A Produit scalaire et orthogonalité
A.1 Faire ses gammes 1 SoitABCDEFGH un cube.
Les produits scalaires suivants sont-ils nuls ?Justifier.
1. # » AB•# »
AD 2. # »
EG•# »
FH 3. # »
AE•# »
FA 4. # »
AG•# » CE
1. # » ABet # »
ADsont orthogonaux, donc # » AB•# »
AD= 0 .
2. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires. On en déduit que (EG) et (FH) sont orthogonales.
Donc# » EGet # »
FHsont orthogonaux.
Donc # » EG•# »
FH= 0 . 3. Les vecteurs # »
AEet # »
FAsont non nuls et ne sont pas orthogonaux.
Donc # » AE•# »
FA,0 .
4. AEGCn’est pas un carré, mais un rectangle.
Or les diagonales d’un rectangle de sont pas perpendiculaires.
Donc (AG) et (CE) ne sont pas orthogonales.
Donc# » AGet # »
CEne sont pas orthogonaux.
Ils sont également non nuls.
Donc # » AG•# »
CE,0 .
2 SoientABCDun tétraèdre régulier d’arête de longueuraetIle milieu de [BD].
Démontrer que # » AB•# »
AI=34a2. AB# »•# »
AI=# » AB•# »
AB+# » BI
=# » AB2+# »
AB•# » BI
=# » AB2−# »
BA•# » BI
=k# »
ABk2− k# » BAk × k# »
BIk ×cos ABId
=a2−a×a 2×cos
π 3
=a2−a2 2 ×1
2
=a2−a2 4
=3 4a2
3 Soit ABCDEune pyramide à base carrée telle que les faces issues deE sont des triangles isocèles.
SoitOle centre du carréABCD.
Démontrer que (EO) est orthogonale au plan (ABC).
ABEest isocèle enE, doncEA=EB.
BEC est isocèle enE, doncEB=EC.
DoncEA=ECet ainsiAECest isocèle enE.
De plus,Oest le milieu de [AC]. Or dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal et la médiatrice de la base associée sont confondues.
Donc (EO) est la médiatrice de [AC] et on en déduit que (EO) est orthogonale à (AC).
On montre de la même manière que (EO) est orthogonale à (BD).
Ainsi, (EO) est orthogonale à deux droites sécantes de (ABC).
Donc (EO) est orthogonale à (ABC).
4 SoitABCDEFGH un cube. SoientI,J,KetLles milieux respectifs des côtés [AB], [EF], [GH] et [CD].
1. Dans chaque cas, déterminer si le plan et la droite donnés sont orthogonaux.Jus- tifier.
(a) (DCG) et (IL) (b) (ABF) et (HJ) (c) (EFC) et (KI) (d) (ABC) et (DK)
2. Dans chacun des cas, déterminer si les deux droites données sont orthogonales.
Justifier.
(a) (IK) et (JL) (b) (JH) et (DH) (c) (HG) et (IL) (d) (JC) et (KB) 1. (a) (IL)k(BC) et (BC) est orthogonale à (DCG).
Donc (IL) est orthogonale à (DCG).
(b) (EF)⊂(ABF) et (HJ) n’est pas orthogonale à (EF).
Donc (HJ) n’est pas orthogonale à (ABF).
(c) (KI) est orthogonale à (FC) et à (FE). Or (FC) et (FE) sont deux droites sécantes de (EFC).
Donc (KI) est orthogonale à (EFC).
(d) (DC)⊂(ABC). Or (DK) n’est pas orthogonale à (DC).
Donc (DK) n’est pas orthogonale à (ABC).
2. (a) Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, donc (IK) et (JL) sont orthogonales.
(b) (JH)⊂(HEG). Or (DH) est orthogonale à (HEG).
Donc (DH) est orthogonale à (JH).
(c) (IL)k(BC) et (BC) est orthogonale à (DCG).
Donc (IL) est orthogonale à (DCG).
Or (HG)⊂(DCG), donc (IL) est orthogonale à (HG).
Fiche d’exercices - CH06Produit scalaire dans l’espace (d) JFBest rectangle enF, doncJB > FB=BC.
DoncJBCKest un rectangle.
Or les diagonales d’un rectangle (qui n’est pas un carré) ne sont pas perpendiculaires.
