Corrigé de série 1, Micro II 2019/2020 Première partie : Questions du cours
1. Qu’est-ce qu’un facteur de production fixe et un facteur de production variable ?
Dans la fonction de production de courte période, on distingue deux types de facteurs de production : le facteur fixe (Capital) et le facteur variable (Travail). Un facteur fixe est un facteur dont la quantité utilisée est indépendante de la quantité produite (P). Un facteur variable est un facteur dont la quantité utilisée dépendant de la quantité produite, c’est-à-dire varie avec la variation du volume de production. Dans la fonction de production de longue période, tous les facteurs de production sont variables
2. Énoncez les propriétés fondamentales de la fonction de production suivante p = f(k0, l). Donnez la définition, puis l’expression mathématique des productivités physiques totale (PPT), moyenne (PPM) et marginale (PPmg) du facteur de production travail L.
p = f(k0, l) est une fonction de production de courte période, elle l’expression mathématique de la combinaison d’une quantité d’un facteur fixe (k0 de K) et d’une autre quantité d’un facteur variable (l de L) pour produire une quantité d’un produit quelconque (P). Ses propriétés fondamentales sont :
Elle est continue et dérivable sur son intervalle de définition ;
Elle obéit au principe de la productivité marginale décroissante ;
Elle est statique, c’est-à-dire définie pour une période temporelle donnée
La productivité physique totale PPT exprime le volume de production P (output) obtenu à l’aide d’une combinaison d’une quantité (k0) d’un facteur fixe (K) et d’une autre quantité (l) d’un facteur variable (L). 𝑃𝑃𝑇 = 𝑓(𝑘0, 𝑙) = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
La productivité physique moyenne PPM exprime la contribution de chaque unité d’un facteur production, elle correspond au rapport de la productivité physique totale (PPT) au nombre d’unités utilisées du facteur considéré. 𝑃𝑃𝑀 = 𝑷𝑷𝑻
𝑳 = 𝒇(𝒌𝒐,𝒍)𝑳
La productivité physique marginale PPmg est le supplément de quantité produite dû à l’utilisation d’une unité supplémentaire d’un facteur production. La productivité physique marginale du facteur L peut être définie comme étant la variation de la productivité physique totale PPT, résultant d’une variation unitaire de la quantité du facteur L. 𝑃𝑃𝑚𝑔 = ∆𝑷𝑷𝑻
∆𝑳 ; Mathématiquement, elle correspond à la limite du rapport ∆PPT sur ∆l, quand ∆l devient de plus en plus petit (∆l→0).
𝐥𝐢𝐦∆𝑳→𝟎(∆𝑷𝑷𝑻∆𝑳 ) = 𝑓𝑙 ′ (𝑘0, 𝑙) = 𝑃𝑃𝑚L
3. Que représente le point d’inflexion sur une courbe de productivité physique totale ?
Trois phases caractérisent l’évolution de la courbe de productivité physique totale : phase de l’accroissement plus que proportionnel, phase de l’accroissement moins que proportionnel et phase de décroissance. Le point d’inflexion représente l’instant qui marque la fin de la phase de l’accroissement plus que proportionnel et le début de la phase de l’accroissement moins que proportionnel ; Le point d’inflexion est donc le point qui marque le ralentissement de la production
4. Expliquez avec le plus de précision possible le principe de la productivité marginale décroissante. À quelle phase dans le processus de production correspond-t-elle ?
Le principe de la productivité physique marginale décroissante (loi de rendements décroissants) énonce que l’utilisation croissante de la quantité d’un facteur variable (L) ajoutée à une autre quantité d’un facteur fixe (K) entraine, au-delà d’une certaine quantité la décroissance de la productivité marginale du facteur variable (L). (c’est la phase de la production la plus efficace).
5. Que représente le point d’intersection des courbes de productivité physique moyenne (PPM) et de productivité physique marginale (PPmg) ? Démontrez.
Le point d’intersection des courbes de PPML et PPmgL représente le maximum de la PPML. Avant ce point, la PPmgL> PPML, après ce point, la PPmgL< PPML
Démonstration : A son maximum, (PPML)’= 0 ⇔ ( 𝑃𝑃𝑇𝑙𝐿 )’=0 ⇔ PPTL’ . L – 1 . PPTL / L2 = 0 ⇔ PPTL’ . L – 1 . PPTL = 0 ⇔ PPTL’= 𝑃𝑃𝑇𝑙
