Transport non-linéaire et génération Terahertz dans des systèmes bidimensionnels sous forte irradiation optique

Spé ialité

:

Physique de la Matière Condensée E ole Do torale

:

389

préparée au Laboratoire Pierre Aigrain

Département de physique de l'E ole Normale Supérieure

présentéepar

Simon HUPPERT

pour obtenir legradede

Do teur de l'Université Pierre et Marie Curie

Sujetde thèse

:

Transport non-linéaire et génération Terahertz

dans des systèmes bidimensionnels sous forte irradiation optique

qui seraprésentéele 29septembre 2014 devant lejury omposéde

:

M. Henri-JeanDROUHIN Rapporteur

M. XavierMARIE Rapporteur

M. AlbertoBRAMATI Examinateur

Mme AngelaVASANELLI Examinatri e

Mme JulietteMANGENEY Invitée

Cette thèse traite de omportements non-linéaires dans deux types de systèmes

bidi-mensionnels diérents :leshétérostru tures semi ondu tri es ainsiqu'un matériau

mono- ou he,legraphène.Elle omportedeuxaxesprin ipaux :l'étudethéoriquede la

quanti- ationdeWannier-Starkdanslessuper-réseauxdepuitsquantiquesbiaiséséle triquement,

etlamodélisationd'eetsnouveauxpour lagénérationderayonnement éle tromagnétique

dansledomaine Terahertz.

Danslessuper-réseauxdepuitsquantiquessoumisàunetensionexterne,le hamp

éle -triqueinduit un onnement bidimensionneldesporteursde hargenomméquanti ation

deWannier-Stark.Onmodélisedeux onséquen esoriginalesde ettequanti ation:d'une

part, les fortesnon-linéarités dephoto ourant dansunsuper-réseau pla é entre deux

bar-rièrestunnelépaisses,etd'autrepart,lapossibilitéde ontrleréle triquementle ouplage

lumière-matière etle gain danslagamme Terahertz dansun super-réseau biaisé ouplé à

une mi ro avitéplanaire.

Dansun se ondtemps, onétudie quantitativement deuxeets non-linéaires nouveaux

pour lagénération Terahertz. Le premier est l'exaltation de l'émissionTerahertzdans un

système polaritonique en régime de laserà polaritons. On modélise pré isément et eet

et on propose un nouveau dispositif utilisant une mi ro avité double et permettant de

réduiretrèssigni ativementles pertespar diusion.Lese ondeetétudiéestletransfert

d'impulsion photonique dans legraphène sous ex itation impulsionnelle. On onstruit un

modèlemi ros opique prédi tifde e phénomènequipermetdedéterminerlesparamètres

importantspour l'optimisation de l'impulsionTerahertz générée.

twomainparts:thetheoriti alstudyofWannier-Starkquanti ationinele tri allybiased

quantum well superlatti es, and the modelling of new ee ts for ele tromagneti wave

generation inthe Terahertz range.

In quantum well superlatti es under an external voltage, the ele tri eld indu es

bidimensional onnement of the harge arriers, this ee t is known as Wannier-Stark

quanti ation.We examine two interesting onsequen es of this onnement :the strong

photo urrent nonlinearitiesindu ed when the superlatti e ispla ed between thi k tunnel

barriers, and the possibility to ontrol light-matter oupling aswell as Terahertz gain in

superlatti es oupled toa semi ondu tor mi ro avity.

In a se ond part of this work, we study quantitatively two new nonlinear ee ts for

Terahertzgeneration.TherstoneisTerahertzemissionexaltationinapolaritoni system

rea hing the polariton lasing regime. We model pre isely this ee t and suggest a new

s hemeusingadoublemi ro avityandprovidingverysigni antredu tionofthediusion

losses. The se ond ee t is photondrag in graphene under pulsed ex itation. We build a

mi ros opi and predi tive model for this phenomenon whi h provides a omprehensive

insight on therelevant parameters fortheoptimisation oftheTerahertz generation.

Toutd'abord,jeremer ietouslesmembresdemonjurypourl'intérêtqu'ilsontportéà

montravail,pourleursremarquesetleurs ommentaires,nombreuxetprotables:les

rap-porteurs,Henri-JeanDrouhinetXavierMarie,ainsiquelesexaminateursAlbertoBramati

etAngela Vasanelli.

Je suis parti ulièrement re onnaissant à Robson, mon dire teur de thèse, qui m'a

en- adrépendant troisansave exigen eetbienveillan e.Travailler ave lui aétéunegrande

han eetungrandplaisir.Il s'esttoujoursmontrédisponiblepourmefaireproterdeson

expérien eet de ses suggestions, etla onan e qu'il m'a a ordée pour mener

parallèle-ment desprojetsvariésarendumathèseparti ulièrement ri hed'enseignements,agradeço

porisso!Mer iégalement àFran es aetGérald,pourleurs onseils,leursen ouragements

etquelquesleçons surl'art baroque.

Cettethèsethéoriques'estbeau oupenri hiedel'intera tionave lesexpérimentateurs

de l'équipeTérahertz quejetiens à remer ier haleureusement.Un grand mer iàJuliette

dont la réativité, la nesse et l'enthousiasme ont été déterminants, ainsi qu'à Fanqi et

à Jean qui ont réalisé les expérien es dis utées dans ette thèse ave une persévéran e

parfoispro he dusa erdo e(Ahlephotondrag...).Mer ibeau oupàOmbline,Emmanuel

etJérme, ave quiles é hangesont étéaussiagréables qu'instru tifs.

Au-delà de l'intérêt s ientique, es trois années au LPA ont été pleines de belles

ren ontres et l'o asion de nouer des amitiés durables. Je remer ie i i Anne Matignon,

Fabienne Rénia et Jean-Mar Berroir, qui, en plus de fa iliter la vie administrative des

thésards, ontribuent àrappro herleséquipesetàrendrel'atmosphèreduLPAsiagréable,

grâ e notamment au foot du labo,une belle tradition dont j'espère qu'ellesera sauvée de

ladisparition.

Lesouvenirde estroisannéesestindisso iabledeCamilleetde Jeanave lesquelsj'ai

eu la joie de partager un bureau ave vue, un néon jaune et d'innombrables dis ussions

(divagations?) s ientiques ou non...mer i à eux deux! Plus largement, je remer ie tout

eux quiont ontribué à rendre agréable,drle et passionnant monséjour rueLhomond:

Sarah ave sa bonne humeur et ses tartes aux itron, Kenneth, le vieux sage, Matthieu

(toujours prêt à dégainer), Antoine, Pierri k et Mi hele et leurs débats passionnés au

déjeuner, Raphaël, Teldo, Udson (la brazilian onne tion), Sukhy, Feihu, Josh, Cé ile,

Anaïs, Fabien, Djamal, Simon Ferré, Simon Maero, François-Régis, Philippe, Vin enzo,

Mi haël, Adrien, Laure, Quentin Bernard,Yves, Louis-Anne,Isabelle,Benjamin...

Mer iàmafamilleetàmesamispourleursoutienetleurintérêtunpeudé on ertépour

montravaildethèse.Unepenséeparti ulièrepour Léonoredontj'attendsave impatien e

les ommentairesdèsqu'ellesauraparler.Ennjeremer ie Laeliapourtout equ'ellem'a

Introdu tion générale 1

1 Super-réseaux de puitsquantiqueset non-linéarités de photo ourant 5

Introdu tion . . . 6

1.1 Puits quantiques etsuper-réseauxde semi ondu teurs . . . 7

1.1.1 Puits quantiques . . . 7

1.1.2 Super-réseauxde puitsquantiques . . . 9

1.1.3 Super-réseauxsous hampéle trique . . . 13

1.1.4 Champ magnétiqueetquanti ation de Landau . . . 14

1.2 Absorption linéaire dessuper-réseaux . . . 16

1.2.1 Transitions bande àbande . . . 16

1.2.2 Transitions ex itoniques . . . 21

1.3 A umulationde hargeetphoto ourant non-linéaire . . . 30

1.3.1 Spe tred'absorption àbasse intensitéeté rantagedu hamp interne 31 1.3.2 Ex itationmono hromatique etpro essusd'a umulationde harge 35 1.3.3 Déformationdespi s ex itoniqueset bistabilité du photo ourant . . 40

