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log(dB)/fréquence-adimensionnelle(St)(FIG. 3.38(d)). On choisira comme intensité de ré-férence celle communément acceptée comme correspondant au seuil de l’audition soit

I = 10−12W.m−2. C’est la représentation que nous conserverons dans le reste de l’exposé. La première remarque est que notre spectre est caractérisé par la présence de pics d’am-plitude à des fréquences discrètes concentrées sur les basses fréquences du signal. Compte tenu de notre échantillonnage, notre définition fréquentielle est def = 1.46 Hz. Ces fré-quences discrètes sont des harmoniques de la fréquence fondamentale f₁  114 Hz. Cette fréquence correspond au motif de base qui constitue le signal, ce que nous avons appelé un cycle. La fréquence principale des fluctuations de pression en ce point correspond à

f  455 Hz. Ce mode n’est attaché de manière triviale à aucun des phénomènes

phy-siques que nous avons pu observer, comme le détachement tourbillonaire, les séquences d’impact, etc. De plus, celle que nous avions estimée être la fréquence caractéristique du détachement tourbillonaire, f  682 Hz, est ici marginalisée par ce mode principal, mais néanmoins bien présente.

Le nombre de Strouhal est calculé à partir de la longueur de la cavité, L, ainsi que de la vitesse à l’infini, U_∞ :

St= f.L

U_∞ (3.8)

Compte tenu de l’échantillonnage, l’incertitude sur la valeur du nombre de Strouhal est de St = 1, 7.10−3.

On observe pour le signal de pression des amplitudes de l’ordre de 80 à 160 dB. Le pic principal est supérieur de 6 dB au pic secondaire qui correspond au détachement tourbillonaire. Compte tenu du fait que le dB est une échelle logarithmique (cf. Annexe B), il y a donc six fois plus d’énergie dans le mode principal que dans le mode secondaire. La présence de ce mode principal très énergétique et des multiples pics de relativement faible amplitude à plus hautes fréquences, sans qu’il soit possible de les justifier par la simple observation du signal temporel, pourrait indiquer un comportement fortement non-linéaire de l’écoulement. Seuls des statistiques d’ordre supérieur (multispectres) pourront permettre de s’en assurer. Nous étudierons le bispectre du signal en différents points de l’écoulement dans une prochaine partie. Lorsque l’on compare l’amplitude des modes

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 St 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 SPL (dB )

(a) Spectre au point 7

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 St 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 SPL (dB ) (b) Spectre au point 13

Fig. 3.39 - SPL en dB en fonction du Strouhal (St)

en différents points de la cavité, on observe que, d’une manière générale, le _{mode ➃} prédomine (St = 0.528). Le mode ➅, St = 0.792, est presque systématiquement le plus énergétique après le _{mode ➃ en tout point de l’écoulement. Seule dans la partie amont}

du fond de la cavité (FIG. 3.39(a)) ainsi qu’immédiatement au dessus de l’angle aval de la cavité (FIG. 3.39(b)) (qui correspond au point d’impact des structures), la fréquence de

détachement tourbillonaire est la plus énergétique.

D’après les visualisations instantanées de l’écoulement (FIG. 3.9) deux structures sont simultanément présentes sur la largeur de la cavité. La vitesse d’advection de ces struc-tures, estimée à l’aide de la méthode 3, donne un rapport de vitesse κv de0, 52 pour notre

configuration de calcul. Nous sommes en régime subsonique à M_∞ = 0.25. On rappelle l’expression du modèle de Rossiter :

Stm = f L U_∞ = m− α 1 κ_v + M∞ (3.9) Suivant les données qui viennent d’être énumérées, pour m = 2 cela nous donne un Strou-hal St₂ = 0.805. Ce mode correspond à notre mode ➅, qui représente la fréquence de détachement tourbillonaire, à un Strouhal de 0.792. L’écart très faible (inférieur à 2 %) entre la prédiction du modèle de Rossiter corrigé (κv = 0.52) et les modes mesurés indique

une bonne adéquation entre les hypothèses du modèle, la valeur de la constante de phase

α et la physique de notre écoulement. La présence du mode de Rossiter m = 2

pour-rait expliquer le comportement de l’évolution de la pression Prms en travers de la cavité

(Y /H = 1) observé au §3.5.1. Les tourbillons de la couche de cisaillement matérialisent les perturbations de pression de la cavité. Deux perturbations sont simultanément présentes dans la cavité, ce qui nous donne pour les fluctuations de pression Prms une évolution

quasi-sinusoïdale sur la largeur de la cavité de longueur d’onde moitié de la longueur de la cavité.

On peut d’ailleurs raisonner en termes de longueur d’onde des perturbations plutôt que de fréquence. Il est possible [82] de réécrire l’équation de Rossiter (3.9) en faisant apparaître la longueur d’onde λ =U_{c/f :}

λ L =

1

m− α · [1 + κv · M∞] (3.10)

Pour un Mach de 0.25 et m = 2, on trouve λ_/L  0.65. Cette estimation est en bon

accord avec la distance effectivement observée entre deux tourbillons consécutifs sur les champs instantanés des différents paramètres de l’écoulement (FIG. 3.10). Ceci semble bien indiquer que la cavité résonne principalement au mode2 de Rossiter, ce qui est tout à fait cohérent avec l’étude expérimentale de Kegerise et Al. [21] pour une configuration semblable à la nôtre (X/H = 2 et M_∞= 0.25).

Précédemment, nous avons montré qu’il était possible d’estimer la vitesse moyenne d’advection des structures dans la cavité (κv  0.52). Les observations menées jusqu’à

présent et l’accord très satisfaisant entre la mesure du mode de détachement tourbillo-naire et les prédictions du modèle de Rossiter attestent que nous sommes bien en présence d’un mécanisme d’oscillations auto-entretenues tel que celui décrit par Rossiter. Le second paramètre empirique de l’équation (3.9) est le terme de déphasage α dont la valeur gé-néralement admise pour les cavités peu profondes est de α = 0.25. A partir de l’équation (3.9) en conservant les grandeurs mesurées pour κv, M∞, U∞, L et en prenant m = 2 et f = 681 Hz, il est possible de déterminer une valeur de α pour notre écoulement. On

trouve α  0.28. A partir de cette valeur, il est possible de recalculer les fréquences des premiers modes de Rossiter. On trouve :

– pour m= 2, fm2  681 Hz

– pour m= 3, fm3  1076 Hz

Il apparaît donc bien que seul le mode2 de Rossiter se retrouve dans l’écoulement. Nous allons à présent nous intéresser aux modes acoustiques de la cavité pour voir si une interaction aéroacoustique pourrait expliquer la présence des modes que nous ne pouvons rattacher à un phénomène dynamique de l’écoulement.

Dans le cas d’une cavité close, les modes acoustiques de la cavité sont donnés par la formule suivante [83] :

fd= a

2 · d (3.11)

où a désigne la célérité du son dans la cavité et d l’une des dimensions géométriques - la longueur L ou la profondeur H. Cette relation nous permet de calculer le mode acoustique de profondeur fH et le mode acoustique longitudinal fL. On obtient dans

notre cas fH  3440 Hz et fH  1720 Hz. La formule (3.11) peut être étendue aux

modes acoustiques croisés :

f_(nx,n_y)= a 2 ·  (nx L) 2_{+ (}ny H) 2 _(3.12)

Le mode acoustique(1, 1) est alors f_1,1 = 3846 Hz. Or si l’on revient aux FIG. 3.38 et 3.39, ces modes n’apparaissent pas sur les spectres du signal de pression. Les modes principaux de notre configuration sont beaucoup plus bas que les modes acoustiques de la cavité.

Dans le cas d’une cavité ouverte, comme c’est le cas dans cette étude, l’approximation de cavité close n’est pas satisfaisante selon la direction verticale. Il existe des modèles permettant d’estimer plus précisément la valeur des modes acoustiques de profondeur. A partir des résultats d’une étude théorique menée par Plumbee et al. [34], East [33] a établi une formule permettant d’estimer le mode acoustique de profondeur d’une cavité profonde : (f H a ) · (1 + 0.65( L H) 0.75_{) = 0.25 (3.13)}

où H est la profondeur de la cavité et a la célérité du son dans la cavité. Nous obtenons alors f  822 Hz. Bien que plus proche des modes dominants, cette fréquence n’apparaît pas sur les spectres du signal de pression de l’écoulement.

