1) La méthode du facteur commun :

(1)

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr

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COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION ?

1) La méthode du facteur commun :

Le principe : Si tous les produits d’une même somme contiennent un même facteur ,on appelle ce facteur, le facteur commun. On applique alors la formule: ka + kb = k(a + b)

Exemples Commentaires 3x + 12

=3x + 3×4

=3(x + 4)

Dans cette somme le facteur commun est le nombre 3 On met en évidence le facteur commun

On met en facteur 3 4x² + 2x

=2x×2x + 2x × 1

=2x (2x + 1)

Dans cette somme le facteur commun est l’expression 2x

On met en évidence le facteur commun, 2x est le produit de 2x par 1 On met en facteur 2x

(3x + 1)(x + 2) – (x + 2)(x – 5)

=(x + 2)[(3x + 1) – (x – 5)]

=(x + 2)( 3x + 1 – x + 5)

=(x + 2)(2x + 6)

=(x + 2)[2(x + 3)]

=2(x + 2)(x + 3)

Dans cette expression le facteur commun est l’expression (x + 2) On met en facteur (x + 2)

On développe à l’intérieur des crochets

On réduit, 2 est le facteur commun de la somme 2x + 6 = 2(x + 3)

(x + 3)² + 2(x + 3)

=(x + 3)(x + 3) + 2(x + 3)

=(x + 3)[(x + 3) + 2]

=(x + 3)(x + 5)

(x + 3) est le facteur commun

a² est le produit de a par a, on met le facteur commun en évidence on met (x + 3) en facteur

on développe et on réduit à l’intérieur des crochets (x – 5)(x + 2) – (x – 2) Il n’y a pas de facteur commun dans cette expression

2) Les identités remarquables

(

^{a b}⁺

)

² ⁼^a²⁺²^{ab b}⁺ ²

(

^{a b}⁻

)

²⁼^a²⁻²^{ab b}⁺ ² ^a²⁻^b²⁼

(

^{a b a b}⁻

)(

⁺

)

Exemples Commentaires x²- 6x + 9

=(x – 3)²

=(x – 3)(x – 3)

On vérifie si cette expression est une de la forme a²−2ab b+ ² a² ← x² b² ← 9

a ← x b ← 3

On vérifie le double produit 2ab = 2x × 3 = 6x

On a bien à faire à une identité remarquable ^a²⁻²^{ab b}⁺ ²⁼

(

^{a b}⁻

)

²

4x² + 12x + 9

=(2x + 3)²

=(2x + 3)(2x + 3)

a² ← 4 x² b² ← 9 a ← 2x b ← 3

On vérifie le double produit 2ab = 2(2x) × 3 = 12x

On a bien à faire à une identité remarquable ^a²⁺²^{ab b}⁺ ²⁼

(

^{a b}⁺

)

²

x² + 4x + 16 a² ← x² b² ← 16 a ← x b ← 4

On vérifie le double produit 2ab = 2x × 4 = 8x

Ce n’est pas une identité remarquable ^a²⁺²^{ab b}⁺ ²⁼

(

^{a b}⁺

)

²

4 x² - 9

=(2x – 3)(2x + 3) On reconnaît la forme ^a²⁻^b²⁼

(

^{a b a b}⁻

)(

⁺

)

a² ← 4x² b² ← 9 a ← 2x b ← 3 4(x – 3)² - 9

=[2(x – 3) – 3][2(x – 3) + 3]

=(2x – 6 – 3)(2x – 6 + 3)

=(2x – 9)(2x – 3)

On reconnaît la forme ^a²⁻^b²⁼

(

^{a b a b}⁻

)(

⁺

)

a² ← 4(x – 3)² b² ← 9 a ← 2(x – 3) b ← 3

4x² + 9 Il n’y a ni facteur commun ni identités remarquables

(2)

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EXERCICE CORRIGE

Factorisez au maximum les expressions suivantes :

1)

(

^x⁺^{2 2}

)(

^x^{− +}³

) (

^x⁺^{2 5}

)(

^x⁺⁷

)

²⁾⁽⁵^x⁺²⁾⁽²^x^{− −}^{1) (5}^x⁺²⁾⁽⁵⁻^x⁾

3) 4 (x x+ +3) 2(x+3) 4) x x(− + −4) 2 (2x x+3)

5) 3x+ +2 (x+4)(3x+2) 6)

(

⁴^x⁺^{6 (}

)

^x^{− +}¹⁾

(

²^x⁺³

)(

^x⁻⁹

)

7)

(

²^x⁺⁷

)

²⁺

(

²^x⁺^{7 6}

)(

^x⁺⁸

)

⁸⁾^x²^{− +}⁴

(

^x⁺^{2 3x}

)(

⁻⁵

)

9) (2x−5)(x+ + −1) (5 2 )(2x x−1) 10) 3(4−x)²+(x+2)(x−4) 11)

(

⁵^x⁻³

)(

^x^{+ +}¹

)

⁶^x⁻¹⁰^x²^{+ −}

(

^{3 5}^x

)

²¹²⁾

(

²^x⁺¹

)

²⁻⁴^x^{− +}²

(

⁴^x²⁻¹

)

13)

(

²^x⁻⁴

)

²⁻³^x⁺⁶ 14) ⁹^x²⁺¹²^x^{+ −}^{4 2 3}^{x x}

(

⁺²

)

⁺

(

^{4 9}⁻ ^x²

)

CORRECTION

1) Facteur apparent

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

facteur commun facteur commun

facteur commun

2 3 5 7

2 2 3 5 7

2 7 4

2 2

2

x x

x x x

x x

x

− + +

 

=  − + + 

= + − + +

= + +

+ +

+

2) Facteur apparent

( ) ( )

[ ]

factorisation au maxim

facteur facteur

commun commun

attention

facteur au signe -

commun devant la

parenthèse

(5 2)(2 1) (5 2)(5 ) (5 2) 2 1 5

(5 2) 2 1 5 (5 2)(3 6) (5 2)(3( 2))

x x x x

x x x

x x

+ − − + −

 

= +  − − − 

= + − − +

= + −

um

3(5x 2)(x 2)

= + −

3) Facteur apparent

( )

( )( )

facteur facteur

commun commun

facteur commun

4 ( 3) 2( 3) ( 3) 4 2 ( 3) 2 2 1

2 3 2 1

x x x

x x

+ + +

= + +

4) Facteur apparent N N

N

( )

( )( )

( )

facultatif mais limite le nombre de signes -

facteur facteur

commun commun

facteur commun

,

( 4) 2 (2 3

4 2(2 3) 4 4 6 5 2

1 5 2 5 2

x x x x

x x x

x x

x x

− + − + )

= − + − +

= − + − −

= − −

= − +

= − + 5) Facteur apparent

( )

^P

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

astuce

facteur commun

3 2 ( 4)(3 2)

3 2 1 4 3 2 à retenir :

3 2 3 2

3 2 1 4 3 2

3 2 1 4

3 2 5

x x x

x x

x x x

x x

+ + + +

= + × + + + 

 + = + ×

= + × + + + 



 

= +  + + 

= + +

1

6) Faire apparaître le facteur commun

( ) ( )( )

( )( )

( ) ⁽ ⁾⁽

( )( ) ( )(

( ) ( ) ( )

( )( )

facteur facteur

commun commun

4 6 ( 1) 2 3 9

2 2 3 1 2 3 9

2 3 2 1 9

2 3 2 2 9

2 3 3 11

x x x x

x x x

x x

+ − + + −

) )

= + − + + −

 

= +  − + − 

= + − + −

= + −

(3)

Page 3/3

)

7)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )(

2

facteur commun "exemplaire facteur commun supplémentaire"

facteur commun "exemplaire restant"

2 7 2 7 6 8

2 7 2 7 2 7 6 8

2 7 2 7 6 8

2 7 2 7 6 8 2 7 8 15

x x x

x x x x

x x x

x x x x x

+ + + +

= + + + + +

 

 

= +  + + + 

 

 

= + + + + = + +

8) Identités remarquables N

( )( )

( )(

( ) ( ( ) ( ) )

( )( )

2 2

2 identité remarquable

facteur facteur

commun commun

4 2 3

2 2 2 3

2 2 3 5

2 4 7

a b a b a b

x x

x x x x

x x x

x x

− = + −

)

5

− + + x−

= + − + + −

= + − + −

= + −

9) Transformations d’écriture

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )( )

( )

factorisation par -1 pour faire apparaitre le facteur commun

facteur commun

2 5 1 5 2 2 1

2 5 1 2 5 2 1

2 5 1 1 2 5 2 1

= 2 5 1 1 2 1

2 5 1

x x x x

x x x

x x

− + + − −

= − + + − + −

= − + + − − −

 

−  + + − − 

= − +

[ ]

( )( )

2 1

2 5 2

x

x x

− +

= − − +

)

10) Transformations d’écriture

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )(

2 2

2

2 2

facteur facteur

commun commun

facteur commun

4 4

3 4 2 4

3 4 2 4 à retenir :

3 4 2 4

3 1 4 2 4

3 4 4 2 4

4 3 4 2 4 3 12 2

x x

x x x

x x x x

x x x x x x

− + = −

− + + −

= − + + + − 



= − − + + − 

= − − + + − 

= − − + + −

 

= −  − + + = − − + +

(

^x ^{4 4}

)(

^x ¹⁰

) (

^x ^{4 2 2}

) ( (

^x ⁵

) )

²

⁽

^x ^{4 2}

⁾⁽

^x ⁵

⁾

= − − = − − = − −

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )( )

( ) ( ( ) ) ( )( )

2 2

facteur commun facteur commun facteur commun

5 3 1 6 10 3 5

1 3 5 1 2 3 5 3 5 3 5

3 5 1 1 2 3 5

3 5 1 2 3 5 3 5 4 2

3 5 2 2 1 2 3 5 2 1

x x x x x

)

x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

− + + − + −

 

 

= − × − + + − + − −

 

 

 

= −  − × + + + − 

= − − − + + − = − − +

= − − + = − − +

x

12) Identités remarquables

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )(

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )(

( ) ( ( ) ) ⁽ ⁾⁽ ⁾

2 2

facteur facteur facteur

commun commun commun

2 1 4 2 4 1

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2 1

2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x x

+ − − + −

)

= + + − + + + −

 

= +  + − + − 

= + + − + − = + −

= + − = + −

( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )(

2

facteur facteur

commun commun

2 4 3 6

2 4 2 4 3 2

2 2 2 4 3 2

2 2 2 4 3

2 4 8 3 2 4 11

x x

x x x

x x

x x x x

− − +

= − − − −

 

= −  − − 

= − − − = − −

)

14) Identités remarquables

( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2 2

identité remarquable identité remarquable

2 2

facteur facteur facteur

commun commun co

9 12 4 2 3 2 4 9

3 2 2 3 2 2 3 2 3

3 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2

a b a b a b a ab b a b

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

− = − + + + = +

 

 

+ + − + + − 

 

 

= + − + + − +

= + + − + + − +

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )(

( ) ( )( ( ) ) ( )( )

mmun

3 2 3 2 2 2 3

3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 4

3 2 2 2 2 3 2 2

x x x x

x x x x x x

x x x x

 

= +  + − + − 

= + + − + − = + − +

= + − − = − + −