1ereS_Ex_Chapitre 06

(1)

5. Exercices et corrig ´es

. N°37 p.132- Enonc ´e

un= n 2 − 3n + 1. Calculez u1, u2, u3, u4, u5.

. N°37 p.132- Corrig ´e

u1= 2 ; u2= −1 ; u3= 1 ; u4= 5 ; u5= 11.

. N°47 p.132- Enonc ´e

Dans chacun des cas ci-dessous, trouvez la fonction f telle que, pour tout entier naturel n, un= f (n),

et calculez les termes de u0`a u5.

a) un= 2n + 5 b) un= n2₋₁ n+2

. N°47 p.132- Corrig ´e

a) f : n 7→ 2n + 5. u0= f (0) = 2 × 0 + 5 = 5 ; u1= f (1) = 2 × 1 + 5 = 7 ; u2= f (2) = 2 × 2 + 5 = 9 ; u3= f (3) = 2 × 3 + 5 = 11 ; u4= f (4) = 2 × 4 + 5 = 13 ; u5= f (5) = 2 × 5 + 5 = 15 ; a) f : n 7→n2₋₁ n+2. u0= f (0) = 0 2 −1 0+2 = − 1 2; u1= f (1) = 12 −1 1+2 = 0 ; u2= f (2) = 22 −1 2+2 = 3 4; u3= f (3) = 3 2 −1 3+2 = 8 5; u4= f (4) = 42−1 4+2 = 15 6 = 5 2; u5 = f (5) = 52−1 5+2 = 24 7 ;

. N°49 p.132- Enonc ´e

Dans chacun des cas ci-dessous, trouvez la fonction f telle que, pour tout n ∈ N, un= f (n), et calculez les termes u₀ `a

u5. a) un= n √ n+1 b) un= n 2 −√n+ 1

. N°49 p.132- Corrig ´e

a) un= n √ n₊₁ f_{: x ∈ ]−1; ∞[ 7→} x √ x+1 u0= 0 ;u1=√1 2; u2= 2 √ 3; u3= 3 2; u4= 4 √ 5; u5= 5 √ 6. b) un= n 2₋√_n_{+ 1} u0= 1 ;u1= 1 ; u2= 5 −√2 ; u3= 10 −√3 ; u4= 15 ; u5= 26 −√5.

. N°52 p.132- Enonc ´e

La suite (un) est d´efinie par la donn´ee explicite du terme un pour tout entier naturel n.

Dans chacun des cas suivants, exprimez en fonction de n les termes un₋₁, un₊₁, u_2n, u_2n+1de la suite (un).

a) un= 3n 2

− 1 b) un=2n−1

(2)

a) un= 3n 2_{− 1} un₋₁= 3(n − 1) 2_{− 1} = 3(n2_{− 2n + 1) − 1} = 3n2− 6n + 3 − 1 = 3n2_{− 6n + 2} un+1= 3(n + 1) 2_{− 1} = 3(n2_{+ 2n + 1) − 1} = 3n2_{+ 6n + 3 − 1} = 3n2_{+ 6n + 2} u2n= 3(2n)2− 1 = 3(4n2) − 1 = 12n2_{− 1} u2n+1= 3(2n + 1)2− 1 = 3(4n2_{+ 4n + 1) − 1} = 12n2+ 12n + 3 − 1 = 12n2_{+ 12n + 2} b) un=2n−1 n+1 un₋₁= 2(n−1)−1 (n−1)+1 =2n−2−1n₋₁₊₁ =2n−3 n un₊₁=2(n+1)−1 (n+1)+1 =2n+2−1 n+1+1 =2n+1 n+2 u2n=2(2n)−1_(2n)+1 =4n−1 2n+1 u2n+1= 2(2n+1)−1_(2n+1)+1 =4n+2−1 2n+1+1 =4n+1 2n+2

. N°53 p.132- Enonc ´e

La suite (un) est d´efinie par la donn´ee explicite du terme un pour tout entier naturel n.