Nous ne sommes donc visiblement pas en présence d’une interaction aéro-acoustique, dans le sens où les modes propres acoustiques pourraient guider la dynamique de l’écou-lement. Les résultats qui viennent d’être présentés sont réunis dans le tableau suivant (TAB. 3.4) :

L_/H = 2 et M_∞= 0.25 _{mode ➃ = 455 Hz mode ➅ = 682 Hz mode ➆ = 795 Hz}

Rossiter m= 1 → fm1 285 Hz m = 2 → fm2 681 Hz m = 3 → fm3 1076 Hz

modes acoustiques f_(1,0) 1720 Hz f_(0,1) 3440 Hz f_(1,1) 3846 Hz

East [33] f_East= 822 Hz

Tab. 3.4 - Synthèse des modes principaux de l’écoulement, des modes de Rossiter et des modes acoustiques.

L’écoulement est donc verrouillé sur une fréquence : la fréquence de détachement tour-billonaire,_{mode ➅ (St = 0.792). Mais la forte non-linéarité de l’écoulement pourrait être}

à l’origine de l’apparition d’un mode principal, _{mode ➃, sur lequel est transférée la plus} grande partie de l’énergie. Du fait de son caractère non-linéaire, l’énergie de l’écoulement se répartit ensuite sur les harmoniques basses fréquences de ces modes. La fondamentale, ou_{mode ➀ (St = 0.132), correspond à la succession des séquences d’impact, ce que nous} avons nommé précédemment un cycle.

3.6.1

STFT - Transformée de Fourier à fenêtre glissante

Nous envisageons ici l’éventualité d’une modulation en fréquence des modes de l’écou-lement. Or la transformée de Fourier seule ne nous permet pas d’accéder à cette informa-tion. Lorsque l’on souhaite observer une modulation d’amplitude ou une modulation en fréquence, on est conduit à s’intéresser à la mesure de l’évolution temporelle du contenu fréquentiel du signal. La méthode la plus immédiate est de considérer un spectre d’am-plitude dont on suivrait l’évolution dans le temps. Ce résultat est obtenu lorsque l’on fait glisser une fenêtre sur un signal temporel et que l’on calcule à chaque décalage la transformée de Fourier de ce signal tronqué. On obtient ainsi une transformée de Fourier à fenêtre glissante (§Annexe C.6).

S(t, ω) =

 _+∞

−∞

f(t).w(t − t).exp(−iωt)dt (3.14) On peut alors tracer |S(t, ω)|2 en fonction de ω et t. Le principal problème de cette mé-thode réside dans la nature empirique du choix de la fenêtre, w(t). On ne va pouvoir observer que ce que l’on va chercher à voir. Il est donc nécessaire d’avoir une connaissance

a-priori du signal et des phénomènes que l’on souhaite détecter. Le signal exploitable,

0 500 1000 1500 0 0.5 fréquence (Hz) temps (s) amplitude

(a) Spectre au point4 en fonction du temps

temps (s) fréquence (Hz) 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 400 420 440 460 480 500

(b) évolution du mode ➃ sur 3 périodes

Fig. 3.40 -Transformée de Fourier à fenêtre glissante (STFT) - évolution du contenu spectrale du signal de pression au point 4 en fonction du temps.

compte tenu du temps de calcul et de la durée du régime transitoire précédent la conver-gence de l’écoulement, recouvre 96 cycles. On cherche à observer une modulation en fréquence du pic principal, c’est à dire autour de St= 0.528.

On a choisi un décalage temporel de t = 0, 1305.10−3 s pour une taille de fenêtre

recouvrant 12 périodes, soit T = 0.0963 s. Cela nous donne une résolution en fréquence de f  3Hz. La STFT a été conduite sur différents points de l’écoulement pris dans

l’ouverture et au fond de la cavité. Les résultats de la STFT du signal de pression au point 4 sont très représentatifs de l’ensemble de ces mesures (FIG. 3.40). Les modes fondamentaux

sont bien marqués, mais on n’observe aucune modulation en fréquence des pics principaux. Dans le cas du _{mode ➃ ( 455 Hz) par exemple, le suivi de son évolution sur 3 périodes} se distingue par la constance de la position du maximum d’amplitude (FIG. 3.40(b)). Dans

le cas d’une modulation de fréquence nous aurions dû observer une variation au cours du temps de la position en fréquence des maximums d’amplitude du spectre (FIG. 3.40(b)), ce qui n’est pas le cas. Pour une modulation d’amplitude, la valeur de l’amplitude du mode modulé varie au cours du temps. La FIG. 3.40(a) présenterait alors une modulation des crêtes qui composent la représentation de la STFT du signal considéré, ce qui n’est pas non plus le cas. L’empâtement de la base des pics principaux (FIG. 3.38) est donc plus

vraisemblablement le résultat d’incertitudes dans les mesures - i.e signal traité recouvrant un nombre non entier de périodes etc. - que le signe d’une modulation en fréquence de ces modes.

On rappelle cependant qu’il faut être très vigilant avec cet outil. Ne rien observer ne signifie pas qu’il y ait rien à voir, simplement que la STFT est peut être mal paramétrée (taille de la fenêtre, décalage temporel), qu’elle n’est pas le bon outil d’observation, ou qu’effectivement il n’y a rien à voir.

3.6.2

Evolution spatiale des Modes

Afin d’étudier l’évolution suivant la longueur de la cavité des composantes périodiques des fluctuations des paramètres de l’écoulement, les fluctuations de vitesse et de pression ont été enregistrées le long d’une droite joignant les angles amont et aval de la cavité. Les spectres sont calculés sur 20 cycles (correspondant à la plus basse fréquence - _mode ➀). Les pics de chaque composante sont donnés en 61 points de mesure répartis dans la largeur de la cavité. On présente l’évolution Urms (FIG. 3.41), Vrms (FIG. 3.42) et SPL

(FIG. 3.43) de chacun des modes principaux (mode ➀ à mode ➅).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 mode 6 Urms/U0 X/L

(a) mode ➀ à mode ➅

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.05 0.1 0.15 mode 1 mode 2 mode 3 mode 5 mode 6 Urms/U0 X/L

(b) sans le mode principal -mode ➃

Fig. 3.41 - évolution spatiale des modes du paramètre Urms en Y /H = 1

Comme le montrait le spectre de pression au point 4, le _{mode ➃ est très largement} dominant sur la largeur de la cavité pour chacun des paramètres observés. Ce mode présente un extrémum à l’aplomb de la petite recirculation supérieure vers X/L  0.2. Il s’agit très nettement du pic de plus forte amplitude pour Urms (amplitude cinq fois

que l’évolution de l’amplitude SPL semble suivre les recirculations avec un second pic au dessus de la recirculation aval. l’amplitude de Vrms présente, elle, un second pic de même

intensité pour X/L  0.6 légèrement en amont de cette recirculation principale.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 mode 6 Vrms/U0 X/L

(a) mode ➀ à mode ➅

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 mode 1 mode 2 mode 3 mode 5 mode 6 Vrms/U0 X/L

(b) sans le mode principal -mode ➃

Fig. 3.42 - évolution spatiale des modes du paramètre Vrms en Y /H = 1

Le_{mode ➅ est incontestablement le second mode dominant. Il prend l’ascendant sur} les autres modes à l’aplomb de l’interface des deux recirculations principales pour Urms

(X/L >0.4), et lorsque l’écoulement aborde la petite recirculation supérieure (X/L  0.2) pour SPL, alors qu’il est presque immédiatement prédominant pour Vrms (X/L >0.1). On

observe pour chacun des paramètres un premier pic d’amplitude du _{mode ➅ à hauteur} de l’interface des recirculations principales (X/L  0.4). En amont de ce pic d’ampli-tude, alors que l’amplitude Urms de l’ensemble des modes sature puis décroît au delà de X/L  0.2, une partie de cette énergie est transférée sur le mode ➅. Concernant Vrms au delà de X/L 0.1, le mode ➅ prend très nettement l’ascendant sur l’ensemble des modes secondaires et poursuit sa croissance en aval du point de saturation. Enfin pour la pression, alors que l’amplitude des modes principaux se réduit au niveau du point de saturation

X/L  0.2, le mode ➅ continue sa croissance amorcée en amont. Ces observations

cou-plées aux résultats obtenus pour l’évolution des fluctuations des paramètres principaux de l’écoulement (cf. §3.5.1) ainsi que ceux portant sur l’épaisseur de la couche de cisaillement (cf. §3.5.2) montrent que dans une première partie de l’écoulement (X/L <0.2) la couche de cisaillement passe par une zone de croissance exponentielle qui s’accompagne d’une forte croissance des fluctuations des paramètres principaux. En X/L 0.2, une partie de l’énergie des modes dominants de l’écoulement est transférée sur le_{mode ➅. Ce transfert} s’accompagne d’une saturation des fluctuations des paramètres de l’écoulement et marque le début d’une zone de croissance linéaire de la couche de cisaillement. Le détachement tourbillonaire fonctionne donc comme une mécanisme de limitation de la croissance des instabilités au sein de la couche de cisaillement.

