GENIE MECANIQUE Transmission de puissances

GENIE MECANIQUE

Transmission de puissances

Chapitre 13

EXERCICES

Feuille n°7

CORRECTION

EEEXXXEEERRRCCCIIICCCEEE111

On considère un système vis/écrou (appelé aussi liaison hélicoïdale).

Sur le schéma ci-contre, la vis possède un mouvement de rotation autour de l’axe x ; elle tourne à la vitesse N_vis et entraine l’écrou en translation le long de l’axe x à la vitesse v_écrou.

On donne :

- Pas de vis (commun à la vis et l’écrou) : p=4mm - Nombre de filets (commun à la vis et l’écrou) : Z =2 a) Faire le schéma-bloc de la transmission.

b) Etablir la loi d’entrée/sortie cinématique (en tr⋅min⁻¹ et m⋅s⁻¹).

On peut partir de cette formule avec N_vis qui est déjà en tr⋅min⁻¹ :

Le soucis c’est v_écrou qui est en mm⋅min⁻¹ alors qu’on nous demande des m⋅s⁻¹ ; comment faire ? Convertir ! On a :

( ¹) ( )¹ ( )^ms1

écrou s

m écrou min

mm

écrou 1000 60 v 60000 v

v ^{⋅ −} ≡ × × ^⋅− = × ^⋅−

donc :

x

écrou y

v ωvis

Vis Ecrou

Vis/écrou

η

(

)

vis ou

N

ω

θ

(

)

écrou ou

N

ω

écrou

θ

Vitesse angulaire (tr.min^-1)

vis

écrou Z p N

v = ⋅ ⋅

Vitesse linéaire (mm.min^-1) Nombre de filets (-)

Pas de vis (mm)

vis

écrou Z p N

v

60000× = ⋅ ⋅

Vitesse linéaire (m.s^-1)

Nombre de filets (-)

Vitesse angulaire (tr.min^-1) vis 4

écrou 1,33 10 N

v = ⋅ ⁻ ⋅

Vitesse linéaire (m.s^-1)

c) Calculer à 10⁻⁴ près et en m⋅s⁻¹ la vitesse de déplacement de l’écrou pour N_vis=100tr⋅min⁻¹.

1 4

vis 4

écrou 1,33 10 N 1,33 10 100 0,0133m s

v = ⋅ ⁻ ⋅ = ⋅ ⁻ × = ⋅ ⁻

d) Etablir la loi d’entrée/sortie géométrique (en tr et mm).

On a : x=Z⋅p⋅θ avec x en mm, θ ^{en tr, p en} mm (Z sans unité) => pas de soucis d’unité.

e) Calculer en mm la distance x_écrou parcourue par l’écrou pour θ_vis =10tr^. mm

80 10 8 8

x_écrou = ⋅θ_vis = × =

f) Calculer en tr l’angle θ_vis que doit faire la vis pour que l’écrou se déplace de x_écrou =15mm. Ici, on nous donne la distance parcourue et on nous demande l’angle correspondant.

On part donc de la loi E/S géométrique qu’on retourne pour exprimer θ en fonction de x : tr

875 , 8 1 15 8

8 x

x_écrou = ⋅θ_vis ⇔ θ_vis = ^écrou = =

θ

⋅

=8 x

déplacement angulaire (tr) déplacement linéaire (mm)

EEEXXXEEERRRCCCIIICCCEEE22 2

On considère le mécanisme ci-contre.

On donne :

- Nombre de dents : Z₁ =20 Z₂ =40 - Pas de vis : p₃ =2mm

- Nombre de filets : Z₃ =2

a) Le schéma a été décomposé ; placer le nom et le numéro des composants (le bâti (0), la roue (1), la roue (2), la vis (3), l’ensemble (2+3) et l’écrou (4).

Schéma

Nom Roue Roue Vis Roue + vis Ecrou Bâti

Numéro 1 2 3 2 + 3 4 0

b) La roue (2) est solidaire de la vis (3) ; qu’en conclure quant à leur vitesse de rotation ? Leurs vitesses sont égales : N_2/0 =N_3/0 ou, c’est pareil, ω_2/0 =ω_3/0.

