Régularité de problèmes à données dans les espaces pondérés par la distance au bord via l'inégalité uniforme de Hopf et le principe de dualité

THÈSE

Pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées

Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) (Diplôme National - Arrêté du 25 mai 2016)

École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IM (Poitiers) Secteur de recherche : Mathématiques

Présentée par :

Nada El Berdan

Régularité de problèmes à données dans les espaces pondérés par la distance au bord via l'inégalité uniforme de Hopf

et le principe de dualité

Directeur(s) de Thèse : Jean-Michel Rakotoson

Soutenue le 05 décembre 2016 devant le jury Jury :

Président François Jauberteau Professeur des Universités, Université de Nantes

Rapporteur Françoise Demengel Professeur des Universités, Université de Cergy-Pontoise Rapporteur Frédéric Abergel Professeur des Universités, École centrale Supelec Membre Jean-Michel Rakotoson Professeur des Universités, Université de Poitiers

Membre Jesus Ildefonso Diaz Professor, Universidad Complutense de Madrid

Membre Abdallah El Hamidi Maître de conférences, Université de La Rochelle

Membre Julien Michel Professeur des Universités, Université de Poitiers

Membre Madalina Petcu Maître de conférences, Université de Poitiers

Pour citer cette thèse :

Nada El Berdan. Régularité de problèmes à données dans les espaces pondérés par la distance au bord via

l'inégalité uniforme de Hopf et le principe de dualité [En ligne]. Thèse Mathématiques. Poitiers : Université de

THESE

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS

´Ecole Doctorale Sciences et Ing´enierie pour l’Information, Math´ematiques Diplˆome National - Arrˆet´e du 6 Aoˆut 2006

SPECIALITE : Math´ematiques Pr´esent´ee par

Nada EL BERDAN

RÉGULARITÉ

DE PROBLÈMES A DONNÉES DANS LES ESPACES PONDÉRÉS PAR LA DISTANCE AU BORD VIA L’INÉGALITÉ UNIFORME DE HOPF

ET LE PRINCIPE DE DUALITÉ

Directeur de Th`ese : Jean Michel RAKOTOSON Pr´esent´ee et soutenue publiquement le 5 D´ecembre 2016

COMPOSITION DU JURY

Rapporteurs : Frédéric ABERGEL Professeur, Ecole Centrale PARIS

Françoise DEMENGEL Professeur, Universit´e de CERGY PONTOISE Examinateurs : Ildefonso DÍAZ Professeur, Universit´e de Complutense MADRID

Jean-Michel RAKOTOSON Professeur, Universit´e de POITIERS (Directeur) Julien MICHEL Professeur, Universit´e de POITIERS

Francois JAUBERTEAU Professeur, Universit´e de NANTES

Abdallah El HAMIDI Maˆıtre de conf´erence (HDR), Universit´e de LA ROCHELLE Madalina PETCU Maˆıtre de conf´erence (HDR), Universit´e de POITIERS

A mon père Kassem, à mes mères (Kamila, Nadia), à mon mari Khalil, à mami Nada, à mes frères (Saleh, Mohamed, Rayan), à mes soeurs (Tasnim , Sheryn), à mes tantes (Boshra, Sahar, Inaam, Sa-mar, Insaf), à mes oncles (Ibrahim, Mohamed,

Ah-mad, Ali), à toute ma famille... qu’ils trouvent tous dans ce mémoire le fruit de leurs

sacri-fices et le témoignage de ma gratitude et de mon affection en espérant

que je réaliserai toujours leurs espoirs.

Remerciements

La présente étude n’aurait pas été possible sans le bienveillant soutien de certaines per-sonnes. Je ne suis pas non plus capable de dire dans les mots qui suivent, le rôle qu’elles ont pu jouer à mes côtés pour en arriver là. Cependant, je voudrais les prier d’accueillir ici tous mes sentiments de gratitude qui viennent du fond de mon coeur, en acceptant mes remerciements.

Je tiens tout d’abord à remercier le directeur de cette thèse, Professeur Jean Michel Ra-kotoson, pour m’avoir fait confiance malgré les connaissances plutôt légères que j’avais sur les problèmes élliptiques, puis pour m’avoir guidée, encouragée et accompagnée tout au long de ma thèse. Sa disponibilté et ses généreux secours lors de moments difficiles ont été d’une très grande qualité et d’un immense réconfort.

Mes remerciements vont également à Catherine pour la gentillesse et la patience qu’elle a manifestées à mon égard durant cette thèse, pour tous ses conseils surtout dans la partie infor-matique et l’hospitalité dont elle a fait preuve envers moi lors la réalisation de ce document final. Je tiens à remercier les Professeurs Françoise Demengel et Frédéric Abergel en leur qua-lité de rapporteurs, pour l’honneur qu’ils m’ont fait en lisant soigneusement ce manuscrit et en lui accordant leur caution scientifique. Je remercie également les professeurs Ildefonso Díaz, Francois Jauberteau, Abdallah El Hamidi, Madalina Petcu et Julien Michel pour avoir accepté de faire partie de mon jury de soutenance.Grands remerciements au Professeur Díaz qui m’a très bien accueillie dans son Laboratoire à Madrid

Le laboratoire de Mathématiques et Applications (L.M.A) est un lieu convivial rempli de femmes et de hommes formidables. Je pense notamment à Pol Vanhaecke l’ancien directeur du L.M.A, à Alessandra Sarti la nouvelle directrice et à Samuel Boissière le directeur de l’école doctorale pour leur excellent accueil et leur soutien. Je voudrais aussi remercier le personnel ita/iatos du département et du laboratoire : Jocelyne Attab à la reprographie et à la bibliothéque, Nathalie Marlet à la bibliographie, Brigitte Brault au secrétériat, Nathalie Mongin à la comp-tabilité et Benoît Métrot au service informatique, pour leur disponibilité et tous les services rendus.

J’adresse toute mon affection à ma famille et en particulier, à mon père. Tu m’as aimé dès ma venue au monde, tu m’as montré le chemin pour grandir, de mes fautes tu m’as appris à en tirer des leçons de vie, tu m’as tendu ta main quand je me perdais dans le doute et la solitude... Merci infiniment papa d’être un tel père, un tel ami, un tel frère, un tel maître pour moi et merci d’avoir fait de moi ce que je suis aujourd’hui. Je t’aime papa.

Ma famille, malgré mon éloignement depuis de nombreuses années, votre confiance, votre tendresse, votre amour et votre soutien me portent et me guident tous les jours.

A titre plus personnel, je remercie mon cher époux que j’adore et qui ne sort pas de ma pensée pour son soutien quotidien indéfectible, sa grande patience, l’encouragement et son en-thousiasme contagieux à l’égard de mes travaux comme de la vie en général.

Mes remerciements vont amicalement à l’endroit de tous les collègues doctorants, et par-ticulièrement à Ahmad Makki qui a été pour moi un frère en France et m’a encouragé pendant les moments les plus difficiles.

Résumé :

Cette thèse, comporte deux parties distinctes.

Dans la première partie, on étudie l’existence et l’inexistence d’une inégalité qu’on a ap-pelée l’inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L’IHU est une variante du principe de maximum, on l’a appliquée dans la preuve de la régularité W₀1,ppour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l’espace vmor

(fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor(fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor).

Dans la seconde partie, on s’intéresse à la régularité du système d’élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) E~u =_{−∆~u − λ∇div (~u) = ~f mais ici ~f est singulière au sens} qu’elle n’est qu’ intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine.

Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n’est pas néssairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l’espace de travail.

Mots clé :

Inégalité de Hopf Uniforme, Espaces de Campanato et BMO, Opérateur élliptique à coeffi-cients discontinues, Problèmes singuliers, Opérateur d’élasticité linéaire, Espaces de Lebesgue à poids.

Abstract :

We discuss the existence and non existence of the so called Hopf uniform Inequality (variant of a maximum principle) for the linear equation Lv = f with measurable coefficients and under the homogeneous Dirichlet Boundary condition. Then we apply such inequality to prove the W1,p

0 -regularity of a semi linear problem Lu = F(u), singular at u = 0, with the coefficients of

the main operator of L in the space of vanishing mean oscillation. Moreover, when those coeffi-cients are Lipschitz, we show that the gradient of the solution is at most in the space of bounded mean oscillation : bmor. In the last part of this thesis, we are concerned with the linear easticity

system (Stationnary equation of the waves elasticity) which reads as E~u =_{−∆~u − λdiv(~u) = ~f.} But, here ~f varies with respect to the distance function until the boundary.Using the duality method, we study the regularity of the solution of the elasticity system for the data belonging to various weighted spaces.

Keywords :

Uniform Hopf Inequality, BMO and Campanato spaces, Elliptic operator with discontinuous coefficients, Singular problems, Elasticity operator, Weighted Lebesgue spaces.

Introduction

Les résultats de cette thèse sont composés de trois parties abordant trois thèmes distincts. Tout d’abord, au chapitre 2, nous introduisons une variante du principe de maximum qu’on a appellé l’inégalité de Hopf uniforme (IHU) pour une équation linéaire de la forme

Lv = − div(A(x)∇v) = f,

à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes.

Diaz, Morel, Oswald [31], ont appliqué la première fois cette inégalité IHU dans l’étude du problème singulier (DOM)      −∆u + a(x)_um = f (x), x ∈ Ω, 0 < m < 1, u = 0 sur ∂Ω. (1) Pour la commodité du lecteur, nous donnons la définition exacte de cette notion qui est

Définition 1. ( La définition de L’IHU)

Soient Ω un domaine borné régulier inclus dans Rn _{et A(x) = (a}

i j(x))16,i, j6n , une matrice

coercive à coefficients bornés. Nous dirons qu’un opérateur L · = − div(A(x)∇ ·) de D(Ω) dans D′_{(Ω) vérifie l’inégalité de Hopf uniforme, s’il existe une constante positive CΩ,L> 0 telle que,}

pour tout f ∈ L∞

+(Ω), la solution v∈ H1(Ω) du problème suivant :

 

 Lv = fv = 0 dans Ωsur ∂Ω satisfait pour tout x ∈ Ω,

v(x) > CΩ,Lδ(x)

Z

Ω

f (y)δ(y) dy, (2) avec δ(x) = dist(x, ∂Ω).

