Exercices N° 1 « Fonction Logarithme » Exercice 1

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Exercices N° 1 « Fonction Logarithme »

Exercice 1

A : Étude d’une fonction auxiliaire g est la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

 

2 ²



²



2 ln 1

1

g x x x

 x  



1) Démontrer que sur l’intervalle



^1;^



, l’équation ^{g x}

 

^⁰ admet une solution unique  et donner pour  un encadrement d’amplitude10^¹ .

2) Préciser le signe de ^{g x}

 

sur l’intervalle



^0;^



^.

B : Étude d’une fonction f est la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

^{ }  

 

ln 1 2

0 0 0

f x x si x

x f

 

  

 

 1) a) Quelle est la limite de ^{f x}

 

^f

 

⁰

x

 quand x tend vers 0 ?

b) En déduire que f est dérivable enx0et trouver une équation de la tangente T à la courbe

 

^C^f

enx0 .

2) a) Vérifier que pour tout réelx0 ; ^{f x}

 

^2ln^x ¹^{ln 1} ¹₂

x x x

 

    

  b) En déduire _x^lim_ ^{f x}

 

^.

3) a) Démontrer que pour tout réel x0 ;

   

2

f x g x

  x b) En déduire les variations de f .

c) Construire T, puis

 

^C^f . On prendra comme unités : 1 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées.