Corrig´e de l’examen EDO: partie 2

ENSEEIHTT — 2`eme Ann´ee EDO

2006–2007 27 avril

Corrig´ e de l’examen EDO: partie 2

B Exercice 1.

1.1. On a

∂y1

∂y₀ =I+h

s

X

i=1

bi

∂ki

∂y₀ avec

∂ki

∂y₀ = ∂ϕ

∂y



t0+cih, y0+h

i−1

X

j=1

aijkj







I+h

i−1

X

j=1

aij

∂kj

∂y₀



.

Consid´erons maintenant les ´equations variationnelles.

(EQV AR)











˙

y(t) =ϕ(t, y(t)) Y˙ = ^∂ϕ_∂y(t, y(t))Y(t) y(t0) =y0

Y(t₀) =I.

Le sch´ema de Runge-Kutta appliqu´e `a ce probl`eme (EQV AR) donne k₁ =ϕ(t₀, y₀)

K1 = ∂ϕ

∂y(t0, y0).I ...

k_i =ϕ



t₀+c_ih, y₀+h

i−1

X

j=1

a_ijk_j





K_i = ∂ϕ

∂y



t₀+c_ih, y₀+h

i−1

X

j=1

a_ijk_j







I+h

i−1

X

j=1

a_ijK_j



 ...

y1 =y0+h

s

X

j=1

biki

Y₁ =I+h

s

X

j=1

b_iK_i.

1

EDO Examen – EDO

Il nous reste maintenant `a d´emontrer par r´ecurrence que

K_i = ∂k_i

∂y₀ Ce r´esultat est vrai pouri= 1 :

K₁ = ∂ϕ

∂y(t₀, y₀) = ∂k₀

∂y0

Supposons qu’il soit vrai pouri−1 et montrons le pouri.

K_i = ∂ϕ

∂y



t₀+c_ih, y₀+h

i−1

X

j=1

a_ijk_j







I+h

i−1

X

j=1

a_ij∂k_j

∂y0





= ∂k_i

∂y₀.

1.2. Montrons que sur l’intervalle [tl, tl+1], le sch´ema de Runge-Kutta s’´ecrit k1,l =ϕ(tl, yl)

K_1,l = ∂k_1,l

∂yl

Y_l ...

k_i,l=ϕ



t₀+c_ih, y₀+h

i−1

X

j=1

a_ijk_j,l





K_i,l= ∂ki,l

∂y_l Y_l ...

y_l+1=y_l+h

s

X

j=1

b_ik_i,l

Y_l+1= ∂y_l+1

∂yl

Y_l.

Montrons cette propri´et´e pour les K_i,l par r´ecurrence. Ceci est vrai pour i= 1 :

k_1,l =ϕ(t_l, y_l) K_1,l = ∂ϕ

∂y(t_l, y_l)Y_l= ∂k1,l

∂y_l Y_l

2

EDO Examen – EDO

Supposons que cela soit vrai pour i et montrons le pour i+ 1. On a par d´efinition du sch´ema de Runge-Kutta pour i+ 1

ki+1,l =ϕ



tl+ci+1h, yl+h

i

X

j=1

aijkj,l





K_i+1,l = ∂ϕ

∂y



t_l+c_i+1h, y_l+h

i

X

j=1

a_ijk_j,l







Y_l+h

i

X

j=1

a_ijK_j,l





= ∂ϕ

∂y



t_l+c_i+1h, y_l+h

i

X

j=1

a_ijk_j,l







Y_l+h

i

X

j=1

a_ij∂k_j,l

∂yl

Y_l





= ∂ϕ

∂y



t_l+c_i+1h, y_l+h

i

X

j=1

a_ijk_j,l







I+h

i

X

j=1

a_ij∂k_j,l

∂y_l



Y_l

= ∂k_i+1,l

∂yl

Y_l

Quant-`a y_l+1 etY_l+1 on a

yl+1=yl+h

s

X

i=1

biki,l

Y_l+1=Y_l+h

s

X

i=1

b_iK_i,l

= (I+h

s

X

i=1

bi

∂k_i,l

∂yl

)Yl

= ∂y_l+1

∂y_l Y_l

On d´eduit de ce r´esultat que

∂yN

∂y₀ = ∂yN

∂yN−1

∂yN−1

∂y_N−2

. . .∂y1

∂y₀

=Y_N

1.3. Si l’int´egration est `a pas variable le r´esultat est toujours vrai si le contrˆole du pas lors de l’int´egration du syst`eme variationnelle ne se fait que sur les composantes li´ees `a la variable y. Sinon, lors de l’int´egration num´erique du syst`eme (IV P) et (EQV AR), on ne prend pas la mˆeme grille de discr´etisation sur [t₀, t_f] et les deux m´ethodes ne donnent pas le mˆeme r´esultat num´erique.

3