Introduction

Une preuve exhaustive pour le cas du problème de Poisson (L = _{−∆) a été donné par} Brézis-Cabré [13]. Notre but principal dans ce chapitre est de discuter de l’existence ou non de l’inéga-lité de Hopf uniforme suivant la régularité des coefficients de A(x) et la dimension n de l’espace. Cette partie a fait l’objet d’une publication parue dans Journal of Math. Analysis and Appli-cations (JMMA [7]).

En dimension n = 1, lorsque A(x) _{∈ L}∞_{(Ω), minorée inférieurement, nous avons montré à la}

Proposition 2.3.1 que l’inégalité de Hopf uniforme est satisfaite et nous précisons la constante cΩ,L.

Lorsque la dimension n > 2, le fait que A soit uniquement bornée n’est plus suffisante pour assurer l’existence de l’IHU. Nous montrons ceci par un contre exemple au Théorème 2.3.1. Néanmoins, nous démontrons que si la matrice A(x) est localement bornée et qu’au voisinage du bord elle coïncide avec une matrice à coefficients lipschitziens alors nous montrons l’exis-tence de l’IHU. Ceci est fait au théorème 2.4.3.

Dans le Chapitre 3, également publié dans [7], nous abordons une application d’une telle inégalité pour un problème semi-linéaire anologue à celui de (1) mais où la singularité est mise au membre de droite et aucune restriction n’est faite sur m > 0.

(_Pm)     

Lu = −div A(x)∇u
= a(x)

um_(x), x ∈ Ω,

u = 0 sur ∂Ω

Ce problème (_Pm) se rencontre dans de nombreuses applications comme l’étude de couche

li-mite en mécanique des fluides (voir [63]). Dans l’article pionnier de Crandall-Rabinowitz-Tatar [28], il a été mentionné comme application l’étude des transmissions dans la théorie du signal (voir [56, 61]) ou encore l’étude des catalyseurs hétérogènes chimiques [41].

Notons que lorsque l’opérateur L = _{−∆ (donc A(x) =Identité) (ou plus généralement les} co-efficients A(x) sont de classe C3), a _{∈ C}α(Ω), plusieurs auteurs ont abordé l’étude d’une telle équation, aussi bien l’étude d’une solution classique que le comportement de la solution au voi-sinage de bord. Un aperçu de tous ces résultats est donné dans l’article (review) de Hernandez et Mancebo [53].

méthode, pour l’existence et la régularité de solution, est basée sur l’IHU car la difficulté repose sur la positivité de la solution.

Un des résultats qui a motivé notre étude est celui donné par le Théorème 6.7 dans [53] que nous recitons ici

Théorème 1. de Gui-Hua Lin

Soit a ∈ L∞_{(Ω), 0 < α 6 a(x) 6 β. Alors, la solution}

     −∆u = a(x)_u u ∈ H1 0(Ω) satisfait u ∈ C0,α_{(Ω), 0 6 α < 1 et} c8δ(x) A − log δ(x)
1/2 6u(x) 6 c₉δ(x) A − log d(x)
1/2 où c8> 0, c9> 0.

Une telle inégalité a été déjà prouvée en dimension n = 1 par Oleinik-Samokhin [63] ou Vajra-velu et al [83]. Pour cette raison, nous nous sommes intéressé tout d’abord à l’études de (_P1).

Mais la finalité de nos résultats reste la discussion, suivant les coefficients de A, de l’existence (et unicité), la régularité de la solution du problème. On constate que la régularité du gradient n’a pas été abordé dans les travaux ultérieurs (voir Théorème 6.3 de [53]), la trace au bord est assutée dand leur cas par le fait qu’on cherche une solution u continue jusq’au bord

En utilisant l’IHU et le théorème de point fixe, nous montrons dans le théorème 3.2.1 l’exis-tence, l’unicité et la positivité de la solution faible pour des coefficients uniquement bornés. Puis, nous étudions la régularité de la solution (_P1) : à l’aide de l’IHU et aux résultats déjà

asso-ciés à la régularité de l’équation linéaire([5, 16, 75]), nous démontrons dans le théorème 3.3.1 que si les coefficients sont dans l’espace vmor(Ω) alors la solution u∈ W₀1,p(Ω) pour tout p fini .

Ensuite, nous terminons cette partie par une étude de comportement du gradient lorsque p tend vers l’infini. Plus précisement, en adaptant une méthode introduite par Sergio Campanato [19], nous prouvons que le gradient appartient à l’espace bmor(Ω) si les coefficients A(x) ∈ C0,1( ¯Ω)

(voir le Théorème 3.3.2).

Enfin, nous discutons l’existence, l’unicité et la régularité de la solution du problème (_Pm).

Introduction

de la positivité de la solution basée sur la méthode de monotonie de sous et sur solution. Par contre, notre méthode, qui prouve l’existence, est fondée sur l’IHU ( voir le Théorème 3.4.1). A propos de la régularité, nous démontrons qu’elle ne repose pas seulement sur la valeur de m mais aussi sur la régularité des coefficients ( voir le Théorème 3.4.2).

Dans la dernière partie de cette thèse, au chapitre 4, nous allons considérer le système d’élasticité linéaire mais en l’associant à une donnée ~f qui varie en fonction de la distance au bord. Nous exprimons cette propriété par le fait que ~f est est intégrable par rapport à la fonction distance δ.

Ainsi, nous nous intéressons à  

~E~u = −∆~u − λ∇ div (~u) = ~f dans Ωu = 0 sur ∂Ω, où Ω est un ouvert borné de class C2,1, λ > 0.

Notons que de tels problèmes ont été déjà abordé par plusieurs auteurs, mais pour des don-nées ~f regulières (donc différentes des notre). Nous renvoyons le lecteur aux livres de Ciarlet [26] et de Temam [81] et les références citées dans ces livres.

Comme dans le cas scalaire λ = 0, la difficulté réside dans le fait que la solution ~u peut ne pas être dans W1,1_(Ω)n_{. C’est pour cette raison que nous faisons appel à la notion de solution}

très faible analogue à cette introduite par Brézis [14].

En appliquant la technique de la troncature, le théorème de Morrey 4.1.1, les inégalités de Hardy (2.2.10)... nous montrons dans le théorème 4.3.2 que si ~f ∈ L1(Ω, δ)n alors la solution très faible ~u _{∈ L}n′,∞(Ω)navec n′ = n

n − 1.

Ensuite, à l’aide de la dualité ( voir [33] lemme 3.7 page 49), nous montrons dans le théo-rème 4.3.3 que si la fonction ~f appartient à l’espace produit

n

Y

i=1

L1_{(Ω, δ}αi_{) avec 0 < α} i < 1,

alors la solution faible ~u_{∈ W}1 0L

n

n−1+ ¯α_(Ω)n, où ¯α = max_iα_i.

Si αi = 0, nous démontrons à l’aide du résultat de Morrey 4.1.1 et l’interpolation de

Marcinkie-wicz (2.2.3) que la solution ~u_{∈ W}1_Ln−1n ,∞_(Ω)n_{( voir théorème 4.3.4).}

Finalement, nous prouvons dans le théorème 4.3.9 que la solution ~u _{∈ W0}1,1(Ω)n si la fonction ~

Table des matières

Introduction 3

Table des matières 7

1 Rappel : Quelques notions et résultats utiles 11

1.1 Espaces de base et propriétés . . . 11

1.1.1 Espaces de Lebesgue . . . 12

1.1.2 Espaces de Campanato et ses propriétés . . . 12

1.1.3 Espaces de John-Nirenberg et ses propriétés . . . 15

1.1.4 Espaces de Lorentz et ses propriétés . . . 16

1.1.5 Espaces de Lebesgue à poids . . . 18

1.2 Injections et Inégalités de Sobolev . . . 19

1.2.1 Injections de Sobolev dans l’espace de Lebesgue . . . 19

1.2.2 Théorèmes d’interpolation de Stampacchia et de Marcinkiewicz . . . 19

1.2.3 Inégalités classiques connues comme inégalité de Poincaré, inégalité de Holder... . . 20

1.2.4 Inégalités de Hardy . . . 22

1.3 Quelques théorèmes classiques d’existence et de régularité d’équations linéaires . . . 23

1.3.1 Théorème d’existence de la solution d’un problème élliptique linéaire et non linéaire du second ordre . . . 23

1.3.2 Propriétés quantitatives associées à un problème élliptique du second ordre . . . 24

1.3.3 Noyau de Green associé à un opérateur élliptique du second ordre . . . 25 2 Inégalité de Hopf Uniforme :

Table des matières

2.1 Généralité sur l’inégalité de Hopf Uniforme . . . 27

2.2 Définition de l’inégalité de Hopf Uniforme . . . 28

2.2.1 l’inégalité de Hopf Uniforme dans le cas de l’opérateur de Laplace . . 28

2.2.2 Définition de l’inégalité de Hopf Uniforme associée à un opérateur élliptique du second ordre à coefficients variables . . . 30

2.3 Discussion des conditions de la régularité assurant la validité de l’IHU . . . 30

2.3.1 Bornitude des coefficients assure l’IHU dans un espace de dimension 1 . . . 31

2.3.2 Inexistence de l’IHU pour certaines matrices à coefficients uniquement bornés dans un ouvert régulier Ω_{⊂ R}n. . . 33

