Croissance de x 7→
1 +
1
x
x
Samuel Rochetin
Mercredi 27 février 2019
Exercice. Montrer que x 7→
1 + 1 x
x
est croissante sur ]0; +∞[. Solution. Soit f la fonction considérée.
Par définition d’une puissance réelle, ∀x ∈]0; +∞[, f (x) = e
x ln 1+1 x ! . Posons, ∀x ∈]0; +∞[, g(x) := x ln 1 + 1 x . Il vient aisément g0(x) = ln(x + 1) − ln x − 1 x + 1.
Quel que soit x ∈]0; +∞[, la fonction logarithme népérien est continue sur [x, x + 1] et dérivable sur ]x, x + 1[ donc d’après le théorème des accroissements finis, il existe cx∈]x, x + 1[ tel que ln(x + 1) − ln x =
1 cx . Donc ∀x ∈]0; +∞[, g0(x) = 1 cx − 1 x + 1. Ainsi : ∀x ∈]0; +∞[, cx< x + 1 ⇐⇒ 1 x + 1 < 1 cx ⇐⇒ 0 < 1 cx − 1 x + 1 ⇐⇒ g0(x) > 0
Donc g est croissante. Donc f = exp ◦g est croissante comme composée de fonctions croissantes.