1.3.4 Inversiondela pentedesniveaux de Wannier-Stark . . . 44

Con lusion . . . 46

2 Hétérostru tures en régime de ouplage fort : ontrle éle trique dans les super-réseaux et ampli ation bosonique de l'émission THz 47 Introdu tion . . . 48

2.1 Super-réseau en ouplage fort:des riptiondesétats polaritoniques . . . 49

2.1.1 Mi ro avité planaireet ouplage fort . . . 49

2.1.2 Super-réseausous hampmagnétique,polaritons bande à bande . . . 51

2.1.3 Polaritons ex itoniques. . . 59

2.1.4 Super-réseauen ouplage fortetgénération THz . . . 62

2.2 Ampli ation bosonique del'émission THzen régimede laserà polaritons . 65 2.2.1 Ampli ation bosonique de l'émissionspontanée . . . 65

2.2.2 Pro essusde pertes . . . 72

2.2.3 Ampli ation bosonique en avité multiple . . . 75

Con lusion . . . 82

3 Génération THz par transfert d'impulsionphotonique dans le graphène 83 Introdu tion . . . 84

3.1 Stru tureéle tronique du graphène:modèle desliaisonsfortes . . . 86

3.1.1 Etats stationnaires dumodèle . . . 86

3.1.2 Cal ul del'absorption interbande dugraphène. . . 89

3.2 Eetsoptiques non-linéaires danslegraphène . . . 92

3.2.1 Symétriepar inversion etnon-linéaritésdugraphène . . . 92

3.2.2 Transfert d'impulsionphotonique :modèlephénoménologique . . . . 93

3.2.3 Symétries dugraphène :analysedétaillée . . . 95

3.3.2 Signatures dutransfert d'impulsion photonique . . . 101

3.4 Modèlemi ros opique dutransfert d'impulsion . . . 104

3.4.1 Présentation du modèle . . . 105

3.4.2 Symétrie éle tron-trou . . . 106

3.4.3 Modélisationde laréponseéle tro-optique . . . 109

3.4.4 Temps de relaxationetdé alage enfréquen e . . . 111

3.4.5 Comparaison ave lesmesures etdis ussion ritiquedu modèle . . . 114

3.4.6 Optimisation de l'eet . . . 115

Con lusion . . . 118

Con lusion générale et perspe tives 119 A Super-réseaux de puits quantiques : méthodes de al ul 121 A.1 Validité desapproximations . . . 121

A.2 Eet du hampmagnétique . . . 125

A.3 Super-réseau detaille nieetmodi ation desdispersions . . . 127

B Modèledesliaisonsfortespourlegraphène:approximationauxdeuxièmes voisins 131 B.1 Etats stationnaires . . . 131

B.2 Eléments dematri e de ourant . . . 134

C Dynamique des porteurs dans le graphène : formalisme de la matri e

Lessystèmesbidimensionnels,danslesquelslesporteursde hargesontfortement

on-nés suivant une dire tion, font l'objetd'une a tivité de re her he très intense depuis

plu-sieurs dé ennies. Les plus répandus sont les hétérostru tures semi ondu tri es planaires

formées par l'assemblage de nes ou hes de matériaux semi ondu teurs dont l'épaisseur

etla ompositionsontajustéesenfon tion despropriétéséle troniquesouoptiques

re her- hées. Les te hniques de fabri ation perfe tionnées, omme l'épitaxie par jetmolé ulaire

[1, 2 ℄ ou le dépt himique en phase vapeur [3℄, permettent un ontrle à lamono ou he

atomique près de la roissan e de esstru tures, qui sont utilisées dansun grand nombre

de dispositifs,parmilesquelsles transistorsàhautemobilité[4℄,lesdiodes

éle trolumines- entes [5℄ou en oreles diodeslaser[6, 7℄.La re her hefondamentale sur essystèmes est

également très a tive, eta mis en éviden e deseets étonnants. Par exemple, lorsqu'une

hétérostru ture min e est pla ée dans une mi ro avitéplanaire résonante, le onnement

simultané des éle trons etdu hamp éle tromagnétique donne lieu àun fort ouplage qui

produitdesparti ulesmixteslumière-matière-lespolaritons-quipossèdentdespropriétés

quantiques fas inantes[8, 9℄.

Plus ré emment, l'isolement du graphène en 2004, et la mise en éviden e de ses

pro-priétés de transport ex eptionnelles [10 , 11℄ ont ouvert la voie à l'étude d'un nouveau

type de systèmes bidimensionnels : les matériaux ristallins mono ou hes. Ce domaine

est aujourd'hui orissant et es nouveaux matériaux, utilisés seulsou ombinés,sont très

prometteurs, tant sur le plan de laphysique fondamentale que des appli ations [12℄. Par

exemple, l'asso iation du graphène ave du nitrure de Bore mono ou he (ou de quelques

ou hesatomiquesd'épaisseur)utilisé ommeisolantestétudiéepourledéveloppement de

dispositifsexploitant ladynamiquerelativiste deséle trons danslegraphène [13, 14 ℄.

Cette thèse porte sur la modélisation de omportements non-linéaires dans diérents

types de systèmes bidimensionnels et s'arti ule suivant deux axes prin ipaux. Le premier

est l'étude de laquanti ation de Wannier-Stark dans les super-réseaux biaisés etde ses

onséquen es, d'une part, surlephoto-transportnon-linéaire, et d'autre part, surle

om-portement des polaritons. Le deuxième axe est l'étude de deux eets nouveaux pour la

génération de rayonnement dans la gamme de fréquen e Terahertz (THz) :

l'ampli a-tion bosonique del'émission danslespuits quantiques asymétriques en ouplage fortave

une mi ro avité et le transfert d'impulsion photonique dans le graphène sous ex itation

impulsionnelle.

Laquanti ationdeWannier-Starkapparaitlorsqu'unsuper-réseaudepuitsquantiques

estsoumis àun hampéle triquestatiquesuivant l'axede roissan e.Le hampinduit un

onnement desporteursde hargesuivant ette dire tion,tandisquelemouvement dans

le plan des ou hes reste libre. Les états éle troniques s'organisent alors en une é helle

de niveauxdis rets [15 , 16 ℄, e qui setraduit notamment dansl'absorption optique

inter-bande dessuper-réseaux biaisés,qui présente unesérie depi s ex itoniques régulièrement

espa és. La parti ularité de e type de stru tures est que le onnement bidimensionnel

desporteursestdire tement induitpar le hampappliqué(à hamp nul, lesporteurs sont

délo alisés). La nature même desétats de Wannier-Stark, leur é art en énergie, ainsique

(a)Tout d'abord,on modélisera les non-linéaritésde photo ourant extrêmement

mar-quéesquiapparaissent lorsqu'unsuper-réseaubiaiséestpla éentredeuxbarrières épaisses

qui s'opposent àla olle tion desporteurs.

(b)Parlasuite,onproposerademettreàprotletransfertdefor ed'os illateurentre

lesniveauxdeWannier-Starken fon tiondu hampéle triqueanderéaliserundispositif

nouveaufon tionnant enrégimede ouplage fortlumière-matière etdanslequell'intensité

du ouplage serait ontrlable par lebiaisde latensionexterneappliquée.

Ledeuxièmeaxede ettethèseestl'étuded'eetsnouveauxpourlagénérationTHz.La

gamme defréquen e situéeentre0,3et30THz estsouvent désignéeparletermede fossé

THz enraison de l'absen ede sour es ompa tesetpuissantesde rayonnement ohérent.

