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CHAPITRE

5

Classification de la topologie des champs de vitesses moyens

Sommaire

5.1 Méthodes d’analyse . . . 96 5.2 Classification des régimes de topologie . . . 97 5.3 Influence des paramètres sur la structure du champ de vitesses moyen104

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS

Introduction

La caractérisation de la structure interne de l’écoulement au voisinage de l’obstacle revêt un enjeu important. En effet, d’une part nous avons souligné le manque de données quantitatives sur cette région et d’autre part les informations issues de l’analyse locale doivent pouvoir fournir des éléments utiles à la détermination des mécanismes physiques à l’origine de la variété des solutions mises en évidence dans le chapitre 4. Nous avons choisi de caractériser d’abord la topologie du champ de vitesse moyen (l’étude de l’écoulement instantanné et celle de l’écoulement fluctuant font partie du chapitre 8). Cette analyse permet, en outre, d’établir une classification en régimes de topologie du champ de vitesse moyen dans le plan des paramètres {α, F0}. Nous aurons ainsi

l’opportunité de comparer cette classification avec celle réalisée pour les ondes de surface.

5.1

Méthodes d’analyse

La méthode d’analyse de la topologie du champ de vitesse moyen que nous utilisons consiste en la localisation et la description de points critiques de l’écoulement. Perry et Fairlie [PF 1974] ont introduit la théorie des points critiques et son application aux écoulements de fluides. Cette méthode a largement prouvé son efficacité (e.g. Hunt et coll. [HAPW 1978], Perry et Chong [PC 1987] et [PC 1993]). Les définitions et caractéristiques générales des points critiques, que l’on peut observer dans un champ de vitesses bidimensionnel, sont présentées dans l’annexe A. En complément de cette théorie, les théorème de Grobman-Hartman et de Poincaré sont particulièrement intéressants pour la détermination de la topologie du champ de vitesses moyen. Notamment, parce que tous les points critiques ne seront pas identifiables expérimentalement compte tenu de la limitation du champ de mesure ou de celle de la résolution.

D’après Milnor et Weaver [MW 1965], on peut définir pour chaque point critique un indice de Poincaré, I dont la valeur dépend de la nature du point critique (Glendinning [Gle 1994]) :

I = 1 pour un noeud stable ou instable, un centre et une spirale stable ou instable. I = −1 pour un point selle.

En présence d’une paroi, il est possible d’observer des demi-selles ou des demi-noeuds. Hunt et coll. [HAPW 1978] montrent que l’indice d’une demi-selle est I = −1

2 et celui d’un demi-noeud

est I = 1 2.

Le théorème de Poincaré établit que la somme des indices I des points critiques d’un domaine est égale à la caractéristique d’Euler-Poincaré de ce domaine. Pour un plan, la caractéristique d’Euler-Poincaré égale à 2.

Hunt et coll. [HAPW 1978], en s’appuyant sur le théorème de Poincaré, montrent que pour un champ de vitesse moyen, la relation suivante se vérifie :

X

i

Ii = 1 − nc (5.1)

où 1 − nc est la caractéristique de Poincaré et nc représente le degré de connexité du domaine

fluide considéré.

Dans notre étude, l’obstacle est posé sur le fond du canal donc celui-ci est lié à la paroi du fond. D’après Hunt et coll. [HAPW 1978], le degré de connexité de ce type de configuration est nc = 1. Cela signifie donc que, d’après l’équation (5.1), pour que l’équilibre topologique soit

vérifié dans notre configuration, il faut que la somme des indices des points critiques soit nulle. Nous utilisons désormais le terme "équilibre topologique" pour désigner un écoulement tel que le théorème de Poincaré est vérifié.

En pratique, dans le plan (O, x, z), nous avons calculé les lignes de courant à partir des champs moyens de la vitesse dans chaque régime observé. De plus, le sens de parcours de celles-ci

5.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE

Figure5.1 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement (α = 0.1, F_{0= 0.4), appartenant} au régime T1

vm.

indique l’orientation de ces vecteurs vitesse. Et donc finalement, la représentation de l’ensemble des lignes de courant permet de décrire la topologie du champ de vitesses. A partir des lignes de courant, nous identifions le type des points critiques.

5.2

Classification des régimes de topologie

Dans ce paragraphe, la classification des régimes de topologie est établie. L’obstacle utilisé est le demi-cylindre.

Deux régimes de topologie ont été observés et le détail de leurs caractéristiques est présenté sur la base d’un exemple représentatif dans les deux paragraphes suivants.

5.2.1 Régime T1 vm

Pour analyser la topologie du champ de vitesse moyen dans le régime T1

vm, nous nous appuyons

sur la figure (5.1), sur laquelle sont représentées les lignes de courant calculées pour le point de fonctionnement {α = 0.1, F0 = 0.4} de ce régime.

5.2.1.1 Dénombrement des points critiques

Sur la figure (5.1), en amont de l’obstacle, les lignes de courant contournent l’obstacle. On peut toutefois observer qu’une de celles-ci intercepte la face amont de l’obstacle, il y a donc formation d’une demi-selle, d’indice I = −1

2, sur la face amont de l’obstacle. Sur cette figure,

on peut également observer qu’une des lignes de courant se développant vers l’aval de l’obstacle a pour origine la crête de celui-ci : la crête de l’obstacle est donc une demi-selle (I = −1

2). De

plus, sur la figure (5.1), deux points critiques sont observés au sein de l’écoulement, en aval de l’obstacle :

N1, situé en {_Hx = 1.2,_Hz = 0.25} et tel que les lignes de courant en son voisinage montrent

qu’il s’agit d’un centre (I = 1) et donc que l’écoulement moyen est bidimensionnel à cet endroit. et

N2, situé en {_Hx = 4.05,_Hz = 0.85}. Les lignes de courant montrent qu’il s’agit d’une spirale

stable (I = 1). Le fluide est donc attiré vers N2et ensuite évacué suivant la direction transversale.

Ce résultat signifie donc que l’écoulement moyen est tridimensionnel à cet endroit. Ce résultat apparaît en désaccord avec le fait que les mesures de vitesses aient été faites dans le plan (O, x, z).

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS

x

z

O

O

limite

Cercle

N

y

z

O

N

O

Figure5.2 – Schématisation d’un cercle limite instable : (a), représentation des lignes de courant (➝) dans le plan du cercle ; (b), représentation des lignes de courant (➝) dans un plan normal au cercle limite (adapté de Perry et Chong [PC 1987])

En effet dans ce plan on s’attend à un écoulement bidimensionnel et le point critique serait alors un centre. De notre point de vue, deux explications existent pour ce résultat :

➊le plan de mesure n’est pas rigoureusement vertical et centré sur l’axe de symétrie, auquel cas il est possible d’oberver des effets tridimensionnels de l’écoulement. En effet, compte tenu du fort confinement du canal de mesure utilisé, la seule région de l’écoulement où celui-ci est bidimensionnel est le plan médian du canal à cause des écoulements secondaires (e.g. Tominaga et coll. [TNEN 1989]). De plus, comme nous l’avons vu dans le paragraphe 3.5, l’épaisseur δe du

plan laser est de quelques millimètres et donc n’est donc pas négligeable, il est donc possible que l’ajustement du plan laser le long du plan médian ne soit pas parfait.

➋l’écoulement en aval de l’obstacle n’est pas rigoureusement symétrique auquel cas, dans le plan (O, x, z), la composante V (x, z) 6= 0. Le cas échéant, le fluide peut traverser le plan (O, x, z).

En outre, en x

H = 6.2, on peut observer un point de réattachement d’une ligne de courant issue

du point critique centré en x

H = 4.05. Ce point de réattachement est une demi-selle (I = −12).

L’analyse de la figure (5.1) met en évidence un autre résultat : autour du point critique N2,

il se forme un cercle limite instable, noté Cc sur la figure. Une représentation schématique d’un

cercle limite instable et des lignes de courant typiques dans le plan de ce cercle sont présentées sur la figure (5.2.a). Cette figure permet de voir que les particules fluides issues de ce cercle limite soit convergent vers le point critique N2, qui est aussi le centre du cercle, soit divergent et sont

entrainées vers l’aval de l’écoulement. Par ailleurs, à l’aide de la figure (5.2.b), le tracé des lignes de courant dans un plan normal au plan du cercle limite, déduit à partir des travaux de Perry et Chong [PC 1987], montre que c’est d’un écoulement normal au plan du cercle limite que sont issues les particules fluides se concentrant sur ce cercle. Sur la figure (5.2.b), on voit également que les particules fluides quittent le plan (O, x, z) le long de la direction normale au plan, a partir du point N2. La présence de ce cercle confirme donc qu’il existe un écoulement moyen normal

5.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

% %& &% %& %& %& %& %& &% &% %& &% &% &% &% &% &% &% &% &% &% &% &% %&

' ' ( ( ) ) * * + + + + + + , , , , , , - -- -- -- -. . . . / / / / / / 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 N 0 U 3

S’

S’

Figure 5.3 – Scénario d’une topologie du champ de vitesse moyen possible en amont de l’obs-tacle : (- - -), points critiques déduits ; (-), points critiques mesurés.