Concernant les autres modes, ils sont sensiblement du même ordre de grandeur sur la largeur de la cavité pour chacun des paramètres observés. On remarquera qu’à l’approche de l’angle aval, si les niveau SPL tendent à se maintenir, le niveau de fluctuations Urms

chute brutalement alors que les fluctuations Vrms augmentent brusquement. Ce transfert

d’énergie de la composante horizontale de la vitesse vers la composante verticale s’explique par la présence de l’angle aval qui fait obstacle à l’évolution horizontale des structures et va infléchir leurs trajectoires vers le haut (structures expulsées de la cavité) ou vers le bas (structures captées par la cavité). On observe également qu’en début de couche de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 60 80 100 120 140 160 mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 mode 6 SPL(dB) X/L

Fig. 3.43 - évolution spatiale des modes du paramètre SPL en Y /H= 1

cisaillement (X/L < 0.2) l’amplitude Vrms de chacun des modes croît à mesure que l’on

s’éloigne de l’angle aval puis, suite à un jeu de sélection de fréquences qui est sans doute régulé par un processus non-linéaire, l’énergie des modes secondaires diminue pour être redistribuée sur les deux modes principaux - _{mode ➃ et mode ➅. On observe le même} phénomène pour Vrms dans l’intervalle 0 < X/L < 0.1. On constate également des

cou-plages dans l’évolution modale des amplitudes, témoignant sans doute de transfert locaux d’énergie entre modes - par exemple une brusque chute d’amplitude des couples (_mode ➀, Vrms), (mode ➂, Vrms) et (mode ➅, SPL) est concomitante avec une augmentation

locale de l’amplitude des couples (_{mode ➀,U}rms), (mode ➃, Urms) et (mode ➂,SPL).

Enfin, on remarque que les fluctuations de pression sont le lieu de phénomènes plus violents que ceux affectant les paramètres Urms et Vrms. En effet, en aval du point de

décollement le _{mode ➄ chute brutalement pour augmenter tout aussi subitement et} at-teindre des amplitudes très supérieures à son niveau de départ - on passe de 106dB à 145dB après une brusque réduction intermédiaire à 67dB du niveau SP L. On note un comportement similaire des _{mode ➀ et ➁ en fin de cavité.}

En conclusion, le mode principal sur la largeur de la cavité est indiscutablement le mode ➃. Ensuite, vient le mode ➅ qui caractérise la fréquence de détachement tourbillo-naire. Les modes secondaires restent très en retrait pour les paramètres observés (Urms, Vrms, SPL). En aval du point de décollement, dans la zone de croissance exponentielle de

l’épaisseur de la couche de cisaillement, l’énergie de chacun des modes croît à mesure que la couche de mélange se développe. Puis, on observe une saturation suivie d’un amortis-sement de l’amplitude des modes secondaires qui s’accompagne d’une redistribution de l’énergie sur les deux modes principaux. Au voisinage du point de saturation (X/L  0.2), le transfert d’énergie s’effectue principalement sur le _{mode ➅. On notera qu’à l’aplomb} de l’interface des deux recirculations principales (X/L  0.4) le mode ➅ se renforce alors que le mode principal - _{mode ➃ - atteint un premier maximum d’amplitude plus} en amont (X/L  0.2), lorsque la couche de cisaillement aborde les deux recirculations supérieures aval. Ces observations confirment l’importance du rôle des recirculations sur les caractéristiques fréquentielles de l’écoulement.

3.6.3

Bispectre - Interactions non-linéaires

Nous avons vu que les spectres des signaux instantanés de pression se caractérisaient par la présence de pics discrets à des sous multiples de la fréquence de détachement

tour-billonaire (Rossiter mode 2). Si les observations faites précédemment nous permettent de soupçonner l’aspect fondamentalement non-linéaire de la dynamique de l’écoulement, les statistiques utilisées jusqu’à présent n’apportent pas de preuves concluantes d’interactions non-linéaires effectives entre composantes harmoniques.

En effet, les statistiques du premier ordre perdent toute information de phase. Les sta-tistiques d’ordre supérieur, qui impliquent l’utilisation des cumulants croisés, conservent une partie de cette information. Dans le cas du bispectre par exemple, on va pouvoir quantifier le couplage de phase quadratique entre paires de fréquences. Or, le couplage quadratique est particulièrement important en mécanique des fluides du fait de la présence d’un terme non-linéaire quadratique - u.∇u - dans l’équation de conservation de quantité de mouvement du système d’équations de conservation de Navier-Stokes.

Bretherton [84] a montré que l’interaction de deux trains d’ondes de fréquence f₁ et

f₂ peut générer deux ondes d’interaction de fréquences f₁ + f₂ et f₁ − f₂. Les compo-santes fréquentielles d’un signal peuvent donc interagir et produire d’autres compocompo-santes fréquentielles dont les nombres d’ondes et les fréquences sont formés de la somme ou de la différence de ces composantes primaires.

Les fréquences f₁, f₂, et f₃ pourront être liées par une interaction nonlinéaire quadra-tique si l’équation suivante est satisfaite :

f₁± f₂± f₃ = 0

Nous avons vu précédemment (FIG. 3.38) que le _{mode ➅ caractérise la fréquence} de détachement tourbillonaire. Le mode qui visuellement semble le plus évident, lors des premières observations des signaux instantanés de l’écoulement est le _{mode ➀ qui} correspond au cycle récurrent d’impacts des structures tourbillonaires de la couche de cisaillement sur l’angle aval de la cavité.

Néanmoins, il est difficile d’affirmer si les fréquences des_{mode ➄ et mode ➁ sont des} non-linéarités imputables aux _{mode ➀ et mode ➅ ou si elles représentent des modes} in-dépendants excités spontanément par l’écoulement. Afin de pouvoir distinguer les modes couplés non-linéairement des modes linéaires indépendants Kim et al [85] ont montré que l’utilisation de spectres d’ordre élevés comme le bispectre est très utile dans la différen-ciation des modes non-linéaires des fluctuations auto-excitées du spectre. Kim et Powers [86] ont montré que le bispectre en particulier permettait la distinction entre les modes spontanément excités et couplés en mesurant le degré de cohérence de phase entre les modes. Le bispectre B(f₁, f₂) correspond à la transformée bidimensionnelle de la fonction

de corrélation du second ordre C_xx(τ₁, τ₂) , où

Cxx(τ₁, τ₂) = E[x(t)x(t + τ₁)x∗(t + τ₂)] (3.15) Bien que le bispectre soit l’équivalent de la transformée de Fourier bidimensionnelle de

C_xx(τ₁, τ₂), il peut également être écrit sous la forme (§Annexe C.4.4.2) : B(f₁, f₂) = lim T→∞ 1 TE[X(f1)X(f2)X ∗_(f 1+ f2)] (3.16)

On sait que l’on peut assimiler la transformée de Fourier X(f) du signal x(t) à un vecteur dans le plan complexe. Soient a= A·

e

e

représentation dans le plan complexe est un vecteur c dont l’amplitude est le produit des amplitudes des deux vecteurs de base et dont la phase est la somme des phases des deux vecteurs de bases (FIG. 3.44) : a· b = c avec c = C ·

e

Fig. 3.44 -produit de deux nombres complexes : a· b = c.

