Mme LE DUFF Terminale technologique STAV
Mathématiques - 1 -
I – Vers une nouvelle fonction. 1°) Définition.
Définition :
Soit a un réel strictement positif, on appelle logarithme népérien de a, l’unique solution de l’équation . On note cette solution ln(a), qui se lit « logarithme népérien de a ».
La fonction qui, à tout réel a strictement positif, associe le nombre réel ln(a) est appelée fonction logarithme népérien. On la note ln.
Pour tout Valeurs remarquables : car car 2°) Propriétés. Propriétés :
La fonction ln est définie et strictement croissance sur . Pour tout réel a strictement positif : .
Pour tout réel b : .
Pour tous réels a et b strictement positifs : ssi . Pour tous réels a et b strictement positifs : ssi . et .
Remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation .
11 – Fonctions logarithmes.
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Mathématiques - 2 -
Propriétés algébriques : Pour tous nombres réels strictement positifs a et b et tout nombre entier relatif n ln(ab)lnalnb a a ln 1 ln a b b a ln ln ln ln(an)nlna
ln( ) 2 1 ln a a Pour tout réel x :
II – Etude approfondie. 1°) Dérivée.
Propriété :
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Mathématiques - 3 -
2°) Limites. Propriété :
La limite de la fonction ln, quand x tend vers 0 est égale à ,
. L’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe en 0.
La limite de la fonction ln, quand x tend vers +∞ est égale à +∞,
. Interprétation :
Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0, prend des valeurs de plus en plus petites (négatives et très grandes en valeur absolue).
Lorsque x devient « très grand », alors devient « très grand ».