Lesappli ationspotentiellesde etyped'émetteurssontpourtantnombreuses,notamment

pour les télé ommuni ations, l'imagerie ou en ore la re onnaissan e d'espè es himiques

par spe tros opie.Plusieursméthodessontutiliséespourtenterde ombler efossé

te h-nologique. La première appro he est la génération dire te par des lasers THz, mais es

dispositifs sont di ilement utilisables en dehors du adre de la re her he fondamentale,

en raison de leur en ombrement (laser àéle tron libre, par exemple),ou de leur

tempéra-ture de fon tionnement. C'est le as notamment des lasers à as ade quantique [17, 18 ℄,

dans lesquels l'émission résulte de transitions inter-sousbandes dans des hétérostru tures

semi ondu tri es et dont l'utilisation dans le domaine THz est limitée, jusqu'à présent,

aux températures ryogéniques. Une se onde appro he pour la génération THz ohérente

onsiste à étendre les te hnologies éle troniques haute-fréquen es vers le domaine THz,

par exemple, par multipli ation de fréquen e à partir d'une sour e GHz [19℄. Une autre

démar he en ore, repose sur lagénération de la diéren e de fréquen es par re ti ation

optique dans un ristal non-linéaire ou une antenne photo ondu tri e sous ex itation

op-tique[20 ℄.Cettethèseexplore deuxeetsnon-linéaires en orepeuétudiés, etprometteurs

pour l'émissionTHz ohérente àpartird'unesour e optique oupro he infrarouge:

( )L'ampli ation del'émissionTHzdansunpuitsquantiqueasymétriqueen ouplage

fortave unemi ro avitéplanaire,lorsquelesystèmeatteintlerégimedelaseràpolaritons.

(d)Letransfertd'impulsionphotoniquedanslegraphènesousex itationimpulsionnelle

à in iden eoblique, quiproduitun rayonnement THzpar diéren e de fréquen es.

Le hapitre 1 présente plusieurs méthodes de modélisation des états éle troniques

d'unsuper-réseau de puitsquantiques,danslebut d'étudier leurspropriétés optiques.On

développeranotamment unpro édé de al ulpar diagonalisation numérique sur unebase

tronquée quipermetune des riptionquantitative très pré isede l'absorptionrésultant de

la dis rétisation de Wannier-Stark dans un super-réseau biaisé. Cette modélisation a été

utilisée dans le adre d'une ollaboration ave l'équipe d'Optoéle tronique Terahertz de

l'Institut d'Ele tronique Fondamentale à Orsay et l'équipe de Spe tros opie Terahertz du

Laboratoire Pierre Aigrain (LPA), etelle apermis de omprendrel'origine des

omporte-mentsnon-linéairesinattendusobservéslorsdemesuresduphoto ourantd'unsuper-réseau

GaAs/AlGaAs enterré entredeux barrières d'AlGaAs. Dans ette onguration, la

olle -tiondesporteursde hargesphoto réésestfreinée parlesbarrières et eux- is'a umulent

aux bornes de l'é hantillon, en é rantant ainsile hampéle trique appliqué. Du fait de la

quanti ationdeWannier-Starklephoto ourantdusuper-réseauestextrêmement sensible

au hampauquel elui- iestsoumis,lepro essusd'a umulation etl'é rantagequ'ilinduit

d'ex- itationaugmente,lespi sdephoto ourant sedé alent versleshautestensionsappliquées

etsedéformentfortement.Sousirradiationmono hromatiquetrèsintense,deszonesde

bis-tabilité apparaissent,et ertainsniveauxdeWannier-Starksontsidéformésqueleurpente

s'inverse.Onprésentera unmodèle quantitatifdu transportdanslastru tureétudiée, qui

reproduitave unetrès bonnepré ision l'ensemble deseetsnon-linéaires observés.

Le hapitre 2 traite du ouplage fort lumière-matière dans les hétérostru tures

pla- ées en mi ro avité planaire. Il se divise en deux parties (points (b) et( ) de la

des rip-tion i-dessus). La première explore une appli ation intéressante de la quanti ation de

Wannier-Stark :le ontrle éle trique du ouplage lumière-matière. Dans les

hétérostru -turesusuelles, e ouplageestxéparlesparamètresde roissan eetilestpeua ordable.

Danslessuper-réseauxbiaisés,au ontraire, lafor ed'os illateurdesniveauxdeW

annier-Stark varie largement ave le hamp éle trique appliqué et il est possible de moduler le

ouplage entre esniveauxetlemode photonique onné.Deplus, onmontrera quele

ré-gime de ouplage fortpermetde ontournerl'impossibilitéd'obtenirdugainTHzdansles

super-réseauxbiaisés,etque egainpeutégalement être ontrlé par le hampéle trique.

La deuxième partie traite de façon quantitative la génération THz par un eet

non-linéaire:l'ampli ationbosoniquedel'émissionspontanéedansunpuitsquantique

asymé-triquefortement oupléàune avitéplanaireenrégimedelaseràpolaritons.Dans eteet,

qui n'a pas été observé expérimentalement jusqu'à présent, l'émission THz est ampliée

par l'a umulation ohérente des polaritons dans l'état de plus basse énergie, lorsque le

seuildurégimedelaseràpolaritonsestatteint.Onprésenterales al ulsee tuéesdansle

adre d'une ollaboration ave les équipesde Spe tros opie Terahertz et d'Optique

Cohé-rente etNon-linéaire duLPAainsiqued'Optique quantique duLaboratoire KastlerBrossel

etd'Elaboration etPhysique des Stru tures Epitaxiées du Laboratoire de Photoniqueet de

Nanostru tures danslebutderéaliserexpérimentalement etteampli ation. Notreétude

montrelerledéterminant despro essusde diusionnon-radiative,quientrent en

ompé-tition ave la génération THz et réduisent onsidérablement l'émission. Onproposera un

nouveau dispositif utilisant une mi ro avité double et permettant une nette amélioration

de l'e a ité del'eet re her hé.

Le hapitre3traitedelagénérationTHzparuneetnon-linéaireduse ondordredans

legraphène:letransfertd'impulsionphotonique.Letravailprésentéestissud'une

ollabo-ration ave l'équipe de Spe tros opie Terahertz du LPA,les mesures ee tuées dans ette

équipe mettent en éviden e une émission THz par un eet du se ond ordre dans du

gra-phèneex itéàin iden eobliqueparuneimpulsioninfrarouge.L'existen edenon-linéarités

optiquesduse ondordre,généralementabsentesdanslesmatériaux entrosymétriques,est

inattenduedansle asdugraphèneetné essiteuneortparti ulierde modélisation.Dans

un premier temps, on développera une analyse qualitative des résultats expérimentaux

obtenus au LPA et on montrera que le rayonnement THz observé est dû au transfert de

l'impulsiondesphotonsin identsversleséle tronsdugraphène.Cetransfertbrise

l'isotro-pie planaire dusystème etinduit un ourant transitoire qui est responsable de l'émission

THzmesurée en hamplointain. Dansunse ond temps,ons'appuiera surl'interprétation

qualitative des mesures pour onstruire un modèle mi ros opique quantitatif et prédi tif

de l'eet non-linéaire. Un des aspe ts essentiels de ette étude est qu'elle montre que le

ourant detransfertd'impulsions'annuledansleformalismelepluslargementutilisé pour

dé rire les états éle troniques du graphène, elui des liaisons fortes aux premiers voisins.

trie entre la bande de ondu tion et la bande de valen e, et la faible diéren e entre la

dynamique de relaxation des trous et elle des éle trons. Le modèle mi ros opique

na-lement onstruit présente un bon a ord ave les mesures, et permet de déterminer les

paramètres optimaux pour l'émissionTHz.Pour ne pasalourdirle orpsdu hapitre, une

Super-réseaux de puits

quantiques et non-linéarités de

photo ourant

Dans e hapitre, on étudiera les super-réseaux de puits quantiques de type I etleurs

propriétés optiques. Les deux premières se tions seront onsa rées à la des ription des

méthodes de al ul des états éle troniques et de l'absorption linéaire des super-réseaux

sous hamp éle trique statique. On dé rira notamment une méthode de diagonalisation

numérique surune base tronquéepermettant de modéliser ave pré ision l'absorption

ex- itonique. Dans la troisième se tion, on présentera les résultats d'une ollaboration ave

Juliette Mangeney et Fanqi Meng, alors à l'Institut d'éle tronique fondamentale à

Or-say, portant sur l'étude du photo ourant d'un super-réseau enterré entre deux barrières

épaisses ( ou hes tampon). De fortes non-linéarités seront mises en éviden e :l'existen e

d'un hampinterne d'é rantage dûàl'a umulation desporteursde hargeauxbornesdu

super-réseau;d'importantsdépla ements des pi sd'absorption ave lesvariations de

l'in-tensité d'ex itation; l'apparition d'une bistabilité dans les ara téristiques

photo ourant-tensionetl'inversiondelapentedesniveauxdeWannier-Stark.Ondévelopperaunmodèle

phénoménologique pour dé rirel'a umulation desporteursde hargeetle ourant tunnel

àtraversles ou hestampon.Grâ eà emodèleetau al uldel'absorptionpar

diagonali-sationnumérique,onpourrasimulerave unetrèsbonnepré isionlephoto ourantmesuré