En l’absence de couplage de phase, on peut considérer que les phases(φ₁, φ₂,−φ₃) des

trois complexes{X(f₁), X(f₂), X∗(f₃)} sont aléatoires. La phase du produit X(f₁)·X(f₂)· X∗(f₃) est donc φb = φ1 + φ2 − φ3. Si on considère un nombre suffisant de réalisations

la moyenne du produit E[X(f₁) · X(f2) · X∗(f3)] devrait être nulle dans le cas d’une

phase φb aléatoire. En revanche dans le cas d’un couplage de phase entre φ1, φ2 et −φ3

induisant une phase résultante φb constante, le bispectre est non nul et son amplitude

est la moyenne des amplitudes des bispectres estimés localement. Il est donc important de travailler sur un nombre suffisamment grand de réalisations pour pouvoir évaluer le bispectre à partir de la formule (3.16). Dans le cas d’un signal de durée finie, on va devoir partitionner notre signal en sous-signaux sur chacun desquels sera calculée une estimation locale du bispectre, puis on moyenne l’ensemble des ces estimations locales pour obtenir une estimation globale du bispectre. Plus nous aurons de sous-partitions du signal plus l’estimation du bispectre sera stable. Cependant, en réduisant la taille de l’échantillon sur lequel est calculé localement le bispectre, on perd en résolution fréquencielle. On améliore donc la stabilité de l’estimation du bispectre au détriment de sa précision.

Des considérations statistiques similaires conduisent à une remarque semblable dans le cas du calcul du bispectre à partir de la formule (3.15). Pour s’assurer de la convergence de l’estimation de l’espérance mathématique de la fonction de bicorrélation, il est nécessaire de calculer la moyenne sur une portion du signal la plus large possible. En revanche plus cette plage sera large, plus l’intervalle de variation de τi va être restreint. La fonction de

bicorrélation sera alors définie sur une plage étroite de décalage temporel (τ₁, τ₂), et la

définition en fréquence de sa transformée de Fourier sera réduite d’autant. Il s’agit donc ici aussi de réaliser un compromis entre l’indispensable stabilité des grandeurs statistiques de la fonction de bicorrélation et la précision en fréquence du bispectre.

Nous travaillons sur un signal recouvrant 96 cycles (soit  576 échappements tour-billonaires), de pas d’échantillonnage 1, 305.10−6 s. Les fréquences susceptibles de nous

intéresser sont inférieures à 1200 Hz. En vertu du critère d’échantillonnage de Nyquist-Shannon, le pas d’échantillonnage doit être au moins deux fois supérieur à la plus haute fréquence présente dans le signal traité. En l’occurrence, cela nous impose un pas de temps égal ou inférieur à 4.10−4 s. On rappelle que le mode de plus basse fréquence

observé est le _{mode ➀ correspondant à l’alternance des hauteurs d’impact (cycle), soit}

 113.5 Hz. On souhaite conserver sur le bispectre une précision de 5 Hz. On

parti-tionne donc le signal d’origine en segments de 512 points de mesure, échantillonnés à 3, 915.10−4 _{s (soit  2550 Hz). Par conséquent, nous calculons notre bispectre avec une}

résolution de  4.99 Hz. On extrait ainsi du signal d’origine quatre sous-signaux succes-sifs sur lesquels nous calculons une estimation du bispectre. Puis, on procède de même en décalant l’origine de la partition du signal de 4.10−5 s, et ceci jusqu’à recouvrir un pas

d’échantillonnage. On dispose ainsi d’environ40 estimations locales du bispectre. Malheu-reusement, cet ensemble de sous-signaux ne permet pas le calcul d’un nombre suffisant d’estimations locales du bispectre pour faire parfaitement converger le calcul global du bispectre. Par conséquent, il ne nous est pas possible de normer correctement le bispectre et de travailler sur la bicohérence, qui nous permettrait d’obtenir des résultats quanti-tatifs sur le couplage quadratique. Nous supposerons cependant que la convergence sera suffisament avancée pour nous permettre de faire des déductions qualitatives à partir de cette mesure de l’estimée du bispectre.

Par construction, le bispectre d’un signal réel stationnaire présente douze relations de symétrie (§Annexe C.4.4.2). Il est donc possible de partitionner le plan des bifréquences (fi, fj) en douze régions, à partir desquelles la connaissance du bispectre dans l’une d’entre

elles permettra de déterminer la valeur du bispectre dans l’ensemble du plan. Nous choisi-rons de calculer le bispectre pour les fréquences positives telles que fi > fj. De plus, nous

utiliserons la formulation (3.16) pour le calcul du bispectre. D’après cette relation, il nous faut passer par l’estimation du spectre du signal considéré. Notre pas de discretisation nous impose donc une fréquence maximale limite fmax pour f1+ f2. Dès lors, nous serons

limités dans le calcul du bispectre aux bifréquences (fi, fj) telles que : fi >0, fj >0, fi > fj, et fi+ fj < fmax

Nous avons vu que le bispectre sera nul à moins que des modes soient présents aux fréquences f₁, f₂, et f₃ et que simultanément il y ait une cohérence de phase entre ces modes. Si un mode de fréquence somme ou différence est généré au travers d’une interac-tion nonlinéaire, alors une cohérence de phase existe (cf. Annexe C.4.6.1) et la moyenne statistique ne conduira pas à une valeur nulle du bispectre.

On représente le bispectre du signal de pression pris au point 4 (FIG. 3.45). Les maximums d’amplitude sont en sombre et les minimums en clair. Ce bispectre présente plusieurs pics, indiquant un couplage entre les modes observés sur les spectres du signal de pression. Les pics principaux sont situés en (f₂, f₂), (f₃, f₁), (f₄, f₂), (f₄, f₃), (f₄, f₄),

(f₅, f₂), (f₆, f₁), (f₆, f₂) et (f₆, f₄). Comme nous l’avons vu précédemment, nous avons la

correspondance :

mode ➀ : f₁ = 113 Hz - cycle

mode ➁ : f₂ = 230 Hz

mode ➂ : f₃ = 340 Hz

mode ➄ : f₅ = 568 Hz

mode ➅ : f₆ = 680 Hz - détachement tourbillonaire

Le pic au point (f₂, f₂), peut s’interpréter comme résultant d’un couplage de la

pre-mière harmonique avec elle même pour donner la fondamentale (_{mode ➃). Cependant du} fait de la relation de symétrie b2(k, l) = b2(−l, k+l) une seconde interprétation est possible pour ce pic. Il pourrait résulter du couplage de la première harmonique - (_{mode ➁) - avec} la fondamentale - (_{mode ➃) - renforçant la première harmonique (voir §Annexe C.4.6). On} retrouve la trace de ces couplages dans le pic observé à la bi-fréquence(f₄, f₂). Ce résultat

avait déjà été obtenu par Kelly [55] dans le cas de l’étude des interactions fréquentielles dans une couche de mélange non-visqueuse avec un profil en tangente hyperbolique. Il a montré qu’une perturbation de fréquence moitié de la fréquence fondamental d’un écou-lement périodique pouvait interagir avec la fondamentale pour renforcer la perturbation à la première sous-harmonique. Le pic au point (f₄, f₄) indique que le (mode ➃) interagit

0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 fa(Hz) fb(Hz) fa+fb=f4 fa+fb=f5 fa+fb=f6 f4 f4 f3 f2 f6 f1 f2

Fig. 3.45 - Bispectre du signal de pression au point 4

avec lui même pour donner une harmonique de fréquence 2f₄. Le spectre du signal de pression au point 4 présente effectivement de l’énergie à cette fréquence (FIG. 3.38).

Le pic en(f₄, f₂) indique que le mode principal de la couche de cisaillement interagit

avec sa première harmonique pour la renforcer (f₄ − f₂ = f₂) ou que l’un de ces deux modes interagit avec la fréquence de détachement tourbillonaire pour renforcer le second ( f₆−f₄ = f₂ ou f₆−f₂ = f₄). Le bispectre présente d’ailleurs deux pics aux bi-fréquences (f₆, f₂) et (f₆, f₄), ce qui signifie que ces deux couplages sont effectivement présent dans

l’écoulement.