Enfin, sur la figure (5.1), on peut observer qu’il existe également une ligne de courant située entre les deux points critiques N1 et N2, reliant la paroi du fond du canal et la face aval de

l’obstacle. En conséquence, les points d’attachement de cette ligne de courant forment deux demi-selles (I = −1

2).

On obtient finalement cinq demi-selles, dont une en amont de l’obstacle, une spirale instable et un centre, soit un total des indices de Poincaré égal à −1

2.

Pour que l’équilibre topologique soit assuré, il faut introduire des points critiques tels que la somme de leurs indices soit égale à 1

2.

En amont de l’obstacle, une demi-selle a été observée sur la face amont de l’obstacle. La ligne de courant interceptant l’obstacle est issue d’un point de l’écoulement situé en amont de celui-ci. Si on fait l’hypothèse que ce point est situé à la paroi (demi-selle, I = −1

2) alors l’équilibre

topologique est obtenu. Au vu de la forme de la ligne de courant interceptant l’obstacle (Fig. (5.1)), il nous apparaît cohérent que le point dont est issu cette ligne de courant appartienne à la paroi.

Le scénario possible de la topologie du champ de vitesse moyen en amont de l’obstacle est proposé sur la figure (5.3). De ce tracé est déduit le dernier point critique, noté N3, d’indice I = 1

dont le type, soit un centre, soit une spirale ne peut être déterminé qu’avec un raffinement des mesures à cet endroit. Le système topologique finalement constitué est schématisé sur la figure (5.4).

5.2.1.2 Topologie du champ

Le centre N3défini une zone de recirculation en amont de l’obstacle et l’association du centre

N1 et de la spirale instable N2 définissent chacun une zone de recirculation, dont ils sont le

centre, en aval de l’obstacle. Ainsi, on peut dire que le domaine fluide est composé de deux zones de recirculation (amont et aval, cette dernière étant l’association des deux recirculations centrées sur N1 et N2) et d’une zone extérieure située au dessus des deux recirculations et de l’obstacle.

Sur la figure (5.4), en plus des points critiques et des lignes de courant permettant de les identifier, nous avons représenté la ligne de courant extérieure aux recirculations (notée (AB)). D’après la figure (5.1) on observe que cette ligne de courant, (AB), est issue du point de coordon-nées {x

H = −1.5, z

H = 0.5}. En outre, il est mis en évidence sur cette figure (5.1) que (AB) est

asymétrique par rapport à l’obstacle et son maximum se situe en aval de l’obstacle. Le système localisé entre la ligne de courant (AB) et la paroi du fond, composé des recirculations formées en amont et en aval de l’obstacle (demi-cylindre) et de l’obstacle lui-même est défini comme

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

A

B

S’

S’

S’

N

S’

N

N

Figure5.4 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement {α = 0.1, F_{0 = 0.4}, appartenant} au régime sa : S0, demi-selles ; Ni (i = 1 . . . 3), points critiques d’indices I = 1 ; ( ), points

critiques déduits avec la relation (5.1) ; ( ), points critiques mesurés.

l’obstacle apparent. Cet obstacle apparent nous servira par la suite dans l’analyse des solutions ondulatoires.

La figure (5.4), schématise la topologie du champ de vitesses moyen autour de l’obstacle du régime T1

vm.

5.2.2 Régime T2 vm

Sur les figures (5.5.a) et (5.5.b) sont représentées les lignes de courant calculées pour le point de fonctionnement {α = 0.18, F0 = 0.62} représentatif du régime Tvm2 . A l’aide de ces deux

figures, nous pouvons dénombrer, en amont de l’obstacle une demi-selle sur la face amont de celui-ci et sur sa crète, une autre demi-selle. En aval de l’obstacle, trois points critiques d’indices de Poincaré I = 1 (un très proche de la crête de l’obstacle {x

H = 1.1, z H = 0.65}, un au pied de l’obstacle {1 < x H < 2, z H = 0.15} et un plus en aval { x H = 3, z H = 0.2}) sont mis en

évidence et l’on peut également distinguer trois demi-selles. Par contre, nos résultats permettent de déterminer la nature d’un seul point critique d’indice I = 1 : il s’agit de celui localisé en {Hx = 3,

z

H = 0.2} et il s’agit d’une spirale instable. En outre, il existe un point selle (I = −1),

situé en {x

H = 2.1, z

H = 0.6}.

A l’aide de la relation (5.1), nous pouvons déduire qu’il manque des points critiques dont la somme est−1

2. En effectuant un raisonnement analogue à celui développé pour le régime Tvm1 , on

déduit que les points critiques manquants, pour que l’écoulement soit topologiquement équilibré, sont une demi-selle (I = −1

2) et un point critique d’indice de Poincaré I = 1 en amont de

l’obstacle (lignes de courant déformées à cet endroit de l’écoulement). Ainsi, le champ de vitesse présente quatre points critiques tels que I = 1.

En outre, sur la figure (5.5.a), on observe que (AB), délimitant l’obstacle apparent est la ligne de courant passant par le point {x

H = −1.4, z

H = 0.8}.

La figure (5.6), schématise la topologie du champ de vitesses moyen autour de l’obstacle du régime T2

vm.

5.2.3 Lien avec les régimes d’ondes de surface

Nous avons étudié la topologie du champ de vitesse moyen pour les écoulements à état de base souscritique dans les régimes d’ondes de surface sa à sd. La description des régimes de topologie

T_vm1 (resp. T_vm2 ) a été effectuée sur la base d’un point de fonctionnement appartenant au régime d’ondes de surface sa (resp. sc). Dans ce paragraphe, nous souhaitons présenter la topologie du

champ de vitesse moyen des régimes d’ondes de surface sb et sd pour déterminer à quels régimes

de topologie, T1

5.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE

(a)

(b)

Figure 5.5 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement {α = 0.18, F_{0 = 0.62},} appar-tenant au régime sc : (a), vue globale ; (b) recirculation en aval de l’obstacle.

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

A

B

S’

S

N

S’

N

S’

S’

N

N

Figure 5.6 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement (α = 0.18, F_{0 = 0.62),} apparte-nant au régime T2

vm: S0, demi-selles ; N, noeuds ; ( ), points critiques déduits avec la relation

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS

Figure 5.7 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement {α = 0.11, F_{0 = 0.59},} appar-tenant au régime sb.

Sur la figure, (5.7), sont représentées les lignes de courant pour le point de fonctionnement {α = 0.11, F0 = 0.59} appartenant au régime d’ondes de surfaces sb. Cette figure montre que la

topologie du champ de vitesse moyen de sb est la même que celle du point de fonctionnement

{α = 0.10, F0 = 0.40}, appartenant au régime d’ondes de surface sa. Les points de fonctionnement

appartenant au régime sb appartiennent donc au régime de topologie Tvm1 . Nous en déduisons

que le changement de dynamique de la surface libre entre les deux régimes sa et sb (formation

d’ondes dans le régimes sb, voir figure (4.5.a)) n’est pas associé à un changement de topologie de

l’écoulement moyen.

Sur les figures (5.8.a) et (5.8.b), sont représentées les lignes de courant calculées pour le point de fonctionnement (α = 0.26, F0 = 0.66) représentatif du régime d’ondes de surface sd. Ces

figures montrent que la topologie du champ de vitesses moyen de sd est la même que celle du

point de fonctionnement {α = 0.18, F0 = 0.62}, appartenant au régime d’ondes de surface sc.

Les points de fonctionnement du régime sdappartiennent donc au régime de topologie Tvm2 .

Cette analyse montre que la changement de régime de topologie, entre T1

vm et Tvm2 correspond

au changement de régimes d’ondes de surface entre les régimes sb et sc. La modification de la

topologie du champ de vitesses moyen entre ces deux régimes d’ondes de surface est donc reliée à un changement de profil de surface libre : dans le régime sc, l’écoulement devient supercritique

à l’aval de l’obstacle. Il y a donc un changement brutal de topologie entre ces deux régimes. Ce changement de topologie est discuté dans le paragraphe 5.3.2.

5.2.4 Diagramme des régimes

Cette étude de la topologie des écoulements à état de base souscritique a mis en évidence qu’il existe deux topologies possibles de l’écoulement : la première, T1

vm, est représentée sur la

figure (5.4) et la seconde, T2

vm, est représentée sur la figure (5.6).