Sommaire

Introdu tion . . . 6

1.1 Puitsquantiqueset super-réseaux de semi ondu teurs . . . 7

1.1.1 Puitsquantiques . . . 7

1.1.2 Super-réseauxdepuits quantiques . . . 9

1.1.3 Super-réseauxsous hampéle trique . . . 13

1.1.4 Champmagnétiqueet quanti ationdeLandau. . . 14

1.2 Absorptionlinéaire des super-réseaux . . . 16

1.2.1 Transitionsbandeàbande. . . 16

1.2.2 Transitionsex itoniques . . . 21

1.3 A umulation de harge etphoto ourant non-linéaire . . . 30

1.3.1 Spe tred'absorptionàbasseintensitéeté rantagedu hampinterne 31 1.3.2 Ex itationmono hromatiqueetpro essusd'a umulationde harge 35 1.3.3 Déformationdespi sex itoniquesetbistabilitéduphoto ourant 40 1.3.4 InversiondelapentedesniveauxdeWannier-Stark . . . 44

Con lusion . . . 46

Introdu tion

Depuislapremièrepropositiond'EsakietTsuen1970[21℄,denombreusesétudes,

expé-rimentalesetthéoriquesont étémenéessurles super-réseauxdepuitsquantiques.Ils'agit

d'hétérostru tures semi ondu tri es périodiques dont la période la omposition peuvent

être ontrlées ave unegrandepré ision etajustéessuivantles propriétés re her hées. La

elluleélémentaired'unsuper-réseauaunetailledequelquesnanomètres,unàdeuxordres

de grandeur supérieure aux paramètres de maille des matériaux ristallins usuels. Cette

propriété en fait un terrain d'expérimentation idéal pour explorer ertains phénomènes

quantiquesinobservables dansles ristaux.

Deux eets de transport éle tronique, suggérés dans l'arti le original d'Esaki et Tsu

ont été parti ulièrement étudiés. Le premier est l'existen e d'une région de ondu tivité

diérentielle négative [22℄,souvent asso iée à des pro essus omplexes d'a umulation de

hargequiaboutissentàlaformationdedomainesde hampéle trique[23,24℄.Ledeuxième

eet remarquable est le phénomène d'os illations de Blo h, étudié notamment pour son

appli ation possible à lagénération THz :les porteurs de harge d'unsuper-réseau biaisé

os illent périodiquementàunefréquen edéterminée par lapériodedusuper-réseauet par

le hamp appliqué[25, 26℄.

Dans e hapitre,onétudieralespropriétésoptiqueslinéairesetnon-linéairesdes

super-réseaux sous hampéle trique statique. Ces propriétés dé oulent d'unautre eet original

résultantde lapériodi itéde lastru ture:ladis rétisation deWannier-Stark. L'étudedes

états quantiques des éle trons dans unsuper-réseau biaisé montre que haque minibande

d'énergie se s inde en une sériede niveauxdis rets régulièrement espa és, appelée é helle

de Wannier-Stark. Du faitde ette dis rétisation, lespe tred'absorption optiqueprésente

unesuitedepi sex itoniquesdontlapositionetlahauteurvarientave le hampappliqué

[15, 16℄. Ces variations peuvent induire des eets non-linéaires marqués sous ertaines

Danslase tion1.1, onintroduira laméthodede lafon tionenveloppe quiserautilisée

danslasuitede ettethèsepourle al uldesétatséle troniquesdeshétérostru tures,eton

l'appliquera auxsuper-réseauxdepuitsquantiques.Lase tion1.2sera onsa réeau al ul

del'absorptionoptiquedessuper-réseauxparuneméthodeanalytiqueapproximéepuispar

uneméthodenumériquedediagonalisationsurunebasetronquéequipermetdeprendreen

ompte l'intera tion éle tron-trou. Enn, dans lase tion 1.3, on onfrontera l'absorption

simulée aux mesures de photo ourant ee tuées par Juliette Mangeney etFanqi Meng à

l'Institut d'éle tronique fondamentale à Orsay sur un super-réseau GaAs/AlGaAs enterré

entre deux barrières d'AlGaAs. On montrera ainsi lairement l'importan e des pro essus

d'a umulationde hargedépendantsdel'intensitéd'ex itationquiinduisentdeseets

non-linéaires très pronon és : l'é rantage du hampinterne, la déformation et le dépla ement

despi sd'absorption,labistabilitédes ara téristiquesphoto ourant-tension etl'inversion

delapentedesniveauxdeWannier-Stark. Tous esphénomènesserontmodélisésave une

très bonne pré ision dansle adre d'un modèle phénoménologique de l'a umulation des

porteursde harge auxbords del'é hantillon.

1.1 Puits quantiques et super-réseaux de semi ondu teurs

Le formalisme le plus largement utilisé pour modéliser les hétérostru tures planaires

est eluidelafon tionenveloppe,danslequellesvariations desfon tionsd'ondeàl'é helle

atomique sont moyennées et les états sont dé rits par une fon tion enveloppe lentement

variable dont la dynamique est régie par des paramètres ee tifs (masse ee tive,

dé a-lage de bande, et ).Dans ette se tion, on utilisera lemodèle de la fon tion enveloppe à

une bande de Ben Daniel-Duke [29℄, pour dé rire les propriétés éle troniques des

super-réseauxde puitsquantiques.Ila étémontréque e modèlesimple dé ritdefaçon

satisfai-santeles états de basse énergiedeséle trons etdestrous lourds dansles hétérostru tures

GaAs/Al

x

Ga

1−x

Asqui seront étudiéesdanslasuite de ette thèse[30 ℄.

1.1.1 Puits quantiques

Unpuits quantique estformé par unene ou he semi ondu tri e A(matériau puits)

pla ée entredeux ou hesd'unsemi ondu teurB(matériau barrière).Dansleformalisme

de lafon tion enveloppe,lehamiltonien d'unetelle stru tures'é rit [30℄ :

H = E

b

+ V (z) −

ℏ

2

2

∂

∂z

1

µ(z)

∂

∂z

−

ℏ

2

2m

_⊥

∇

2

⊥

,

où l'énergie de bande

E

b

est nulle pour la bande de valen e, et vaut

E

b

= E

g

,la largeur de la bande interdite du matériau massif B, pour la bande de ondu tion; et

m

⊥

est la masse ee tive dansle plan des ou hes (dont on néglige la dépendan e en

z

) et

µ(z)

la masseee tive dansladire tion de roissan e

z

:

µ(z) =

 m

A

dans lematériauA

m

B

danslematériau B.

Figure 1.1 (a)Représentation s hématique d'unpuits quantiqueetdu potentiel

résul-tant.(b)Stru turedebanded'unpuitsquantiqueGaAs/Al

x

Ga

1−x

Asettra édesfon tions d'onde des deux premiers états onnés pour les éle trons et les trous lourds. ( ) Allure

desrelations de dispersiondu puitsquantique (b),en fon tiondu ve teurd'onde

k

⊥

dans le plandes ou hes.

V (z) =

 V

0

danslematériau A

0

danslematériau B.

La gure 1.1.a représente un puits quantique, ave le potentiel

V (z)

résultant. Le potentiel de l'hétérostru ture étant indépendant de

x

et

y

, on peut re her her les états propres éle troniques sousforme séparable:

ψ(x, y, z) =

_√

1

S

e

ik

x

x+ik

y

y

_φ(z).

La fon tion d'onde

φ

estalors solutionde l'équation auxvaleurspropres :

H

z

φ(z) =



V (z) −

ℏ

2

2

∂

∂z

1

µ(z)

∂

∂z



φ(z) = E

z

φ(z),

ave

E

z

= E − E

b

− ℏ

2

k

x

2

+ k

2

y

2m

_⊥

.

