1 2 … 1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 ….
2 2 + 1 = 3 …. ….
…. …. …. ….
Dé 1
Dé 2
On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6.
Partie A : on s'intéresse à la somme des deux numéros sortis.
1 ) Explique pourquoi ce jeu est une expérience aléatoire.
On ne peut pas prévoir ni calculer l'issue de ce jeu. Il s'agit donc d'une expérience aléatoire.
2 ) Réalise un tableau à double entrée ( voir ci- contre ) pour donner toutes les issues possibles
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Dé 1
Dé 2
3 ) Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?
= { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 } 4 ) Donne un exemple d'évènement élémentaire, un
exemple d'évènement impossible.
Exemple d'évènement élémentaire : " obtenir 5 "
Exemple d'évènement impossible " obtenir un nombre supérieur à 20 "
5 ) On considère les évènements :
A : " Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 " et B : " Obtenir un multiple de 3 "
a ) Ecrire A et B sous forme d'ensembles. A = { 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 } B = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 } b ) Traduis les évènements A et B par une phrase puis sous la forme d'un ensemble.
A : " Obtenir un nombre inférieur à 4 " A = { 2 ; 3 }
B : " Ne pas obtenir un multiple de 3 " B = { 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 }
Partie B : On s'intéresse à la distance entre les deux numéros sortis ( par exemple, lorsque les numéros 3 et 5 sortent, la distance est 2 ).
1 ) Réalise un tableau à double entrée pour donner toutes les issues possibles
1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
Dé 1
Dé 2
2 ) Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?
= { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
3 ) On considère les évènements :
A : " Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 "
et B : " Obtenir un multiple de 3 "
a ) Ecrire A et B sous forme d'ensembles. A = { 4 ; 5 } B = { 0 ; 3 }
b ) Traduis les évènements A et B par une phrase puis sous la forme d'un ensemble.
A : " Obtenir un nombre inférieur à 4 " A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } B : " Ne pas obtenir un multiple de 3 " B = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 }
Partie A : on reprend l'expérience aléatoire de la partie A de l'exercice 1 1 ) Donne la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total
pi
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1
36 1
2 ) Détermine la probabilité des évènements A, B A et B . P (A) = 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
36 = 33
36 = 11
12 P(B) = 2 + 5 + 4 + 1 36 = 12
36 = 1 3 P ( A ) = 1 P (A) = 1
12 P( B ) = 1 P (B) = 2
3 Partie B : on reprend l'expérience aléatoire de la partie B de l'exercice 1
1 ) Donne la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
xi 0 1 2 3 4 5 Total
pi
6 36
10 36
8 36
6 36
4 36
2
36 1
2 ) Détermine la probabilité des évènements A, B A et B . P (A) = 4 + 2
36 = 6 36 = 1
6 P(B) = 6 + 6
36 = 12 36 = 1
3 P ( A ) = 1 P (A) = 5
6 P( B ) = 1 P (B) = 2
3 Partie C : on propose à un joueur 2 jeux au choix :
* lancer un dé cubique équilibré
* lancer deux dés cubiques équilibrés et calculer la distance entre les deux numéros sortis ( comme dans la partie B )
Quel jeu a-t-il intérêt à choisir sachant que pour gagner, le joueur doit obtenir 1 ou 4.
Avec le 1er jeu, la probabilité de gagner est de 2 6 = 1
3 Avec le 2ème jeu, la probabilité de gagner est de 14
36 = 7 18 Or 1
3 = 6
18 donc le 2ème jeu est plus intéressant pour le joueur.
La roue ci-contre est partagée en six secteurs. Une expérience aléatoire consiste à faire tourner la roue et à noter le numéro du secteur sur lequel elle s'immobilise.
La roue étant bien équilibrée, on associe à chaque issue une probabilité proportionnelle à l'angle du secteur correspondant.
1 ) On note l'ensemble des issues de cette expérience aléatoire. Donner
.
= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
2 ) Est-on dans le cas d'une loi équirépartie ?
La loi n'est pas équirépartie car les angles des différents secteurs ne sont pas identiques.
3 ) Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
xi 1 2 3 4 5 6 Total
pi
45 360 = 1
8
90 360 = 1
4
1 8
30 360 = 1
12 120 360 = 1
3
1
12 1
4 ) On considère les évènements :
A : " Le numéro est pair " B : " Le numéro est inférieur ou égal à 3 "
a ) Ecris A et B sous forme d’ensembles b ) Détermine P (A) et P (B)
A = { 2 ; 4 ; 6 } P (A) = 1 4 + 1
12 + 1 12 = 5
12 B = { 1 ; 2; 3 } P (B) = 1
8 + 1 4 + 1
8 = 1 2
5 ) Traduis les évènement A et B par des phrases et calcule leurs probabilités de deux manières différentes.