Dans chacun des cas suivants, exprimez en fonction de n les termes un₋₁, un+1, u2n, u2n+1de la suite (un).

a) un= n2_+n+1 2n+1 b) un= (−1)n+1 2(n+1)

. N°53 p.132- Corrig ´e

a) un= n2+n+1 2n+1 un₋₁= (n−1)2+(n−1)+1 2(n−1)+1 =n2_{−2n+1+n−1+1} 2n−2+1 =n2_−n+1 2n−1 un+1= (n+1)2_+(n+1)+1 2(n+1)+1 =n2_+2n+1+n+1+1 2n+2+1 =n2+3n+2 2n+3 u2n=(2n) 2_+(2n)+1 2×(2n)+1 =4n2_+2n+1 4n+1 u2n+1=(2n+1) 2_+(2n+1)+1 2×(2n+1)+1 =4n2_+4n+1+2n+1+1 4n+2+1 =4n2+6n+3 4n+3 b) un= (−1)n+1 2(n+1) un₋₁= (−1)(n−1)+1 2((n−1)+1) =(−1) n 2n un+1= (−1)(n+1)+1 2((n+1)+1) =(−1)_2n+4n+2 u2n=(−1) 2n+1 2(2n+1) =(−1)_4n+22n+1 =_4n+2(−1) u2n+1= (−1) (2n+1)+1 2((2n+1)+1) =(−1)_4n+42n+2 =_4n+4(+1)

. N°38 p.132- Enonc ´e

u0= 3, et pour tout n ∈ N, un+1= un 2 − 3. Calculez u1 et u2.

. N°38 p.132- Corrig ´e

u =3 _{− 3 = −}3_{; u} ₌ −32 _{− 3 = −}3_{− 3 = −}15_.

(3)

. N°51 p.132- Enonc ´e

Dans chacun des cas suivants, trouvez la fonction f telle que, pour tout n ∈ N, un+1= f (un), et calculez les termes de

u1 `a u5. a) u0= 2 un₊₁= un−1 un b) u0= 1 un+1= un(un+ 1)

. N°51 p.132- Corrig ´e

a) f : x 7→ f(x) = x₋₁ x u0= 2 (´enonc´e) u1= f (2) = 2−1₂ =1₂ u2= f (1₂) = 1 2−1 1 2 = −12 1 2 = −1 u3= f (−1) =−1−1₋₁ = −2₋₁= 2 u4= f (2) = 2−1₂ =1₂ u5= f (1₂) = u2= −1

... les résultats vont donc ”se répéter”, on dit que la suite est périodique. b) f : x 7→ f(x) = x(x + 1) u0= 1 (énoncé) u1= f (1) = 1(1 + 1) = 2 u2= f (2) = 2(2 + 1) = 6 u3= f (6) = 6(6 + 1) = 42 u4= f (42) = 42(42 + 1) = 1806 u5= f (1806) = 1806(1806 + 1) = 3263442

... les valeurs de la suite semblent ˆetre de plus en plus grandes, peut-ˆetre qu’elle ”tend vers l’infini”.

. TP36 p.132- Enonc ´e

Calcul du terme d’indice n d’une suite définie par récurrence à la calculatrice. ´

Ecriture d’un algorithme de calcul pour la suite d´efinie par

u0= 1

un+1= 2un+ 5

1) Tester le programme propos´e dans le livre ; calculer le 9° terme de la suite 2) Adapter ce programme `a la suite

u0= 1

un+1= 5 + un

2

Calculer le 10° terme de cette suite. 3) Adapter ce programme `a la suite

v0= 2

vn+1= 3 2vn− 1

Calculer le 100° terme de cette suite.

. TP36 p.132- Corrig ´e

1) Programme : SUITE1 :Prompt N :1→U :For(I,1,N) :2*U+5→U :End :Disp ”U”,N,”=”,U

Le r´esultat obtenu avec ce programme est : u9= 3067.

2) On modifie le programme pr´ec´edent en : Programme : SUITE1 :Prompt N :1→U :For(I,1,N) :5+U/2→U :End :Disp ”U”,N,”=”,U

(4)

Programme : SUITE1 :Prompt N :2→U :For(I,1,N) :(3/2)*U-1→U :End :Disp ”U”,N,”=”,U

Le r´esultat obtenu avec ce programme est : u100= 2.

. N°55 p.132- Enonc ´e

On consid`ere la suite

u0= 1

un+1= un+ 5

1) Calculez les termes u1 `a u5

2) Conjecturez une formule explicite permettant de calculer directement unen fonction de n.

3) A partir de la formule obtenue, retrouvez la valeur de u0, et la relation de r´ecurrence entre unet un+1.

