Progression Chapitre 03 Fonctions_numeriques

(1)

1

1 1ère S

ère S

ère S –

–

– Progression CH03

Progression CH03

Fonction numériques

Date Contenu

Devoirs

Objectifs

Aperçu historique

Ex.A (fonctions et calculatrices)

Questions 1p48 1. Notions générales vues en seconde sur les fonctions numériques

A. Définitions et vocabulaire

Définition 3.1 (fonction, image, antécédent) exemple

Définition 3.2 (ensemble de définition) Exemple

Ex B (notations mathématiques pour les fonctions)

Questions 2p48 B. Représentation graphique

Définition 3.3 (courbe représentative)

C. Résolutions graphiques d'équations et d'inéquations Explication

Exemple

D. Variations et extremums (extrema)

Définition 3.4 (strictement croissante, strictement décroissante) Remarque

Interprétation graphique

Méthodes d'étude des variations vues en seconde Définition 3.5 (minimum, maximum)

Ex C (variations et extremums d'une fonction)

Questions 3p48 2. Fonctions usuelles vues en seconde

A. Fonctions affines Définitions, Représentation graphique, Premières propriétés. B. Fonction carré Définitions, Représentation graphique, Premières propriétés. A. Fonction inverse Définitions, Représentation graphique, Premières propriétés.

Ex D (fonctions usuelles vues en seconde)

Questions 4p48 3. Fonction racine carrée

A. Etude de la fonction racine carrée Définition 3.6 (fonction racine carrée) Propriété 3.1 (croissance)

Démonstration

(2)

63p64 (démo. absurde croissance racine carrée sur R+)

36p62 (encadrement) B. Positions relatives des courbes représentatives de

x

2,

x

et

x

.

Propriété 3.2 (positions relatives) Démonstration

Propriété 3.3 (symétrie de

x

2 et

x

par rapport à

y

=

x

) Démonstration

66p65 (courbe racine carrée au-dessus de sa corde- concave-)

67p65 (positions relatives, calculatrice) 4. Valeur absolue

A. Notion de valeur absolue Définition 3.7 (valeur absolue de x) Schéma Exemples Remarque Propriété 3.4 (

x

= ±

x

) Démonstration 96p69 (lieu de points) Questions 5p48 B. Fonction valeur absolue

Définition 3.8 (fonction valeur absolue) Tableau de variations

Représentation graphique

Propriété 3.5 (premières propriétés calculatoires) Démonstration

59p64 (étude de

x

2 )

65p65(algo fonction définie par morceaux)

TP04: Analyser à la calculatrice des variations de fonctions, 25p.60. (+26) 5. Opérations sur les fonctions

A. Egalité

Définition 3.9 (égalité de fonctions) Ensemble de définition

Conjecture avec GeoGebra du comportement de k.f et de f+k B. Opérations simples

Définition 3.10 (f+k) Exemple

Propriété 3.6 (sens de variation) Démonstration

Propriété 3.7 (translation du graphe) Démonstration Remarque 50p64 (x2+3) 51p64 Définition 3.11 (k.f) Exemple

(3)

Propriété 3.9 (multiplication de l'ordonnée) Démonstration

Remarque

46p63 (fonctions composées à base de racine carrée)

43p63 (construction de courbes) C. Composition avec la fonction inverse

Définition 3.12 (fonction inverse de u) Exemple

Exemple

41p62 (reconnaissance de courbes de fonctions inverses)

39p62 D. Composition avec la fonction racine carrée

Définition 3.13 (fonction racine carrée de u) Exemple

37p62 (reconnaissance de graphes de fonctions composées) 68p65 (à partir d'une situation géométrique)

79p68 (représentation de |f|)

93p69 95p69 (GeoGebra) Synthèse du Chapitre 03.

(4)

1

1 1ère S

ère S

ère S –

–

– TP

TP

TP03

03

03 C

C

Calculatrice

alculatrice

alculatrice et

et

variations de fonctions

variations de fonctions ---- corrigé

variations de fonctions

corrigé

1°) Saisie des fonctions, affichage des graphes.

Touche "

f x

( )

" (ou "Y=") dans le menu supérieur; entrer, devant "Y1=", l'expression de la fonction

f x

( )

(taper "X" via la touche "

x t

, , ,

θ

n

", et devant "Y2=", celle de la fonction

g x

( )

.

Puis touche "graphe" pour afficher les graphes, changer les paramètres de la fenêtre (touche "fenêtre") si nécessaire, en particulier si on ne veut que les valeurs positives, on peut prendre Xmin=0 et Ymin=0.

2°) Conjecture.

a) La fonction

f x

:

֏

x

est monotone croissante sur ℝ*₊; la fonction

g x

:

1 x

֏

_{est monotone décroissante sur} * +

ℝ .

b) On tape l'expression de h dans l'environnement "

f x

( )

" (ou "Y="), puis on affiche avec "graphe".