Le _{mode ➀, caractéristique du cycle d’impacts des tourbillons sur l’angle aval de} la cavité, interagit quant à lui principalement avec les _{mode ➂, mode ➃ et mode ➅.}

Notamment, l’interaction (f₁, f₆) pourrait renforcer le mode ➄ qui interagit à son tour

avec le _{mode ➁ pour renforcer le mode ➂. Ceci se traduit au niveau du bispectre par} deux pics non négligeables aux bi-fréquences(f₆, f₁) et (f₅, f₂) et dans une moindre mesure

(f₃, f₂).

Le bispectre du signal de pression au point 4 présente également d’autres particularités intéressantes sous la forme de droites le long desquelles nous retrouvons des concentrations importantes de couplage de phase quadratique. Ces lignes correspondent principalement aux bi-fréquences (fi, fj) pour lesquelles fi = {f2, f4, f6} ou fi+ fj = {f4, f5, f7}. Cela est

dû au fait que le _{mode ➃ contient suffisament d’énergie pour interagir avec l’ensemble} des modes présents dans l’écoulement, générant ainsi des modes secondaires de fréquence somme ou différence sur une large plage de fréquence. Dans une moindre mesure c’est également le cas des _{mode ➁ et mode ➅. Les droites à 45}◦ indiquent plus vraissemblale-ment que les _{mode ➄ et mode ➆ sont fréquemment renforcés par l’interaction entre des} modes plus énergétiques.

0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 fa(Hz) fb(Hz) f4 f4 f3 f2 f6 f1 f2

(a) Bispectre de la composante longitudinale de la vitesse au point 4 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 fa(Hz) fb(Hz) f4 f4 f2 f6 f1 f2 f3

(b) Bispectre de la composante verticale de la vitesse au point 4 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 fa(Hz) fb(Hz) f4 f4 f6 f2 f3

(c) Bispectre du signal de pression au point 6

0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 fa(Hz) fb(Hz) f4 f4 f3 f2 f6 f1 f2

(d) Bispectre du signal de pression au point 13

Fig. 3.46 - Représentation de l’amplitude du bispectre

des caractéristiques assez semblables (FIG. 3.46(a) et 3.46(b)). Pour la composante longi-tudinale de la vitesse, les bifréquences présentant les plus fortes amplitudes sont (f₄, f₁),

(f₄, f₄) et (f₆, f₄). La composante verticale de la vitesse présente un nombre plus

impor-tant d’interactions. Ses bifréquences avec le maximum d’amplitude sont les couples(f₂, f₂),

(f₄, f₂), (f₄, f₄), (f₆, f₄) et (f₄, f₃). Dans chacun des cas on retrouve nettement des

concen-trations importantes de maximum local d’amplitude du bispectre pour les droites (fi, fj)

pour lesquelles fi = f4 et fi+ fj = f4.

Nous présentons également les bispectres du signal de pression de deux points carac-teristiques de l’écoulement : le point 6 en fond de cavité à proximité du coin amont, ainsi que le point 13 au voisinage de l’angle d’impact des structures cohérentes. Au point 6, on remarque peu d’interaction à basse fréquence et des maximums d’amplitude pour les bifréquences (f₄, f₄), (f₆, f₄) puis (f₄, f₃) et (f₄, f₂). Le point 13 en revanche témoigne

d’un très grand nombre de couplages avec des maximums observés pour les bifréquences (f₂, f₃), (f₄, f₁), (f₄, f₂) et (f₂, f₂). Ici aussi, nous retrouvons des concentrations de

maxi-mums locaux d’amplitude le long des droites précédemment citées.

L’écoulement est donc le siège d’un jeu très riche d’interactions non-lineaires. Les_mode ➁ et mode ➃ sont les principaux acteurs de ces couplages ainsi que, pour une part non-négligeable, le_{mode ➅. Il semble de plus que les modes secondaires soient principalement} le résultat de ces interactions. Le _{mode ➃ quant à lui est suffisament énergétique pour} interagir avec une grande partie des modes présents dans l’écoulement ou/et est renforcé par de multiples interactions modales.

3.7

Synthèse

Nous sommes donc en présence d’un écoulement présentant une périodicité marquée. Une première fréquence propre de l’écoulement correspond au mode de détachement tour-billonaire (_{mode ➅= 681 Hz), calé sur le mode 2 de Rossiter, résultat caractéristique du} régime subsonique avec 0.2 < M < 0.35 pour les cavités ouvertes de rapport de forme

L/H = 2 [82]. Une période de l’écoulement est composée du détachement de six structures

tourbillonaires qui se distinguent les unes des autres notamment par leur hauteur d’im-pact sur l’angle aval de la cavité. Ce «motif »périodique constitue un second mode propre de l’écoulement (_{mode ➀= 113 Hz). Nous avons pu établir le caractère intrinsèquement} nonlinéaire de cet écoulement au travers de l’examen des interactions quadratiques entre modes. Le mode principal (_{mode ➃= 455 Hz) est précisément un mode issu d’interactions} nonlinéaires quadratiques. L’essentiel des modes secondaires semble également généré par ces interactions.

La dynamique de l’écoulement est celle précédemment décrite dans la littérature. L’écoulement en moyenne se structure autour de plusieurs recirculations internes à la cavité. Une recirculation principale s’étend sur la majeure partie de la moitié aval de la cavité (X/H >0.5). Une recirculation secondaire plus réduite occupe la première moitié amont. Une petite recirculation supérieure amont surplombe la recirculation secondaire. Enfin, on distingue trois petites recirculations logées contre le fond de la cavité : deux recirculations d’angle, situées entre les deux recirculations principales et les angles infé-rieurs amont et aval, et une recirculation proche du centre de la cavité à l’interface des deux recirculations principales.

formant une couche de cisaillement semblable à une couche de cisaillement libre pour

X/H < 0.2. Les fluctuations des paramètres principaux de l’écoulement connaissent une

croissance exponentielle avant d’atteindre un point de saturation caractérisé par le déta-chement d’une structure tourbillonaire. Cette structure va être advectée par l’écoulement principal en travers de la cavité jusqu’à l’angle aval. Elle va alors soit être éjectée de la cavité, soit impacter contre l’angle aval et se fragmenter, soit être happée par la cavité sous l’influence de la recirculation principale. A chaque instant, deux structures sont si-multanément présentes dans la cavité. Nous avons vu la difficulté d’établir une vitesse moyenne d’advection des structures, paramètre indispensable pour le calcul des mode de Rossiter. La méthode la plus probante est une méthode de suivi des structures qui nous donne un rapport moyen de vitesse kv = 0.52.

On notera l’étroite relation de dépendance entre les structures tourbillonaires et les recirculations internes. La trajectoire des structures tourbillonaires est naturellement en partie conditionnée par la présence des recirculations. En contre partie, les structures tourbillonaires vont nourrir les recirculations et contribuer à les dessiner.

Il ressort de cette analyse plusieurs points intéressants concernant le contrôle de cet écoulement. Du fait de l’interdépendance des structures tourbillonaires, principalement de leur trajectoire et des recirculations, il devrait être possible d’influer sur la trajectoire des structures en modifiant l’intensité ou la forme des recirculations. Or nous avons vu que la hauteur d’impact des structures est un paramètre déterminant dans la boucle de rétroaction. C’est lui qui va fixer la durée d’un cycle, et donc le mode de plus basse fré-quence. L’écoulement étant fortement nonlinéaire, changer la plus basse fréquence revient également à décaler la fréquence du mode principal. Modifier la structure de l’écoulement en moyenne devrait donc permettre de modifier le contenu fréquentiel de l’écoulement.

En se basant sur l’importance de la hauteur d’impact et la régularité du motif pério-dique, on peut supposer que la perturbation d’une structure permette la déstabilisation du cycle. Cette perte de «cohérence »devrait réduire le niveau de fluctuation de l’écoule-ment et notaml’écoule-ment le niveau sonore des fluctuations de pression. Cependant, l’écoulel’écoule-ment semblant fermement verrouillé sur cette résonance, il devrait être nécessaire de perturber régulièrement l’écoulement pour qu’il ne reconverge pas naturellement vers cette structure cyclique une fois l’excitation terminée.

La couche de cisaillement décollée, directement en amont du point de décollement, présente une zone de croissance exponentielle qui peut être mise à profit pour ampli-fier naturellement une excitation qui serait injectée dans l’écoulement au voisinage du décollement.