2.4 Condition optimale pour l’existence de l’inégalité de Hopf uniforme . . . 35

3 Sur le problème elliptique singulier semi linéaire : Lu = f (x; u) avec 0 6 um_{f (x; u)} et borné 41 3.1 Motivation . . . 41

3.2 Théorème d’existence et d’unicité pour un opérateur à coefficients uniquement bornés . . . 43

3.3 Etude de la régularité de la solution . . . 47

3.3.1 Régularité W1Lp(Ω) obtenue pour des coefficients appartenant à l’espace vmor(Ω). . . 47

3.3.2 Régularité de la solution dans W₀1bmor(Ω) pour des données lipschitziennes. . . 49

3.4 Etude dans le cas où le second membre est a(x)u−m(x), m > 0 . . . 58

3.4.1 Caractère bien posé et unicité . . . 59

3.4.2 Discussion de la régularité de la solution suivant la régularité des coef-ficients ainsi la variation de l’exposant m . . . 62

4 Régularité de la solution du système d’élasticité pour des données intégrables par rapport à la distance au bord 65 4.1 Introduction . . . 65

4.1.1 Explication physique . . . 65

4.1.2 Problèmes stationnaires indépendants du temps . . . 66

4.1.3 Travaux mathématiques antérieurs . . . 67

4.2 Cas du système d’élasticité : résultats classiques d’existence et de régularité . . 69

4.2.2 Solutions faibles classiques du système d’élasticité avec des données standards . . . 71 4.3 Existence et régularité de la solution pour des données intégrables par rapport à

la distance . . . 73 4.3.1 Définition de la solution très faible donnée par Brézis. . . 73 4.3.2 Existence et unicité de la solution pour des données dans L1_{(Ω, δ)}n_{. . . 75}

4.3.3 Théorème de la régularité de la solution très faible . . . 78

Chapitre 1

Rappel

Quelques notions et résultats utiles

Ce chapitre a pour but de rappeler l’essentiel des notations et des résultats utilisés tout au long de ce travail. Il est organisé comme suit :

- En premier lieu, nous rappelons quelques espaces fonctionnels et leurs

propriétés comme (les espaces de Campanato, l’espace de John Nirenberg, les espaces de Lorentz, les espaces de Lebesgues à poids..). Ces classes d’espaces serviront entre autres à donner un cadre à nos problèmes elliptiques .

- Ensuite, la deuxième section a pour objet d’examiner et de présenter les inégalités d’interpolation (comme l’interpolation de Stampacchia,

Marcinkiewicz..), les inégalités classiques célèbres en EDP (comme celles de Poincaré, Holder, Hardy...) et les injections de Sobolev.

- Enfin, nous terminons par les théorèmes de base qui assurent l’existence, l’unicité et la régularité de la solution d’un problème elliptique.

1.1 Espaces de base et propriétés

Par la suite, Ω est un ouvert borné de Rn, E est un sous espace mesurable de Rnet on note par_|E| sa mesure de Lebesgue. Nous définissons L0_{(Ω) comme l’ensemble des fonctions mesurables :}

L0

(Ω) =: 

1.1.1 Espaces de Lebesgue

Définition 1.1.1. (les espaces de Lebesgue)(voir [11], [46],...).

Pour p ∈ [1, +∞[, on définit Lp_{(Ω) comme l’ensemble des fonctions mesurables f telle que}

| f |p soit intégrable. On définit L∞_{(Ω) comme l’ensemble des fonctions mesurables f telle que f soit}

presque partout bornée par une constante finie. On pose alors k f kLp_(Ω) := Z Ω| f (x)| p_dx! 1 p et

k f kL∞(Ω) := inf{M; | f (x)| 6 M presque partout dans Ω}.

Muni de cette norme l’espace Lp_{(Ω), 1}

≤ p ≤ ∞, est un espace de Banach, réflexif si 1 < p < +∞.

Les espaces de Lebesgue constituent une très bonne échelle pour quantifier

l’intégrabilité des fonctions. Cependant, les spécialistes d’analyse fonctionnelle ont souvent besoin d’espaces plus fins qui viennent s’intercaler entre les espaces de

Lebesgue : par exemple les espaces de Lorentz, de Campanato, de Zygmund et bmo de John-Nirenberg.

Dans les années 1965, Sergio Campanato a introduit les espaces_L2,λ_{(Ω) (voir [19], [20],[21]..).}

Ces espaces ont servi à étudier les régularités α-holdériennes et bmo ( bounded mean oscillation) des solutions des équations linéaires.

1.1.2 Espaces de Campanato et ses propriétés

Définition 1.1.2. (Espaces de Campanato)

Une fonction u ∈ L2,λ_{(Ω), où 0 6 λ 6 n + 2 si et seulement si}

kukL2_(Ω)+sup r>0 x0∈Ω " r−λ Z Ω(x0,r) |u − ur|2dx #1 2 =_kukL2,λ_(Ω)< ∞ avec ur = 1 |Q(x0,r) ∩ Ω| Z Q(x0,r)∩Ω u(x) dx.

Q(x0,r) est le cube de centre x0 et de côté r > 0 et le cube peut être remplacé par la boule

En d’autre terme, u_{∈ L}2,λ(Ω) s’il existe une constante positive M(u) telle que_∀x0 ∈ Ω et ∀r > 0

Z

Ω(x0,r)

|u − ur|2dx 6 M(u)rλ.

L2,λ_{est un espace de Banach avec la norme}

kukL2,λ. Notons que l’espace de Campanato est une

généralisation des espaces de Morrey si 0 < λ < n ( voir [19]). Définition 1.1.3. (Espaces de Morrey)

Une fonction u ∈ L2,λ_{(Ω) ou 0 6 λ 6 n, si et seulement si}

kukL2_(Ω)+sup r>0 x0∈Ω " r−λ Z Ω(x0,r) |u|2dx #1 2 = _kukL2,λ_(Ω) < ∞.

L2,λ_{(Ω) forme un espace de Banach avec la norme}

kukL2,λ_(Ω).

Lemme 1.1.1. Pour tout λ ∈ [0, n]. Par la définition on a, L2,λ_{(Ω) ֒}

→ L2_{(Ω). Et en particulier,}

L2,0_(Ω)

≃ L2(Ω) et L2,n(Ω)_{≃ L}∞(Ω). Preuve. En effet, soit u une fonction bornée, alors

[u]L2,n_(Ω) = sup r>0 x0∈Ω " r−n Z Ω(x0,r) |u|2dx #1 2 6 sup r>0 x0∈Ω h r−n_kuk2 L∞_(Ω)|Ω(x0,r)| i1 2 6 hw_nrnr−n_kuk2_L∞(Ω)i 1 2 6 w 1 2 nkukL∞(Ω).

(wn désigne ici la boule unité de ’n). Réciproquement, supposons que u soit dans L2,n(Ω),

d’après un théorème de Lebesgue [82], on a pour presque tout x0 ∈ Ω

u(x0) = lim r−→0 1 |Ω(x0,r)| Z Ω(x0,r) u(z) dz = lim r−→0 1 wnrn Z Ω(x0,r) u(z) dz 1 wntn Z Ω(x0,t) |u(z)| dz 6 sup r>0 1 wnrn Z Ω(x0,r) |u(z)| dz 6 sup r>0 " 1 wnrnkukL 2_(Ω(x 0,r))|Ω(x0,r)| 1 2 # 6 w −1 2 n kukL2,n_(Ω).

Ainsi on déduit que pour presque tout x0,|u(x0)| 6 w −1

2

n kukL2,n_(Ω). Soit ||u||_∞ 6 w −1

2

n kukL2,n_(Ω).

Nous pouvons écrire la norme_kukL2_(Ω)comme suit :

kukL2_(Ω) ={ sup x∈Ω 0<ρ<diam(Ω) kukL2_(Ω(x,ρ))} 1 2, avec Ω(x, r) = Ω ∩ B(x, r),

ce qui prouve respectivement l’équivalence entre les espaces L2,n_{(Ω) et L}∞_{(Ω), et entre}

les espaces L2,0_{(Ω) et L}2_{(Ω). }

Nous verrons dans la suite que si Ω est un ouvert régulier et λ compris entre n et n + 1, l’espace de Campanato_L2,λ_{(Ω) sera équivalent à l’espace de fonctions holdériennes.}

Définition 1.1.4. (Espaces des fonctions holdériennes)(voir [19]) Pour k > 0 et 0 < α 6 1,

on définit Ck,α_{( ¯Ω), sous espace de C}k_{( ¯Ω) contenant les fonctions dont les dérivées sont α}

holdé-riennes dans ¯Ω.

C’est à dire pour m = (m1,m2, ...,mn)∈ Nn, |m| = m1+m2+...mn,et Dm=

∂|m| ∂xm1 1 ...∂x mn n on définit, kukCk,α_{( ¯Ω)} = X |m|6k sup x,y ¯Ω× ¯Ω |Dmu(x) − Dmu(y)| |x − y|α < ∞,

ou bien la norme équivalente sup

|m|6k    sup Ω_×Ωx,y |Dmu(x) − Dmu(y)| |x − y|α    < ∞. Ck,α_{( ¯Ω) forme un espace de Banach avec la norme}

|||u|||Ck,α_{( ¯Ω)}= kuk_Ck_{( ¯Ω)}+kuk_Ck,α_{( ¯Ω)}.

Maintenant, nous allons introduire la condition suffisante de régularité sur Ω pour qu’on ait l’équivalence entre l’espace de Campanato et l’espace de Morrey d’une part et entre l’espace de Campanato et l’espace Holdérien d’autre part.

