Mme LE DUFF Mathématiques 1ère STAV
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Fiche méthode 8 : Arbre de probabilités.
Quand faire un arbre ?
- Pour représenter des tirages successifs/lancers à la suite.
Construction :
- Au bout de chaque branche se trouve les éventualités. Tous les tirages de chaque étape doivent être écrits.
- Sur chaque branche figure la probabilité correspondante.
Utilisation :
- Identifier les branches correspondant à l’évènement souhaité. - Sur une même branche les probabilités se multiplient.
- Lorsque que plusieurs branches conviennent les probabilités de chaque branche s’additionnent.
Exemple :
Exemple 1 : (avec remise, les probabilités ne changent pas à chaque nœud).
On considère une pièce de monnaie équilibrée, on la lance deux fois en l’air, on regarde la face obtenue. L’univers est constitué de deux résultats équiprobables (pièce « équilibrée »): Pile et face. Chaque résultat a une probabilité de
2 1
.
On cherche la probabilité de l’évènement A : « On obtient exactement pile une fois ». Les branches 2 et 3 conviennent :
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Exemple 2 : (sans remise, les probabilités changent à chaque nœud).
On tire une boule dans une urne contenant 5 boules vertes, 3 boules rouges et 2 boules bleues indiscernables au toucher, puis, sans remettre la boule tirée dans l’urne, on tire une 2ème boule.
L’univers est constitué de l’ensemble des 10 boules de l’urne, il y a équiprobabilité (boules « indiscernables »).
On représente cette situation par un arbre de probabilités (attention dans la 2ème partie de l’arbre, la boule déjà tirée n’est plus dans l’urne, qui ne contient plus que 9 boules) :
On cherche la probabilité de l’évènement B : « On obtient deux boules de même couleur ». Les branches 1, 5 et 9 conviennent : Donc 0.31 9 1 10 2 9 2 10 3 9 4 10 5 ) (B = × + × + × ≈ p