Dansla suite de ette thèse,on étudiera plusspé iquement le as despuits de GaAs

ave desbarrièresd'Al

x

Ga

1−x

As,pourlesquelsl'approximationdelafon tionenveloppeest parti ulièrementadaptée arlesmaillesélémentairesdesdeuxmatériauxontdessymétries

etdesdimensionstrèssimilaires.Pour e typedepuits,

V

c

0

< 0

et

V

v

0

> 0

,par onséquent la bande de ondu tion etla bande de valen e omportent toutes deuxdesétats lo alisés

au voisinage du matériau puits. Il s'agit des états d'énergie négative,

E

z

< 0

, pour la bande de ondu tion etdes états d'énergiepositive,

E

z

> 0

,pour labande de valen e ar lamasse ee tivede valen eest négative.La gure1.1.b représentelastru ture de bande

d'un puits quantique GaAs/Al

x

Ga

1−x

As, ainsique l'allure desfon tionsd'onde des états

lo alisés.Pour al uler es fon tions d'onde, on pose

k

A

=

√

2m|E

z

−V

0

|

ℏ

et

k

B

=

√

2m|E

z

|

ℏ

.

Le potentiel

V (z)

étant pair, lesfon tions propressontpairesou impaires:

φ(z) =



α cos(k

A

z)

si

|z| <

L

2

βe

−k

B

|z|

si

|z| >

L

2

,

pourles états pairs,et

φ(z) =







α sin(k

A

z)

si

|z| <

L

2

βe

−k

B

z

si

z >

L

2

−βe

k

B

z

si

z < −

L

2

,

pour les états impairs. De plus,

φ

et

1

µ(z)

dφ

dz

sont ontinues aux interfa es entre A et B. Cette ondition n'est vériée que pour un ensemble dis ret de valeurs de l'énergie

E

z

. On note

E

n

es valeurset

|k

⊥

, ni

les états propres orrespondants, ave

k

⊥

= (k

x

, k

y

)

le ve teur d'onde dans le plan des ou hes. La gure 1.1. montre la relation de dispersion

du puitsquantique.A haqueniveau lo alisé

n

orrespondune dispersionparabolique,

E = E

b

+ E

n

+ ℏ

2

k

2

_⊥

2m

_⊥

.

Lesétats telsque

E

z

> 0

pourlabandede ondu tionet

E

z

< 0

pourlabande devalen e sontdélo aliséssuivant

z

etformentun ontinuumd'énergie,égalementreprésentéengure 1.1. .

1.1.2 Super-réseaux de puits quantiques

Figure 1.2 (a)Représentation s hématique d'unsuper-réseau de puits quantiques.

(b)Stru turede bande d'unsuper-réseau de typeI.

( ) Stru turedebande d'unsuper-réseau de type II.

Un super-réseau est un assemblage périodique de puits quantiques a olés ( f. gure

1.2.a). Suivant les matériaux utilisés, le super-réseau est de type I (stru ture de bande

en gure 1.2.b) si

V

c

0

> 0

et

V

v

0

< 0

, auquel as les éle trons et les trous sont onnés dans le semi ondu teur A, ou de type II (stru ture de bande en gure 1.2. ), les

éle -trons étant alors onnés dans un matériau et les trous dans l'autre. Dans ette étude,

on s'intéressera aux super-réseaux de type I, et plus parti ulièrement aux super-réseaux

GaAs/Al

x

Ga

1−x

As.

Commepour lepuits quantique, lesfon tionspropres sont séparables et on é rit:

H

z

φ(z) =



V (z) −

ℏ

2

2

∂

∂z

1

µ(z)

∂

∂z



φ(z) = E

z

φ(z),

où ette fois, le potentiel

V (z)

est périodique de période

d = L

A

+ L

B

. En hoisissant des onditions aux limites périodiques

φ(z + N d) = φ(z)

, ave

N

le nombre total de périodes, on peut appliquer le théorème de Blo h et re her her les états propres sous la

forme

φ

B

K

z

(z) = e

iK

z

z

_u

K

z

(z)

,ave

u

K

z

d-périodique. Lesfon tions de Blo h peuvent être

déterminées par un al uldire t, ou par un al ulappro hé utilisant l'approximationdes

liaisonsfortes.

Cal ul dire t

Par le al uldire t, ilest susant de déterminer

φ

B

K

z

(z)

surl'intervalle

[0, d]

.Comme pour lepuits quantique, ondé ompose:

φ

B

_K

_z

(z) =



α

c

cos(k

A

z) + α

s

sin(k

A

z)

si

z < L

A

β

+

e

−k

B

(z−L

A

)

+ β

−

e

k

B

(z−L

A

)

si

z > L

A

.

La ontinuité à l'interfa e impose:

φ(L

−

_A

) = φ(L

+

_A

),

et

m

B

dφ

dz



L

−

A

= m

A

dφ

dz



L

+

A

.

Deplus, par périodi ité de

u

K

z

,

φ(d

−

) = φ(0

+

)e

iK

z

d

_,

et

m

A

dφ

dz



d

−

= m

B

dφ

dz



0

+

e

iK

z

d

_.

Ces 4 égalités fournissent 4 équations pour les variables

α

c

,

α

s

,

β

+

,

β

−

. Celles- i n'ont des solutions non-nulles que pour ertaines valeurs dis rètes de l'énergie,

E

z

= E

n

(K

z

)

. L'ensembledesétats

K

z

pourunniveau

n

donnéestappeléminibande, arpour

N

grand, il s'agitd'unquasi- ontinuumd'états.

Approximation des liaisons fortes

Dans le as où la barrière estopaque (largeur

L

B

grande, ou fra tion

x

d'Aluminium importante), il existe une autre méthode de al ul des états des minibandes, utilisant

l'approximation desliaisonsfortes.Pour e al ul, ondé ompose:

H

z

= −

ℏ

2

2m

B

∂

2

∂z

2

+

X

p

H

loc

(z − pd),

ave

H

loc

(z) =

(

V

0

−

ℏ

2

2

∂z

∂



1

µ(z)

−

m

1

B



∂

∂z

si

0 6 z 6 L

A

0

sinon. Grâ eau théorème deBlo h,ondéveloppe :

φ

B,n

_K

z

(z) =

1

√

N

X

p

e

ipdK

z

_φ

loc

n

(z − pd),

où

φ

loc

n

est la fon tion d'onde du

n

-ième état lo alisé d'un puits isolé de largeur

L

A

. A haque étatlo alisé

n

dupuits isolé orrespond une minibanded'énergie dusuper-réseau. Dans lasuite,on omettral'indi e

n

pour simplier l'é riture.La fon tion

φ

loc

vérie :



−

ℏ

2

2m

B

∂

2

∂z

2

+ H

loc

(z)



φ

loc

(z) = E

0

φ

loc

(z),

Figure 1.3  Relations de dispersion des états éle troniques d'un super-réseau

GaAs/Al

0,3

Ga

0,7

As ave une largeur de puits

L

A

= 8

nm et de barrière

L

B

= 2

nm. Les dispersions sont al ulées ave la méthode exa te (trait plein) ou en utilisant

l'ap-proximation des liaisons fortes (tirets). La gure (a) représente l'énergie des états de la

bande de ondu tion mesurée par rapport au bas de la bande de ondu tion du GaAs

massif. La gure (b) représente l'énergie des états de la bande de valen e (trous lourds)

mesuréeparrapportauhautdelabandedevalen eduGaAsmassif.( )Proldelabande

de ondu tion du super-réseau (trait plein noir), etfon tions d'ondes lo alisées dans des

puits voisins pour lepremier etledeuxième niveau onné.

L'équation auxvaleurspropres

H

z

φ

K

z

= E

z

φ

K

z

seréé ritdon :

1

√

N

X

p

e

ipdK

z



E

0

φ

loc

(z − pd) +

X

p

′

_6=p

H

loc

(z − p

′

d)φ

loc

(z − pd)





=

1

√

N

X

p

e

ipdK

z

_E

z

φ

loc

(z − pd)

(1.1)

On projette ensuite l'équation (1.1) sur

φ

loc

(z)

, en faisant l'approximation des liaisons fortes auxplus pro hes voisins:

hφ

loc

(z − p

0

d)|φ

loc

(z − pd)i = δ

p

p

0

hφ

loc

(z − p

0

d)|H

loc

(z − p

′

d)|φ

loc

(z − pd)i = δ

p

p

′

0

(δ

+1

p

+ δ

−1

p

)

∆

4

,

où dansladeuxième ligne on suppose

p 6= p

′

.Onen déduit larelation de dispersionde la minibande :

E

z

= E

0

+

∆

2

cos(K

z

d).