Définition 1.1.5. (voir par exemple [19])

On dira qu’un ouvert Ω est de type (A) s’il existe une constante positive K telle que ∀x ∈ ¯Ω et ∀ 0 < r < diam(Ω) ;

mes Ω(x, r) > Krn. Si Ω est un ouvert lipschitzien alors il est de type (A). Propriété 1.1.1. (voir [19], [45])

1) pour 0 6 λ < n, L2,λ_(Ω)

∼ L2,λ_(Ω).

2) pour n < λ 6 n + 2, L2,λ_(Ω)

∼ C0,λ−n2 ( ¯Ω).

3) Si λ > n + 2, L2,λ_{(Ω) ne contient que les constantes. Pour cette raison on limite la}

variation de λ dans l’intervalle [0, n + 2].

Lorsque λ = n, il s’avère que l’espace de Campanato coincide avec l’ espace dit BMO de John-Nirenberg. le mot BMO (Bounded mean oscillation en anglais) est l’espace des fonctions à oscillation moyenne bornée a été présenté par John et Nirenberg en 1961, dans le cadre des études de problèmes d’élasticité. Plus tard, divers auteurs ont contribué à développer l’étude de ces espaces, citons par exemple C. Fefferman, E. Stein et ses étudiants (voir [24], [25], [51], [52], [47], [65], [78]..).

1.1.3 Espaces de John-Nirenberg et ses propriétés

Définition 1.1.6. (Espaces de John-Nirenberg bmo(Rn₎₎

Une fonction localement intégrable sur Rn _{appartient à bmo(R}n_{) si}

sup 0<diam(Q)<1 1 |Q| Z Q| f (x) − f Q| dx + sup diam(Q)>1 1 |Q| Z Q| f (x)| dx = k f k bmo(Rn₎ < +∞,

où le supremum est pris sur tous les cubes dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées et diam(Q) est le diamètre de cube (Q). Comme dans la définition de L2,n_{(Ω), on peut remplacer}

les cubes par des boules (voir [86]).

Définition 1.1.7. (Espaces de John-Nirenberg bmor(Ω))

Soit f une fonction localement intégrable sur un domaine Ω borné et lipschitzien, elle appartient à bmor(Ω) si sup 0<diam(Q)<1 1 |Q| Z Q| f (x) − fQ| dx + Z Ω | f (x)| dx = k f kbmor(Ω) < +∞.

où le supremum est pris sur tous les cubes contenus dans Ω dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées.

Dans ce cas, on montre qu’il il existe une fonction e_{f ∈ bmo(R}n_{) telle que}

e f

Ω

= f et k ef k_bmo(Rn₎6 c_{Ω· k f kbmor(Ω)}.

L’une des différences entre les espaces Lp (p < _{∞) et bmo réside dans le fait que les espaces} réguliers comme C( ¯Ω) ne sont pas denses dans bmor(Ω). L’adhérence par rapport à la norme

Définition 1.1.8. (Espaces de Sarason)([78],[79])

f une fonction localement intégrable sur un domaine Ω borné et lipschitzien, elle

appartient à vmor(Ω) si elle appartient à bmor(Ω) et les oscillations moyennes ne sont pas

seulement bornées mais tendent vers 0 uniformément lorsque le rayon du domaine d’intégration tend vers 0. vmor(Ω) =  f ∈ bmor(Ω) et lim R→0r6R, xsup0∈Ω 1 rn Z B(x0,r)∩Ω | f − fr| dx = 0  .

Dans le lemme suivant, nous voyons clairement le lien entre l’espace de Campanato et l’espace bmo.

Lemme 1.1.2. (Equivalence entre bmor(Ω) etL2,n(Ω))(voir [66])

Dans un domaine Ω borné et lipschitzien on a :

L2,n(Ω) = bmor(Ω)

avec des normes équivalentes.

1.1.4 Espaces de Lorentz et ses propriétés

Parmi les espaces dits limites ou intermédiaires des espaces de Lebesgue Lpnous

aurons besoin des espaces de Lorentz, ou de Zygmund qui sont construits à l’aide du réarrange-ment (voir par exemple [68], [6] ).

On définit les fonctions auxiliaires suivantes avant de passer à la définition de l’espace de Lo-rentz ( voir [68], [34]...).

Définition 1.1.9. On définit

1. la fonction de distribution de u. On a m : R →]0, |Ω|[, tel que m(t) = mesure{x ∈ Ω : u(x) > t} = |u > t|,

2. Le réarrangement monotone de u (noté par u_∗), est l’inverse généralisé de m ; u_∗(s) = inf  t ∈ R; |u > t| 6 ss ∈]0, |Ω|[, u_∗(0) = ess sup Ω u, u_∗(_{|Ω|) = ess inf} Ω u,

De plus, on définit |u|∗∗(t) = u∗∗(t) =

1 t

Z t 0 |u|∗

Définition 1.1.10. (Espaces de Lorentz)(voir [33], [34], [68], [6], [82]... ) On définit l’espace de Lorentz Lp,q_{(Ω) pour 1 6 p < +}

∞, 1 6 q < +∞, comme étant : Lp,q_{(Ω) =}_{u : Ω → R mesurable ||u||}q p,q= Z |Ω| 0 h t1pu ∗∗(t) iq dt t < +∞  , en outre, nous rappelons que

Lp,p_{(Ω) = L}p_{(Ω) si 1 < p <}

∞, Lp,s(Ω)_{⊂ L}r,q(Ω) pour r < p et pour tout q, s_{∈ [1, +∞[.} Et de plus, si 1 6 s < q 6 +∞ nous avons les inclusions suivantes :

Lp,1

(Ω)_{⊂ L}p,s(Ω)_{⊂ L}p,q(Ω) _{⊂ L}p,∞(Ω).

Dans le cas où q = +_{∞, l’espace L}p,∞(Ω) est aussi appelé l’espace de Marcinkiewicz ainsi nous allons le présenter dans la définition suivante.

Définition 1.1.11. (Espaces de Marcinkiewicz)(voir [82], [6]).

Soit p ∈]1, +∞[, on note Mp_{(Ω) = L}p,∞_{(Ω), l’espace des fonctions f mesurables telles que}

|| f ||p,∞ = K = sup t6|Ω|t 1 p_{| f |} ∗∗(t) < +∞ ⇔ mes  x ∈ Ω : | f (x)| > λ|= _{|{| f | > λ}| 6} K λp.

Lorsque p = q = 1, l’espace de Lorentz coincide avec un espace noté L(log L) que A. Zygmund a introduit, c’est un espace utilisé aussi dans l’étude des séries de Fourier et son dual noté Lexp(Ω).

Définition 1.1.12. (Espaces de Zygmund)(voir [82], [6]).

Soit Ω un ouvert borné inclus dans Rn_{. Pour α > 0, on définit l’espace}

L(log L) =_{v : Ω → R mesurable ; |v|}L(log L) =

Z |Ω| 0 |v|∗∗

(t) dt < +_∞ 

. C’est un espace de Banach muni de la norme

kvkL(log L) = Z |Ω| 0 |v|∗∗ (t) dt. Et on définit Lα exp(Ω) :=  v : Ω → R mesurable : kvkα =sup t6|Ω| |v|∗∗(t) 1 + log|Ω| t !α < +∞  · En plus, Lα

exp(Ω) forme un espace de Banach avec la norme,

kvkLα exp(Ω)= sup t6|Ω| |v|∗∗(t) 1 + log|Ω| t !α·

Les espaces de Zygmund Lα

exp(Ω) et L(log L) vérifient les inclusions suivantes

L∞ _{⊂ L}α

exp⊂ Lp ⊂ L(log L) ⊂ L1

pour tout p ∈]1, +∞[.

Remarque 1.1.1. On note que L1

exp(Ω) = Lexp(Ω) et L(log L) sont associés l’un à l’autre.

En particulier, pour tout f ∈ Lexp(Ω) et g∈ L(log L)(Ω) on a,

Z

Ω| f g| 6 2| f |

Lexp(Ω)|g|L(log L)(Ω).

1.1.5 Espaces de Lebesgue à poids

Définition 1.1.13. (Espaces à poids)(voir [34], [32], ... )

Soit Ω un ouvert borné inclus dans Rn_{. Si w : Ω →]0, +∞[ est une fonction intégrable, on définit}

les espaces de Lebesgue à poids comme

Lp_{(Ω, w) =}_{f mesurable : | f |}p Lp_(Ω,w)= Z Ω| f (x)| p_{w(x) dx < ∞}_. En particulier Lp_{(Ω, δ}α_{) avec 0 6 α 6 1, 1 6 p <}

∞ et δ(x) = dist(x, ∂Ω) de la façon suivante : • f ∈ Lp(Ω, δα) si Z Ω | f (x)|pδ(x)αdx < +∞. • f ∈ L1_{(Ω, δ(1 +} | ln δ|)) si Z Ω| f (x)|δ(1 + | ln δ|) dx < +∞.

Ce sont des espaces complets munis de la norme adéquate | · |Lp_(Ω,w).

Nous pouvons associer à l’un des espaces de Banach V (précédents) un espace de Sobolev, en particulier

W1_{V =}_{v ∈ L}1

loc(Ω) tel que|∇v| ∈ V

 . En particulier nous utiliserons,

W1 0bmor(Ω) :={u : Ω → R; u ∈ W 1,1 0 (Ω) et∇u ∈ bmor(Ω) n }. W1 0L p,q (Ω) =_{{u ∈ W0}1,1(Ω) et_{∇u ∈ L}p,q(Ω)n_}. L’espace de Sobolev classique sera noté W1,p_{(Ω) = W}1_Lp_(Ω).

La théorie des espaces de Sobolev est extrêmement développée et leurs propriétés sont bien connues et détaillées dans de nombreux ouvrages populaires (Brezis [11], Adams [3], Gilbarg-Trudinger [46], JE et JM Rakotoson [69]). Nous utilisons essentiellement les injections de So-bolev qui sont très importantes dans notre travail.