Compte tenu de caractéristiques de la surface libre dans les autres régimes de la classification, nous pouvons étendre les résultats que nous venons d’obtenir aux autres régimes d’ondes de surface. En effet, pour les régimes se et Sd, nous avons vu que, près de l’obstacle, la dynamique

de la surface libre est analogue à celle du régime sd, i.e., écoulement souscritique en amont de

l’obstacle et supercritique en aval. Nous en déduisons que, pour ces trois régimes, une topologie du champ de vitesse moyen possible est similaire à celle représentée sur la figure (5.6). De même, pour les régimes Sc et Se, le profil de surface libre est souscritique en amont de l’obstacle

5.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE

(a)

(b)

Figure 5.8 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement (α = 0.26, F_{0 = 0.66),} ap-partenant au régime sd : (a), vue globale en aval de l’obstacle ; (b), recirculation en aval de

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 F 0 α T Ta T Tb

Figure 5.9 – Classification de la topologie du champ de vitesses moyen dans le diagramme de fonctionnement {α, F0} : (•), régime Tvm1 (Fig. (5.4)), correspond aux régimes sa et sb; (¤)

régime T2

vm (Fig. (5.6)) correspond aux régimes sc à seet Sc à Se; (×) non déterminée. A noter

que TT b, séparant les régimes Tvm1 et Tvm2 est la même transition que T1.

et un ressaut hydraulique se forme à l’aval immédiat de l’obstacle, comme dans le régime sc.

Là encore, nous en déduisons qu’une topologie du champ de vitesse moyen possible pour ces régimes est analogue à celle représentée sur la figure (5.6). Pour les régimes d’écoulements tels que l’écoulement est partout supercritique, régimes Sa et Sb, les éléments dont nous disposons

ne permettent pas de donner une conclusion sur la topologie du champ de vitesses moyen. Sur la figure (5.9), la classification de la topologie du champ de vitesse moyen est présentée, on peut y voir les deux topologies mises en évidence dans cette analyse. Celles-ci sont séparée par la transition TT b, qui correspond à la frontière T1 de la figure (4.1). La transition TT asépare

les points appartenant aux régimes Saet Sb pour lesquels , la classification n’est pas déterminée.

5.3

Influence des paramètres sur la structure du champ de

vi-tesses moyen

Dans ce paragraphe, nous étudions l’évolution de la structure du champ de vitesse moyen en fonction des paramètres α, F0 et β. En particulier, ce travail a pour but d’analyser le changement

de la topologie du champ de vitesses moyen lorsque la transition du régime T1

vm vers le régime

T_vm2 est franchie.

5.3.1 Evolution de la spirale instable en fonction de F0 et de α

L’objectif est, ici, de déterminer quelle est l’influence des paramètres F0 et α sur la spirale

5.3. INFLUENCE DES PARAMÈTRES SUR LA STRUCTURE DU CHAMP DE VITESSES MOYEN 2 3 4 5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 2.5 3 3.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 F 0 augmente α augmente z/H z/H x/H x/H (a) (b)

Figure5.10 – Evolution de la position de la spirale instable, N₂dans la plan (O, x, z) en fonction du : (a), nombre de Froude, F0 et (b), facteur de blocage α.

Sur la figure (5.10.a), nous avons représenté la position de N2 (Fig. (5.4)) en fonction de

F_{0, pour (0.1 ≤ α ≤ 0.18). On y observe que le point critique N2} se rapproche de l’obstacle et de la paroi du fond lorsque F0 augmente. La gamme de paramètre choisie ici permet de

voir le comportement de N2 lorsqu’il se produit la transition entre les régimes Tvm1 et Tvm2 (le

point tel que F0 = 0.59 appartient au régime Tvm1 et le point tel que F0 = 0.62 appartient au

régime T2

vm). Sur cette figure, on observe une discontinuité dans l’évolution du déplacement de

N2 en fonction de F0 du régime Tvm1 vers le régime Tvm2 . Par ailleurs, nous savons, depuis le

chapitre 4, que la transition entre les régimes d’ondes de surface sb et sc est liée à la transition

souscritique/supercritique proche de l’obstacle. Précisément, pour le point de fonctionnement {α = 0.18, F0 = 0.62}, appartenant au régime sc, l’abscisse du pied de ce ressaut hydraulique est

situé en x

H = 9.54 (Fig. (4.7.a)) et l’abscisse de N2 est 3.06 (Fig. (5.10.a)). La formation de la

zone supercritique, qui engendre une forte accélération verticale négative semble donc confiner la zone de recirculation en aval de l’obstacle et ainsi la spirale instable N2 est repoussée vers la

paroi du fond et l’obstacle.

Sur la figure (5.10.b), nous avons représenté la position de N2 en fonction de α (0.59 ≤ F0 ≤

0.66). Cette figure met en évidence que lorsque α augmente, la spirale instable N2 se rapproche

de l’obstacle et de la paroi du fond. Comme l’obstacle a la même hauteur H pour ces points de fonctionnement, lorsque α augmente, la hauteur d’eau d0 diminue. On en déduit donc que

lorsque la hauteur d’eau diminue le point critique N2 se rapproche de l’obstacle et du fond. Or

nous avons remarqué, lors de l’étude de l’influence de F0sur N2, que la présence d’une transition

souscritique/supercritique influence fortement la position de N2. Il apparaît donc que la position

de N2 et conséquemment la taille de la zone de recirculation en aval de l’obstacle sont influencés

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS

Figure 5.11 – Schémas de l’évolution de la topologie du champ de vitesses moyens entre les régimes sb et sc : (a), Tvm1 dans le régime sb; (b), Tvm2 dans le régime sc.

5.3.2 Analyse du changement de topologie entre les régimes T1

vm et Tvm2

Une étude de la position du point critique N1 en aval de l’obstacle en fonction des paramètres

F0 et α indique que celui-ci ne change pas de position spatiale, quelles que soient les valeurs de

α et de F0. La position de N1 n’apparaît donc pas influencée par le changement de position de

N2. Par contre, on peut remarquer, en comparant les figures (5.1), (5.7), (5.5.b) et (5.8.b) que la

taille caractéristique verticale de la recirculation dont le centre est N1augmente entre les régimes

T_vm1 et T2

vm. Cette augmentation est observée lorsque F0 augmente ainsi que lorsque α augmente.

Ce dernier résultat est très important car il permet de proposer une interprétation du chan-gement de topologie entre les régimes de topologie T1

vm et Tvm2 . En effet, dans le régime Tvm1 , la

recirculation dont le centre est N2 est très grande. Certaines lignes de courant issues du cercle

limite instable Cc (Fig. 5.1) passent très près de la crête de l’obstacle et ensuite s’en écartent,

vers l’aval. En conséquence, la surface occupée par la recirculation dont le centre est N1 est

très petite devant celle occupée par la recirculation dont le centre N2 (Fig. 5.1). Cependant, on

constate que, dans le régime T1

vm(Fig. 5.7), la taille caractéristique la recirculation dont le centre

est N1 augmente. Celle-ci déforme alors les lignes de courant issues de N2 qui sont situées au

voisinage de N1. Ainsi, la surface occupée par la recirculation dont le centre est N1 augmente

par rapport à celle centrée sur N2. De plus, dans le régime Tvm2 (Fig. 5.5.b), le point critique N2

se positionne près de la paroi sous l’effet de la zone supercritique (§5.3.1) et sa hauteur diminue. Parallèlement, la taille verticale caractéristique de la recisculation centrée sur N1 augmente

en-core jusqu’à ce qu’elle atteigne celle de la recirculation centrée sur N2 (Fig. 5.5.b). Ce double

mécanisme de croissance/décroissance des deux recirculations a une conséquence sur la topologie du champ de vitesses moyen avec la formation du point critique N4. En effet, celui-ci est issu

de la césure de N2 en deux points critiques lors de la transition entre les régimes Tvm1 et Tvm2 .

Cette césure est forcée par la recirculation centré sur N1, qui, lors de son expansion observée lors

du franchissement de la transition entre les régimes T1

vm et Tvm2 , divise la recirculation centrée

sur N2 en deux point critiques, N2 et N4. Cette interprétation de la formation du point critique

N4 est résumée sur les figures (5.11.a) et (5.11.b) où sont représentées les évolutions, entre les

régimes d’ondes de surface sb à sc, des point critiques d’indices de Poincaré I = 1 de la zone de

recirculation en aval de l’obstacle et du profil de la surface libre. Ce changement de topologie du champ de vitesse moyen est une signature de l’interaction entre la surface libre et l’écoulement moyen au voisinage de l’obstacle.

