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Chapitre 11 : Fonction ln

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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Mme LE DUFF Terminale technologique STAV

Mathématiques - 1 -

I – Vers une nouvelle fonction. 1°) Définition.

Définition :

 Soit a un réel strictement positif, on appelle logarithme népérien de a, l’unique solution de l’équation . On note cette solution ln(a), qui se lit « logarithme népérien de a ».

 La fonction qui, à tout réel a strictement positif, associe le nombre réel ln(a) est appelée fonction logarithme népérien. On la note ln.

  Pour tout Valeurs remarquables :  car  car 2°) Propriétés. Propriétés :

 La fonction ln est définie et strictement croissance sur .  Pour tout réel a strictement positif : .

 Pour tout réel b : .

 Pour tous réels a et b strictement positifs : ssi .  Pour tous réels a et b strictement positifs : ssi .   et  .

Remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation .

11 – Fonctions logarithmes.

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Mme LE DUFF Terminale technologique STAV

Mathématiques - 2 -

Propriétés algébriques : Pour tous nombres réels strictement positifs a et b et tout nombre entier relatif n  ln(ab)lnalnba a ln 1 ln        a b b a ln ln ln         ln(an)nlna

 

ln( ) 2 1 ln aa

 Pour tout réel x :

II – Etude approfondie. 1°) Dérivée.

Propriété :

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Mme LE DUFF Terminale technologique STAV

Mathématiques - 3 -

2°) Limites. Propriété :

 La limite de la fonction ln, quand x tend vers 0 est égale à ,

. L’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe en 0.

 La limite de la fonction ln, quand x tend vers +∞ est égale à +∞,

. Interprétation :

 Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0, prend des valeurs de plus en plus petites (négatives et très grandes en valeur absolue).

 Lorsque x devient « très grand », alors devient « très grand ».

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