On peut aussi noter que les angle parcourus sont identiques : θ_2/0 =θ_3/0.

c) Autour de quel axe la roue (1) tourne ? la roue (2) avec la vis (3) ? Les roues (1) et (2) ainsi que la vis (3) tournent autour de l’axe x.

d) Le long de quel axe l’écrou (4) translate ? L’écrou (4) translate le long de l’axe x.

e) Faire le schéma-bloc détaillé de la transmission.

0 /

ω1

0 /

v4

A B

C

1

3

4

x y

0

0 /

ω2

0 /

x4 2

Engrenage à roues cylindriques 1/2

η

r12 0

/

N1 0 /

θ

0 / 3 0 /

2 N

N =

0 / 3 0 /

2

θ

θ

Vis écrou 3/4

η

r34

0 /

v4 0 /

x4

f) Faire le schéma-bloc encapsulé de la transmission.

g) Etablir la loi d’entrée/sortie cinématique globale (de toute la transmission), soit v4/0 = f

(

)

Ce qu’il faut comprendre ici :

On demande une formule donnant la vitesse de translation de l’écrou (v_4/0) en fonction de la vitesse de rotation du moteur N_moteur.

Déjà, il faut tout de suite percuter que N_moteur c’est N_1/0 car le pignon moteur (1) est sur le rotor du moteur :

0 / 1

moteur N

N = .

Ensuite :

la loi d’E/S de l’engrenage 1/2 met en relation N_1/0 et N_2/0 donc on a la relation entre N_moteur et N_2/0. On sait que N_2/0 =N_3/0 donc on a la relation entre N_moteur et N_3/0.

la loi d’E/S du vis/écrou 3/4 met en relation N_3/0 et v_4/0 donc on a la relation entre N_moteur et v_4/0. Et voilà. On y va, avec les calculs ? C’est parti…

Relation moteur / pignon moteur : N_moteur =N_1/0 1

Loi E/S engrenage 1/2 :

Pour un engrenage, on a : _{2/0 2/0 2/0}

0 / 3

0 / 2 0 / 3 0

/ 3

0 / 2 0 / 2

0 /

3 N 0,5 N

40 N 20

Z N Z

Z Z N

N = ⇔ = × = × = ⋅

=> N_3/0 =0,5⋅N_2/0 2

Relation entre 2 et 3 : N_2/0 = N_3/0 3

Loi E/S vis/écrou 3/4 : v_4/0 =Z⋅ p⋅N_3/0 =2×2×N_3/0 =4⋅N_3/0

=> v_4/0 =4⋅N_3/0 4

On a 4 relations qu’il faut « mélanger » pour avoir ce qu’on veut, c'est-à-dire la vitesse de translation de l’écrou (v_4/0) en fonction de la vitesse de rotation du moteur N_moteur.

C’est simple…

Mécanisme

η

0 /

N1 0 /

θ

0 /

v4 0 /

x4

On part de 4 et injecte 3 :

0 / 3 0

/

4 4 N

v = ⋅ avec N_2/0 =N_3/0 => v_4/0 =4⋅N_2/0

On injecte 2 :

0 / 2 0

/

4 4 N

v = ⋅ avec N_3/0 =0,5⋅N_2/0 ^=> v4/0 =2⋅N1/0

On injecte 1 :

0 / 1 0

/

4 2 N

v = ⋅ avec N_moteur =N_1/0 => v_4/0 =2⋅N_moteur

Attention aux unités : on a N_moteur en tr⋅min⁻¹ et v_4/0 en mm⋅min⁻¹ ; il est obligatoire de les préciser.

h) Calculer en mm⋅min⁻¹ la vitesse de déplacement v_3/0 de l’écrou pour N_moteur =2450tr⋅min⁻¹.