5.3. INFLUENCE DES PARAMÈTRES SUR LA STRUCTURE DU CHAMP DE VITESSES MOYEN

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons établi une classification en régimes d’écoulements à partir de la topologie du champ de vitesse moyen. Nous avons ainsi mis en évidence deux topologies différentes à partir de la théorie des points critiques. La première, T1

vmest représentée sur la figure (5.4) est

observée pour les régimes d’ondes de surface saet sb et la seconde, Tvm2 , représentée sur la figure

(5.6) est observée pour les régimes d’ondes de surface sc et sd. En outre, l’analyse de l’évolution

des points critiques en aval de l’obstacle, conjuguée à celle de l’évolution du profil de surface libre entre les régimes sbet sc a permis de proposer une interprétation de ce changement de topologie.

Il reste cependant à déterminer quels mécanismes sont à l’origine de la formation des points critiques N1 et N2. Cette question est traitée dans le paragraphe 8.2.

CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES MOYENS

CHAPITRE

6

Régimes sans ressauts hydrauliques

Sommaire

6.1 Dépression de la surface libre . . . 110 6.2 Train d’ondes dans le régime sb . . . 113

CHAPITRE 6. RÉGIMES SANS RESSAUTS HYDRAULIQUES

Introduction

L’objectif de ce chapitre est de trouver des éléments de réponses aux questions formulées à l’issue de la comparaison entre la classification expérimentale et les classification des modèles linéaires (potentiel et Saint Venant), dans le chapitre 4 dans le cas des régimes pour lesquels l’écoulement est souscritique (resp. supercritique) partout dans le canal (Fl(x) < 1 (resp. Fl(x) >

1), quelque soit x). Nous avons retenu deux questions liées à la dynamique des solutions des régimes saet sb pour lesquels l’écoulement est partout souscritique : quels mécanismes contrôlent

la forme et la position de la dépression de la surface libre mise en évidence dans ces deux régimes et quelle est l’origine de la transition T0. Pour répondre à ces deux questions, nous nous appuierons

à la fois sur les mesures de hauteurs d’eau et sur des mesures de champs de vitesses dans le plan (O, x, z) au voisinage de l’obstacle.

6.1

Dépression de la surface libre

On souhaite, ici, déterminer quelle est l’origine de la forme de la dépression et comment se positionne-t-elle le long du canal. Nous allons procéder en deux étapes. Tout d’abord l’influence des paramètres, α et F0 est étudiée. Ensuite, nous analyserons l’effet de l’écoulement moyen sur

la surface libre. Ce travail est effectué pour les deux régimes sa et sb, ce qui nous permettra

d’analyser la transition T0 entre ces deux régimes. 6.1.1 Influence des paramètres α et F0

Nous étudions l’influence des paramètres α et F0 sur les trois propriétés (forme, position,

amplitude) de la dépression.

➢ Influence du facteur de blocage, α

La figure (6.1) représente les variations de ld

H, la distance entre le minimum de la dépression

et la crête de l’obstacle, en fonction de ad

H, l’amplitude de la dépression lorsque α augmente

dans les régimes sa(avec F0 = 0.35) et sb(avec F0 = 0.51). On peut observer une croissance

de ad

H avec α et une décroissance de ld

H avec α. Cela signifie donc que lorsque la hauteur

de fluide au-dessus de l’obstacle diminue, l’amplitude de la dépression augmente et que le minimum de la dépression se rapproche de l’obstacle.

➢ Influence du nombre de Froude, F0

Sur la figure (6.2), nous avons représenté la variation de ld

H en fonction de ad

H et lorsque

F0 augmente dans le régime sa, pour α = 0.1. On observe que a_Hd croît avec F0 ainsi que ld

H. Dans le régime sb, un comportement analogue est observé. Cette variation signifie donc

que lorsque la vitesse de l’écoulement augmente, l’amplitude de la dépression augmente et que la dépression s’éloigne (vers l’aval) de l’obstacle.

Cependant, nous n’avons pas déterminé les mécanismes contrôlant la dépression. Pour boucler cette question, il est nécessaire d’effectuer une étude de l’écoulement local.

6.1.2 Position de la transition T1 dans le plan {α, F0}

On cherche, dans ce paragraphe, à comprendre pourquoi les courbes (AB), issue du modèle de Saint-Venant non-linéaire et T1, obtenue expérimentalement (Fig. (4.25)), qui représentent

6.1. DÉPRESSION DE LA SURFACE LIBRE 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3 4 5 6 7 8 9 α augmente (F 0 =0.51: régime sb) α augmente (F₀ =0.35: régime s_a) a d/H l d/H

Figure 6.1 – Influence du facteur de blocage, α, sur l’amplitude de la dépression, ad

H, située en

aval de l’obstacle dans : (a), régime sa, F0 = 0.35 et (b) régime sb, F0 = 0.51.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 a d/H l_d/H F 0 augmente (α =0.1: régime s a)

Figure 6.2 – Influence du nombre de Froude F₀ sur l’amplitude de la dépression, ad

H, située en

CHAPITRE 6. RÉGIMES SANS RESSAUTS HYDRAULIQUES

(AB) est la courbe représentative de l’équation (2.37), établie par Baines [Bai 1995], et telle que l’écoulement est critique au sommet de l’obstacle (§2.5.1). Or nous n’avons jamais observé expérimentalement un écoulement critique au sommet de l’obstacle. Le point tel que Fl(x) = 1

est toujours en aval de celui-ci dans les régimes sc à se.

En outre pour F0 fixé, lorsque α augmente, selon le modèle de Saint-Venant non-linéaire,

l’amplitude de la dépression du régime souscritique, centrée sur la crête de l’obstacle, augmente, jusqu’à ce que l’écoulement devienne critique au sommet de l’obstacle. La solution bascule alors vers celle des ressauts hydrauliques positionnés sur l’obstacle.

Dans nos expériences, un comportement de la dépression analogue est observé : pour F0 fixé,

lorsque α augmente, l’amplitude de la dépression, adaugmente également (Fig. (6.1)). Cependant,

le minimum de la dépression est situé en aval de l’obstacle (Fig. (6.2)) et la conséquence de ce décalage de la dépression par rapport à l’obstacle implique que la transition Fl(x) = 1 se produit

pour de plus grandes valeurs de α.

Ce raisonnement permet de comprendre pourquoi, pour une valeur de F0 fixée, la transition

entre le régime partout soucritique et celui pour lequel se forme un ressaut hydraulique, est observée pour de plus grandes valeurs de α dans les expériences. On comprend donc pourquoi (AB) n’est pas superposée à T1.

6.1.3 Forme et position de la dépression

Dans le chapitre 5, il a été montré que dans les régimes sa (Figs. (5.1) et (5.4)) et sb (Fig.

(5.7)), la topologie de l’écoulement autour de l’obstacle est identique, régime T1

vm. De plus un

obs-tacle apparent, incluant les recirculations situées de part et d’autre de l’obsobs-tacle et de l’obsobs-tacle lui-même, a été mis en évidence. L’asymétrie par rapport à l’obstacle, la position du maximum de la hauteur situé en aval de la crête de l’obstacle et sa pente douce sont les caractéristiques prin-cipales de cet obstacle apparent. Compte tenu d’une part des propriétés de la dépression, mise en évidence sur le profil de surface libre dans les régimes sa et sb (Fig. (4.3) et (4.5)) et d’autre

part des résultats sur l’obstacle apparent dans ces deux régimes, nous comparons l’obstacle et le profil de surface libre dm(x).