1.2 Injections et Inégalités de Sobolev

1.2.1 Injections de Sobolev dans l’espace de Lebesgue

Théorème 1.2.1. (voir [11], [46], [3], ... )

Soit Ω ⊂ Rn _{un ouvert de classe C}1_{. Soit d > 1 un entier et p ∈ [1, +∞[ un réel. Alors}

1. Si 1 6 p < n d, on a W d,p_{(Ω) ֒} → Lq(Ω), _{∀q ∈ [1, p}∗], p∗ = np n − dp; 2. Si p = n d, on a W d,p_{(Ω) ֒} → Lq(Ω), _{∀1 6 q 6 +∞ ;} 3. Si p > n d, on a W d,p_{(Ω) ֒} → Ck( ¯Ω), avec 0 6 k 6 d₋ n_d. Les inclusions ci-dessus sont toutes compactes pour n = 1.

Remarque 1.2.1. Sans l’hypothèse de régularité sur Ω, les injections restent valables localement. Elles sont globalement vraies si on remplace Wd,p_{(Ω) par W}d,p

0 (Ω) qui est

l’adhérence de fonctions indéfiniment dérivables à support compact, sans la régularité au bord.

1.2.2 Théorèmes d’interpolation de Stampacchia et de

Marcinkiewicz

L’idée des résultats d’interpolation consiste à étendre une propriété connue pour deux espaces l’un contenu dans l’autre aux espaces intermédiaires entre les deux espaces.

Ainsi, l’interpolation de Stampacchia est très utile pour transporter une certaine régularité déjà obtenue dans l’espace bmo et L2_{par exemple, sur les espaces de Lebesgue L}p_{pour tout p > 2 (}

voir [82], [80], [46] p : 227, section 9.3, [73] le théorème 4, [82]). Théorème 1.2.2. (Interpolation de Stampacchia)(voir [82]).

Soit 1 < q < +∞ et Q0est une cube inclus dans Rn. Supposons que T est un opérateur linéaire

et borné de Lq_(Q

0) dans elle même,

T : Lq_(Q

0)−→ Lq(Q0).

C’est à dire il existe une constante positive C1telle que,

kT ukLq_(Q

0) 6C1kukLq(Q0), ∀u ∈ L q

(Q0).

Supposons aussi que l’opérateur T est linéaire et borné de bmor(Q0) dans L∞(Q0). De même, il

existe une constante positive C2telle que,

Alors, pour p ∈ [q, +∞[, T sera borné et linéaire de Lp_(Q

0) dans Lp(Q0). Et par suite, il existe

une constante positive C telle que, kT ukLp_(Q

0) 6CkukLp(Q0), ∀u ∈ L p

(Q0).

L’interpolation de Marcinkiewicz est l’outil efficace pour étendre une régularité déjà connue dans l’espace de Lebesgue à l’espace de Lorentz.

Définition 1.2.1. On dira qu’une application T d’un sous espace de L1

locdans L1locsera dite sous

linéaire si |T(u + v)| 6 |Tu| + |Tv| et |T(λu)| = |λ||Tu| pour tout u et v et λ ∈ ’.

Théorème 1.2.3. (Interpolation de Marcinkiewicz)(voir [6] chapitre 4 page 243, [45] section 9.3 page 227)

Soient 1 6 p0 < p1< +∞, 1 6 q0,q1 < +∞ et 0 < θ < 1. On définit p et q par :

1 p = 1_{− θ} p0 + θ p1 1 q = 1_{− θ} q0 + θ q1 .

Si T est sous linéaire opère de Lp0,1 dans Lq0,∞et il existe une constante positive C

1telle que

kT ukLq0,∞(Q0) 6C1kukLp0,1(Q0)

et si T est sous linéaire de Lp1,1 dans Lq1,∞, c’est à dire il existe encore une constante positive

C2telle que

kT ukLq1,∞(Q0)6C2kukLp1,1(Q0),

alors T sera borné de Lp,r_{dans L}q,r_{avec 1 6 r 6 +∞ i.e il existe encore une constante positive}

C(p, q, r) telle que

kT ukLq,r_(Q

0)6C(p, q, r)kukLp,r(Q0),

1.2.3 Inégalités classiques connues comme inégalité de Poincaré, inégalité

de Holder...

Théorème 1.2.4. (Inégalité de Young). Pour 1 < p < +∞, q tels que 1

p + 1q = 1, et a, b∈]0, +∞[. Alors,

ab 6 ap p +

bq

q En particulier, pour tout ε > 0 :

ab 6 a2 2ε +

εb2

Théorème 1.2.5. (Inégalité d’Holder)(voir [69])

Soit Ω un espace mesurable de ’n_{, 1 6 p, q 6 ∞ vérifiant la relation de conjugaison} 1

p+1q =1.

Si f ∈ Lp_{(Ω) et g}

∈ Lq(Ω) alors, le produit f g appartient à L1_{(Ω) et sa norme est majorée :}

k f gkL1_(Ω)6 k f k_Lp_(Ω)kgk_Lq_(Ω)

Corollaire 1.2.1. du Théorème 1.2.5(Inégalité d’interpolation)

Soit Ω un domaine ouvert borné inclus dans Rn_{et 1 6 p 6 q 6 ∞. Si f ∈ L}q_{(Ω) alors pour tout}

p 6 r 6 q et on a l’inégalité suivante : k f kLr_(Ω) 6_{k f k}θ_Lp (Ω)k f k 1−θ Lq_(Ω, où 1 r = θ p + 1_{− θ} q .

Théorème 1.2.6. (Inégalité de Poincaré)(voir [3],[11],[69]). Soit 1 6 p < ∞ et Ω un domaine borné inclus dans Rn_.

Alors il existe une constante positive C dépendant uniquement de p et Ω telle que pour toute fonction u ∈ W1,p

0 (Ω),

kukLp_(Ω)6Ck∇uk_Lp_(Ω).

Si on considère une partie de mesure H_{n−1 positive du bord, soit Γ ⊂ ∂Ω supposé lipschitzien,} on note

W1,p

0Γ(Ω) ={u ∈ W

1,p_{(Ω), γ}

0u = 0 sur Γ}

alors cette inégalité reste valable pour u ∈ W1,p 0Γ(Ω).

Remarque 1.2.2. Une autre généralisation est l’inégalité de Poincaré-Wirtinger.

Elle a l’avantage d’être valable pour toutes les fonctions de W1,p_{(Ω), et pas simplement celles}

qui s’annulent au bord.

Théorème 1.2.7. Soient 1 6 p 6 ∞ et Ω un domaine ouvert borné à frontière lipschitzienne de l’espace euclidien Rn_{. Alors il existe une constante positive C, dépendant uniquement de Ω}

et p, telle que, pour toute fonction u de l’espace de Sobolev W1,p_(Ω),

ku − uΩkLp_(Ω)6Ck∇uk_Lp_(Ω), avec uΩ= 1 |Ω| Z Ω u(x) dx.

Remarque 1.2.3. Notons que l’inégalité de Poincaré-Sobolev entraîne que W1,n_{(Ω) ֒}

→ vmor(Ω).

Théorème 1.2.8. (Inégalité de la valeur moyenne)( voir [46]).

Soit u ∈ C2_{(Ω) satisfait ∆u = 0(>; 6 0) dans Ω. Alors pour toute boule B(y, R)}

⊂⊂ Ω, on a : u(y) = (6, >) 1 wnRn Z B u(x) dx.

Ce théorème affirme que la valeur d’une fonction harmonique est égale à la valeur de l’intégrale moyenne sur ∀B ⊂⊂ Ω.

Néanmoins, la valeur d’une fonction sous harmonique (∆u > 0), est majorée par l’intégrale moyenne qui minore une fonction super harmonique (∆u 6 0).

1.2.4 Inégalités de Hardy

Le rôle des inégalités de Hardy apparaît dans les chapitres suivants surtout dans les derniers chapitres lorsqu’on on cherche la régularité optimale des solutions face à des données munies du poids distance au bord.

Théorème 1.2.9. ( voir [57], [33]).

Soient Ω ∈ C0,1_{, δ(x) = dist(x, ∂Ω). Il existe C > 0 tel que}

Z Ω |u(x)| δ(x) !2 dx 6 C Z Ω|∇u| 2_dx.

De plus pour tout a > 0, ∃Ca(Ω) > 0,

Z Ω |u(x)| δa dx 6 Ca(Ω) Z Ω|∇u|δ 1−a_dx. pour tout u ∈ C1 c(Ω)

La première inégalité est celle qui est classique, la seconde inégalité est utilisée dans le papier de [33] pour l’étude des solutions très faibles.

Théorème 1.2.10. .

Soit Ω un ouvert borné dans Rn_{et lipschitzien. Alors, pour tout ϕ dans W}1,∞

0 (Ω) nous avons

|ϕ(x)|

δ(x) 6|∇ϕ(x)|L∞(Ω).

Ce thérème découle du théorème des accroissements finis et a été utilisé par plusieurs auteurs auparavant.

Le théorème suivant a été introduit par [70] pour l’étude des régularités des solutions très faibles et la preuve est basée sur les estimations ponctuelles sur le réarrangement relatif [68].

Théorème 1.2.11. (voir [70]).

Soit Ω un ouvert borné dans Rn_{et lipschitzien. Alors, ∀ϕ ∈ W}1 0L

β

exp(Ω) et pour tout β > 0,

il existe C(Ω) > 0 tel que

|ϕ(x)|

δ(x)(1 + |log(δ(x))|)β 6C(Ω)k∇ϕkLβexp(Ω).

Théorème 1.2.12. ( voir [33] Lemme 3.26 page 53)

Soit Ω un domaine ouvert borné et lipschitzien. Pour tout a > 1 on a, δ1−a _{∈ L}a−11 ,∞_(Ω).

