TS-Spé Vers les marches aléatoires 2013-2014
Monsieur Indécis a trois ami(e)s A, B etC. A chaque étape de sa marche aléatoire :
• S’il est chezA, il va chezB avec une probabilité de 1
3 ou chezC;
• S’il est chezB, il va chezAavec une probabilité de 3
4 ou chezC;
• S’il est chezC, il va chezB ou chezAde façon équiprobable.
I Graphe probabiliste
1 3
A
B
C
1. Que représente la probabilité 1
3 inscrite le long de la flêche allant deAversB?
2. Compléter les probabilités manquantes.
II Arbre de probabilités
On suppose que l’indécis part deA.
1. Réaliser un arbre de probabilités pour une marche à trois étapes.Donné dans ce document.
2. Calculer les probabilités que l’indécis soit enA, enB, enC en deux étapes.
3. Même question que précédemment en trois étapes.
4. Reprendre le travail précédent en supposant successivement que l’indécis part de B, puis de C. Émettre des remarques.
III Utilisation des matrices
On introduit une matriceT, à 3 lignes et 3 colonnes, appelée matrice de transition, dont les coefficients sont les probabilités de passage en une étape de A, B ou C à A, B ou C comme indiqué ci-contre. On appelle En la matrice à 1 ligne et 3 colonnes décrivant l’état probabiliste au bour denétapes.
1. (a) Écrire la matriceT avec tous ses coefficients.
(b) Que remarque-t-on sur la somme des coefficients d’une ligne ? Justifier.
2. Traduction matricielle des calculs du paragraphe précédent.
(a) M.Indécis partant deA, donnerE0.
(b) Donner une relation matricielle entreE0,E1 et T puis entreE0,E2 et T.
(c) A regard de la question précédente, quelle formule permettant de calculer les probabilités d’être en A, B ou C, au bout de n étapes, peut-on conjecturer ?
La démontrer par récurrence. Vérifier la relation de récurrence entre En+1 etEn avec l’arbre donné dans ce document
(d) Répondre aux questions de la partie 2 en utilisant le calcul matriciel.
3. Chez lequel de ses trois amies, M.Indécis a-t-il la plus grande probabilité de se trouver au bout de grand nombre d’étapes ? Cela dépend-il de chez quel ami il part ?
Notations des événements :
• An :« M.Indécis est en A en n étapes ».
• Bn :« M.Indécis est en B en n étapes ».
• Cn :« M.Indécis est en C en n étapes ».
Matrice de l’état probabiliste : En= p(An) p(Bn) p(Cn)
T=
pA(A) pA(B) pA(C) pB(A) pB(B) pB(C) pC(A) pC(B) pC(C)
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TS-Spé Vers les marches aléatoires 2013-2014
Étape 1 Étape 2 Étape 3
b b
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b
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b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b
. . . . . .
b b
An
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b
Bn+1
. . .
b
Cn+1
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b
Bn
. . .
b
An+1
. . .
b
Cn+1
. . .
b
Cn
. . .
b
An+1
. . .
b
Bn+1
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