Qualitativement, pour les deux régimes saet sb, l’observation du profil de surface libre, dm(x),

caractéristique du régime (Fig. (4.3) pour saet Fig. (4.5) pour sb) et de l’obstacle apparent (sur

la figure (5.1) pour saet sur la figure (5.7) pour sb) montre une grande similitude de forme (pente

douce et asymétrie pour les deux) et de position (minimum de la surface libre et maximum de la ligne de courant en aval de l’obstacle). Afin de quantifier cette similitude, nous avons représenté sur les figures (6.3.a) et (6.3.b) la superposition du profil de surface libre, dm(x) avec le profil

de l’obstacle apparent renversé, noté (A0_B0_{). Sur la figure (6.3.a), on observe que, en amont de}

l’obstacle, la courbe (A0_B0_{) se situe au-dessus de d}

m(x). A cet endroit il n’y a pas une bonne

concordance entre (A0_B0_{) et d}

m(x) parce que, à l’amont immédiat de l’obstacle les lignes de

courants sont déformée par et la recirculation amont. En aval de l’obstacle, par contre, un bon accord entre les deux courbes est mis en évidence. La forme de la dépression est assez bien reproduite par (A0_B0_{). De plus, on peut également remarquer que les minima des deux courbes}

se situent à une abcisse proche (ld

H = 3 et

min(A0_B0

)

H = 3.41). (A0B0) représente l’obstacle apparent

renversé, cela signifie donc que la crête de l’obstacle apparent, située à l’aval de l’obstacle (demi-cylindre) est à une abscisse proche de celle du minimum de la dépression, ld. On peut donc en

déduire que, pour ce régime, la dépression se positionne par rapport à l’obstacle apparent. De plus, en aval de l’obstacle, la concordance de la courbe (A0_B0_{) et dm(x) met en évidence l’influence}

de l’obstacle apparent sur la forme de la dépression en aval de son minimum. Nous concluons donc, à partir de cette figure (6.3.a), que, malgré l’écart entre (A0_B0_{) et d}

m(x) observé en amont

de l’obstacle, la forme de la dépression à la surface libre n’est pas modelée par celui-ci mais par l’obstacle apparent. Ainsi, nous avons montré que l’obstacle (ici le demi-cylindre) ne permet pas

6.2. TRAIN D’ONDES DANS LE RÉGIME SB −200 −10 0 10 20 1 2 3 4 5 x/H d m(x)/H A’ B’ −200 −10 0 10 20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x/H d m(x)/H A’ B’ (a) (b)

Figure 6.3 – Superposition de l’obstacle apparent et du profil de surface libre dans les régimes sa et sb : (a), régime sa, (α = 0.23, F0 = 0.33) et (b) régime sb, (α = 0.24, F0 = 0.38). (. . .),

position de la surface libre, dm(x) ; ( ), obstacle apparent renversée.

d’expliquer la forme de la dépression. Il faut considérer également les recirculations amont (dont les conséquences à la surface libre sont difficile à interpréter compte tenu de l’influence très locale de l’obstacle en amont) et aval (dont les conséquences sur la solution du regime sa vient d’être

montrée), i.e. l’obstacle apparent dans sa totalité.

Pour le point de fonctionnement (α = 0.24, F0 = 0.38) appartenant au régime sb, dont la

superposition de (A0_B0_{) avec d}

m(x) est représentée sur la figure (6.3.b), des résultats analogues

sont mis en évidence. On peut en conclure que, pour cet exemple également, l’obstacle apparent modèle la forme de la dépression et contrôle sa position. Par contre, on ne peut rien dire sur l’influence de cet obstacle apparent sur la dynamique des ondes formées en aval de la dépression. Lors de la comparaison avec les modèle asymptotique de Saint-Venant, nous avons observé un décalage entre l’abscisse du minimum de la dépression dans la solution et expérimental (Fig. (4.24.a)). Il faut donc prendre en compte l’obstacle apparent dans le modèle et ainsi on obtient une meilleure prédiction du profil de la surface libre.

6.2

Train d’ondes dans le régime s

Dans ce paragraphe, l’origine des ondes formées en aval de la dépression dans la régime sb est

étudiée. Celles-ci, en effet, rendent compte de phénomènes dispersifs et nous souhaitons savoir pourquoi, lors de la transition du régime savers sb (transition T0 sur la figure (4.1)), le profil de

la solution est ondulé à l’aval de la dépression.

6.2.1 Analyse de la dynamique des ondes

Avant de rechercher comment est généré le train d’ondes en aval de la dépression, l’influence des paramètres F0et α est analysée sur trois grandeurs caractéristiques des ondes, leur amplitude,

a_{, leur longueur, λ et leur cambrure, C =} 2a_λ.

Sur les tableaux (6.1.a) et (6.1.b), nous avons porté les résultats expérimentaux des valeurs de l’amplitude de la première onde, aexp et de sa longueur d’onde, λexp. La cambrure, Cexp,

CHAPITRE 6. RÉGIMES SANS RESSAUTS HYDRAULIQUES F0 = 0.51

α aexp [cm] λexp [cm] Cexp Cdef

0.1 0.3 34 0.016 0.065

0.2 0.35 15 0.052 0.071

0.26 0.4 13 0.061 0.065

0.24 ≤ α ≤ 0.26

F0 aexp [cm] λexp [cm] Cexp Cdef

0.38 0.06 6.5 0.018 0.111

0.42 0.26 8.5 0.062 0.091

0.51 0.4 13 0.061 0.065

(a) (b)

Table 6.1 – Évolution de l’amplitude (a_exp), de la longueur d’ondes (λ_exp) et de la cambrure (C) du train d’onde dans le régime sb : (a), F0 = 0.51 ; (b), 0.24 ≤ α ≤ 0.26.

portée la cambrure limite avant déferlement,Cdef, calculée à l’aide du critère de Miche [Mic 51]

(eq. (2.45)).

Lorsque le nombre de Froude est fixé (F0 = 0.51), l’amplitude du train d’ondes croît avec α

alors que la longueur d’onde décroît (Tab. (6.1.a)). En conséquence, la cambrure, Cexp, croît elle

aussi avec α. Cependant, on peut vérifier, en comparant Cexp et Cdef que la limite de déferlement

n’est jamais franchie tant que l’on reste dans le régime sb. Lorsque le nombre de Froude, F0,

augmente, (0.24 ≤ α ≤ 0.26), l’amplitude du train d’ondes croît ainsi que sa longueur d’onde (Tab. (6.1.b)). En outre, la cambrure, Cexp, croît également. Comme précédemment, quelque soit

F0, la limite de déferlement n’est jamais franchie dans le régime sb.

Au voisinage de T0et T1(Fig. (4.1)), l’amplitude et la cambrure deviennent très faibles proche

de T0 (frontière avec le régime sa). L’amplitude et la cambrure sont, au contraire, très fortes près

de T1 (frontière avec le régime sc). 6.2.2 Origine des ondes

Nous nous appuyons sur les mesures de champs moyens de vitesse verticales dans le plan médian du canal, W (x, z).

Sur les champs moyens de vitesses verticales adimensionnées par la vitesse de l’écoulement de base, W

u0, représentés sur les figures (6.4.a) et (6.4.b) on peut observer trois zones quelque

soit le régime considéré. Une première zone, en amont de l’obstacle, où le contournement de l’obstacle par le fluide est manifesté par une accélération ascendante (valeurs maximales de W

u0).

Ensuite, en aval de l’obstacle, la zone de recirculation est observée. Au sein de celle-ci sont mises en évidences, particulièrement sur la figure (6.4.a), des vitesses verticales positives au pied de l’obstacle (x

H <3.5 sur la figure (6.4.a)) et des vitesses verticales négatives au delà de x

H = 3.5.

La troisième zone, proche de la surface libre permet d’obtenir des informations sur le caractère ondulatoire ou non de la surface libre. C’est particulièrement ce dernier point qui nous intéresse dans la suite de ce paragraphe.

Les champs moyens de vitesses verticales adimensionnées par la vitesse de l’écoulement de base, W

u0, représentés sur les figures (6.4.a) et (6.4.b) fournissent des informations très

intéres-santes sur le caractère ondulatoire de la surface libre. En effet, l’alternance de valeurs positives et négatives de W

u0 permet de traduire le comportement de la solution à la surface libre. Par exemple,

pour le point de fonctionnement {α = 0.24, F0 = 0.38} (Fig (6.4.b)), représentant une solution

typique du régime sb pour lequel une dépression suivi d’ondes bidimensionnelles constituent la

solution à la surface libre, on peut observer une alternance de vitesses verticales négatives et positives (couleurs vert et violet sur la figure). En complément, nous avons représenté, sur la figure (6.5) le profil longitudinal W(Hx)

u0 à l’altitude

z

H = 3.5 (près de la surface libre). Le

ré-sultat mis en évidence sur cette figure est l’oscillation autour de 0 de W(Hx)

6.2. TRAIN D’ONDES DANS LE RÉGIME SB

(a)

(b)

Figure 6.4 – Champs de vitesses verticales moyennes, W

u0 autour de l’obstacle pour deux points

de fonctionnement (régimes sa et sb) : (a), α = 0.23 et F0 = 0.33 ; (b), α = 0.26 et F0 = 0.51.

surface libre. Cette évolution de W(Hx)

u0 est la signature au sein de l’écoulement de la formation

d’ondes à la surface libre. Compte tenu du profil de dm(x), pour le point de fonctionnement

α = 0.24, F0 = 0.38, obtenu à l’aide des mesures de hauteurs d’eau (présence d’ondes en aval de

la dépression, figure (4.5.a)), ce comportement ondulatoire de W(Hx)

u0 était attendu.

La création de vitesses verticales en présence de l’obstacle implique une modification du champ de pression, celle-ci devenant non-hydrostatique (Dw

Dt 6= 0 −→ ˜p 6= 0). Cette question

étant clarifiée, il reste à déterminer pourquoi les ondes se forment seulement dans le régime sb.