Lemme d’itération de Campanato

Lemme 1.2.1. (Lemme d’itération)(voir [19], [30], [45], ... )

On désigne par φ(ρ) une fonction non négative et non décroissante de la variable ρ. Supposons que A, α, β, r0et B soient des constantes non négatives et β < α et que ∀r ∈]0, r0[,∀ρ ∈]0, r[

φ(ρ) 6 Aρ r

α

φ(r) + Brβ. Alors, il existe une constante C > 0 telle que

φ(ρ) 6 Cρ r

β

+Bρβ, _{∀ 0 < ρ 6 r 6 r}0.

1.3 Quelques théorèmes classiques d’existence et de

régularité d’équations linéaires

Dans cette section, nous mettons l’accent sur quelques lemmes et théorèmes qui sont à la base de l’étude elliptique. D’abord, nous commençons par le théorème de Lax Miligram qui assure l’existence et l’unicité de la solution d’un problème elliptique linéaire de second ordre associé à une forme bilinéaire coercive. Puis, nous ajoutons le théorème de point fixe qui nous donne aussi l’existence de solutions mais dans le cadre non linéaire. Ensuite, nous nous passons à la régularité de la solution en exposant le célèbre théorème d’Agmon-Douglis et Nirenberg. Enfin, nous énonçons le principe de maximum usuel.

1.3.1 Théorème d’existence de la solution d’un problème élliptique

linéaire et non linéaire du second ordre

Théorème 1.3.1. (voir [69], [11], [30], [46]).

Soit a une forme bilinéaire sur un espace de Hilbert réel H muni de la norme k.k et du produit scalaire (·, ·) . On suppose que les propriétés suivantes ont lieu :

1. a est continue, c’est à dire, il existe une constante M > 0 telle que |a(u, v)| 6 MkukHkvkH, ∀v ∈ H.

2. a est coercive, c’est à dire qu’il existe une constante α > 0 telle que a(u, v) > αkuk2

, ∀u ∈ H.

Alors, pour tout élément L ∈ H∗_{(espace dual de H), il existe un élément unique u ∈ H tel que}

a(u, v) = L(v), ∀v ∈ H. De plus,

kukH6 kLkH∗ α . Définition 1.3.1. ( voir [46]).

Soit E un espace de Banach, B une partie non vide de E et on désigne par f une application de B dans E, f : B ⊂ E −→ E. On dit que f est compacte, si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

1. f est continue.

2. { f (x), x ∈ C} est relativement compact dans E, pour tout C borné dans B. Théorème 1.3.2. (Théorème 11.6 page 286 du [46]).

Soit B un espace de Banach et T un opérateur compact de B × [0, 1] dans B tel que pour tout x ∈ B, T(x, 0) = 0.

On suppose qu’il existe une constante M telle que pour tout (x, σ) ∈ B × [0, 1] satisfaisant T (x, σ) = x. on ait

kxkB < M.

Alors, l’application T1opérant de B dans B donné par T1(x) = T (x, 1) admet un point fixe.

1.3.2 Propriétés quantitatives associées à un problème élliptique du

second ordre

Les équations et les systèmes élliptiques linéaires du second ordre à coefficients réguliers pos-sèdent une propriété très importante : La solution gagne deux dérivées par rapport au second membre de l’équation. C’est ce qu’on appelle la régularité élliptique.

Théorème 1.3.3. (Théorème de la régularité, voir Théorème 9.15 page 241 du [46]).

les coefficients lippschitziens : A(x) ∈ C0,1_{( ¯Ω)}n_{, et fortement élliptique i.e.}

(A(x)ξ, ξ) > α_|ξ|2_{, ∀ ξ ∈ ’}n_{, α > 0. Si f ∈ L}p(Ω) avec 1 < p <_{∞ et u ∈ W0}1,p(Ω) la solution

de : _



 u = 0 sur ∂Ω.Lu = f dans Ω, alors, u ∈ W2,p_(Ω)

∩ W01,p(Ω) et il existe une constante C > 0 telle que

kukW2,p_(Ω) 6Ck f k_Lp_(Ω).

Théorème 1.3.4. (Principe de maximum, voir [46], [69]).

Soit Ω un domaine borné inclus dans Rn_{,L = − div(A(x)∇.) un opérateur élliptique du seconde}

ordre.

Supposons que Lu > 0 ou 6 0 dans Ω avec u ∈ C2_(Ω)

∩ C0(Ω) (Ω est l’adhérence de Ω dans ’n) Alors, le maximum ou le minimum de u dans Ω est atteint sur ∂Ω,

sup Ω u = sup ∂Ω u ou inf Ω u = inf∂Ω u. (1.1)

Si u n’est pas continue sur Ω alors nous pouvons remplacer (1.1) par sup

Ω

u = lim

x→∂Ωsup u(x) où infΩ u = lim_x→∂Ωinf u(x). (1.2)

1.3.3 Noyau de Green associé à un opérateur élliptique du second ordre

Il y a une dualité entre intégration et dérivation, le cas le plus simple que nous connaissons est que si nous cherchons une fonction dérivable u telle que u′(x) = f (x), 0 < x < 1, f continue sur [0, 1] alors nous pouvons trouver u en intégrant f et réciproquement on retrouve cette équation en u si on dérive. Le noyau de Green permet "d’intégrer" certaines équations aux dérivées partielles Lu = f en exprimant u comme une intégrale de f : u(x) = R

ΩGL(x, y) f (y)dy, la

fonction GLqui permet de faire cette représentation s’appelle noyau de Green. On donnera une

définition plus précise de cette fonction, mais voici un calcul formel qui éclairera le lecteur. Remarque 1.3.1. On considère le problème de diffusion suivant :

(P) :  

 Lu = − div(A(x)∇u) = f dans Ω,u = 0 sur ∂Ω,

avec (u, f ) des fonctions régulières dans un domaine régulier borné dans ’n_{. Nous considérons}

soit les deux à la fois.

Considérons pour x ∈ Ω, fixé,  

 G(x, y) = 0LG(x, y) = δx y ∈ Ω_{y ∈ ∂Ω}

Pour tout x ∈ Ω, alors formellement on peut dire que la solution de (P), u(x) = < δx,u >_(C(Ω)′,C(Ω)) = ₋ Z ΩA(y)∇G(x, y)∇u(y) dy = Z Ω G(x, y) f (y) dy Propriété 1.3.1. (voir [50], [77], [84], [66], [6]).

Soit L est un opérateur elliptique de second ordre et L∗_{son adjoint. Il existe une unique fonction}

GL∗ : Ω× Ω → R telle que 1) ∀y ∈ Ω, GL∗(., y)∈ W₀1Ln′,+∞(Ω) et sup y kGL ∗(., y)k_W1 0Ln′,+∞ 6C(Ω), satisfaisant Z ΩA(x)∇G L∗(x, y)∇ϕ(x) dx = ϕ(y), ∀ϕ ∈ W₀1Ln,1(Ω). 2) GL∗(., y)∈ C(Ω \ {y}) ∩ H1(Ω\ B(y, r)), ∀r > 0. 3) ∀ϕ ∈ C(Ω) ∩ H1

0(Ω) telle que L∗ϕ ∈ C(Ω),on a

Z

Ω

GL∗(x, y)L∗ϕ(x) dx = ϕ(y).

4) GL(x, y) = GL∗(y, x),∀(x, y) ∈ Ω2.

Théorème 1.3.5. (Théorème de comparaison)(voir [77]).

Supposons que L· = − div(A(x)∇·) est un opérateur fortement elliptique de second ordre à coefficients variables seulement bornés, L1 = − div(A1(x)∇·) est un autre opérateur fortement

elliptique mais à coefficients A1

∈ C0,1_(Ω)n_{et G}

L1 est le noyau de Green associé à L1.

Alors, pour tout ouvert relativement compact Ω′

l,0dans Ω il existe une constante K1 = K1(Ω′l,0) > 0

telle que

K−1

1 G−∆(x, y) 6 GL∗

Chapitre 2

Inégalité de Hopf Uniforme :

Variante du principe de maximum

2.1 Généralité sur l’inégalité de Hopf Uniforme

Sous certaines conditions de régularité, l’inégalité de Hopf Uniforme (IHU) consiste à minorer la solution d’un problème elliptique du second ordre par une quantité positive qui dépend de la fonction distance δ(x) = dist(x, ∂Ω) et de la fonction source non négative.

C’est cette dépendance explicite en fonction de la donnée qui rend cette estimation importante. Cette estimation apporte souvent la positivité de la solution d’une équation elliptique. C’est donc un principe de maximum qui précise le lemme de Hopf. L’inégalité de Hopf uniforme va contribuer à la discussion de la régularité de la solution dans l’étude des problèmes elliptiques du second ordre.

Selon J.I. Díaz [7], l’inégalité de Hopf Uniforme (IUH) a été utilisée pour la première fois par Díaz , Morel, et Oswald [31] pour l’étude d’un problème semilinéaire singulier régi par l’opérateur de Laplace et la preuve a été donnée dans un papier non publié de Morel et Oswald [59], plus tard une autre preuve était donnée par Brezis et Cabré [13].

Dans ce chapitre, on donne des conditions optimales sur l’opérateur pour l’obtention de l’IHU . En dimension 1, nous montrerons que si l’opérateur a des coefficients bornés alors les solutions des problèmes de Dirichlet vérifient l’IUH .

Toutefois, cette condition est insuffisante dans un espace de dimension plus grande ou égale à deux. Nous montrons ceci en donnant un contre exemple . Alors, dans un espace de dimension élevée , nous considérons des coefficients bornés à l’ intérieur du domaine mais lipschitziens au voisinage du bord pour garantir l’IHU. Si les coefficients sont partout lipschitziens, on peut adopter la preuve donnée dans [13], pour vérifier qu’un opérateur elliptique du second ordre

satisfait à l’IHU.