Enfin, il apparaît que l’essentiel de l’énergie se distribue sur les basses fréquences (f<3000 Hz). En revanche, l’écoulement ne résonne pas sur une bande étroite de fré-quences autour d’un mode principal mais sur une gamme de modes regroupant la première harmonique de la fréquence de détachement tourbillonaire et un sous multiple de cette fréquence (cycle). Ces données seront essentielles à l’élaboration de boucles de contrôle fermées pour lesquelles il est indispensable de connaître la réponse en fréquence de l’écou-lement pour fixer la taille des filtres à utiliser.

Dernier point, du fait du caractère fortement nonlinéaire de l’écoulement, les boucles de contrôle fermées conçues autour de modèles ou de systèmes de filtrage linéaires devraient présenter quelques limitations.

Quatrième partie

Contrôle des écoulements en boucle

ouverte

Chapitre 4

Contrôle en boucle ouverte

En mécanique des fluides, si la première moitié du XXe _{siècle a essentiellement été}

consacrée à l’exploration des limites de nos connaissances, c’est à partir de la seconde guerre mondiale, où l’aviation s’impose comme un élément stratégique majeur - sinon le principal, que les premières études de contrôle des écoulements commencent à paraître. Avec d’abord l’introduction du réacteur dans l’aviation civile dans les années 50, puis les premiers vols transatlantiques sans escale dans les années 60, et l’avènement du règne des longs courriers dans les années 70, le contrôle des écoulements est également devenu progressivement un enjeu économique.

On trouve dans la littérature un certain nombre de très bonnes synthèses sur le contrôle des écoulements [87, 88], de l’incontournable inventaire de Gad-el-Hak [89], à l’excellent état des lieux de Thomas et al. [90] des techniques de contrôle des écoulements concernant plus directement l’aéronautique civile et militaire. Des articles plus spécifiques traitant du contrôle dans un champ particulier de la mécanique des fluides sont donnés ici à titre indicatif : laminaire [91, 92], turbulent [93], combustion [94], mathématique [95–97].

Lorsque la manipulation de l’écoulement vise à l’optimisation d’une performance pré-déterminée, les mécanismes physiques sous-jacents qui vont conditionner la réponse de l’écoulement au forçage doivent être bien compris. Un contrôle efficace ne peut s’envisa-ger qu’au travers d’une très bonne connaissance de l’écoulement. Il faudra s’assurer que l’on ne dépense pas plus d’énergie que le phénomène que l’on cherche à contrôler ne nous en coûte. Il est également important d’estimer la sensibilité aux conditions d’entrée des modifications de la structure de l’écoulement.

Cependant, l’intérêt du contrôle ne réside pas seulement dans sa capacité à modifier à dessein une caractéristique donnée de l’écoulement (amélioration du mélange, augmen-tation de la portance, réduction de la traînée, retarder le décollement etc.). C’est aussi un irremplaçable outil d’analyse. Il va permettre de quantifier le rôle de différents phéno-mènes qui participent à la dynamique d’un écoulement, d’en étudier plus précisément sa structure fréquentielle, ses transitions, etc.

De plus, il s’agit d’un sujet multi-disciplinaire, rassemblant des disciplines aussi dif-férentes que la micro-mécanique (capteurs, actionneurs), la mécanique des fluides (dyna-mique et comprehension de l’écoulement), les mathématiques et l’automatique (lois de contrôle), le traitement du signal (filtrage et études spectrales), les sciences de l’informa-tion (réseaux neuronaux ), l’acoustique, etc.

On peut distinguer plusieurs types de classification pour les méthodes de contrôle des écoulements en mécanique des fluides [89].

Un premier mode de classification des méthodes de contrôle d’écoulement considère la consommation d’énergie et la boucle de contrôle impliquée. Un dispositif de contrôle peut être passif, c.-à-d. ne requérant pas d’apport énergétique, ou actif, c.-à-d. nécessitant un apport d’énergie. Lorsqu’il s’agit de l’action de dispositifs passifs, certains préfèrent le terme de gestion d’écoulement à celui de contrôle, réservant ce dernier pour les processus dynamiques. Parmi les différentes méthodes de contrôle actif, nous ferons une distinction entre contrôle prédéterminé et contrôle rétroactif.

• Le contrôle prédéterminé comprend l’application en entrée d’un montant d’énergie

donné sans tenir compte de l’état ultérieur de l’écoulement et des modifications que pourraient apporter l’excitation (ou un changement de régime) aux caractéristiques de l’écoulement. La boucle de contrôle dans ce cas est ouverte et ne requiert pas la présence de capteurs.

• Le contrôle rétroactif est une classe particulière de contrôle actif, où l’entrée de

contrôle est ajustée en permanence en fonction de mesures caractéristiques de l’état de l’écoulement. La boucle de contrôle dans ce cas est qualifiée de fermée.

Le contrôle rétroactif est également scindé en 4 catégories : – adaptatif (filtrage) ;

– construit sur des modèles physiques ; – basés sur les systèmes dynamiques ; – basé sur la théorie du contrôle optimal.

On trouve également dans la littérature d’autres méthodes de classification. Notam-ment, celle qui consiste à différencier les techniques de contrôle selon qu’elles modifient directement la forme du profil instantanné ou moyen de vitesse, ou qu’elles influencent de façon sélective les petits tourbillons de dissipation. Ou encore, on pourra séparer les techniques appliquées à la paroi de celles éloignées de la paroi.

• Pour les méthodes de paroi, les paramètres de contrôle en surface qui peuvent

in-fluencer l’écoulement sont la rugosité [98], la géométrie, la courbure, un revête-ment déformable [89, 99–102], une vibration de la paroi [103, 104], la température [105, 106] et la porosité [107, 108]. Chauffer ou refroidir la paroi peut par exemple influencer l’écoulement via la viscosité résultante et les gradients de densité. On peut transférer de la masse au travers d’une paroi poreuse ou d’une paroi munie de trous d’injection. Par aspiration et soufflage de fluide, on pourra modifier significa-tivement le champ de l’écoulement en modifiant la forme du profil des vitesses près de la paroi et ainsi retarder la transition ou le décollement de la couche limite. Dif-férents additifs comme les polymères [109–112], les surfactants [113](Surface Active

Agent - amphipatique), des micro-bulles [114–116], des gouttelettes, des particules,

poussières ou fibres peuvent également être injectés à travers la surface à proximité d’une paroi.

• Les moyens de contrôle situés loins de la paroi, peuvent également être

intéres-sants. Systèmes de morcellement de grosses structures (appelés également Outer Layer Devices - OLDs), ondes acoustiques bombardant une couche de cisaillement de l’extérieur, introduction d’additifs au sein d’une couche de cisaillement, manipu-lation des spectres et niveaux de turbulence de l’écoulement libre, jets et forces de surface magnéto- et électro-dynamique sont des exemples de dispositifs de contrôle appliquées loin de la paroi.

Nous utiliserons la classification la plus communément employée dans la littérature [117]. Nous distinguerons les méthodes actives, pour lesquelles de l’énergie externe est

apportée au sein de l’écoulement, des méthodes passives qui consistent dans la grande majorité des cas en une modification de la géométrie de l’écoulement [118, 119]. Le contrôle actif est lui même scindé en deux sous-catégories. Le contrôle en boucle ouverte et le contrôle en boucle fermée. Ce dernier implique une boucle de rétroaction. Une mesure ou une estimation des caractéristiques de l’écoulement est effectuée régulièrement et, au travers d’une boucle de rétroaction, permet l’ajustement des variables du contrôleur en vue de l’amélioration d’une performance préétablie.

Dans la suite du chapitre nous centrerons notre étude plus spécifiquement sur les écoulements décollés [87]. Dans une première partie, nous procéderons à une étude biblio-graphique du contrôle de la cavité. L’objectif est de déterminer les paramètres de contrôle et actuateur les plus pertinents pour notre étude.

4.1

Contrôle passif

Comme nous venons de le voir, le terme de passif sera pris dans son acception énergé-tique. Nous ne considérerons ici que les méthodes qui consistent en une modification de la géométrie ou des propriétés locales des parois de l’écoulement.