A : " Le numéro est impair " P ( A ) = 1 8 + 1
8 + 1 3 = 14
24 = 7 12 ou P ( A ) = 1 P (A) = 1 5
12 = 7 12 B : " Le numéro supérieur à 3 " P ( B ) = 1
12 + 1 3 + 1
12 = 6 12 = 1
2 ou P ( B ) = 1 P (B) = 1 1
2 = 1 2
On choisit un nombre entier au hasard entre 0 et 3 ( compris ). On recommence une deuxième fois on effectue le produit des 2 nombres obtenus.
1 ) Réaliser un arbre pour trouver toutes les issues possibles
1er nombre 2ème nombre Issues
0
0 1 2 3
1
0 1 2 3
2
0 1 2 3
3
0 1 2 3
0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 4 6 0 3 6 9
2 ) Déterminer les probabilités des évènements suivants : A : " le produit est égal à 0 " P (A) = 7
16 B : " le produit est pair " P (B) = 12
16 = 3 4 C : " le produit est supérieur à 5 " P (C) = 3
16
Un jeu de loterie consiste à lancer la première roue et noter la couleur indiquée par le repère puis à lancer la deuxième roue et noter la couleur indiquée par le repère.
1 ) Réalise un arbre pondéré.
Roue 1 Roue 2 Issues Probabilités
N
1 2
N 3
4
B 1
4
B 1
2 N
3 4
B 1
4
N N
N B
B N
B B 1 2 × 3
4 = 3 8
1 2 × 1
4 = 1 8
1 2 × 3
4 = 3 8
1 2 × 1
4 = 1 8
2 ) Quelle est la probabilité de l'évènement A : " n'obtenir que du noir "
P (A) = 1 2 × 3
4 = 3 8
3 ) Soit B l'évènement " obtenir au moins une fois noir "
a ) Traduis en français l'évènement B
B : " ne pas obtenir de noir " ( ou "n'obtenir que du blanc" ) b ) Calcule P (B) de deux manières différentes.
P (B) = 3 8 + 1
8 + 3 8 = 7
8 ou P (B) = 1 P( B ) = 1 1 8 = 7
8
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues.
On tire successivement 2 boules avec remise .
1 ) Construire un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire.
Urne 1 Urne 2 Issue
s
Probabilités
R
5 10
R 5
10 3 V 10
B 2
10
3 V 10
R 5
10 3 B 10
V 2
10
B 2
10
R 5
10 3 B 10
V 2
10
R R 5
10 × 5 10 = 1
4 R V 1
2 × 3 10 = 3
20 R B 1
2 × 2 10 = 1
10
V R 3
10 × 1 2 = 3
20
V V 3
10 × 3 10 = 9
100
V B 3
10 × 2 10 = 3
50
B R 2
10 × 1 2 = 1
10
B V 2
10 × 3 10 = 3
50
B B 2
10 × 2 10 = 1
25 2 ) Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : " On a obtenu dans cet ordre une boule rouge puis une boule verte " P (A) = 1 2 × 3
10 = 3 20 B : " On a obtenu une boule rouge et une boule verte dans n'importe quel ordre " P (B) = 3
20 + 3 20 = 3
10
C : " On a obtenu deux boules rouges " P (C) = 1
2 × 1 2 = 1
4 D : " Une des couleurs obtenues figure dans le drapeau français"
Utilisons l'évènement contraire : D : " on obtient 2 boules vertes " P ( D ) = donc P (D) = 47 50
1er tirage.
Urne 1 Urne 2 Issue
s
Probabilités
R
5 10
R 4
9 3 V 9
B 2
9
3 V 10
R 5
9 2 B 9
V 2
9
B 2
10
R 5
9 3 B 9
V 1
9
R R 5
10 × 4 9 = 2
9 R V 1
2 × 3 9 = 1
6 R B 1
2 × 2 9 = 1
9
V R 3
10 × 5 9 = 1
6
V V 3
10 × 2 9 = 1
15
V B 3
10 × 2 9 = 1
15
B R 2
10 × 5 9 = 1
9
B V 2
10 × 3 9 = 1
15
B B 2
10 × 1 9 = 1
45
A : " On a obtenu dans cet ordre une boule rouge puis une boule verte " P (A) = 1 2 × 3
9 = 1 6 B : " On a obtenu une boule rouge et une boule verte dans n'importe quel ordre " P (B) = 1
6 + 1 6 = 1
3
C : " On a obtenu deux boules rouges " P (C) = 5
10 × 4 9 = 2
9 D : " La ou les couleurs obtenues figurent dans le drapeau français"
Utilisons l'évènement contraire : D : " on obtient 2 boules vertes " P ( D ) = 1
15 donc P (D) = 14 15
---
Chansons Françaises
Chansons
Internationales Total Chansons avec
clip 10 0,32x125 = 40 50
Chanson sans
clip 115 85 200
Total 125 125 250
Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire au hasard un jeton.
