donc porté par le vecteur e_z ∧ =e_r sinθe_ϕ . Le potentiel vecteur est donné par l’intégrale :

( )

⁰ ^P ⁰

P P

M OP

4 PM 4 PM

i

c d

A ∈ ∈

µ δ µ

= =

π

∫

C π

∫

C

De la même façon que nous l’avons déjà fait pour le dipôle électrique, nous allons rechercher une forme équivalente de ce potentiel vecteur dans la limite où le rapport a

r tend vers 0.

Pour cela, développons le terme 1

PM au premier ordre en le terme en a r ^:

( )

² ¹²

( ( )

²

)

¹² ² ²² ¹² ³

1 1 OP OM OP 1 OP

PM OM OP 1 2

PM OM OM OM

r a

r r o r

− −

−  ⋅  ⋅  

= = − =  − +  = + +  

   

Par conséquent : ^A

( )

^M ⁼^µ₄⁰_πⁱ

∫

_P_∈C^d_PM^OP ⁼₄^µ_π⁰ⁱ_r

∫

_P_∈C^d^OP ⁺ ₄^µ_π⁰_rⁱ³

∫

_P_∈C

(

^OP^⋅^{r d}

)

ÔP⁺ô^{ }^{ }_{ }â_r

La première intégrale est nulle

P

OP 0 d

∈ =

∫

C

^.

En posant OP=acosϕ_Pe_x+asinϕ_Pe_y

et donc OP⋅ =r acosϕ_Pe r_x⋅ =a rsin cosθ ϕ_P, la seconde intégrale s’écrit :

∫

_P_∈C

(

^OP^⋅^{r d}

)

^OP⁼

∫

₀²^π^{a r}^{sin cos}^θ ^{ϕ −}^P

(

â^sin^{ϕ ϕ}^P^d ^Pê^x⁺â^cos^{ϕ ϕ}^P^d ^Pê^y

)

Soit :

∫

_P_∈C

(

^OP^⋅^{r d}

)

^OP⁼^{a r}² ^sin^θ

∫

₀²^π

⁽

^cos^ϕ^P

⁾

²^d^ϕ^P^e^y ^{= π}^{a r}² ^sin^θ ^e^y ^{= ∧}^S ^r

Nous en déduisons :

( )

M ⁰ 3 ^dip

( )

M 4

m r a a

A o A o

r r r

µ ∧    

= π +   = +   

Remarque : Cette démonstration est généralisable, mais c’est alors beaucoup plus difficile, à toute boucle de courant filiforme, éventuellement non plane, en définissant le moment magnétique par la relation :

S

m=i

∫∫

n dS₊

O

z θ

a

M

dc =i d P

S x

ϕP

ez

er

C

(9)

Annexe 2 : Champ d’induction magnétique dipolaire La démonstration qui suit est également hors programme : en cas de besoin, l’expression du champ d’induction magnétique dipolaire sera donnée.

Nous avons donc, par définition : B_dip =rotA_dip

Avec dip

( )

⁰ 3 ⁰ 2

M sin

4 4

m r m

A e

r r ^ϕ

µ ∧ µ θ

= =

π π

D’après l’expression la plus générale du rotationnel en coordonnées sphériques :

(

^sin

) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1

rot sin sin sin

r r

r

A A A rA rA A

A e e e

r r r r r r r r

ϕ θ ϕ θ

θ ϕ

 ∂ θ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂ 

   

= θ ∂θ − θ ∂ϕ  + θ ∂θ − ∂  + ∂ − ∂θ 

Nous aurons dans le cas présent, avec Adip

( )

M =A r_ϕ

( )

, θ e_ϕ :

( ) ( )

dip dip

1 sin 1

rot sin ^r

A rA

B A e e

r r r

ϕ ϕ

θ

∂ θ ∂

= = −

θ ∂θ ∂

Nous obtenons ainsi les composantes du champ dipolaire d’induction magnétique en coordonnées sphériques, B_dip =B e_r_r +B e_{θ θ}

.

( ) ( )

2

dip 3

0 0

3 3

0 0

sin

sin 2 cos

4 4

1/

1 1

sin sin

sin

4 4

1

0

sin

r

m d m

B A

r d

rA d

B B

r r r dr

r r

r

r m

B

m

ϕ

ϕ θ

ϕ

θ

∂ θ

= = =

θ ∂

µ µ θ

π π

µ θ µ θ

π

θ θ θ

= − ∂ = − =

∂ π

=

Remarque 1 :

L’analogie avec le champ dipolaire électrique est parfaite :

3 0

dip 3

0

1 2 cos 4

1 sin 4

0 Er

E

r

E r

E

p

θ

ϕ

= θ πε

θ

= πε

=

Remarque 2 :

Les champs dipolaires peuvent s’écrire sous une forme vectorielle.

( )

dip 3

0

1 3 4

r r

p e e p

E r

⋅ −

= πε

0

( )

dip 3

3 4

r r

m e e m

B r

⋅ −

=µ π

O

z θ

M

m x

ez

er

e_ϕ

( )

^M

A