4.1.1

Contrôle du décollement :

L’objectif va être d’altérer l’écoulement en amont du point de décollement, soit par une modification de la géométrie qui va permettre d’introduire une perturbation instation-naire, soit par la mise en place d’un obstacle qui va modifier les conditions du décollement. Sarno et Franke [118] étudient l’impact d’une barrière statique placée légèrement en amont du point de décollement sur les deux premiers modes de l’écoulement (FIG. 4.1(a)). Cette barrière est constituée d’une plaque métallique perpendiculaire à l’écoulement et couvre la largeur de la cavité. Ils testent différentes hauteurs de plaques pour une plage de nombre de Mach allant du subsonique au supersonique (M = 0.62, 0.76, 0.9, 1.07, 1.28, 1.53). En présence de l’obstacle, les niveaux sonores de fluctuation de pression (SP L) des modes 1 et 2 tendent à augmenter lorsque le nombre de Mach augmente. L’obstacle permet une légère réduction du mode 1 à faible Mach. A Mach plus élevé (M >1), lorsque la hauteur de la plaque est supérieure à l’épaisseur de couche limite amont, l’amplitude du

mode 1 est considérablement réduite. Cependant, une visualisation du spectre à M = 1.28

tend à montrer que la réduction du mode 1 peut entraîner un renforcement du mode 2. Globalement, le mode 2 est beaucoup moins affecté par l’obstacle.

(a) barrière fixe

z d

(b) cylindre

Fig. 4.1 - Dispositifs de contrôle passif du décollement

décollement (FIG. 4.1(b)). Le cylindre placé à une distance1 comprise entre0.7 <z_/d<1.6

permet de supprimer les oscillations basses fréquences de l’écoulement tout en réduisant l’amplitude maximale du niveau sonore de pression de30 dB. Les modes basses fréquences de la cavité sont remplacés par un régime d’oscillation de type allées tourbillonnaires de Von Karman. La perturbation induite par le cylindre romp la boucle d’oscillations auto-entretenues de la cavité en perturbant la formation des tourbillons à l’angle amont. La couche de cisaillement va alors fonctionner comme un amplificateur de la fréquence dominante d’excitation. Le mode principal de moindre amplitude se décale vers les très hautes fréquences (2000 Hz → 20000 Hz). Lorsquez_/d<0.7, les modes de la cavité sont

les mêmes que ceux mesurés sans le cylindre. Au delà de z_/d>1.6, on retrouve également

les modes de la cavité.

4.1.2

Contrôle du recollement :

Cette fois ci, l’objectif est d’affaiblir la boucle de rétroaction en travaillant sur la zone d’impact des structures.

Heller et Bliss [16] tentent de stabiliser la couche de cisaillement tout en empêchant l’ajout périodique de quantité de fluide à l’angle aval. Pour cela, ils travaillent à la mise en place d’une géométrie naturellement stabilisatrice en inclinant l’angle aval. En présence d’un angle aval biseauté à45◦, ils observent une réduction de20 dB des niveaux sonores de fluctuation de pression (SP L) à proximité de l’angle amont pour un écoulement à Mach 0.8 avec L/H = 2.3. Les mêmes observations sont faites pour la plage de Mach de 0.8 à 2.0. Pour le cas des cavités pour lesquelles L/H < 4, ils ajoutent en amont du point de décollement des spoilers qui vont introduire de la vorticité dans la couche de cisaillement. Une réduction du mode 2 est alors observée en complément de celle obtenue avec le seul angle aval biseauté. Ils donnent du rôle de l’angle biseauté l’explication suivante. La couche de cisaillement ne va pas frapper perpendiculairement la surface d’impact mais va être défléchie. Pour avoir un point d’arrêt stationnaire sur la paroi aval de la cavité, la couche de cisaillement doit s’incurver de façon à obtenir un angle d’impact stationnaire. Or, une couche de cisaillement courbe sera instationnaire, car il ne lui est plus possible d’équilibrer la différence de pression résultant de la déflexion de l’écoulement principal. A contrario, une couche de cisaillement rectiligne, pour laquelle l’équilibre des pressions est réalisé, présentera un point d’arrêt instationnaire car l’angle d’impact orthogonal la déstabilisera. L’inclinaison de la paroi d’impact permet à la couche de cisaillement, à la fois de rester rectiligne sur la longueur de la cavité, et également d’aborder la paroi avec un angle correct. La couche de cisaillement et son point d’arrêt stabilisés, le processus d’addition-retrait de fluide à l’angle aval est interrompu. Les fluctuations de pression sont donc théoriquement réduites. Les structures instationnaires continuant à impacter la paroi, les fluctuations sont bien réduites, mais demeurent présentes.

Ils testent également l’adjonction d’un petit profil mobile autour de son axe en amont de l’angle aval. La tâche de ce petit élément mobile va être de limiter le processus d’addi-tion et de retrait de matière à l’angle aval en modifiant localement le champ de pression. Là encore, la réduction d’amplitude des modes principaux et du niveau général des oscil-lations peut encore être accrue, particulièrement pour les cavités profondes. La position optimale de cet élément mobile va dépendre du régime de l’écoulement.

Savel’ev [119] étudie l’influence de la géométrie de l’angle aval de la cavité sur l’intensité des fluctuations de l’écoulement. Il simule pour cela un écoulement turbulent compressible bidimensionnel. Plusieurs géométries d’angle d’impact sont testées (FIG. 4.2) : bords circulaires pour plusieurs rayons de courbure (r), bords inclinés pour différents angles (α).

r

(a) arête circulaire, de rayon r

α

(b) arête biseautée, d’angle α

Fig. 4.2 - différentes géométries de l’angle aval d’une cavité [119]

Il observe que les conditions de recollement vont avoir une influence considérable sur l’intensité des oscillations des paramètres de l’écoulement. En particulier, la surface cou-verte par le mouvement du point de recollement (distance en 2D) sera un paramètre déterminant. Plus cette surface est importante plus l’amplitude des fluctuations sera im-portante. Le choix de la forme de l’angle aval peut permettre de réduire considérablement ces oscillations. Dans le cas d’un bord aval circulaire, plus le rayon sera grand plus les fluctuations de pression, vitesse et température vont être réduites. Dans le cas d’un bord biseauté, plus l’angle sera faible (plus la surface d’impact sera horizontale) plus la valeur relative maximale des fluctuations de pression sera faible. En revanche, c’est pour un angle de45◦ que la distance parcourue par le point de recollement au cours d’une période est la plus petite, et l’écart relatif moyen des fluctuations le plus faible. Le choix de la géométrie va donc dépendre de la grandeur que l’on souhaitera contrôler et des conditions d’écoule-ment. Dans le cas d’un bord aval biseauté, l’angle sera très certainement dépendant des paramètres caractéristiques de l’écoulement comme le nombre de Mach ou le nombre de Reynolds. Ce type de technique peut intervenir en complément d’une méthode active de contrôle, par jet pulsé ou par haut-parleur par exemple.

4.1.3

Bilan

Si ces méthodes de contrôle permettent d’atteindre des objectifs pré-établis dans une plage d’utilisation d’écoulement donnée, par la modification structurelle qu’ils imposent à la configuration contrôlée, elles dégradent généralement les performances de l’écoule-ment en-dehors des conditions d’optimisation. Prenons le cas des générateurs passifs de tourbillons implantés sur les ailes des avions de ligne et les avions privés [121–123] pour empêcher le décollement durant les phases de décollages et d’atterrissage (forte incidence - [124]), ils restent déployés durant l’intégralité du vol qu’ils soient utiles ou non. Lors de la phase de vol où ils ne sont pas requis (vol de croisière), ils peuvent entraîner une traînée parasite en interagissant avec l’écoulement extérieur. Les méthodes de contrôle actif constituent une réponse à ces inconvénients.

4.2

Contrôle actif

Dans cette section, nous ne nous intéresserons qu’aux expériences de contrôle en boucle ouverte. Le contrôle en boucle fermée sera l’objet du chapitre suivant. Un actuateur est un dispositif qui va permettre de modifier localement les caractéristiques de l’écoulement. Un actuateur est généralement un élément extérieur qui, par l’introduction de pertur-bations instationnaires dans l’écoulement, va permettre d’en modifier la dynamique. On définit trois grandes catégories d’actuateurs :

– Les actuateurs dynamiques, qui permettent d’injecter du fluide ou de la quantité de mouvement dans l’écoulement principal de manière instationnaire.