On considère les évènements suivants : A : " Le nombre tiré est divisible par 3 "
B : " Le nombre tiré est strictement inférieur à 7 ".
1 ) Ecris les évènements A et B sous forme d'ensembles et calcule leurs probabilités.
A = { 3 ; 6 ; 9 } P (A) = 0,3
B = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } P (B) = 0,6
2 ) Traduis en français les évènements A B et A B; écris les sous forme d'ensembles et calcule leurs probabilités.
A B : " Le nombre tiré est un multiple de 3 inférieur à 7 " = { 3 ; 6 } P (A B) = 0,2
A B : " Le nombre tiré est un multiple de 3 ou un nombre inférieur à 7 } = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 } P (A B) = 0,7
Exercice 8 :
Dans son ipod, Mathieu a 250 chansons dont 50 sous forme de clips. La moitié de l’ensemble des chansons sont des chansons françaises, les autres sont des chansons internationales. De plus 32% des chansons internationales sont des clips.
1 ) Recopie et complète le tableau ci-contre pour représenter cette situation
2 ) Mathieu utilise un mode aléatoire. On considère les événements :
C : « Obtenir un clip » et F : « Obtenir une chanson française » Déterminer :
P ( C) = 50
250 = 0,2 P ( F ) = 125
250 = 0,5 P ( C F ) = 10
250 = 0,04 P ( C F ) = 250 85
250 = 165
250 = 0,66
On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On s'intéresse aux évènements suivants : A : " Obtenir le numéro 1 "
B : " Obtenir un nombre strictement supérieur à 2 "
C : " Obtenir un nombre pair ".
1 ) Ecrire les évènements A, B et C sous forme d'ensembles.
A = { 1 } B = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } C = { 2 ; 4 ; 6 } 2 ) Décrire les évènements A B et B C.
A B : " Obtenir le 1 ou un nombre supérieur à 2 " = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } B C : " Obtenir un nombre pair strictement supérieur à 2 " = { 4 ; 6 }
3 ) Indiquer la probabilité de chacun des évènements : P (A ) = 1
6 P (B) = 4 6 = 2
3 P (C) = 3 6 = 1
2 P (A B) = 5
6 P (B C) = 2 6 = 1
3
Exercice 10 :
Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule de l'urne puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note leurs numéros.
1 ) Reproduis et complète l'arbre ci-dessous.
1er tirage 2ème tirage Issues
1
2
3
4
2
1
3
4
3
1
2
4
4
1
2
3
( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) ( 1 ; 4 ) ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 4 ) ( 4 ; 1 ) ( 4 ; 2 ) ( 4 ; 3 )
A : " le numéro tiré en premier est 2 " A = { ( 2 ; 1 ) ; ( 2 ; 3 ) ; ( 2 ; 4 ) }
B : " La somme des deux numéros est 5 " B = { ( 1 ; 4 ) ; ( 2 ; 3 ) ; ( 3 ; 2 ) ; ( 4 ; 1 ) } C : " les deux numéros sont pairs " C = { ( 2 ; 4) ; ( 4 ; 2 ) }
3 ) Déterminer les évènements A B, A C et B C. Que peux-tu dire de l'évènement B C ? A B : " Le numéro tiré en premier est 2 et la somme des deux numéros est 5 " = { ( 2 ; 3 ) } A C : " Le numéro tiré en 1er est 2 et les deux numéros sont pairs " = { ( 2 ; 4 ) }
B C : " La somme des deux numéros est 5 et les deux numéros sont pairs " = .
B C est donc un évènement impossible.
4 ) Indiquer la probabilité des évènements suivants : P (A) = 3
12 = 1
4 P (B) = 4 12 = 1
3 P(C) = 2
12 = 1
6 P (A B) = 1
12 P (A C) = 1
12 5 ) Déterminer de deux façons la probabilité de l'évènement A B
Méthode 1 : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 3 12 + 4
12 1 12 = 6
12 = 1 2
Méthode 2 : A B : " Le numéro tiré en 1er est 2 ou la somme des deux numéros est 5 "
= { (1;4) ; (2;1) ; (2;3) ; (2;4) ; (3;2) ; (4;1) } Donc P (A B) = 6 12 = 1
2