𝐿
PPTL’ = PPmg et 𝑃𝑃𝑇𝑙
𝐿 = PPML Donc, au max de PPM, PPmg = PPML
6. Rappelez la définition et les propriétés essentielles de la courbe d’iso-produit (l’isoquant).
Une courbe d’iso-produit (l’isoquant) est un lieu géométrique de toutes les combinaisons de quantités k et l des facteurs de production (K et L) qui donnent au producteur le même niveau de production Propriétés essentielles :
Elles sont descendantes représentées par des fonctions décroissantes (pente négative) ;
Deux courbes d’iso-produit du même producteur ne peuvent jamais se couper ;
La variation de la production le long de la courbe d’iso-produit est nulle ;
L’ensemble des courbes d’iso-produit nous donne la carte du producteur ;
Plus une courbe d’iso-produit s’éloigne de l’origine des axes, plus le niveau de la production totale est élevé (P2 >P1 >P0).
Elles sont convexes par rapport à l’origine des axes de coordonnées.
7. Qu’est-ce que le taux marginal de substitution technique (TMST) des facteurs de production ? Le TMST est le taux auquel un input peut être substitué à un autre, la production totale reste constante.
TMSTKàL = - 𝑑𝑘𝑑𝑙 (quantité de L à renoncer pour la remplacer par une unité supplémentaire de K), il est donc égal à l’inverse de la pente de l’eso-quant 𝑑𝑘𝑑𝑙 il est aussi égal au rapport Pmgk/Pmgl.
8. Démontrez que le TMST des facteurs de production est égal au rapport des productivités marginales des deux facteurs K et L. Expliquez brièvement comment avez-vous procédé pour effectuer cette démonstration.
TMSTKàL (- 𝑑𝑘𝑑𝑙 ) = Pmgk/Pmgl ?
Soit 𝑃 = 𝑓 (𝑘, 𝑙) ; Mathématiquement, la différentielle totale de la fonction de production est donnée par : 𝑑𝑃 = 𝜕𝑃𝜕𝑘 . 𝑑𝑘 +𝜕𝑃𝜕𝑙 . 𝑑𝑙 , Par ailleurs, on sait que le long d’une courbe d’iso-produit, la variation de la production est nulle, c’est à dire 𝑑𝑃 = 0.
Donc : 𝑑𝑃 = 𝜕𝑃
𝜕𝑘 . 𝑑𝑘 +𝜕𝑃
𝜕𝑙 . 𝑑𝑙 = 0,
𝜕𝑃
𝜕𝑘 = PPmgK et 𝜕𝑃
𝜕𝑙 = PPmgL
D’où, PPmgK . 𝑑𝑘 + PPmgL . 𝑑𝑙 = 0 ⇔ 𝑃𝑃𝑚𝑔𝑘
𝑃𝑃𝑚𝑔𝑙 = - 𝑑𝑘𝑑𝑙 = TMST
9. Pourquoi deux courbes d’iso-produit dans la carte d’indifférence du même producteur ne peuvent pas se couper ?
Si 2 courbes d’iso-produit se coupent, il doit y avoir une combinaison qui appartient à la fois à deux courbes d’iso-produit, sachant que ces deux courbes d’iso-produit représentent deux niveaux différents de production, ce serait donc paradoxal !!!
Exercice 1. En courte période, K est constant : P=f(K0, L)
1. Productivité horaire de L ? L est exprimé par nombre d’heure (h), la productivité horaire correspond à la productivité moyenne de L par heure : PPML = PPT / L
L=2, PPML = 224/2 =112; L=5, PPML = 800/5= 112. L= 8, PML= 784/ 8 = 98 2. PML déjà calculée, PPmgL = ∆PPT/ ∆L ; L=1, PmL= (64-0) / (1-0) = 64,
L=2, PPmgL = (224-64)/(2-1) = 160, L= 8, PmL = -80 3. Graphique ?
4. Relation entre PT, PM, Pm à partir du graphique :
Lorsque la PPmgL est croissante (L entre 0 et 3), la PPT est croissante à taux croissant (PPT agmente plus vite que l’accroissement de L);
Lorsque la PPmgL atteint son maximum (L= 3), La PPT atteint son point d’inflexion ;
Lorsque la PPmgL est décroissante (L entre 3 et 7), la PPT est croissante mais à taux croissant (PPT agmente moins vite que l’accroissement de L)
Lorsque la PPmgL est nulle (L = 7), la PPT atteint son maximum ;
Lorsque la PPmgL est négative (L > 7), la PPT est décroissante ;
Lorsque la PPML est croissante, PPmgL > PPML
Lorsque la PPML atteint son maximum, PPmgL = PPML
Lorsque la PPML est décroissante, PPmgL < PPML
5. Si la loi des rendements marginaux s’applique, la productivité moyenne est nécessairement décroissante, VRAI ou FAUX ?
