1ère STAV Mme LE DUFF Fiche méthode 7 : Première STAV – Dérivation et étude des variations d’une fonction.
Méthode :
Déterminer la dérivée f’ (voir tableau des dérivées).
Etudier le signe de f’ (bien respecter l’intervalle donné dans l’énoncé pour les valeurs de x dans le tableau).
Si f’ est une constante alors son signe est évident (soit elle est positive, soit négative). Si f’ est une fonction affine (ax+b) :
Deux méthodes possibles :
o Résoudre ax+b=0. Placer cette valeur dans le tableau. f’ est du signe de a après cette valeur (si vous ne vous souvenez pas de cette règle, calculer avec des valeurs simples et regardez le signe du résultat, le signe restant constant dans chaque case, un calcul par intervalle suffit).
o Ou Résoudre ax+b≥0. Placer cette valeur dans le tableau. f’ est positive quand x répond au critère.
Si f’ est du second degré : voir méthode d’étude du signe d’un trinôme. Si f’ est un quotient (attention à la valeur interdite) :
o Le dénominateur est un carré donc il sera toujours positif, sauf à la valeur interdite où il sera nul.
o Il faut étudier le signe du numérateur, c’est lui qui donnera le signe au quotient. Se ramener aux études de signes vues au-dessus en fonction du type de numérateur.
En déduire les variations de f : quand f’ est positive f est croissante, quand f’ est négative f est
décroissante. Ne pas oublier de remplir les valeurs (toutes sauf celles en ±∞) à l’aide du mode table de la calculatrice graphique.
Exemple (dérivée de type affine) :
Soit f la fonction définie sur
[ ]
−1;3 par f(x)=−2x²+5x. Donner le tableau de variations de f. => f'(x)=−4x+5 −4x+5≥0(de signe +) −4x≥−5 4 5 4 5 = − − ≤x (x plus petit que
4 5 ) La fonction f' s'annule en 4 5
. Elle est positive « avant » 4 5 . x -1 4 5 3 f'(x) + 0 - f(x) 3,125 -7 -3
1ère STAV Mme LE DUFF Exemple (dérivée de type quotient avec numérateur de type constante) :
Soit f la fonction étudiée sur
[ ]
2;9 par1 2 ) ( − = x x
f . Donner le tableau de variations de f (pas de valeur interdite ici avec cet intervalle d’étude).
1 2 − = = x v u 1 ' 0 ' = = v u
(
)
)² 1 ( 2 )² 1 ( 1 2 1 0 ) ( ' − − = − × − − × = x x x x f en utilisant la règle : ² ' ' 2 v uv v u v u = − (
)
2 1 −x est positif car c’est un carré, donc le quotient est du signe du numérateur : -2, qui est négatif. Donc on obtient le tableau suivant :
x 2 9 f '(x) - d f(x) 2 0,25 Car 2 1 2 1 2 2 ) 2 ( = = − = f et 0.25 4 1 8 2 1 9 2 ) 9 ( = = = − =
f (peuvent aussi être obtenues à l’aide du mode