Considérons le problème suivant : (P) :

 

 −∆u = f dans Ω,u = 0 sur ∂Ω.

D’un point de vue physique, u(x) peut représenter la température au point x d’un corps

homogène solide Ω inclus dans Rn, chauffé par un flux de chaleur de densité f (x) > 0, et avec une température extérieure constante. Dans Rn, u(x) peut être aussi la hauteur au point x d’une membrane élastique qui est soumis à une force superficielle avec la densité f et fixée immobile sur les bords.

L’inégalité de Hopf assure que si f , 0 et non négative, la solution u(x) de (P) vérifie u(x) > C dist(x, ∂Ω), C > 0.

La signification physique dans le premier cas est que le solide devient chaud partout même si le flux de chaleur locale et la température diminuent à proximité de la frontière. Dans le second cas, nous voyons que si la membrane est tirée jusqu’à un certain point, sa pente à la frontière est négative partout.

Une question se pose : quelle condition sur f assurerait que le gradient près de la frontière soit plus grande qu’une certaine quantité donnée. Cette condition est tout simplement, que l’intégraleR

Ω f dx (i.e. le flux thermique, ou la résultante de force), est assez grande.

Mais cette condition est insuffisante, la bonne condition physique seraitR

Ω f dist(x, ∂Ω) dx.

En d’autre terme, l’efficacité de f augmente avec la distance au bord où f est appliquée.

2.2 Définition de l’inégalité de Hopf Uniforme

2.2.1 l’inégalité de Hopf Uniforme dans le cas de l’opérateur de Laplace

Théorème 2.2.1. (voir [13], [59], [31])

Soit Ω un domaine borné régulier inclus dans Rn _{et f une fonction bornée non négative.}

Alors, il existe une constante positive CΩ_,−∆ telle que la solution u du problème suivant :

(P) :  

 −∆u = f dans Ωu = 0 sur ∂Ω, satisfait l’inégalité de Hopf Uniforme,

u(x) > CΩ_,−∆δ(x)

Z

Ω

f (y) δ(y) dy, avec δ(x) = dist(x, ∂Ω).

Preuve. Nous recopions la preuve de ce théorème donnée par Brezis-Cabré dans [13]. Elle se base sur deux étapes.

Etape 1. D’abord, ils commencent par prouver l’inégalité sur tous les compacts inclus dans Ω. C’est à dire pour tout compact K _{⊂ Ω, on a}

u(x) > C Z

Ω

f (y)δ(y) dy _{∀x ∈ K,} (2.1) avec C est une constante positive ne dépend que de K et de Ω.

Pour cela, soit ρ = 1₂ dist(K, ∂Ω) , par compacité, on peut considèrer m boules de rayon ρ de sorte que

K ⊂ Bρ(x1)∪ ... ∪ Bρ(xm)⊂ Ω.

Ensuite, considérons ζ1, ..., ζmdes solutions dans H2(Ω)∩ H1₀(Ω) de

 

 −∆ζζi =i0(x) = χBρ(xi)(x) dans Ω,sur ∂Ω,

où χA est la fonction caractéristique sur A. En fait, Le lemme de Hopf assure l’existence d’une

constante C > 0 qui dépend seulement de K et Ω telle que pour tout x_{∈ Ω,} ζi(x) > Cδ(x) ∀1 6 i 6 m.

Puis, fixant x _{∈ K et prenant une boule B}ρ(xi) contenant x, alors Bρ(xi)⊂ B2ρ(x)⊂ Ω, et comme

−∆u > 0 dans Ω donc u est sur harmonique, d’après le théorème (1.2.8) , u(x) > 1 |B2ρ| Z B2ρ(x) u = Cρ Z B2ρ(x) u(x) > Cρ Z Bρ(xi) u(x) =_−Cρ Z Ω u(∆ζi) = Cρ Z Ω f ζi >C_ρC Z Ω f δ. (2.2)

Etape 2. Fixons un compact régulier K ⊂ Ω. Dans la première étape, il a été prouvé que u(x) > C

Z

Ω

f (y)δ(y) dy ∀x ∈ K.

Et alors, il suffit de prouver l’inégalité sur le complémentaire de K, c’est à dire pour x_{∈ Ω \ K.} A ce stade, considérons w une fonction harmonique dans Ω_{\ K solution de}

     −∆w = 0 dans Ω \ K, w = 0 sur ∂Ω, w = 1 sur ∂K.

Le lemme de Hopf fournit l’estimation suivante,

w(x) > cδ(x) _{∀x ∈ Ω \ K.} Comme u(x) > w(x)CR

Ω f (y)δ(y) dy sur ∂(Ω \ K) avec le principe de maximum, et le fait que

f > 0 on déduit : u(x) > C Z Ω f δ ! w(x) > C.c Z Ω f δ ! δ(x), _{∀x ∈ Ω \ K.} (2.3) Et par suite, les deux inégalités (2.2) et (2.3) impliquent que_{∀x ∈ Ω, la solution satisfait} l’inégalité de Hopf Uniforme. 

2.2.2 Définition de l’inégalité de Hopf Uniforme associée à un

opérateur élliptique du second ordre à coefficients variables

Définition 2.2.1. Soient Ω un domaine borné régulier inlus dans Rn _{et A(x) = (a}

i j(x))16,i, j6n ,

une matrice coercive à coefficients bornés. Nous dirons qu’un opérateur L = − div(A(x)∇·) de D dans D′_{(Ω) vérifie l’inégalité de Hopf uniforme, s’il existe une constante positive CΩ,L > 0}

telle que, pour tout f ∈ L∞

+(Ω), la solution v∈ H1(Ω) du problème suivant :

 

 Lv = fv = 0 dans Ωsur ∂Ω satisfait pour tout x ∈ Ω,

v(x) > CΩ,Lδ(x)

Z

Ω

f (y)δ(y) dy, (2.4) avec δ(x) = dist(x, ∂Ω).

Nous allons étudier les conditions dans lesquelles cette inégalité existe ou non selon la

matrice A. Mais d’emblée, au vu du théoréme précédent, si les coefficients sont lipschitziens alors l’inégalité est valide.

2.3 Discussion des conditions de la régularité assurant la

va-lidité de l’IHU

Nous débutons l’étude dans l’espace de dimension 1, où nous allons démontrer qu’un opérateur elliptique du second ordre vérifie l’IHU si le coefficient a est seulement une fonction bornée et minorée inférieurement.

2.3.1 Bornitude des coefficients assure l’IHU dans un espace de

dimension 1

Le résultat qui suit peut être adapté à un opérateur L comportant des termes d’ordre inférieur à deux. Proposition 2.3.1. Soit a ∈ L∞_{(]0, 1[) et 0 < m 6 a 6 M. Alors,∀ f ∈ L}1 +(]0, 1[) et∀u ∈ H01(]0, 1[) vérifiant    Lu = −  a(x)u′_(x)′ _{= f dans D}′_{(]0, 1[),} u(0) = u(1) = 0, on a, u(x) > m M2 min(x, 1− x) Z 1 0 f (t) min(t, 1 − t) dt.

Notant que δ(x) = min(x, 1 − x) est la distance du point x au bord.

Démonstration. D’abord, nous vérifions que le noyau de Green de l’opérateur Lv = −a(x)v′_(x)′

associé aux conditions de Dirichlet homogènes est donné par :

Ga(x, y) =               Z 1 y dt a(t)  Z x 0 dt a(t)  Z 1 0 dt a(t) si x < y  Z y 0 dt a(t)  Z 1 x dt a(t)  Z 1 0 dt a(t) si y 6 x.

On a pour y (resp x) fix é, que Ga(.; y)(resp Ga(x.; .)) est une fonction de H1₀(]0, 1[). Pour tout y

fixé, nous allons montrer que LGa(x, y) = δy, c’est à dire que

∀ϕ ∈ H10(]0, 1[),

Z 1 0

a(x)∂Ga(x, y)

En effet, notons que nous avons après simplification : Z 1 0 a(x)∂xGa(x, y)ϕ′(x) dx = Z y 0 Z 1 y dt a(t) Z 1 0 dt a(t) ϕ′_{(x) dx−} Z 1 y Z y 0 dt a(t) R1 0 dt a(t) ϕ′_{(x) dx} = Z 1 y dt a(t) Z 1 0 dt a(t) ϕ(y) + Z y 0 dt a(t) Z 1 0 dt a(t) ϕ(y) = ϕ(y).

Par suite Ga(x, y) est le noyau de Green associé à L. Deuxièmement, nous allons prouver que

Ga(x, y) > m M2δ(x)δ(y). En effet, si x < y, on a : Ga(x, y) =  Z 1 y dt a(t)  Z x 0 dt a(t)  Z 1 0 dt a(t) > x(1 − y) M2 1/m > mx(1 − y) M2 > mδ(x)δ(y) M2 . Si y 6 x, on a : Ga(x, y) =  Z y 0 dt a(t)  Z 1 x dt a(t)  Z 1 0 dt a(t) > y(1 − x) M2 1/m > mδ(x)δ(y) M2 . Donc, Ga(x, y) > m M2δ(x)δ(y). D’où, u(x) = Z 1 0 Ga(x, y) f (y) dy > m M2δ(x) Z 1 0 f (y)δ(y) dy.  Cette condition pourrait-elle assurer l’existence de l’IHU dans un espace de dimension élevée ? En construisant un contre exemple, nous montrerons qu’elle est insuffisante pour obtenir l’IHU dans un espace de dimension plus grand que deux.

2.3.2 Inexistence de l’IHU pour certaines matrices à coefficients

uniquement bornés dans un ouvert régulier Ω ⊂ R

_.

Le résultat suivant peut sétendre au cas de ’n, n > 2.

