1S Devoir n° 16 surveillé vendredi 21 février 2014
Exercice 1: (6 points)
Partie A
Soitf la fonction définie surR∗parf(x) =x−10 +900 x .
On appelleC sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unité 1 cm pour 5 sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 sur l’axe des ordonnées.
1. Calculerf 0(x), étudier son signe puis dresser le tableau de variation def surR∗. 2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x 10 30 60 100
f(x) f 0(x)
3. En plaçant l’origine du repère en bas à gauche de la feuille millimétrée, construire les points de la courbe correspondant à ce tableau ainsi que les tangentes à la courbe en ces points. Tracer, surR+, la courbeC avec soin par lissage.
Partie B
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombrexd’objets.
Chaque objet est vendu 100 euros.
Le coût de production unitaire exprimé en euros par objet produit est égal àf(x).
1. a. Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas.
Déterminer alors le bénéfice total de l’entreprise pour cette production.
b. Déterminer, par le calcul le nombre d’objets que l’on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 90 euros.
2. a. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise estB(x) =−x2+ 110x−900.
b. Déterminer son sens de variation sur R+ et déterminer la production permettant d’avoir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice ?
c. Déterminer, en justifiant par un calcul, les valeurs pour lesquelles la production est rentable.
On donnera des valeurs exactes puis des valeurs approchées à l’unité près.
Exercice 2: (4 points)
On s’intéresse à la fonction définie surRparf(x) =x3−0,12x.
Evariste, toujours prompt à sortir sa calculatrice a obtenu le graphique suivant en utilisant la fonction zoom décimal de sa calculatrice.
Le but de cet exercice est de déterminer si cette représentation illustre bien les variations de la fonctionf. 1. Calculerf 0(x), étudier son signe puis dresser le tableau de variation def surR.
xmin: xMax: ymin: yMax:
Exercice 3: (5 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
O,→− ı ,→−
, placer les points A ( 2;−1 ), B ( 4; 3 ) , C (−2; 4 ) et D ( 3; 8 ).
1. a. Calculer les longueurs AB et AC.
b. Calculer, en détaillant la démarche, le produit scalaire−−→
AB.−−→
AC .
c. Déduire des résultats précédents une mesure au degré près de l’angle géométriqueBAC.[ 2. Calculer, en détaillant la démarche, une mesure au degré près de l’angle géométriqueBDC.[ 3. Démontrer que les droites (AC) et (CD) sont orthogonales.
Exercice 4: (2 points)
ABCD est un carré.
I est le milieu du segment [DC].
J est le milieu du segment [BC].
Démontrer que les droites (AJ) et (BJ) sont perpendiculaires.
A B
D Ib C
b J
Exercice 5: (3 points)
ABCD est un trapèze rectangle ( figure ci-contre ).
AB = 9, BC = 4 et CD = 5.
1. Calculer les produits scalaires −−→
AB.−−−→
AD et −−→
AB.−−→
BD . 2. a. Calculer les longueurs AC et AD.
b. Calculer le produit scalaire−−→
AC.−−−→
AD .
c. Déduire des résultats précédents une mesure au degré près
de l’angle géométriqueCAD.[ A B
C D
9
4
5
Corrigé
Exercice 1: (6 points)
Partie A
Soitf la fonction définie surR∗parf(x) =x−10 +900 x . 1. f(x) =x−10 +900
x doncf 0(x) = 1−900
x2 =x2−900
x2 =(x−30)(x+ 30)
x2 .
f 0(x) est donc du signe de (x−30)(x+ 30) d’où le signe def 0(x) et les variations def :
x −30 0 30
f 0(x) + 0 − − 0 +
f(x) −70
@@
@ R
@@
@ R50
2. Tableau de valeurs ci-dessous :
x 10 30 60 100
f(x) 90 50 65 99
f 0(x) −8 0 0.75 0.91
3. Courbe en annexe.
Partie B
1. a. D’après la partieA.le coût unitaire est le plus bas pour une production de 30 unités.
Le bénéfice total de l’entreprise est alors égal au prix de vente de 30 unités ( 30×100 ) diminué du coût de fabrication de ces 30 unités ( 30×50 ). Ce qui donne un bénéfice total égal à 3000−1500 = 1500 euros.
b. Le coût de fabrication est inférieur à 90 euros lorsquef(x)≤90.
f(x)≤90⇔x−10 +900
x ≤90⇔x−100 +900
x ≤0⇔x2−100x+ 900 x2 ≤0.
Commex >0f(x)≤90⇔x2−100x+ 900≤0 :∆= 6400 etx1= 10,x2= 90.
L’expression est négative entre les racines donc le coût de production unitaire inférieur ou égal à 90 euros pour une production comprise entre 10 et 90 unités.
2. a. Le bénéfice global de l’entreprise est alors égal au prix de vente desxunités (x×100 ) diminué du coût de fabrication de cesxunités (x×f(x) ). Ce qui donne un bénéfice totalB(x) = 100x−xf(x).