(1.2)

La minibande d'énergie a don une largeur

|∆|

et si

∆ < 0

, l'énergie est minimale en

K

z

= 0

et maximale pour

K

z

= ±

π

d

. La gure 1.3 montre une omparaison entre les dispersions al ulées par esdeuxméthodespour unsuper-réseau GaAs/Al

0,3

Ga

0,7

As. La formule (1.2) est une très bonne approximation pour la bande de valen e (trous lourds)

ainsi que pour la première minibande de ondu tion. L'a ord est nettement moins bon

pour la deuxième minibande de ondu tion pour laquelle les états lo alisés se re ouvrent

voir également sur ette gure que

∆ < 0

pour lapremière minibande et

∆ > 0

pour la deuxième, e quiexpliqueque lesdeux dispersions soient inversées.

Fon tionsde Wannier

Figure 1.4  Fon tions de Wannier des deux premières minibandes d'un super-réseau

GaAs/Al

0,3

Ga

0,7

Asave unelargeurdepuits

L

A

= 8

nmet debarrière

L

B

= 1

nm(a)ou

L

B

=

4nm(b). Fon tionsd'onde lo aliséespourun puits isoléde même largeur ( ).

Unefoislesfon tionsdeBlo h

φ

B,n

K

z

onnues(

n

estl'indi edelaminibande),ondénit les fon tionsde Wannier

φ

W,n

p

, omme :

φ

W,n

_p

(z) =

_√

1

N

X

K

z

e

iK

z

pd

_φ

B,n

K

z

(z).

(1.3)

Les fon tionsdeWannier sont toutes identiquesà une translationprès:

φ

W,n

_p

(z) = φ

W,n

₀

_{(z − pd).}

De plus, elles forment une base orthonormée de la minibande d'indi e

n

, 'est pourquoi elles seront utilisées dans la se tion 1.2.2 pour dénir la base de diagonalisation pour le

al ulde l'absorptionoptiquedessuper-réseaux.Lesfon tionsdeBlo h

φ

B,n

K

z

sont dénies àunephaseprès.Dansladénition(1.3)laphaseest hoisiedetellesorteque

φ

B,n

K

z

(0)

soit réelpositifpourlesminibandesd'indi epairetimaginairepurpourlesminibandesd'indi e

impair [31 ℄. Dans e as, les fon tions de Wannier sont réelles etlo alisées

exponentielle-mentautourdupuits d'indi e

p

.Ellessontlo alementpairespourlesminibandes d'indi e pair et impaires pour elles d'indi e impair. Si les fon tions de Blo h sont al ulées dans

l'approximation desliaisonsfortes,les fon tionsde Wannier sontidentiquesauxfon tions

despuits isolés :

φ

W,n

_p

(z) = φ

loc

_n

_{(z − pd).}

La gure 1.4 représente les fon tions de Wannier des deux premières minibandes de

ondu tion d'unsuper-réseau GaAs/Al

0,3

Ga

0,7

Asave des puits de 8 nm etdeux valeurs diérentesde largeurde barrière. Commeattendu, lorsque labarrière estlarge,

l'approxi-mation desliaisonsfortes devient très pré ise, etles fon tionsde Wannier se rappro hent

1.1.3 Super-réseaux sous hamp éle trique

Lorsqu'un hamp éle trique

F

est appliqué à un super-réseau, le spe tre d'énergie hange radi alement. Au lieu du quasi- ontinuum des états de Blo h, haque minibande

se s inde en une série dis rète d'états lo alisés, appelée é helle de Wannier-Stark. An

de mettreen éviden e e phénomène bien onnu, onutilisera lemodèle desliaisonsfortes

introduitdanslase tionpré édente.Enprésen ede hampéle trique,lehamiltoniens'é rit

[32 ℄ :

H

z

= −

ℏ

2

2m

B

∂

2

∂z

2

+

X

p

H

loc

(z − pd) + eF z

Ondéveloppe lesétats propres (indexés par

ν

) surlabasedesétats lo alisés:

φ

W S

_ν

(z) =

X

p

a

pν

φ

loc

(z − pd),

Puisonprojettel'équationauxvaleurspropres

H

z

φ

W S

ν

= E

z,ν

φ

W S

ν

surl'état

φ

loc

_{(z − pd)}

:

X

p

a

pν



[E

0

+ eF z] φ

loc

(z − pd) +

X

p

′

_6=p

H

loc

(z − p

′

d)φ

loc

(z − pd)





=

X

p

a

pν

E

z,ν

φ

loc

(z − pd).

(1.4) Ave l'approximation

hφ

loc

_{(z − pd)|z|φ}

loc

_{(z − p}

′

_{d)i = pdδ}

p

′

p

,onen déduit :

a

pν

[E

0

+ eF pd] −

∆

4

a

(p+1)ν

+ a

(p−1)ν



= a

pν

E

z,ν

.

(1.5)

Cetteégalitéestune relationderé urren e ara téristiquedesfon tionsdeBessel.Elleest

satisfaite enposant :

E

z,ν

= E

0

+ eF νd

et (1.6)

a

pν

= J

p−ν

(Z),

ave

Z =

−∆

2eF d

,

(1.7)

où

J

p

désigne les fon tionsde Bessel de premièreespè e 1

.

Les fon tions d'onde

φ

W S

ν

ainsi obtenues, appelées fon tions de Wannier-Stark, sont délo alisées surun petit nombrede périodes, au voisinagede

z = νd

.Tousles niveaux de l'é helledeWannier-Starksontidentiques,àunetranslationprès:

φ

W S

ν

(z) = φ

W S

0

(z −νd)

. De plus, les états sont d'autant plus lo alisés que le hamp éle trique est fort, omme le

montre la gure 1.5. Pour

2eF d ≫ ∆

, les états de Wannier-Stark deviennent identiques aux états lo alisés :

φ

W S

ν

(z) = φ

loc

(z − νd)

. Cependant dans la limite des hamps forts, l'approximation des liaisons fortes telle qu'elle a été introduite esse d'être valide, d'une

part, par e que les éléments de matri e de

z

entre desétats lo alisés voisins ne sont plus négligeables, et d'autre part par e que le potentiel

eF z

ouple de façon signi ative les états de la première minibande aux états des minibandes supérieures. Ce ouplage entre

minibandes est notamment responsable de l'eet Stark intra-puits [33 ℄ et de l'eet Zener

[34 , 35℄qui sontdis utés en annexe A.

1. Onnoteraque esexpressions reposentimpli itementsurl'approximation d'unsuper-réseauformé

Figure 1.5Fon tionsdeWannier-Starkobtenuespar l'approximationdesliaisonsfortes

pour la première minibande de ondu tion du super-réseau de la gure 1.3, et pour les

hamps éle triques

F = −5

kV/ m(a),

F = −20

kV/ m(b),

F = −60

kV/ m ( ).

1.1.4 Champ magnétique et quanti ation de Landau

Dans le hapitre 2, on étudiera la possibilité d'appliquer un hamp magnétique fort

suivant ladire tion de roissan ed'une hétérostru ture planaire, danslebut de renfor er

le ouplagelumière-matière.Untel hampinduitunedis rétisationdu ontinuumd'énergie

asso ié au mouvement dans le plan des ou hes, suivant le prin ipe de la quanti ation

de Landau [36 ℄.On négligera les eetsde spin, ar lalevée de dégénéres en e de Zeeman

induite par le hampmagnétiqueest généralement tropfaible pour êtreobservée dansles

stru tures étudiéesdans ette thèse.