Cela revient à étudier la transition T0 de la figure (4.1).

6.2.3 Etude de la transition entre les régimes sa et sb (T0 sur la figure 4.1))

L’analyse d’une part du champ de W

u0 présenté sur la figure (6.4.a) et d’autre part de l’évolution

du profil de W(Hx)

u0 à l’altitude

z

H = 4.2 (proche de la surface libre) représenté sur la figure

(6.6), pour le point de fonctionnement α = 0.23, F0 = 0.33 appartenant au régime sa (pour

lequel seule une dépression a été observée dans le profil de surface libre (Fig. (4.3.a))) permet d’observer la présence d’une alternance de vitesse verticales positives et négatives (comme pour le point de fonctionnement {α = 0.24, F0= 0.38} que l’on a décrit dans le paragraphe 6.2.2). Ce

comportement de W

u0 traduisant la présence d’ondulations à la surface libre, cela signifie donc qu’il

existe des ondes de surface se formant en aval de la dépression pour ce point de fonctionnement. Nous en déduisons alors que la résolution verticale de la méthode ombroscopique utilisée pour la mesure de la position de la surface libre (1mm, points de fonctionnement symbolisés par ⊗ sur la figure (3.2)) n’est pas assez fine pour décrire ces ondes. Nous pouvons en conclure que les ondes formées pour ce point de fonctionnement sont de faible amplitude (2a < 1mm).

CHAPITRE 6. RÉGIMES SANS RESSAUTS HYDRAULIQUES

Figure 6.5 – Evolution longitudinale du profil de vitesse verticales moyennes, W

u0, proche de la

surface libre dans le régime sb en _Hz = 3.5 pour le point de fonctionnement α = 0.24 et F0 = 0.38.

Figure 6.6 – Evolution longitudinale du profil de vitesse verticales moyennes, W

u0, proche de la

6.2. TRAIN D’ONDES DANS LE RÉGIME SB 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F 0 α T 1 T 2 T 3

Figure 6.7 – Classification des régimes pour le demi-cylindre et pour un écoulement dont l’état de base est souscritique : (¢), régime s_b; (¤) régime sc; (?) régime sd; (O), régime se.

F0 = 0.38}, caractéristique du régime sb, se situent, sur la classification en régimes d’écoulement

de la figure (4.1), de part et d’autre de la transition T0. Nous avons vu dans les paragraphes

4.1.1 et 4.1.2 que les deux régimes sa et sb ont été différenciés par la présence d’ondulations

en aval de la dépression seulement dans le régime sb. Or, nous venons de mettre en évidence

que point le point de fonctionnement {α = 0.23, F0 = 0.33} un train d’ondes de très faible

amplitude est présent en aval de la dépression. Cela signifie donc que les solutions stationnaires de ces deux régimes sont similaires. La conséquence immédiate de la similarités des solutions des deux régimes sa et sb est que la transition T0 de la figure (4.1) ne répond pas à un changement

de solution, elle est assujettie à la finesse de la méthode d’investigation utilisée (ondes mises en évidence avec la PIV et non avec la mesure de hauteus d’eau avec la méthode ombroscopique pour le point de fonctionnement {α = 0.23, F0 = 0.33}). Les régimes sa et sb forment donc

un seul régime d’écoulement dont la solution est typiquement celle du régime sb (décrit dans

le paragraphe 4.1.2). La classification en régime d’ondes de surface pour un état de base sous critique se simplifie et nous l’avons représentée sur la figure (6.7).

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié le rôle de l’obstacle apparent dans les régimes où aucun ressaut hydraulique n’apparaît dans la solution. Nous avons en particulier montré que la position de la dépression dans le régime sb est contrôlée par cet obstacle apparent dont l’abcisse du

maximum correspond à celle du minimum de la surface libre. En extrapolant cette analyse au cas supercritique, on s’attend à ce que le rôle de l’obstacle apparent soit analogue dans les régimes Sa et Sb. C’est à dire que la présence d’un obstacle apparent peut expliquer le décalage

du maximum de la surélévation de la surface libre par rapport à la crête de l’obstacle, ainsi que sa forme. De plus, nous avons montré que le régime saest le même que sb et que la transition T0

CHAPITRE 6. RÉGIMES SANS RESSAUTS HYDRAULIQUES sa dans la classification.

CHAPITRE

7

Régimes à ressauts hydrauliques

Sommaire

7.1 Position longitudinale des ressauts hydrauliques . . . 120 7.2 Structure spatiale des ressauts hydrauliques . . . 124 7.3 Mécanismes d’apparition des ressauts hydrauliques tridimensionnels 134 7.4 Ressauts hydrauliques des régimesSc etSd . . . 138

CHAPITRE 7. RÉGIMES À RESSAUTS HYDRAULIQUES

Introduction

Dans le chapitre 4, la formation de ressauts hydrauliques a été observée dans plusieurs régimes (sc, sd et Sc à Se). Ce phénomène est bien connu et documenté lorsque le ressaut est généré à

l’aval d’une vanne (e.g. Bakhmeteff et Matzke [BM 1936], Rajaratnam [Raj 1967], Chanson et Montes [CM 1995]). Par contre, les ressauts hydrauliques se formant en aval d’un obstacle placé sur le fond posent encore des interrogations sur leur nature et les mécanismes à l’origine de leur apparition.

Dans ce chapitre nous souhaitons caractériser les ressauts hydrauliques se formant en aval de l’obstacle, dans les régimes sc et sd. L’objectif est de comprendre pourquoi ces ressauts

hy-drauliques apparaissent et quelle est leur dynamique. Cette analyse est organisée autour de quatre questions : Quels mécanismes contrôlent la position suivant x de ces ressauts hydrau-liques ? Quelle est la structure spatiale des différents ressauts hydrauhydrau-liques et quels mécanismes la contrôlent ? Quelle est l’origine des transitions T1 et T2 (Fig (4.1)) entre les régimes sb et sc

d’une part et sc et sd d’autre part ?

7.1

Position longitudinale des ressauts hydrauliques

Dans ce paragraphe, on s’intéresse au positionnement longitudinal du ressaut hydraulique. En effet, les mesures de profils de surface libre lorsque F0 <1 ont montré qu’entre les régimes sc

et sd, la position du ressaut hydraulique changeait radicalement : dans le régime sd, le ressaut

se positionne beaucoup plus en aval de l’obstacle que dans le régime sc (comparaison des figures

(4.7.a) et (4.9.a)). Un changement de position longitudinale apparaît également dans les solutions du modèle asymptotique de Saint-Venant non-linéaire, pour lesquelles, soit le ressaut est prédit au-dessus de l’obstacle, soit disparaît du voisinage de celui-ci (franchissement de la courbe (AD) du plan des paramètres {α, F0}, Fig. (2.2)). Mais expérimentalement, d’une part le ressaut n’a

pas été observé au-dessus de l’obstacle et d’autre part, nous avons vu que la transition T2 entre

les régime sc et sd, dans le plan {α, F0}, ne se superpose pas avec la courbe (AD) (Fig. (4.25.a)).

L’objectif dans ce paragraphe est de déterminer pourquoi expérimentalement on n’observe jamais de ressaut hydraulique sur l’obstacle dans le régime sc et pourquoi y a-t-il, malgré tout, un tel

changement de position longitudinale du ressaut hydraulique entre les régimes sc et sd. 7.1.1 Evolution entre les régimes sc et sd

La longueur de la zone supercritique, ls, représentative de la position du ressaut hydraulique,

(Fig. (7.1)) est étudiée, dans les régimes sc et sd, pour plusieurs valeurs du facteur de blocage

(0.15 ≤ α ≤ 0.6) et pour un nombre de Froude de l’état de base variant peu (0.61 ≤ F0 ≤ 0.66).

Sur la figure (7.2), l’évolution de ls

dcr en fonction de α est représentée. On peut observer, dans

chacun des régimes scet sd, que lscroît linéairement avec α, i.e., le ressaut hydraulique s’éloigne

progressivement de l’obstacle lorsque α augmente. Cependant, il y a un changement brutal entre les deux régimes : une augmentation brutale de la longueur supercritique entre les points α = 0.25 et α = 0.26 est mise en évidence. ls

dcr est donc une bonne signature du changement de régime,

sc vers sd. Pour tous les couples de points de fonctionnement situés de part et d’autre de la

transition T2, ce saut dans l’évolution de ls en fonction de α est observée. Nous avons observé

un comportement analogue lors de l’utilisation de la gaussienne.

7.1.2 Comparaison avec le modèle de Saint-Venant non-linéaire

Nous souhaitons, dans ce paragraphe, déterminer dans quelles mesures le modèle de Saint-Venant non-linéaire peut prédire la position des ressauts hydrauliques des régimes sc et sd.

