Description du modèle

Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, les oscillateurs à transfert de spin sont régis par l’équation de Landau–Lifshitz–Gilbert, qui s’écrit sous la forme :

d ~m dt ^{= −}

γ0

1 + α2m ×~ ^hH^~eff + ~m ×^α ~Heff− J ~p^i. (3.3) Plusieurs approximations de la dynamique d’un tel oscillateur existent dans la litté-rature, dont le passage en variable magnonique présenté dans le chapitre précédent. Une autre approximation revient à ne plus considérer une excitation des moments magnétiques de la couche libre, mais plutôt de considérer une seule aimantation

rigide pour l’ensemble de cette couche qui correspondrait à la somme de toute les aimantations microscopique. Cette aimantation globale, ou « macrospin » en anglais, donne son nom au modèle macrospin et est une bonne approximation pour étudier la dynamique d’un oscillateur dont la variation spatiale de ~mpeut être négligée [75].

On peut expliciter le champ effectif ~H_eff en fonction de la géométrie de l’échantillon et des paramètres matériaux. Dans notre étude nous considérons un oscillateur composé de couches minces où z est la direction perpendiculaire au plan du film avec une anisotropie uni-axiale et un champ magnétique appliqué selon l’axe x. De ce fait le champ effectif peut s’écrire :

~

H_eff = (H₀+ H_anm_x) ˆx − H_dm_zz,ˆ (3.4)

où H0 est le champ magnétique appliqué, Han représente l’intensité du champ d’anisotropie et H_dcelle du champ démagnétisant. L’aimantation de la couche de référence est elle orientée selon l’axe x également. Dans ce qui suit, nous montrons les résultats des simulations avec les paramètres suivants : µ0H0 = 0.1T, µ0Han = 0.05 T, µ₀H_d= 1.7T, et α = 0.007.

3.2.2 Modes de fonctionnement

La dynamique d’un oscillateur macrospin évolue avec l’intensité du courant appliqué. La figure 3.4 montre l’évolution des différentes composantes de l’oscillateur macros-pin avec ce courant appliqué ainsi que l’évolution de la fréquence d’oscillation. Le courant est exprimé sous forme de champ grâce à l’équivalence discutée dans le chapitre précédent. Trois régimes se démarquent de ce graphique :

— Régime d’extinction. Lorsque le courant injecté est inférieur au courant de seuil, le transfert de spin est insuffisant pour compenser l’amortissement et les oscillations sont amorties jusqu’à atteindre l’extinction où l’oscillateur est l’aimantation est statique selon l’axe x.

— Précessions dans le plan. A partir du moment où le courant injecté dépasse le courant critique des oscillations entretenues peuvent apparaître. Dans un premier temps ces oscillations restent dans le plan de l’oscillateur ou proche de celui-ci. Ces précessions présentent une trajectoire en forme de coquillage caractéristique, comme montrée sur la figure 3.5. On désigne cette dynamique IPP pour « In-plane precession ».

— Précessions hors du plan. En augmentant encore le courant les précessions dans le plan obtiennent une amplitude selon l’axe z plus importante jusqu’à totalement sortir du plan. Quand on atteint ce deuxième courant de seuil les oscillations deviennent circulaires autour de l’axe z (Fig. 3.5). De part la symétrie de la couche libre et des champ appliqués on observe deux trajectoires

Pe ri o d (n s) Current, J (T)

No oscillation IPP OPP

0 0.1 0 0.015 –0.015 0.03 0.045 0 –1 1 0.2

Figure 3.4:Évolution des valeur moyennes des composantes de l’aimantation et de la période d’un oscillateur macrospin avec l’intensité du courant injecté exprimé sous forme de champ magnétique J. Les valeurs moyennes de myet mzsont non nuls uniquement dans le mode OPP tandis que mxreste constant à 1 en absence d’oscillations. J0est le point de fonctionnement des simulations avec boucle de rétroaction.

équiprobables possible : une orienté selon +z et l’autre selon −z. Ces deux précessions seront respectivement désignées OPP+ et OPP− pour « Out-of-plane precession ».

3.2.3 Comparaison au modèle micromagnétique

Afin de vérifier l’approximation macrospin pour un système réaliste, nous avons effectué des simulations micromagnétiques avec le logiciel MUMAX3 [76]. Ce logiciel résout l’équation 3.4 en utilisant la méthode de différences finies pour la discréti-sation. On calcule ainsi l’évolution temporelle de l’aimantation de chaque cellule en intégrant numériquement l’équation (3.4). Nous avons utilisés les paramètres micromagnetiques qui sont indiqués dans le tableau 3.1.