Onmodélise le hamp magnétique statique

B

= Be

z

dans lajauge de Landau, par le ve teurpotentiel

A(x) = Bx e

y

.Le hamiltonien àune bande s'é rit alors :

H = E

b

+ V (z) −

ℏ

2

2

∂

∂z

1

µ(z)

∂

∂z

+

1

2m

_⊥

(−iℏ∇

⊥

− eA)

2

= E

b

+ V (z) −

ℏ

2

2

∂

∂z

1

µ(z)

∂

∂z

−

ℏ

2

2m

_⊥

∂

∂x

+

1

2m

_⊥



−iℏ

_∂y

∂

− eBx



2

(1.8)

Le hamiltonien reste don séparable entre le mouvement suivant

z

qui n'est pas ae té par le hamp magnétique, et le mouvement dans le plan des ou hes. Suivant le type

de stru ture étudié, on peut déterminer les fon tions propres

φ

α

(z)

du hamiltonien en

z

par l'une des méthodes exposées dans les paragraphes pré édents. De plus, l'opérateur

ˆ

p

y

= iℏ

_∂y

∂

ommute ave

H

etonpeutdon re her herles états propres souslaforme :

Ψ

α,k

y

,n

(x, y, z) = φ

α

(z)

e

ik

y

y

pL

y

ψ

k

y

,n

(x).

(1.9)

La fon tion

ψ

k

y

,n

(x)

est solutionde l'équation :

−

ℏ

2

2m

_⊥

∂

∂x

ψ

k

y

,n

+

1

2m

_⊥

(ℏk

y

− eBx)

2

ψ

k

y

,n

= E

n

ψ

k

y

,n

.

(1.10)

Onre onnaitdans e problèmeauxvaleurspropres l'expression ara téristique d'un

os il-lateur harmoniquequantiqueparrapportàlavariable

x − x

0

,ave

x

0

=

ℏ

_k

_y

sont les fon tionsde Hermite

χ

n

:

ψ

k

y

,n

(x) = χ

n



x −

ℏ

k

y

eB



,

d'énergie

E

n

=



n +

1

2



ℏ

_ω

_c

ave

ω

c

=

eB

m

_⊥

.

L'énergie estdon indépendante de

k

y

etonobtient une é helle dis rète deniveaux forte-ment dégénérés etséparés par l'énergie y lotron

ℏ

ω

c

. Pour évaluer la dégénéres en e de haque niveau, on suppose des onditions aux limites périodiques suivant

y

,

k

y

est alors un multiple de

2π

L

y

, et d'après la ondition

0 6 x

0

6

L

x

, on déduit le nombre d'états de haqueniveau de Landau ma ros opiquement dégénéré :

N

c

=

L

x

L

y

eB

2πℏ

.

Cerésultatest résumés hématiquement engure1.6,quireprésentelarelationde

disper-sion en

k

y

,pourun état

φ

α

(z)

donné etpourdiérentesvaleursdu hampmagnétique. A hamp magnétique nul, la dispersionest parabolique, etles états forment un ontinuum.

Lorsqu'un hamp magnétique est appliqué, le ontinuum se dis rétise en une série de

ni-veauxdeLandau équidistants.Ladégénéres en e de esniveauxainsiqueleuré artement

augmente proportionnellement à

B

.

Figure 1.6  Dispersion s hématique en

k

y

, asso iée à un état

φ

α

(z)

donné, à hamp magnétiquenul(grisé),à hamp

B

modéré (bleu) et àfort hamp

B

(rouge).

1.2 Absorption linéaire des super-réseaux

Cettese tion traite despropriétés optiques linéaires dessuper-réseaux de puits

quan-tiques.On al ulera l'absorptioninterbande d'unpuits quantiqueunique puisd'un

super-réseau,dansleformalismedelafon tionenveloppeàdeuxbandes.Dansunpremiertemps,

on négligera l'intera tion oulombienne entrel'éle tron etletrou photo réés,puis on

pré-senterauneméthodedediagonalisationnumériquesurunebasetronquéequipermet

d'ob-tenir lespe tre d'absorption omplet, en tenant ompte deseetsex itoniques.

1.2.1 Transitions bande à bande

Couplage dipolaire

Onmodéliselaréponsed'unehétérostru ture àuneex itationoptique ara térisée par

une onde planemono hromatique :

ǫ(t) = E

o

e

iq.r−iωt

+ E

∗

o

e

−iq.r+iωt

.

Le hamp éle trique induit un ouplage dipolaire

V

dip

entre les états de ondu tion etles états de valen e de l'hétérostru ture, et provoque des transitions interbandes. Dans un

premier temps, on évaluera la probabilité de transition par absorption d'un photon dans

l'approximation bande à bande, 'est-à-dire en négligeant l'intera tion de Coulomb entre

l'éle tron etletrou photo réés.Puisdansleparagraphe 1.2.2,onprésentera uneméthode

numérique permettant de tenir ompte de e ouplage.

Dansle formalisme de lafon tion enveloppe, on dé ritl'intera tion dipolaire entre un

état de valen e

|ii

etunétat de ondu tion

|f i

par laformule [30 ℄:

hf |V

dip

|ii =

e

m

0

ω

(E

o

.p

cv

) hψ

f

|e

iq.r

|ψ

i

ie

−iωt

+ c.c.,

(1.11)

où

m

0

estlamassede l'éle trondanslevide,

ψ

i

,

ψ

f

sont lesfon tionsenveloppe desétats

|ii

et

|f i

,et

p

cv

estl'élément de matri ede

p

ˆ

entrelesfon tionsatomiquesde ondu tion et de valen e. Il s'agit d'une onstante ara téristique du matériau. De plus, la longueur

d'ondedu hampéle tromagnétiqueesttrèsgrandedevant lalargeurdespuitsquantiques,

on peut don négliger lesvariations spatialesdu hamp.

Laprobabilitéd'absorptionparunitédetempss'obtientalorsparlarègled'ordeFermi,

en traitant

V

dip

en perturbation :

P

abs

=

2π

ℏ

e

2

m

2

0

ω

2

|E

o

.p

cv

|

2

X

|ii,|fi

|hψ

f

|ψ

i

i|

2

δ(E

f

− E

i

− ℏω).

(1.12)

Puits quantique

Figure 1.7  (a) Représentation s hématique de la dispersion d'unpuits quantique ave

les transitions interbandesprovoquéespar le ouplage dipolaire.(b) Allurede la

probabi-lité d'absorption interbande du puits quantique en fon tion de l'énergie

ℏ

ω

des photons in idents.L'absorptionvarieparsaut haquefoisquel'énergiepasseunseuil

E

g

+ E

c

n

−E

n

v

. Unereprésentations hématiquededeladispersiondesétats lo alisésd'unpuits

quan-tiqueest représentéeen gure1.7.a.

Ilestévidentd'aprèslagurequepour

ℏ

ω < E

g

+ E

c

1

− E

1

v

,la onservationdel'énergie ne peutêtresatisfaite etquel'absorptionestnulle.Pour

ℏ

ω > E

g

+ E

c

1

+ E

1

v

,on obtient :

P

abs

∝

X

|ii,|fi

|hψ

f

|ψ

i

i|

2

δ(E

f

− E

i

− ℏω)

=

X

k

⊥

,n

c

,n

v

|hφ

c

n

c

|φ

v

n

v

i|

2

_δ

_E

g

+ E

n

c

c

(k

⊥

) − E

v

n

v

(k

⊥

) − ℏω

 .

De plus, la densité d'état à deux dimensions est onstante, égale à

ρ

⊥

=

Sµ

πℏ

⊥

2

, ave

µ

_⊥

=

m

c

⊥

|m

v

⊥

|

m

c

⊥

+|m

v

⊥

|

lamasseréduitede lapaireéle tron-trou. Finalement on obtient :

P

abs

∝

X

n

c

,n

v

|hφ

c

n

c

|φ

v

n

v

i|

2

_ρ

⊥

Θ(ℏω − E

g

− E

n

c

c

+ E

v

n

v

).

où

Θ

est la fon tion é helon. De plus, dans une bonne approximation,

hφ

c

n

c

|φ

v

n

v

i = δ

n

v

n

c

et l'absorption progresse par saut su essifs de hauteur identiques, à haque fois que

ℏ

ω

dépasse un seuil

E

g

+ E

c

n

− E

n

v

. Cette dépendan e est représentée s hématiquement en gure1.7.b.

Super-réseau

On s'intéresse maintenant aux transitions optiques entre la première minibande de

ondu tion et la première minibande de valen e d'un super-réseau de type I. Dans le

formalisme desliaisonsfortes, onpeutfaire l'approximation :

hφ

loc,c

(z − pd)|φ

loc,v

(z − p

′

d)i ≃ δ

p

p

′

.

Par onséquent, enl'absen e de hamp éle trique,

hφ

B,c

K

z

|φ

B,v

K

′

z

i ≃ δ

K

′

z

K

z

.