Faux : Si la loi des rendements marginaux s’applique, la productivité moyenne connait deux évolutions : elle est croissante quand la productivité marginale lui est supérieure (PPmg >
PPM), et décroissante dans le cas contraire (PPmg < PPM).
Exercice 2.
Soient : P1=50K2. L2 , et P2=200KL2-(KL)3 1. Expression mathématique P1:
PPTL=50K0
2. L2 , PPTK=50K2. L0 2
PPML= PPT/ L = (50K0
2. L2 ) / L = 50K0
2. L ; PPMK= PPT/ k = (50K2. L2) / k = 50L0 2. k
PPmgL= dPPT/ dL= d(50K0
2. L2) / dL = 100 K2. L ; PPmgk= d50K2. L0
2 / dk = 100 L2. k
2. Fonctions de productivité de P2 par rapport à K;
PPTK= 200KL0
2-(KL0)3
PPMK = [200KL0
2-(KL0)3] / K = 200L0
2 – (K2.L0
3) = 200- K2
PPmgK= d(200KL2-(KL)3) / dK= 200L2-3K2 L3
3. La volume de « L » qui maximise la PPM de la fonction P2 ?
K= 1, PPML = [200KL2-(KL)3] / L = 200KL – (L2.K3) = 200L - L2 (puisque K = 1) . 1ère méthode :
Au Max de PPML, 𝒅𝑷𝑷𝑴𝒍𝒅𝒍 = 0 ⇔ d(200L - L2)L = 0 ⇔ 200 – 2L = 0 ⇔ L= 100 2ème méthode :
Au max de PPML, on : PPML = PPmgL
PPmgL= (200 . 𝑙 2 − 𝑙 3)′ = 2 . 200 . 𝑙 − 3 . 𝑙 2 = 𝟒𝟎𝟎 .𝒍 − 𝟑 .𝒍 2 PPML = PPmgL ⇔ 200L - L2 = 𝟒𝟎𝟎 .𝒍 − 𝟑 .𝒍 2 ⇔ L= 100 4. La volume de « L » qui maximise la PT de la fonction P2 ?
PPT est maximale ⇔ PPmg = 0, 𝑃𝑃𝑚𝑔 = 0 ⇔𝟒𝟎𝟎 .𝒍 − 𝟑 .𝒍𝟐 = 0⇔400 − 3 . 𝑙 = 0 ⇔𝑙 = 400 / 3 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝑼𝒏𝒊𝒕é𝒔.
5. le volume de « L » qui marque le ralentissement de la production ?
C’est le volume de « L » qui correspond au point d’inflexion de la courbe PPT ! (𝑃𝑃𝑇)′′ = 0 <=> (𝑃𝑃𝑚𝑔𝑙)′ = 0 <=> 400 − 6 . 𝑙 = 0 <=> 𝒍 = 𝟒𝟎𝟎 / 𝟔 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟕 𝑼𝒏𝒊𝒕é 6. le volume de « L » qui permet d’obtenir une productivité marginale maximale ?
La productivité marginale(PPmg) est maximale lorsque la productivité totale (PPT) atteint son point d’inflexion ; donc : 𝒍 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟕 𝑼𝒏𝒊𝒕é (question 5)
Troisième partie : QCM : Choisir la ou les bonnes réponses 1. En courte période (CP) :
A. Les facteurs de production utilisés sont tous variables.
B. Les facteurs de production utilisés ne sont pas tous variables.
C. Les facteurs de production utilisés sont tous fixes.
D. Les facteurs de production utilisés sont considérés comme substituables.
2. Qu’est-ce qu’un isoquant ? A. Une courbe d’iso-produit.
B. Une courbe de production.
C. Représentant l’ensemble des paniers pouvant être produits à partir des facteurs de production disponibles dans la firme.
D. Représentant l’ensemble des facteurs de production présents dans la firme 3. À quoi correspond la longue période (LP) ?
A. Une durée ou tous les facteurs de production de la firme peuvent varier.
B. Une durée ou tous les facteurs de production de la firme sont dépendants de la croissance de cette dernière.
C. Une durée pendant laquelle tous les facteurs de production utilisés ne sont pas variables.
D. Une durée pendant laquelle les dirigeants ont uniquement des contraintes de décision concernant « l’input » travail.
4. Comment peut-on définir la productivité marginale d’un input « Xi » ?
A. La diminution de production de l’output obtenu pour tout accroissement marginal de l’utilisation de l’input Xi.
B. L’accroissement de production de l’output obtenu pour toute diminution marginale de l’utilisation de l’input Xi.
C. L’accroissement de production de l’output obtenu pour tout accroissement marginal de l’utilisation de l’input Xi.
D. L’accroissement de production de l’output obtenu pour tout accroissement de l’utilisation de l’input Xi.
5. Quelles hypothèses sont retenues pour illustrer le fait qu’un processus de production est soumis à la loi des rendements moins que proportionnels ?