B(x) = 100x−x2−10x+ 900 =−x2+ 110x−900
b. B0(x) =−2x+ 110 doncB0(x)>0⇔ −2x >−110⇔x <55. d’où le tableau de variation deB:
x 0 55
B 2125
@@
@ R
Remarque : on aurait aussi pu utiliser, les propriétés de l’expression du second degré en cherchant la forme canonique.
On en déduit que le bénéfice maximal est de 2125 euros pour une production de 55 objets.
c. La production est rentable lorsqueB(x)>0⇔ −x2+ 110x−900>0 :∆= 8500
−110−10√
85 √ √
20 40 60 80 100
20 40 60 80 100
90
10 50
30 65
60 99
100
Corrigé
Exercice 2: (4 points)
On s’intéresse à la fonction définie surRparf(x) =x3−0,12x.
1. f(x) =x3−0,12xdoncf 0(x) = 3x2−0,12 = 3(x2−0,04) = 3(x−0,2)(x+ 0,2). d’où le tableau de variation def :
x −0,2 0,2
f 0(x) + 0 − 0 +
f(x) 0,016
@@
@ R
−0,016
2. D’après le tableau de variation, nous pouvons proposer la fenêtre ci-dessous
xmin:−0.5 xMax: 0,5 ymin:−0,02 yMax: 0,02
Exercice 3: (5 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
O,→− ı ,→−
, placer les points A ( 2;−1 ), B ( 4; 3 ) , C (−2; 4 ) et D ( 3; 8 ).
1. a. AB=
q
(xB−xA)2+ (yB−yA)2= q
(4−2)2+ (3−(−1))2=√
4 + 16 =√ 20 . AC=
q
(xC−xA)2+ (yC−yA)2= q
(−2−2)2+ (4−(−1))2=√
16 + 25 =√ 41 .
b. −−→
AB 4−2 = 2 3−(−1) = 4
−−→AC −2−2 =−4
4−(−1) = 5 donc −−→
AB.−−→
AC = 2×(−4) + 4×5 = 12.
c. Comme−−→AB.−−→AC = AB.AC.cosBAC[, nous avons 12 =√ 20√
41 cosBAC.[ Donc cosBAC[= 12
√20√
41 etBAC[= cos−1 12
√20√ 41
!
= 65 ° à un degré près 2. −−→
DB 4−3 = 1 3−8 =−5
−−−→DC −2−3 =−5
4−8 =−4 donc −−→
DB.−−−→
DC = ×(−5) +−5×(−4) = 15.
DB=
q
(xB−xD)2+ (yB−yD)2= q
(4−3)2+ (3−8)2=√
1 + 25 =√ 26 . DC=
q
(xC−xD)2+ (yC−yD)2= q
(−2−3)2+ (4−8)2=√
25 + 16 =√ 41 . Comme−−→DB.−−−→DC = DB.DC.cosBDC, nous avons 15 =[ √
26√
41 cosBDC.[ Donc cosBDC[ = 15
√26√
41 etBDC[= cos−1 15
√26√ 41
!
= 63 ° à un degré près 3. −−→AC −2−2 =−4
4−(−1) = 5
−−−→CD 3−(−2) = 5 8−4 = 4 donc −−→
AB.−−→
AC = −4×5 + 5×4 = 0.
Exercice 4: (2 points) ABCD est un carré.
I est le milieu du segment [DC].
J est le milieu du segment [BC].
Démontrer que les droites (AJ) et (BJ) sont perpendiculaires.
Dans le repère
A; 1 2
−−→AB ; 1 2
−−−→AD
les points ont les coordonnées suivantes : A(0 ; 0), B(2 ; 0), C(2 ; 2) ; D(0 ; 2) ; I(1 ; 2) et J(2 ; 1).
Alors−AJ−→ 2 1
−→BI 1−2 =−1
2−0 = 2 donc −−AJ→.−→BI = 2×(−1) + 1×2 = 0.
Les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (AJ) et (BI) sont
perpendiculaires. A B
D Ib C
b J
Exercice 5: (3 points)
ABCD est un trapèze rectangle ( figure ci-contre ).
AB = 9, BC = 4 et CD = 5.
A B
C D
9
4
5
H
1. H est la projection orthogonale de D sur (AB) donc
−−→AB.−−−→
AD = AB.AH = 9×4 = 36.
−−→AB.−−→
BD =−AB.BH =−9×5 =−45.
2. a. AC =p
AB2+ BC2=√
92+ 42=√
97 et AD =p
AH2+ HD2=√
42+ 42=√ 32 b. Pour calculer le produit scalaire−−→
AC.−−−→
AD , on se place dans un repère orthonormal d’origine A :
−−→AC 9 4
−−−→AD 4
4 donc −−→
AC.−−−→
AD = 9×4 + 4×4 = 52.
c. Comme−−→
AC.−−−→
AD = AC.AD.cosCAD, nous avons 52 =[ √ 97√
32 cosCAD.[ Donc cosBDC[= 52
√97√
32 etCAD[ = cos−1 52
√97√ 32
!
= 21 ° à un degré près