1 moteur

0 /

4 2 N 2 2450 4900mm min

v = ⋅ = × = ⋅ ⁻

EEEXXXEEERRRCCCIIICCCEEE333

On considère le mécanisme ci-contre composé d’un moteur et d’un réducteur à engrenage (roues 1 à 5).

On donne : Z₁ =40 ^; Z₂ =50 ^{; Z}3 =²⁶ ; Z₄ =18 ; Z₅ =30

a) Faire le schéma-bloc.

b) Calculer le rapport de transmission r₁₅ du réducteur.

693 , 30 0 18 50

18 26 40 Z Z Z

Z Z Z Z

r Z

5 4 2

4 3 1 menées menantes

15 =

×

×

×

= ×

×

×

×

= ×

=

∏ ∏

Moteur N^1/0

0 /

θ

Réducteur

rred

0 /

N5 0 /

θ

Moteur N^1/0

0 /

θ

Engrenage 1/2

r12

0 / 3 0 /

2 N

N =

0 / 3 0 /

2

θ

θ

Engrenage 3/4

r34

0 /

N4 0 /

θ

Engrenage 4/5

r45

0 /

N5 0 /

θ

c) Calculer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie si le moteur tourne à N₁₀ =2470tr⋅min⁻¹.

Par définition, _{50 10}

10 50 10

50

15 0,693 N 0,693 N

N N N

r = N  = ⇔ = ⋅ (loi d’E/S)

On peut maintenant calculer ce qui est demandé :

1 10

50 0,693 N 0,693 2470 1712,5tr min

N = ⋅ = × = ⋅ ⁻

d) Calculer la vitesse du moteur pour que la sortie tourne à N₅₀ =160tr⋅min⁻¹.

50 1 10

10

50 230,9tr min

693 , 0

160 693

, 0 N N N

693 , 0

N = ⋅ ⇔ = = = ⋅ ⁻

EEXEXXEEERRRCCICIICCCEEE 444

On considère le réducteur ci-contre composé d’une vis motrice (2) suivie de deux trains simples.

a) Faire le schéma-bloc (détaillé) du système.

b) Calculer les rapports de transmission r_2−R3, r_P3−R4 et r_P4−5.

0333 , 30 0

1 Z

Z Z

r Z

3 R

2 menées menantes 3

R

2 = = = =

∏ ∏

−

Moteur N^2/1

1 /

θ

Réducteur

rred

1 /

N5 1 /

θ

Moteur N^2/1

1 /

θ

Engrenage 2/R3

r12

1 /

N3 1 /

θ

Engrenage P3/R4

r34

1 /

N4 1 /

θ

Engrenage P4/5

r45

1 /

N5 1 /

θ

2093 , 43 0

9 Z

Z Z

r Z

4 R

3 P menées menantes 4

R 3

P = = = =

∏ ∏

−

2093 , 43 0

9 Z Z Z

r Z

5 4 P menées menantes 5

4

P = = = =

∏ ∏

−

c) Calculer le rapport global du réducteur de deux façons différentes.

Façon 1 : le rapport global est égal au produit des rapports intermédiaires :

00146 , 0 2093 , 0 2093 , 0 0333 , 0 r r

r r

r_red =

∏

Façon 2 : on part de la définition du rapport de transmission (il est égal au rapport des vitesses de sortie sur celle d’entrée)

00146 , 43 0 43 30

9 9 1 Z

Z Z

Z Z Z Z

r Z

5 4 R 3 R

4 P 3 P 1 menées menantes

red =

×

×

×

= ×

×

×

×

= ×

=

∏ ∏

d) Calculer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie si le moteur tourne à 1000 tr.min^-1.

1 21

red 51 21

51

red N r N 0,00146 1000 1,46tr min N

r = N  = × = × = ⋅ ⁻

e) Calculer la vitesse du moteur pour que la sortie tourne à 10 tr.min^-1.

1 red

51 21 21

51

red 6849tr min

00146 , 0

10 r

N N N

r = N  = = = ⋅ ⁻