A. La productivité marginale est positive.
B. La productivité marginale est négative.
C. La productivité marginale est croissante.
D. La productivité marginale est décroissante.
6. Quelles sont les propositions justes ?
A. La courbe de la productivité marginale coupe la courbe de la productivité moyenne en son point minimal.
B. La courbe de la productivité moyenne est décroissante lorsque la productivité marginale est supérieure à la productivité moyenne.
C. La courbe de la productivité moyenne coupe la courbe de la productivité marginale en son point minimal.
D. La courbe de la productivité marginale coupe la courbe de la productivité moyenne en son point maximum.
7. Soit la fonction de production p = f(k, l) = 30.k3 l 2 . Quelle est l’expression mathématique de PM et de Pmg du facteur capital K ?
A. P/K= 30 k2 l 2 ; δP/δK= 90 k2 l 2 . B. P/K= 30 k2 l 2 ; δP/δK= 30 k2 l 2 . C. P/K= 30 k1 l 2 ; δP/δK= 30 k2 l 2 . D. P/K= 30 k2 l 1 ; δP/δK= 90 k2 l 2 .
8. Le taux marginal de substitution technique (TMST) des facteurs est égal A. Au rapport des prix relatifs des facteurs
B. Au produit des productivités marginales des facteurs C. Au rapport des productivités marginales des facteurs
D. Au rapport des dérivées partielles de la fonction de production de courte période 9. La courbe d’iso-produit (isoquant) représente
A. L’ensemble des combinaisons (k, l) nécessaire à la production (p)
B. L’ensemble de facteurs de production (K, L, T) combinés pour obtenir le produit (p) C. Toutes les combinaisons de facteurs (k, l) qui laissent le producteur indifférent
D. Toutes les combinaisons de facteurs (k, l) qui donnent au producteur le même niveau de production (P0)
10. La condition d’optimalité du producteur correspond à
A. L’égalité des productivités marginales des facteurs (Pmgk) et (Pmgl) B. L’égalité des productivités par unité des facteurs (PMk) et (PMl)
C. L’égalité des productivités marginales des facteurs pondérées par leurs prix D. La phase de production où la productivité marginale est décroissante 11. L’analyse de la fonction de production de courte période relève de A. L’équilibre général
B. L’équilibre statique C. L’équilibre partiel D. L’équilibre simultané
12. L’élasticité factorielle (partielle) d’un facteur de production est égale
A. Au rapport de la variation relative (en %) de la quantité de ce facteur à celle du taux marginal de substitution technique
B. Au rapport de la productivité marginale de ce facteur au taux marginal de substitution technique C. Au rapport de la variation relative (en %) de la quantité produite à celle de la quantité de ce facteur D. Au rapport de la productivité marginale à la productivité moyenne de ce facteur
Quatrième partie : Exercice supplémentaire
La fonction de production d’une entreprise est donnée par : 𝑃 = 𝑘0,6𝑙 0,7, où « P » est la quantité de biens produits par jour, « k » est le nombre de machines et « l » est le nombre de travailleurs.
1. Trouvez la productivité physique marginale du travail et la productivité physique marginale du capital.
PPmgL = 0,7k 0,6.l-0,3 PPmgk = 0,6k-0,4 .l0,7
2. Pour une quantité fixe de capital k0, est-ce que l’on observe la loi des rendements marginaux décroissants dans le cas du facteur travail ?
La PPmgL est décroissante puisque l’exposant de « L » est négatif (-0,3) ; donc si K est constant on doit observer la loi des rendements marginaux décroissants dans le cas du facteur travail :
L 1 2 3
PPmgL 0,7 0,56 0,50
3. Compte tenu de votre réponse en 2, comment se comportera la productivité physique moyenne du travail ? Justifiez votre réponse par une représentation graphique.
PPML = 𝑘0,6𝑙 0,7 / L = 𝑘0,6𝑙 - 0, 3 ; si k est constant, la PPML est décroissante puisque l’exposant de « L » est négatif (-0,3) :
L 1 2 3
PPmgL 1 0,81 0,71
la PPML est décroissante mais supérieure à la PPmgL
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
1 2 3
PPmgl PPMl
