MATHS Term LN et EXP EXERCICES 1

MATHS Term LN et EXP EXERCICES

1

1. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 1.1 propriétés algébriques Simplifier les expressions suivantes.

a. ^exp

( )

^{− ×2 exp}

( )

⁴ b.

( )

exp 1

−5 c.

(

^exp

( )

²

)

³ d.

(

^ex+e−x

) (

^{2− ex −e−x}

)

²

Compléter les égalités suivantes.

e. e^x +e^−x =e^x

(

... ...+

)

f. ... ...

1 e

e

x

x

− +

+ = g. ...

...

6 2 2

e ^x x

 

= 

 

Exercice 1.2 équations

Résoudre les (in)équations suivantes.

a. ^exp

(

^{2x− =1}

)

^e b. e^x2+x =1 c. e^2x+2e^x− =3 0 d. e 3 e 1 0

x x + >

− Exercice 1.3 étude

1) Soit la fonction f1 à étudier sur ℝ₊ définie par f1

( )

x =xe^−x2. On appelle C1 sa courbe représentative.

a. Montrer que f1′

( )

x =e^−x2 −2x²e^−x2. En déduire le sens de variation de f1.

b. On appelle ∆ la droite d’équation y=x. Déterminer la position de C1 par rapport à ∆. 2) On note f3 la fonction définie par ^f3

( )

^{x =x3e−x2}. On appelle C3 sa courbe représentative.

a. Etudier le sens de variation de f3 sur ℝ_+. b. Etudier la position relative de C1 et C3. Exercice 1.4 vrai ou faux

Pour tout réel m, on considère l’équation suivante, d’inconnue réelle x :

( )

Em ^{: e2x} −^2ex− =m ⁰. a. L’unique valeur de m pour laquelle x = 0 est solution de l’équation

( )

Em est m = 0.

b. Pour toute valeur de m, l’équation

( )

Em admet au moins une solution.

c. Si – 1 < m < 0, l’équation

( )

Em a deux solutions positives.

d. Si m > 0, l’équation

( )

Em a une unique solution.

Exercice 1.5 vrai ou faux

Soit f la fonction définie sur ℝ par : ^{f x}

( )

^{=xe2x −1.}

a. Pour tout x∈ℝ_, ^f′

( ) (

^{x = x+1 e}

)

^2x.

b. f est croissante sur 1 2 ;

 

− + ∞

 

 .

c. _x^lim_→+∞^{f x}

( )

^{= +∞.}

d. _x^lim_→−∞^{f x}

( )

^{= −∞.}

e. L’équation ^{f x}

( )

^{= −1} admet une et une seule solution.

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2. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Exercice 2.1 propriétés algébriques Simplifier les expressions suivantes.

a. ^ln

( )

2 2 b. ^ln

( )

^{6 ln 3}

2

−   

  c. ln 2₃ e

 

 

  d. ^ln

( )

^{16 +ln}

( )

⁴ e.

( ) ( )

ln ln

8 2 Exercice 2.2 domaine de définition

Etudier les domaines de définition des fonctions suivantes.

a. ^{f x}

( )

^=ln

( )

^x2 b. ^{g x}

( )

^=ln

(

^{ex −1}

)

c. ^{h x}

( )

^=ln

(

^ex−e−x

)

d. ^{k x}

( )

⁼_lnx¹₋₁

Exercice 2.3 étude

Pour tout réel x > 0 on pose : ^{f x}

( )

^{= − −x 1 lnx}. Déduire de l’étude de f que lnx≤ −x 1^. Exercice 2.4 limite

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +

∞

^{[ par f x}

( )

^{= −x lnx.}

1) Etudier les variations de f sur ]0 ; +

∞

^[.

2) En déduire, sur ]0 ; +

∞

^{[, ln x} ≤ ^x. 3) Donner un encadrement de lnx

x quand x > 1.

4) Que pouvez-vous dire de la limite de lnx

x en +

∞

^?

Exercice 2.5 avec une suite

1) On admettra que pour tout réel x positif, ^ln

(

^1+x

)

^≤x. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, ^ln

(

^{n 1}

)

^ln

( )

^{n 1}

+ ≤ +n.

2) Soit la fonction f x: ֏x+e^−x. Démontrer que ^f

(

^ln

( )

ⁿ

)

^ln

( )

^{n 1}

= +n .

3) On considère la suite

( )

un n_≥1 à termes positifs, telle que u₁=0 et u_n+1=u_n+e^−un. Démontrer par récurrence que ^un≥ln

( )

ⁿ . (on admettra que la fonction f est croissante sur ℝ_+).

4) En déduire la limite de la suite

( )

un n_≥1. Exercice 2.6 vrai ou faux

Soit f la fonction définie par : ^{f x}

( )

^{=ln ln}

( )

^x , D son ensemble de définition, et C sa courbe représentative.

a. On a : D=ℝ^*. b. Pour tout x∈D^,

( )

ln f x 1

x x

′ = .

c. Une équation de la tangente à C au point d’abscisse x = e est e e y= x− .

d. Pour tous réels a et b vérifiant b > a ≥ e, on a :

( ) ( )

¹

e f b f a

b a

− >

− Exercice 2.7 vrai ou faux

Soit f la fonction définie sur ℝ^*₊ par :

( )

1 ^ln2x f x x

= + + x et C sa courbe représentative.

a. ^lim_x→0 ^{f x}

( )

^{= +∞}. b. Pour tout x∈ℝ^*, ^{f x}

( )

^≥0.

c. C admet la droite d’équation y= +x 1 comme asymptote.

d. C admet la droite d’équation x=0 comme asymptote.