La fonction h ne semble pas monotone sur ℝ*₊: elle semble décroissante jusqu'à environ x =1, et croissante ensuite.

c) On change les paramètres dans l'environnement "fenêtre" (ou "window"): on peut prendre par exemple les paramètres ci-dessous. D'où le tableau de variations suivant sur ℝ*₋.

(5)

d) On suit le même protocole que pour la question 1:

D'où les tableaux de variations:

e) Conjectures:

La somme de deux fonctions monotones sur un intervalle n'est pas nécessairement monotone sur cet intervalle. Si elles sont monotones et de même sens de variation, il est possible que leur somme soit monotone et ait elle aussi le même sens de variation.

3°) Démonstration.

a) Somme de deux fonctions croissantes.

Soient donc I un intervalle,

a

et b dans I tels que a<b, et

f

et

g

deux fonctions définies et croissantes sur I.

( )

(

)( ) (

)( )

( croissante)

(g croissante)

f a

f b

f

a

b

f a

g a

f b

g b

f

g

a

f

g

b

g a

g b

<



<

⇒



⇒

+

<

+

⇒

+

<

+

<



,

c'est-à-dire que la fonction

f

+

g

est croissante sur I.

Pté 1: La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle est croissante sur cet intervalle.

b) Somme de deux fonctions décroissantes.

Soient donc I un intervalle,

a

et b dans I tels que a<b, et

f

et

g

deux fonctions définies et décroissantes sur I.

( )

(

)( ) (

)( )

( décroissante)

(g décroissante)

f a

f b

f

a

b

f a

g a

f b

g b

f

g

a

f

g

b

g a

g b

>



<

⇒



⇒

+

>

+

⇒

+

>

+

>



,

c'est-à-dire que la fonction

f

+

g

est décroissante sur I.

Pté 2: La somme de deux fonctions décroissantes sur un intervalle est décroissante sur cet intervalle.

Finalement, on a:

Pté 3: La somme de deux fonctions monotones de même sens de variation sur un intervalle est monotone et de même sens de variation que celles-ci sur cet intervalle.

c) En revanche, la somme de deux fonctions monotones de sens de variation différents n'est pas nécessairement monotone, on en a vu un contre-exemple à la question 2°b. (je rappelle qu'un contre-exemple suffit pour démontrer qu'une affirmation est fausse, alors pourquoi se fatiguer davantage?).

(6)

4°) Applications

a) La fonction f x: ∈[0;+∞[֏ f x( )=2x+ +1 x est la somme de deux fonctions (x֏2x +1_et

_x

֏

_x

) croissantes sur

ℝ

₊, donc

f

est croissante sur

ℝ

₊.

La fonction

x

∈

]1;

+∞

[

֏

x

−

1

est croissante et de signe constant strictement positif sur

]1;

+∞

[

; sa composée par la fonction inverse est donc décroissante sur

]1;

+∞

[

.

Ainsi, la fonction

:

]1;

[

( )

1

1 g x

g x

x

∈

+∞

=

−

֏

est la somme de deux fonctions (

1

1 x

x −

֏

et x֏−x) décroissantes sur

]1;

+∞

[

, donc

g

est décroissante sur

ℝ

₊.

b) Représentations graphiques:

N.B: Le second graphe est faux, le trait vertical au milieu des deux courbes n'existe pas (ma TI-83 Plus.fr affiche un graphe exact, il s'agit peut-être d'un bug de l'émulateur).

(7)

1ère S

1ère S –

–

– DM03

DM03

Distance d'un point à une droite

Distance d'un point à une droite ---- corrigé

corrigé

Représentation du problème sous GeoGebra:

1a) Calcul de AM:

(

)

2

(

)

2 2

(

)

2

1

1 AM

=

x

−

+

y

−

=

x

+

y

−

1b) Expression en fonction de

x

: On a

y

=

x

−

4

, d'où:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 5 10 25 2 10 25 AM x y x x x x x x x x x = + − = + − − = + − = + − + = − +

2a) La fonction

f x

:

֏

2 x

2

−

10 x

+

25

est la composée de

u x

:

֏

2 x

2

−

10 x

+

25

par une racine carrée.

Or ce trinôme est toujours strictement positif, en effet

100

∆ = − et a =2>0.

Donc la fonction

f

est bien définie sur

ℝ

.

2b)

2c) Soient I un intervalle de

ℝ

, et

u

une fonction définie sur I, positive sur I.

Alors la fonction

u

a le même sens de variation que

u

sur I.

2d) La valeur minimale prise par AM est

25

5 3,53

2 =

2 ≃

C'est la distance du point A à la droite d'équation

4