7.1. POSITION LONGITUDINALE DES RESSAUTS HYDRAULIQUES ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < 0 a

d

d

d

d

l

a

d

u

Figure 7.1 – Définition des dimensions caractéristiques du ressaut hydraulique.

issue des résultats expérimentaux à celle prédite par un modèle de Saint-Venant non-linéaire monodimensionnel, dans les régimes sc et sd.

En une dimension, l’équation de conservation de la quantité de mouvement du modèle de Saint-Venant non-linéaire (eq. (2.35)), se réécrit, lorsque on ajoute un coefficient de frottement :

∂u ∂t + u ∂u ∂x = −gI − Cf 2 u_|u| dm (7.1) où I est la pente géométrique du canal (I = 1.7‰, §3.1.1) et Cf le coefficient de frottement.

Il faut ensuite déterminer Cf. Pour cela plusieurs types de modélisations existent (e.g. Thual

[Thu 2002]) et en première approximation, nous choisissons celle se basant sur le régime uniforme de l’écoulement. Le régime uniforme est la solution telle que u(x, z) et dm(x) soient constants.

D’après la relation (7.1), la solution uniforme, uh, rh, vérifie

0 = −gI − C₂f uh_r|uh|

h

, (7.2)

ce qui se réécrit (formule de Chézy) uh = s 2g Cf r 2 3 hI 1 2_, (7.3) oùq_C2g

f qui est le coefficient de Chézy. Avec la paramétrisation de Manning-Strickler, Cf =

2g K2 sr 1 3 h , on obtient la relation de Manning-Strickler (Carlier [Car 1972]) :

U = Ksr 2 3 hI 1 2, (7.4)

où rH = _2dd_bb_+WWc_c est le rayon hydraulique et le coefficient de Strickler, Ks = 110 pour du verre

(Chow [Cho 1959]).

En pratique, pour calculer rh, la hauteur d’eau, db (Fig. (7.1)), est mesurée, ainsi que le

débit, Qc. En outre, la détermination de la position du ressaut hydraulique avec la relation

(7.4) consiste à estimer la position des hauteur conjuguées du ressaut hydraulique. Sur la figure (7.2), nous avons superposé aux résultats expérimentaux les valeurs de ls, estimées à l’aide de

CHAPITRE 7. RÉGIMES À RESSAUTS HYDRAULIQUES 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0 10 20 30 40 50 60 70 α l s/dcr s c sd

Figure 7.2 – Longueur de la zone supercritique, l_spour 0.61 ≤ F_{0 ≤ 0.66 : (¤), exp. du régime} sc; (✩), exp. du régime sdet (¨) longueur estimée à l’aide de la relation de Manning (eq. (7.4)).

la relation (7.4). Sur cette figure, on peut observer, que dans les deux régimes, la longueur de la zone supercrtique, ls calculée avec l’equation (7.4), croît avec α dans les deux régimes. De plus,

la figure (7.2) montre que le modèle de Saint Venant prédit le changement brutal de la position du ressaut hydraulique, déjà observé dans les expériences. Ces deux résultats montrent que la relation de Manning permet de retrouver la position longitudinale du ressaut hydraulique dans les régimes sc et sd.

On remarque également que les valeurs de lsestimées à l’aide du modèle de Saint-Venant sont

un peu plus élevées que celles des résultats expérimentaux. Pour les points de fonctionnement du régime sd, (Fig. (7.2)), cette surestimation est inférieure à 5%. Par contre, dans le régime sc, cette

surestimation augmente, sauf pour α = 0.15 où elle reste inférieure à moins de 5%, à plus de 20% pour α ≥ 0.18. Cette surestimation, dépendante des valeurs de α, est représentative des limites d’application du modèle dans le plan des paramètre {α, F0}. Ainsi la question de la validité

des hypothèses du modèle, frottement estimé par un coefficient constant, pas de turbulence et pression hydrostatique, se pose pour ces valeurs de α.

Le modèle de frottement choisi n’explique pas un écart entre les expériences et le modèle de l’équation (7.4) non constant en fonction de α, car le coefficient de frottement de Strickler est indépendant des caractéristiques de l’écoulement.

La dissipation d’énergie due à la turbulence force l’apparition du ressaut hydraulique plus proche de l’obstacle dans les expériences que dans le modèle. Par contre, on ne connait pas encore la structure turbulente de l’écoulement en aval de l’obstacle pour affirmer que c’est la turbulence qui augmente la surestimation de ls par le modèle de Manning Strickler lorsque α augmente.

Nous reviendrons sur ce point dans le chapitre 8.

Zhu et Lawrence [ZL 1998] montrent qu’au voisinage de l’obstacle, les effets non-hydrostatiques sont importants, et donc modifient la hauteur d’eau, db en aval de l’obstacle par rapport au cas

où l’écoulement est hydrostatique. Ces auteurs montrent que celle-ci est la plus élevée dans le cas non-hydrastique. Le cas échéant, le nombre de Froude est plus faible et donc le ressaut se forme plus loin de l’obstacle avec le modèle hydrostatique. Lorsque α augmente, les accélérations

verti-7.1. POSITION LONGITUDINALE DES RESSAUTS HYDRAULIQUES −20 0 2 4 6 8 10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x/H z/H A B F_l(x) = 1 F_l(x) > 1 F_l(x) < 1 −20 0 2 4 6 8 10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1 1 1 1.05 1.05 1.05 1.1 1.1 1.1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.6 1.6 1.6 1.6 −20 0 2 4 6 8 10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 z/H A B x/H F l(x) > 1 (a) (b)

Figure 7.3 – Nombre de Froude local, F_{l(x) en aval de l’obstacle pour deux points de} fonction-nement : (a), α = 0.31 et F0 = 0.54, régime sc; (b), α = 0.31 et F0 = 0.56, régime sd. ( ),

obstacle ; (. . .), position de la surface libre ; (. . ) limite de l’obstacle apparent, dm(x)

H .

cales augementent et donc la non-hydrostaticité également. L’écart à l’hydrostaticité joue donc un rôle dans l’évolution de la surestimation de la position longitudinale du ressaut hydraulique en fonction de α dans le régime sc.

7.1.3 Etude de la transition entre les régimes sc et sd (T2 sur la figure 4.1))

L’analyse de la transition T2 conduite dans ce paragraphe s’appuie sur des résultats

ex-périmentaux développés jusqu’ici et des résultats issus de l’étude des modèles asymptotiques (chapitre 2).

Nous allons ainsi faire un raisonnement analogue à celui Houghton et Kasahara [HK 1968] et Baines [Bai 1995] lors de l’analyse des solutions du modèle de Saint-Venant non-linéaire (§2.5). Parmi les solutions de ce modèle, dont le diagramme de fonctionnement est présenté sur la figure (2.2), deux nous intéressent pour expliquer la transition T2 : celles de la région (BADC)

et celles de la région (DAE). Dans (BADC), un ressaut hydraulique se forme au-dessus de l’obstacle alors que dans (DAE), il n’y a pas de ressaut hydraulique et l’écoulement est partout supercritique en aval de l’obstacle (voir §2.5.3). La transition entre les deux régime est la courbe (AD). On reconnait dans les solutions de la région (BADC) un comportement analogue à celui obtenu expérimentalement dans notre régime sc i.e. un ressaut hydraulique est situé proche de

l’obstacle et dans la région (DAE), un comportement analogue à celui du régime expérimental sd i.e. l’écoulement est supercritique sur une distance relativement longue en aval de l’obstacle,

T2 étant la transition entre les régimes sc et sd

Il existe cependant une différence importante : au cours de nos expériences nous n’avons jamais observé la formation d’un ressaut hydraulique au dessus de l’obstacle. Par contre, comme le montre la figure (7.3.a), pour le point de fonctionnement {α = 0.31, F0 = 0.54}, appartenant

au régime sc, le pied du ressaut hydraulique est situé au dessus de l’obstacle apparent, dont la

limite est repérée par la courbe (AB). De plus, sur cette figure, on peut voir que la transition supercritique/souscritique du nombre de Froude local, Fl(x), s’effectue elle aussi au-dessus de

l’obstacle apparent. Pour le point de fonctionnement {α = 0.31, F0 = 0.56}, appartenant au

CHAPITRE 7. RÉGIMES À RESSAUTS HYDRAULIQUES

(a)

(b)

Figure 7.4 – Lignes de courant au dessus de l’obstacle apparent : (a), régime s_c, α = 0.31 et F0 = 0.54, le ressaut hydraulique est positionné en _Hx = 4.5 ; (b), régime sd, α = 0.31 et

F0 = 0.56

dessus de l’obstacle apparent (Fig. (7.3.b)) ni de transition supercritique/souscritique de Fl(x).

En effectuant un raisonnement analogue à celui de Houghton et Kasahara [HK 1968] et Baines [Bai 1995] , on peut donc en conclure que l’obstacle apparent stabilise le ressaut hydraulique proche de l’obstacle dans le régime sc, ce qui n’est plus le cas dans le régime sd, où le ressaut se

propage alors vers l’aval. D’autres mécanismes entrent alors en jeu et un autre ressaut hydraulique se forme plus en aval. Sur les figures (7.3.a) et (7.3.b), on observe que l’obstacle apparent est plus court dans le régime sd que dans sc. Il y a donc une concordance entre la longueur suivant

x de l’obstacle apparent, plus courte dans le régime sd, et le fait que le ressaut hydraulique se

propage en aval de l’obstacle.

De plus, on déduit que la transtion T2 entre les régimes sc et sd est analogue à la courbe

(AD) de l’étude de Hougton et Kasahara [HK 1968] et Baines [Bai 1995] (Fig. (2.2)), mais avec la position du ressaut hydraulique contrôlée par l’obstacle apparent dans le régime sc.

7.2

Structure spatiale des ressauts hydrauliques

Ce paragraphe a deux objectifs. Le premier est de caractériser la structure spatiale des res-sauts hydrauliques et de déterminer quels mécanismes modèlent cette structure spatiale. Le deuxième objectif est d’étudier comment se forme et se positionne le ressaut hydraulique dans le régime sd.

Nous avons vu qu’il y a une interaction entre le ressaut hydraulique formé à la surface libre et la structure de l’écoulement local (longueur de l’obstacle apparent par exemple, figures (7.3.a)

7.2. STRUCTURE SPATIALE DES RESSAUTS HYDRAULIQUES

(a) (b)

Figure 7.5 – Classification des ressauts hydrauliques ondulés selon Chanson et Montes [CM 1995] : (a), représentation schématique de chaque type de ressauts hydraulique observés ; (b), classification des ressauts dans l’espace des paramètres {dcr

Wc, F1} : (◦) type A, (4) type B,

(×) type C, (+) type D, (B) type E.

et (7.3.b)). De plus, en comparant les figures (7.4.a) et (7.4.b), on remarque que la forme des lignes de courant est corrélée avec la position du ressaut hydraulique par rapport à l’obstacle. Ainsi, pour le point de fonctionnement {α = 0.31, F0 = 0.54} dans le régime sc, les lignes de

courant sont courbées et présentent un minimum en x

H = 6, du fait de la proximité du ressaut

hydraulique de l’obstacle alors que pour {α = 0.31, F0= 0.56}, régime sd, à partir de _Hx >8, les

lignes de courant sont parallèles entre elles et à la paroi du fond du canal. Sachant d’autre part que lorsqu’un écoulement supercritique est généré par une vanne, les lignes de courant sont parallèles entre elles en amont de celui-ci (e.g. Ohtsu et Yasuda [OY 1994], Wilson et Turner [WT 1972]), nous pouvons en déduire que l’écoulement en amont des ressauts hydrauliques du régime sd, et

non celui en amont des ressauts hydrauliques du régime sc, est similaire à l’écoulement en amont

des ressaut hydrauliques issus de vannes.

Pour les ressauts hydrauliques issus de vannes, en fonction des valeurs du nombre de Froude F1 = √_gdu0

m(x_f1) où xf1 est l’abscisse du pied du ressaut hydraulique il existe diverses typologies

(e.g., Binnie et Orkney [BO 1954], Chanson et Montes [CM 1995], Ohtsu et coll. [OYG 2003]). En comparant les ressauts hydrauliques des régimes sc et sdavec les différents types de ressauts

hydrauliques obtenus et classés par Chanson et Montes [CM 1995], nous souhaitons déterminer si les ressauts hydrauliques formés dans les régimes sc et sd comportent des analogies avec les

ressauts hydrauliques issus de vannes.

7.2.1 Typologie des ressaut hydrauliques issus d’une vanne

Sur la figure (7.5.a) est représentée la typologie des ressauts hydrauliques que l’on peut ren-contrer à la surface libre d’un écoulement en aval d’une vanne (Chanson et Montes [CM 1995]). Par ailleurs, sur la figure (7.5.b) est présentée la classification établie par Chanson et Montes [CM 1995], en fonction des valeurs de dcr

Wc et du nombre de Froude au pied du ressaut

hydrau-lique, F1. Il est important de noter que ces auteurs introduisent la largeur du canal, Wc, pour

CHAPITRE 7. RÉGIMES À RESSAUTS HYDRAULIQUES

un élément clé dans la formation et la structure spatiale des ressauts hydraulique en dépend (Fig. (7.5.b)). Cinq types de ressauts hydrauliques sont mis en évidence (Fig. (7.5.a)). Un bref descriptif de chaque type de ressaut hydraulique est proposé ci-dessous :

➢ _{Type A (◦, Fig (7.5.b))}

Des ondulations bidimensionnelles de faible amplitude apparaissent en aval de ces ressaut hydrauliques. De plus, il n’y pas de génération de bulles ni d’effets de parois notoires. Il s’agit donc de ressauts hydrauliques ondulés ne déferlant pas.

➢ _{Type B (4, Fig (7.5.b))}

Le train d’onde en aval du ressaut hydraulique persiste mais celui-ci devient tridimensionn-nel. En effet, des ondes obliques se forment au niveau des parois latérales et se rejoignent à la crête de l’onde. Sur la crête du ressaut se développent des ondes capillaires. Pour ce type de ressaut hydraulique, aucune formation de bulle n’est observée.

➢ _{Type C (×, Fig (7.5.b))}

L’aspect tridimensionnel se conserve tout au long du train d’onde. En plus des ondes capillaires sur la face amont du ressaut hydraulique, un rouleau de petite taille, situé au centre du canal, apparaît sur la face aval du ressaut. Ce rouleau est petit (en comparaison avec l’amplitude du ressaut hydraulique) et sa présence sur la surface libre met en évidence le caractère déferlent du ressaut hydraulique.

➢ Type D (+, Fig (7.5.b))

Les ressauts hydrauliques de ce type sont aux aussi tridimensionnels et sont caractérisés par la formation d’un rouleau situé sur leur crête. Ce rouleau est plus long et plus large que celui mis en évidence sur la crête des ressaut hydrauliques du type C. De plus de tels ressauts hydrauliques entraînent des bulles d’air à l’intersection des ondes obliques latérales et du rouleau. Sur la deuxième crête du train d’onde se forme un rouleau, plus petit et similaire à celui observé sur la crête des ressaut hydrauliques du type C.

➢ Type E (B, Fig (7.5.b))

La taille du rouleau, présent sur la crête du premier ressaut hydraulique, est plus longue et plus large que dans le type D. Vue de dessus, la forme du rouleau est un W . Un taux de bulle très fort est généré par la présence de ce rouleau. Les ondes formées en aval du ressaut hydraulique ne sont plus tridimensionnelles mais bidimensionnelles (comme dans le type A).

7.2.2 Des ressauts hydrauliques ondulés (régime sc)

Dans ce paragraphe, on veut décrire la structure spatiale des ressauts hydrauliques du régime sc.

On compare les ressaut hydrauliques du régimes sc à ceux issus de vannes et décrits par

Chanson et Montes [CM 1995].

Sur la figure (7.6), nous avons représenté l’évolution du nombre de Froude F1, calculé au pied

du ressaut hydraulique, dans le régime sc pour 0.15 ≤ α ≤ 0.25. On peut y observer que F1

augmente avec α. Ce comportement signifie que lorsque la hauteur d’eau au-dessus de l’obstacle diminue, le nombre de Froude au pied du ressaut hydraulique augmente. Ce comportement est dû à l’accélération du fluide au passage de l’obstacle qui augmente lorsque la hauteur d’eau diminue. Pour les autres points de fonctionnement étudiés dans ce régime, la gamme de valeurs du nombre de Froude F1 est 1.04 ≤ F1 ≤ 1.49. Il reste désormais à replacer dans le plan {d_Wcr_c, F1} tous

les points de fonctionnement appartenant au régime sc que nous avons analysé pour pouvoir les

7.2. STRUCTURE SPATIALE DES RESSAUTS HYDRAULIQUES 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

α

Figure 7.6 – Nombre de Froude, F₁, calculé au pied du ressaut hydraulique (régime s_c) en fonction de α (0.62 ≤ F0≤ 0.64). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 R BC S BC R AB S AB R CD S CD Type A Type B Type C _{Type D} F 1 d cr/Wc

Figure7.7 – Classification des ressauts hydrauliques du régime s_c: (¤) points de fonctionnement de notre étude appartenant au régime sc; ( ), transition entre les ressauts hydraulique de