. N°55 p.132- Corrig ´e

1) On peut calculer les premiers termes `a la calculatrice, on obtient :

u0= 1 ; u1= 1 + 5 = 6 ; u2= 6 + 5 = 11 ; u3= 11 + 5 = 16 ; u4= 16 + 5 = 21 ; u5= 21 + 5 = 26

2) Il semblerait que un= 5n + 1.

3) Supposons que l’on ait bien, pour tout n ≥ 0, un= 5n + 1.

pour n = 0, il vient : u0= 5 × 0 + 1 = 1, ce qui est cohérent avec l’énoncé.

Avec cette formule, on aurait : un+1= 5(n + 1) + 1 = 5n + 5 + 1 = 5n + 1 + 5 = un+ 5, et l’on retrouve la formule de

récurrence donnée dans l’énoncé.

. N°56 p.132- Enonc ´e

On consid`ere la suite u0= 1 un+1= 1 − 1 1+un

1) Calculez les termes u1 `a u5

2) Conjecturez une formule explicite permettant de calculer directement unen fonction de n.

3) A partir de la formule obtenue, retrouvez la valeur de u0, et la relation de r´ecurrence entre unet un+1.

. N°56 p.132- Corrig ´e

1) On peut calculer les premiers termes `a la calculatrice, on obtient : u0= 1 ; u1= 1₂; u2=1₃; u3=1₄; u4= 1₅; u5=1₆

2) Il semblerait que un= 1 n+1.

3) Supposons que l’on ait bien, pour tout n ≥ 0, un= 1 n+1.

pour n = 0, il vient : u0=₀₊₁1 = 1, ce qui est cohérent avec l’énoncé.

Avec cette formule, on aurait : un+1= 1 (n+1)+1 =

1 n+2.

Toujours avec cette formule, on aurait : 1 − 1 1+un = 1 − 1 1+ 1 n+1 = 1 − 1 n+1 n+1+n+11 = 1 − 1 n+2 n+1 = 1 − n+1 n+2= n+2−(n+1) n+2 = 1 n+2, donc on a bien un+1= 1 − 1 1+un.

(5)

. N°57 p.132- Enonc ´e

(un) est d´efinie, pour tout entier naturel n, par :

un= n

3_{− 3n}2_{+ 2n + 1}

a) Calculez u0, u1, et u2.

Tous les termes de la suite sont-ils ´egaux ?

b) Factorisez (un− 1). Combien de termes de la suite sont ´egaux `a 1 ?

. N°57 p.132- Corrig ´e

a) u0= 1, u1= 14 et u2= 1, mais on ne peut pas en conclure que la suite est constante ; il s’agit peut-ˆetre de

co¨ıncidences. ”Des exemples ne prouvent rien !”. b) un− 1 = n

3_{− 3n}2_{+ 2n = n(n}2_{− 3n + 2)}

Le second facteur est un polynˆome du second degr´e que nous savons factoriser : n2_{− 3n + 2 = (n − 1)(n − 2).}

Donc un− 1 = n(n − 1)(n − 2). Or un= 1 ⇔ un− 1 = 0 ⇔ n ∈ {0; 1; 2}

Ainsi, seuls trois termes de la suite sont ´egaux `a 1 ; ce sont u0, u1, et u2.

. N°60 p.133- Enonc ´e

On donne : u0= 2, u1= 1 +1₂, u2= 1 +₁₊11

2

u3= 1 +₁₊11 1+ 1₂

1) Calculez les termes u1, u2 et u3

2) Conjecturez une formule permettant de calculer un+1 en fonction de un.

3) A partir de la formule obtenue, calculez la valeur de u4, u5, u6,et repr´esentez ces termes sur un axe gradu´e.

. N°60 p.133- Corrig ´e

1) u0= 2 ; u1= 3₂; u2 =5₃; u3=8₅.

2) On conjecture que un+1= 1 + 1 un

3) Avec cette formule, il vient : u4= 1 + 18 5

= 1 +₈5 =13₈

u5= 1 +₁₃8 =21₁₃; u6= 1 +13₂₁= 34₂₁ Pour faire une repr´esentation graphique, on prend des valeurs approch´ees :

u0= 2 ; u1= 1, 5 ; u2 ≈ 1, 67 ; u3= 1, 6 ; u4= 1, 625 ; u5≈ 1, 615

Les valeurs croissent, puis d´ecroissent, puis croissent, etc...