Table 3.1: Paramètres de simulation micromagnétique de l’oscillateur.

Dimensions d’ellipse simulée 100 nm × 50 nm × 3 nm

Grille 2 nm × 2 nm × 3 nm

Constante d’échange, A_ex 20 pJ/m Constante d’amortissement, α 0.007 Aimantation à saturation, Ms 800 kA/m Polarisation en spin du courant, P 1

Sur la figure 3.6, nous montrons l’évolution de la moyenne des composantes d’ai-mantation en fonction du courant appliqué. Comme pour le cas de l’oscillateur

(b)

1 1 1 0 –1 –1 –1 0 0

(a)

1 1 1 0 –1 –1 –1 0 0

(c) (d)

–1 0 1 –1 0 1 Time (ns) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Time (ns) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figure 3.5: Modes de précession d’un oscillateur macrospin. Trajectoires et traces tempo-relles des modes de précession dans le plan (IPP) et hors du plan (OPP) : (a) Trajectoire IPP. (b) Trajectoire OPP. (c) Trace temporelle IPP. (d) Trace tempo-relle OPP. Le courant injecté est de J = 0.01 T pour le mode IPP et J = 0.02 T pour le mode OPP.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 <Mx> <My> <Mz>

J(TA/m²)

No oscillations Mixed IPP OPP

Figure 3.6: Évolution des valeur moyennes des composantes de l’aimantation et de la période d’un oscillateur à transfert de spin micro-magnétique avec l’intensité du courant injecté exprimé sous forme de champ magnétique J.

macrospin (Fig. 3.4), nous pouvons identifier les mêmes régimes de précession dans les simulations micromagnétiques. On observe clairement des régimes de IPP et de OPP [Fig. 3.6(a)−(d)], où les traces temporelles et les trajectoires sont très similaires à celles du macrospin. Ces régimes de précession sont également répartis selon le courant injecté conformément aux résultats obtenus pour le modèle macrospin (Fig. 3.6). La différence principale entre les modèles vient d’une plage de courant entre les précessions IPP et OPP. Là où le modèle macrospin montre une séparation nette entre les deux régimes, celle-ci se fait progressivement dans les simulations micromagnétiques. En outre, on voit apparaitre un état « mixte » dans lequel la précession alterne entre les modes IPP et OPP [Fig. 3.6(e,f)]. Toutefois l’existence de ce régime ne devrait pas altérer grandement les dynamiques observées avec la boucle de rétroaction à retard, l’amplification étant la plupart du temps suffisante pour sortir de cette région. Seuls les points à faible amplification auraient vraisemblablement une dynamique différente et ce ne sont pas notre principale source d’intérêt dans la suite de cette étude.

3.2.4 Implémentation de la boucle de rétroaction à retard

Comme dans le chapitre précédent, nous étudions une rétroaction qui est appliquée sur le courant de commande, J. Puisque l’on suppose que la polarisation de la l’aimantation de la couche de référence est suivant l’axe x, le signal de magnéto-résistance serait donné par la composante mx et donc il est naturel d’intégrer la rétroaction sous la forme :

J (t) = J₀[1 + ∆j m_x(t − τ )] , (3.5)

où τ est le retard, ∆j l’amplification de la rétroaction et J0le courant continu.

Pour simuler la dynamique de l’aimantation nous utilisons un code que j’ai développé avec le langage C++, qui permet d’intégrer avec la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 [77, 78] l’équation (3.4) avec la rétroaction donnée par (3.5). Nous utilisons le modèle macrospin plutôt que le modèle micromagnétique car il présente un temps de calcul bien plus court et, comme nous l’avons montré, il décrit suffisamment la physique sous-jacente. Pour intégrer une boucle de rétroaction à retard avec la méthode de Runge-Kutta nous aurons besoin d’accéder à des valeurs passées de l’aimantation que nous n’aurons pas calculées. Pour résoudre ce problème nous utilisons une fonction d’interpolation pour l’approximation des valeurs intermédiaires de l’aimantation en fonction des valeurs proches connues.

Dans ce qui suit, nous utilisons l’acronyme MODF (« macrospin oscillator with delayed feedback ») pour désigner cet oscillateur.

Figure 3.7: Modes de précession obtenus par simulation micromagnétique. Traces tempo-relles et trajectoires pour le mode IPP (a,b), OPP (c,d) et mixte (e,f).

Dans le document Oscillateurs nanomagnétiques soumis à une boucle de rétroaction à retard : Bruit, chaos et applications neuromorphiques (Page 64-70)