TERMINALE S GEOMETRIE EXERCICES
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1. ALIGNEMENT, DISTANCES et ANGLES
Exercice 1.1
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K), on donne les points A(3, -1, 5), B(-2, 2, 3), C(-1, -2, 4) et D(5, 8, 4).
1) Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2) Montrer que le triangle ABC est isocèle en C.
3) Calculer l’angle
(
DA DB . ,)
Exercice 1.2
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K), on donne les points A(180, 153, 96), B(180, 135, 120) et C(190, 133, 106).
1) Montrer que les points A, B et C appartiennent à une même sphère S de centre O.
2) Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
3) a. Un des côtés du triangle forme-t-il un diamètre de la sphère S ? b. Quelle propriété, vraie dans le plan, ne peut l’être dans l’espace ?
2. REPRESENTATIONS PARAMETRIQUES et CARTESIENNES
Exercice 2.1
Dans chaque cas, donner une représentation paramétrique de la droite contenant le point A et dont un vecteur directeur est u : a. A(3, 0, -2) et
1 2 1 u
−
−
b. A(2, -1, 1) et 2 0 4 u
−
. Exercice 2.2 bac 2017
L’espace est muni d’un repère
(
O i j k; ; ;)
. Soit P le plan d’équation cartésienne 2x− − =z 3 0. On note A le point de coordonnées(
1;a a; 2)
où a est un nombre réel.1) Justifier que, quelle que soit la valeur de a, le point A n’appartient pas au plan P.
2) a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre t) passant par le point A et orthogonale au plan P.
b. Soit M un point de la droite D. Exprimer la distance AM en fonction du réel t.
3) Soit H le point d’intersection de la droite D et du plan P. Exprimer la distance AH en fonction de a.
4) Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A au plan P est minimale ? Justifier.
Exercice 2.3 bac 2015
Dans un repère orthonormé
(
O I J K; ; ;)
d’unité 1 cm, on considère les points(
0; 1 5 , ;) (
2; 1 5 , ;) (
11 0 1 et ; ;) (
11 4 4; ;)
A − B − C D .
Un point M se déplace sur la droite
( )
AB dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.Un point N se déplace sur la droite
( )
CD dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.A l’instant t = 0, le point M est en A et le point N est en C. On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif. On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées
(
; 1 5 et ;) (
11 0,8 1; ; 0,6)
t t
M t − N t + t . Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1) a. La droite
( )
AB est parallèle à l’un des axes du repère. Lequel ?b. La droite
( )
CD se trouve dans un plan P parallèle à l’un des plans(
OIJ) (
, OIK)
ou(
OJK)
. Lequel ? Donner une équation de ce plan P.c. Vérifier que la droite
( )
AB est orthogonale au plan P et coupe ce plan au point E(
11;−1 5;)
.d. Les droites
( )
AB et( )
CD sont-elles sécantes ?2) a. Montrer que M Nt t2 =2t2−25,2t+138. b. A quel instant t la longueur M Nt t est-elle minimale ?