Théorème 2.3.1. Il existe dans un domaine régulier Ω dans R2_{, une matrice A coercive et à}

coefficients bornés, une fonction f ∈ L32

+(Ω) et u ∈ H1₀(Ω) solution de Z ΩA(x)∇u∇ϕ dx = Z Ω f ϕ dx, ∀ ϕ ∈ H 1 0(Ω)

et telle que l’inégalité de Hopf uniforme n’est pas satisfaite.

Preuve. Considérons Ω :=n(x, y) _{∈ R}2 tel que x > 0 et x2+y2 < 1o. On définit la fonction v(x, y) = x

(x2_+y2₎1₄ − x := v1(x, y) + v2(x, y),

et la matrice suivante déjà utilisée par Meyers [58] dans un autre contexte, A(x, y) := 1 4(x2_+y2₎    4x 2_+y2 _3xy 3xy x2_+4y2    . On a, v _{∈ H}1

0(Ω). On va prouver que− div(A∇v) = f > 0 sur Ω, qu’on va déterminer.

En effet, dans l’ouvert la fonction est indéfiniment dérivable , ainsi : ∇v1 =       x2_+2y2 2(x2₊y2₎54 −xy 2(x2₊y2₎54       , alors A∇v1 =       2x2_+y2 2(x2_+y2₎54 xy 4(x2_+y2₎54       . En outre, ∂ ∂x    2x 2_+y2 2(x2_+y2₎5₄    = −2x 3_+3xy2 4(x2_+y2₎9₄ , ∂ ∂y    xy 4(x2₊y2₎54    = 2x 3 − 3xy2 4(x2₊y2₎94 . Par conséquent, on déduit qu’au sens des distributions on a :

D’autre part, pour v2(x, y) =−x, on a ∇v2=    −1₀    , et donc, A∇v2 =       − 4x 2_+y2 4(x2_+y2₎ −3xy 4(x2_+y2₎       . De la même façon, on obtient au sens des distributions que

− div(A∇v2) =

3x

4(x2₊y2₎ dans Ω. (2.6)

Grâce à (2.5) et (2.6), nous déduisons que − div(A∇u) = 3x

4(x2_+y2₎ := f > 0 dans Ω.

Passant à l’intégrabilité de f , en utilisant les coordonnés polaires on montre que f _{∈ L}32(Ω).

En effet, Z Ω| f (x, y)| 3 2 dx dy 6 c Z Π 2 −Π 2 Z 1 0    3r cos θ 4r2    3 2 r dr dθ 6 c Z 1 0 r−1 2 dr < +∞. Calculons inf (x,y)∈Ω v(x, y)

δ(x, y). Comme v(x, y) > 0, on remarque que v(x, y)

δ(x, y) >0 sur Ω. Introduisant les coordonnées polaires, on obtient

u(x, y) = r cos θ _√1 r − 1 ! . Alors, v(r, θ) δ(r, θ) 6 √ r cos θ −→ 0 lorsque r ց 0. Par suite, inf (x,y)∈Ω v(x, y) δ(x, y) =0.

2.4 Condition optimale pour l’existence de l’inégalité de Hopf

uniforme

Ainsi la bornitude globale des coefficients est insuffisante pour obtenir l’IHU en dimension plus grande que deux. Néanmoins, nous allons donner des conditions suffisantes d’existence de l’IHU. Nous désignons par Ω un domaine borné régulier inclus dans Rn et L1 _représente

l’opérateur de diffusion à coefficients lipschitziens. C’est à dire L1

· = − div(A1(x)_{∇·) avec A}1(x), ayant pour composantes a1_{i j}(x)_{∈ C}0,1(Ω).

Auparavant nous aurons besoin du résultat suivant dont la preuve est la même que le théorème (2.2.1)

Théorème 2.4.1. Supposons que L1 _{est l’opérateur de diffusion à coefficients a}1

i j ∈ C0,1(Ω). Soit f ∈ L∞ +(Ω), v∈ H1(Ω) la solution du    L 1_{v = f dans Ω,} v = 0 sur ∂Ω.

Alors, il existe une constante positive CΩ,L1 (indépendante de f et de v) telle que,

v(x) > CΩ,L1δ(x)

Z

Ω

f (y)δ(y) dy, avec δ(x) = dist(x, ∂Ω).

Idée de la preuve. La modification qu’il faut apporter dans la preuve du théorème (2.2.1) est l’usage des propriétés de la fonction sur harmonique u, il faut la remplacer par la propriété des sous solutions suivante (voir Théorème 8.18 de [46]).

Théorème 2.4.2. ( Théorème 8.18 de [46]) Soit L = − div(A1_(x)

∇u·) l’opérateur de diffusion fortement elliptique ayant les coefficients bornés i.e.

n

X

i, j=1

|ai j| 6 ν. Si u ∈ W1,2(Ω), u > 0, est une sur solution de l’équation :

Lu = − div A1_(x) ∇u
= 0. c’est à dire ∀ ψ ∈ C1 c(Ω), ψ > 0 Z Ω A(x)∇u · ∇ψdx > 0. Alors pour toute boule B4R(y)⊂ Ω et 1 6 p <

n n − 2 R−np_||u||Lp

(B2R(y)) 6C inf_B R(y)u

La preuve du théorème (2.4.1) se base sur deux étapes :

Etape 1 : Nous allons d’abord prouver l’inégalité sur tous les compacts inclus dans Ω.

Soit K un compact dans Ω et ρ = 1₂dist(K, ∂Ω). Par la compacité on peut considérer m boules de rayon ρ de sorte que

K ⊂ Bρ(x1)∪ ... ∪ Bρ(xm)⊂ Ω.

On considère ζ1, ..., ζmdes solutions dans H2(Ω)∩ H₀1(Ω) de

   − div(A 1_(x)t ∇ζi) = χB_ρ(xi)(x) dans Ω, ζi = 0 sur ∂Ω.

Ici, A1_(x)t _{désigne la transposée de la matrice A}1_{(x) Comme les coefficients sont lipschitziens}

sur Ω alors par le principe maximum de Hopf, il existe une constante positive C telle que, ζi(x) > Cδ(x) ∀1 6 i 6 m.

Soit x _{∈ K tel que x ∈ B}ρ(xi), alors Bρ(xi)⊂ B2ρ(x)⊂ Ω. D’après le théorème (2.4.2),

il existe une constante positive C telle que, v(x) > inf Bρ(x) v > Cρ−n Z B2ρ(x) |v| dx > CC_ρ Z Bρ(xi) v(x) dx = Cl Z Ω v(x)χBρ(xi)dx = Cl Z Ω A1 (x)t_∇ζi· ∇v dx = Cl Z Ω− div(A 1_(x) ∇v)ζidx = Cl Z Ω f ζidx > Cl Z Ω f δ. Par suite,_{∀x ∈ K} v(x) > Cl Z Ω f δ. (2.7)

Etape 2 : Il suffit de prouver l’inégalité sur le complémentaire du K, c’est à dire ∀x ∈ Ω \ K. Alors, on introduit le problème suivant :

     L1_{w = − div(A}1_(x) ∇w) = 0 dans Ω \ K = Ωb w = 0 sur ∂Ω w = 1 sur ∂K.

Selon le principe de Hopf il existe une constante positive Cbtelle que,

Ensuite, on introduit la fonction w(x) =  Cl R Ω f (y)δ(y) dy −1

v(x)(Clest la constante donnée par

la relation (2.7)). A l’aide de la linéarité de L1et la positivité de la fonction f , on a :    L 1_{w(x) =} _C l R Ω f (y)δ(y) dy −1 L1_{v > 0 = L}1_{w dans Ω} b w|∂Ωb >w|∂Ωb.

Donc par le principe de maximum on obtient que,

w(x) > w(x) ∀x ∈ Ωb.

Par suite, pour tout x_{∈ Ω}bon a,

v(x) > w(x)Cl Z Ω f (y)δ(y) dy > ClCbδ(x) Z Ω f (y)δ(y) dy. (2.8) Enfin, nous combinons les relations (2.7) et (2.8) nous obtenons,

v(x) > Cδ(x) Z

Ω f (y)δ(y) dy ∀x ∈ Ω.

 Etant donné que la bornitude globale des coefficients était insuffisante pour la validité de l’IHU, et que la condition de Lipschitz globale sur tout le domaine des coefficients assure l’existence d’une telle inégalité, nous avons donc pensé à une situation intermédiaire où les coefficients seront bornés localement et lipschitziens au voisinage du bord . Ce qui nous a conduit à écrire le domaine comme réunion de deux parties ouvertes, une locale, et l’autre appartenant au voisinage du bord. Soit Ωl ⊂⊂ Ω et Ωb ∈ V(∂Ω), Ω = Ωb∪ Ωl. (L’indice l fait référence au mot local et b

le bord). En plus, nous supposons que (H1) :     

il existe une matrice A(x) = (ai j(x))i, j dont les coefficients ai j ∈ L∞(Ω), ∀ i, j = 1, ...n

∃ α > 0, ∀ζ = (ζ1, ..., ζn)∈ Rn, Pi, jn ai j(x)ζiζj >α|ζ|2dans Ω. (H2)     

il existe une matrice A1_{(x) =}_a1 i j(x)  i j,x ∈ Ω, avec    a 1 i j(x)∈ C0,1(Ω), α− coercice; ∀ζ ∈ Rn, (A1(x)ζ, ζ) > α|ζ|2, ∀ x ∈ Ω,

la restriction de a1_{i j} à Ωb égale à ai j(x) : ∀i, j : ai j|Ω_b =a1_{i j}.

Nous avons alors : Théorème 2.4.3.

Sous les hypothèses (H1) et (H2), il existe CΩ,L > 0, tel que pout tout f ∈ L∞+(Ω), la solution

u ∈ H1

0(Ω) du problème suivant

(P) :  