– Les actuateurs acoustiques (généralement des haut-parleurs), qui ont l’avantage d’avoir une réponse fréquentielle très élevée (de 20 Hz à 20 kHz), mais l’incon-vénient d’une réponse en amplitude limitée.

– Les actuateurs mécaniques, qui, comme les actuateurs dynamiques, peuvent avoir des amplitudes très grandes, mais, du fait de leur inertie, ne peuvent dépasser quelques centaines de Hertz en réponse fréquentielle. Il est à noter, que la simulation numérique de tels actuateurs est extrêmement difficile étant donné leur structure et leur mode de fonctionnement.

Nous avons vu que les oscillations de cavités se produisent à des fréquences discrètes pour des conditions d’écoulement données et que le phénomène de résonance induit des fluctuations de très forte amplitude. Dès lors, l’objectif du contrôle va généralement être de :

– réduire l’amplitude des fluctuations de pression, pour par exemple limiter la fatigue structurale ;

– décaler la fréquence du mode fondamental pour éviter un éventuel phénomène de résonance avec une structure adjacente.

A ces fins, on force la couche de cisaillement à une fréquence différente de la fréquence de résonance de la cavité, généralement à une fréquence différente de sa fondamentale ou à un sous-multiple de la fréquence de résonance de l’écoulement.

4.2.1

Actuateur Mécanique

Une méthode inspirée des méthodes de contrôle passif consiste à placer en amont du point de décollement une barrière oscillante, permettant d’introduire dans l’écoulement une perturbation de fréquence prédéterminée. Sarno et Franke [118] (L/H = 2, 0.6 <

M < 1.5) tentent de forcer la couche de cisaillement à une fréquence différente de la

fréquence de résonance naturelle de l’écoulement (mode principal à 2200 Hz) à l’aide d’une barrière oscillante placée légèrement en amont du point de décollement et couvrant la largeur de la cavité. Cette barrière, constituée d’une plaque métallique perpendiculaire à l’écoulement, repose sur une came dont la rotation la fait osciller verticalement. Cet actuateur peut atteindre au plus des fréquences de l’ordre de 200 Hz (ici 20Hz < fex <

120Hz). L’efficacité de la barrière oscillante à ces basses fréquences est très limitée. Le mode principal est réduit au mieux de quelques dB, et le mode secondaire est relativement peu altéré. Les résultats les plus probants sont observés au Mach le plus fort (M = 1.53). Le spectre du signal de pression présente alors bien un pic à la fréquence de forçage, le

le mode prédominant. Ce manque d’efficacité est peut être aussi imputable à l’amplitude de la barrière qui n’excède pas 20% de la hauteur de la couche limite.

Ces résultats indiquent que lorsque la fréquence de l’actuateur est trop éloignée de la fréquence des modes principaux et que l’amplitude des perturbations est faible, l’influence de l’excitation sur l’écoulement est très limitée. La limitation en fréquence, d’une ma-nière générale inhérentes aux actuateurs mécaniques (à l’exception des actuateurs électro-mécaniques), fait qu’ils sont peu utilisés en contrôle des écoulements.

4.2.1.2 Lame vibrante

Ce type d’actionneur est constitué d’une lame vibrante généralement disposée sur la paroi de l’écoulement (FIG. 4.3), dont on va pouvoir régler la fréquence d’excitation. L’amplitude de la perturbation de vitesse induite, imposée par la deflection de la lame, est fonction de la fréquence d’excitation. Les mouvements de la lame vont imposer un mouvement au fluide en contact et introduire ainsi dans l’écoulement une perturbation dont on va pouvoir choisir la fréquence et l’amplitude. Cette classe d’actuateurs fait largement usage de matériaux piézo-électriques qui possèdent la propriété de développer des contraintes mécaniques sous l’action d’un champ électrique [125].

cavité

contact métallique

piézo-céramique cantilever

Fig. 4.3 - Schéma de principe d’un actuateur piézo-électrique

L’impact de l’excitation générée par une lame piézo-électrique sur l’écoulement va là aussi dépendre de la fréquence et de l’amplitude des perturbations induites. L’écoulement sera plus réceptif lorsque l’excitation sera voisine de l’un de ses modes principaux, et plus encore lorsque l’amplitude des perturbations sera importante. La nature non-linéaire de l’écoulement ne sera pas sans influence sur les conséquences d’un changement des paramètres du contrôleur.

Cattafesta et al. [126] étudient expérimentalement un écoulement turbulent subsonique (M < 0.2) affleurant une cavité profonde (L/H = 0.5) et une cavité peu profonde (L/H = 2). L’actuateur est une lame piézoélectrique fixée en amont du point de décollement.

Lors du contrôle en boucle ouverte de ces deux configurations à une fréquence diffé-rente du mode principal, ils observent une réduction substantielle de l’amplitude de la fondamentale (de l’ordre 20 dB). En contre partie, l’énergie prélevée sur la fondamentale est transférée sur le mode de forçage. L’amplitude des extrémums du spectre décroît, ainsi que le niveau sonore moyen des fluctuations de pression, hors modes principaux («background SPL »).

Ils montrent également que l’action de l’actuateur n’est vraiment sensible que pour des fréquences voisines de la fondamentale (comprises entre 200 Hz et 300 Hz pour une fondamentale à 230 Hz dans le cas L/H = 0.5). Lorsque la fréquence d’excitation

correspond à la fondamentale, ils observent une modulation dans le signal fourni par les sondes. Ce battement indiquerait une modulation en amplitude de la perturbation qui remonte l’écoulement.

Pour une fréquence d’actuation légèrement supérieure à la fondamentale, ils étudient l’influence de l’amplitude de forçage sur l’amplitude du mode fondamental ainsi que sur l’amplitude du maximum de Urms. Ils observent un seuil en dessous duquel les effets du

forçage sur ces amplitudes sont négligeables (de l’ordre de 45% de U_∞). Au delà de ce seuil, pour une petite variation d’amplitude de l’actuation (de l’ordre de 5%), on observe une brusque variation de ces deux amplitudes caractéristiques. Ce comportement atteste de la nature non-linéaire du système. Enfin, pour des amplitudes supérieures à 50% de

U_∞, l’amplitude maximale du spectre atteint une asymptote alors que l’amplitude de la fondamentale continue à décroître. Il y a donc compétition entre le mode fondamental et le mode de forçage pour l’énergie extraite de l’écoulement moyen. On notera qu’il est particulièrement important, pour le système de contrôle, que l’actuateur soit en mesure de générer des perturbations de vitesse suffisamment importantes sous peine de ne pas pouvoir agir sur l’écoulement [127].

Les visualisations de l’écoulement avec contrôle montrent que si l’on observe toujours des structures cohérentes au sein de l’écoulement, l’allée de tourbillons régulièrement espacés a disparu. En revanche, dans chacun des cas étudiés ils n’observent pas ou peu de changements sur le profil moyen des vitesses, alors que les profils des fluctuations de vitesse indiquent une amplification des fluctuations à hauteur de la couche de cisaillement. Le taux de croissance de la couche de cisaillement reste donc inchangé. Ce résultat a également été observé par Homon et al. [128] dans le cas du contrôle d’une cavité profonde à faible vitesse (U_∞ = 16 m.s−1).

Une alternative à l’excitation de l’écoulement au voisinage du point de décollement est proposée par Chatellier [45, 129]. L’actionneur est constitué d’une lame montée sur un vibrateur, le tout s’apparentant à une paroi vibrante placée sous l’angle d’impact.

L’actuation par lame piezo-électrique permet donc de réduire substantiellement l’am-plitude du mode fondamental ainsi que le niveau sonore moyen des fluctuations de pres-sion. Pour que le contrôle soit optimal, la fréquence d’excitation doit être voisine des modes principaux de l’écoulement et l’amplitude suffisamment importante (> 45% de

U_∞). L’excitation va notamment permettre de désorganiser l’écoulement, atténuant ainsi le mode principal au profit du mode d’excitation. En revanche, l’écoulement en moyenne change peu.

4.2.2

Actuateur dynamique :

L’injection continue va consister en une répartition discrète d’injecteurs (FIG. 4.4(a)) ou en un jet bidimensionnel (FIG. 4.4(b)) (s’étendant généralement sur la largeur de la cavité). La position, le débit et l’angle d’injection du jet (ou du réseau d’injection) vont être les paramètres principaux de ce type d’actuation.