D'où :

P

abs

∝

X

K

z

ρ

_⊥

_{Θ [ℏω − E}

g

− E

c

(K

z

) + E

v

(K

z

)] ,

= ρ

_⊥

N

π

Z

π

_d

0

dK

z

Θ



ℏ

_{ω − E}

_g

_{− E}

c

0

+ E

0

v

−

1

2

(∆

c

− ∆

v

) cos(K

z

d)



.

Par onséquentsion dénit

∆

cv

= ∆

v

− ∆

c

> 0

,et

∆

ω

= ℏω − E

g

− E

c

0

+ E

0

v

,onobtient :











P

abs

= 0

pour

∆

ω

< −

1

2

∆

cv

P

abs

∝ ρ

⊥

N

π

cos

−1



−

2∆

ω

∆

cv



pour

−

1

2

∆

cv

< ∆

ω

<

1

2

∆

cv

P

abs

∝ Nρ

⊥

= cste

pour

1

2

∆

cv

< ∆

ω

.

L'alluredel'absorptionesttra éeennoirsurlagure1.8.a.Auvoisinageduseuil

d'absorp-tion(

∆

ω

= −

1

2

∆

cv

),lestransitionsoptiquesontlieuentrelesétatsduhautdelaminibande de valen e et eux du bas de la minibande de ondu tion. Dans ette zone, la dispersion

en

K

z

est quadratique, et on retrouve une dépendan e du type

P

abs

∝

q

∆

ω

+

1

₂

∆

cv

, ara téristique des matériauxtridimensionnelsmassifs.

Figure 1.8 Tra éde l'absorption d'unsuper-réseauen fon tion dudésa ordnormalisé

δ =

∆

ω

∆

cv

pour diérentes valeursdu paramètre sansdimension

f =

eF d

∆

cv

Enprésen e d'un hampéle trique statique, les états éle troniquessont dé rits par la

formule(1.7) etleproduits alaire entredeux états deWannier-Stark vaut :

hφ

W S,c

ν

|φ

W S,v

µ

i =

X

p

J

_p−ν

(Z

c

)J

p−µ

(Z

v

)

= J

_ν−µ

(Z

v

− Z

c

),

ladernière égalité provenant d'une identité remarquable desfon tions de Bessel

J

. Ainsi, des transitions sont possiblesentredes niveaux de Wannier-Stark d'indi es diérents. En

eet esniveauxsontdélo aliséssurquelquespériodes,et lere ouvremententreunétatde

ondu tion et unétat de valen e entrés dansdespuits diérents, maispro hes, est don

non nul. Par onséquent,

P

abs

∝

X

ν,µ

J

_ν−µ

(Z

cv

)

2

ρ

⊥

Θ [ℏω − E

g

− E

0

c

+ E

v

0

+ eF (ν − µ)d] ,

= N ρ

_⊥

X

ν

J

ν

(Z

cv

)

2

Θ[∆

ω

+ eF νd].

L'absorption résultante est représentée en gure 1.8, pour diérentes valeurs du hamp

statique

F

.Elle varie par sauts de hauteur

J

ν

(Z

cv

)

2

, à haque seuil d'énergie

E

g

− E

c

0

+

E

₀

v

+ νE

B

, où

E

B

= eF d

est l'énergie de Blo h. Lorsque

eF d ≪ ∆

cv

, l'absorption tend versl'absorptionde hampnulreprésentéeennoirsurlagure1.8.a.Lorsque

eF d ≫ ∆

cv

, haque état de Wannier-Stark se lo alise dans un des puits, et l'absorption tendvers un

é helon unique, ommepour unsystèmede

N

puits quantiques dé ouplés. Absorption de Landau

Enl'absen ede hampmagnétique,laformeduspe tred'absorptionbandeàbandeest

essentiellement déterminée par lepotentielde l'hétérostru ture suivant l'axe

z

:à haque transition autorisée entre un état de valen e

φ

v

α

v

(z)

et un état de ondu tion

φ

c

α

c

(z)

est asso iéun é helon d'absorption.

Lorsqu'un hamp magnétique est appliqué, le spe tre d'absorption est dis rétisé par

quanti ation de Landau.En eet,laprobabilité d'absorption s'é rit :

P

abs

∝

X

|ii,|fi

|hψ

f

|ψ

i

i|

2

δ(E

f

− E

i

− ℏω)

=

X

α

c

,α

v

,n

c

,n

v

,k

c

,k

v

|hΨ

α

c

,k

c

,n

c

|Ψ

α

v

,k

v

,n

v

i|

2

_{δ E}

g

+ E

α

c

c

,n

c

− E

v

α

v

,n

v

− ℏω

,

où les indi es

n

v

et

n

c

désignent les niveaux de Landau respe tifs de l'état initial et de l'état nal,et

k

v

et

k

c

leurs ve teurs d'ondesuivant ladire tion

y

.Ondémontre aisément larègle de séle tion suivante

2 :

hΨ

α

c

,k

c

,n

c

|Ψ

α

v

,k

v

,n

v

i = hφ

α

c

|φ

α

v

i δ

k

v

k

c

δ

n

v

n

c

.

2. La règle de séle tion sur l'indi e de Landau

n

est exa te, àla diéren e de la règle de séle tion appro héesurles niveauxd'unpuits quantique.En eet,elleprovient del'orthonormalité des fon tions

deHermiteetdu faitquelamasseee tive

m

⊥

n'apparaitnidansladénitionde

x

0

nidansl'équation del'os illateurharmonique(lamassepeutêtresimpliéedel'équation(1.10) ,etellen'apparaitalorsplus

Pour nir, l'absorptions'é rit don :

P

abs

∝ N

c

X

α

c

,α

v

,n

|hφ

α

c

|φ

α

v

i|

2

_δ



E

g

+ E

α

c

− E

α

v

+



n +

1

2



ℏ

_Ω

_c

_{− ℏω}



,

ave

Ω

c

=

eB

µ

lafréquen e y lotronàdeuxbandes.Cerésultatests hématiséengure1.9 pour unetransitionsuivant

z

donnée(

α

c

et

α

v

xés):l'é helond'absorption estrempla é par une sériede pi sde Landau, séparéspar l'énergie

ℏ

Ω

c

.

Figure 1.9 Illustrationdesrèglesde séle tion surlesniveauxde Landau.(a)

Représen-tation s hématique de ladispersionen

k

y

à

α

c

et

α

v

xés enprésen eou non d'un hamp magnétiquesuivantl'axede roissan e.(b)Alluredelaprobabilitéd'absorptioninterbande

1.2.2 Transitions ex itoniques

Ex itons

Lorsd'unetransitioninterbande, l'éle tronetletrouphoto rééssont ouplés par

l'at-tra tion oulombienne. Cette intera tion modie le prol d'absorption, en autorisant

no-tamment des transitions optiques à des énergies inférieures à la largeur de la bande

in-terdite, qui orrespondent à la réation de paires éle tron-trou liées, appelées ex itons.

La gure1.10.a montreles dispersionsparaboliques inversées ara téristiques delabande

de ondu tion et de la bande de valen e d'un puits quantique. Dans le formalisme à une

parti ule, l'absorption d'un photon induit une transition entre un état de ondu tion et

un état de valen e de même ve teur d'onde

k

⊥

. Dans le formalisme à deux parti ules, la transition a lieu entre l'état fondamental

|0i

danslequel la bande de ondu tion est vide et labande de valen e pleine, etun état de paire éle tron-trou. La dispersiondesétats à

deuxparti ulesestreprésentéeengure1.10.b,enfon tionduve teurd'ondedu entrede

masse

K

⊥

= k

c

⊥

− k

v

⊥

.Pour haquevaleurde

K

⊥

,ilexisteun ensembledis retd'étatsliés

1S

,

2S

,...,etun ontinuumd'étatsdélo alisés.Deplus,lestransitionsoptiques onservent leve teur d'onde don l'étatnalnalvérie

K

⊥

= 0

.

Figure 1.10(a)Représentation s hématique de ladispersiond'unpuitsquantiqueave

les transitions interbandes provoquées par le ouplage dipolaire. (b) Dispersion dans le

formalisme àdeux parti ulesen fon tion duve teur d'ondedu entrede masse

K