Donc (JC) et (KB) ne sont pas orthogonales.
5 Soient #»uet #»v deux vecteurs tels quek#»uk= 3,k#»vk= 2 etk#»u+#»vk= 4.
Déterminer#»u•#»v etk#»u−#»vk.
#»u•#»v =1 2
k#»u+#»vk2− k#»uk2− k#»vk2
=1 2
42−32−22
=1 2×3
= 3 2 u#»•#»v =12
k#»uk2+k#»vk2− k#»u−#»vk2 . Donck#»u−#»vk2=k#»uk2+k#»vk2−2#»u•#»v. Ainsi :
k#»u−#»vk2= 32+ 22−2×3 2
= 9 + 4−6 2
=20 2
= 10 Donc k#»u−#»vk=
√ 10 .
6 Soient #»uet #»v deux vecteurs tels que#»u•#»v = 5,k#»uk= 2 etk#»u−#»vk=
√ 3.
Déterminerk#»vketk#»u+#»vk. u#»•#»v =12
k#»uk2+k#»vk2− k#»u−#»vk2 . On a ainsi :
k#»vk2= 2u#»•#»v+k#»u−#»vk2− k#»uk2
= 2×5 +
√ 32−22
= 10 + 3−4
= 9
Donc k#»vk=
√ 9 = 3 . Par ailleurs, #»u•#»v =12
k#»u+#»vk2− k#»uk2− k#»vk2 . D’où :
k#»u+#»vk2= 2#»u•#»v +k#»uk2+k#»vk2
= 2×5 + 22+ 32
= 10 + 4 + 9
= 23 Ainsi, k#»u+#»vk=
√ 23 .
A.2 Exercices d’entraînement
7 SoitABCDEFGHun pavé droit tel queAB= 3,AD= 5 etAE= 2.
SoitI le centre deEFGH.
1. CalculerAC
2. En déduireGI,IAetGA.
3. Déterminer la mesure deAGId au dégré près.
1. ABCDest un rectangle, doncABCest rectangle enB. De plusBC=AD= 5.
Ainsi :
AC2=AB2+BC2
= 32+ 52
= 9 + 25
= 34 On en déduit AC=
√ 34 .
2. ABCDEFGH est un pavé droit, doncEG=AC=
√ 34.
I est le centre deEFGH, doncIest le milieu de [EG] et GI=
√ 34 2 . Le triangleAEIest rectangle enI. On sait queAE= 2 etEI=GI=
√ 34 2 .
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore : IA2=AE2+EI2
= 22+
√ 34 2
2
= 4 +34 4
=50 4
=25 2 D’où IA=
r25 2 = 5
√ 2 =5
√ 2 2 .
AGCest rectangle enCetGC=AE= 2 etAC=
√ 34.
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore : GA2=AC2+GC2
=
√
342+ 22
= 34 + 4
= 38 Donc GA=
√ 38 . 3. On sait que # »
GA•# » GI=k# »
GAk × k# »
GIk ×cos# » GA,# »
GI . Donc cos# »
GA,# » GI
= cos AGId
=kGA# »GA# »k×k•GI# »GI# »k=GAGA# »×•GIGI# ».
Par ailleurs, dans le triangleAGI, tous les côtés sont connus. On peut donc utiliser la formule de polarisation#»u•#»v =12
k#»uk2+k#»vk2− k#»u−#»vk2 . Ainsi :
# » GA•# »
GI=1 2
k# »
GAk2+k# »
GIk2− k# » GA−# »
GIk2
=1 2
GA2+GI2− k# » GA+# »
IGk2
Or # » GA+# »
IG=# » IG+# »
GA=# » IA. Donc :
# » GA•# »
GI=1 2
GA2+GI2−IA2
=1 2
√ 382+
√ 34 2
2
−
5
√ 2 2
2
=1
2 38 +34 4 −50
4
!
=1 2×34
= 17 Ainsi : cos
AGId
=GAGA# »×•GIGI# »=√ 17
38×
√ 34 2
=√ 34
38×
√
34=√2√1934√2√17 =√17323. On en déduit : AGId = arccos 17
√ 323
!
≈19 .
8 SoitABCDun tétraèdre régulier de côtél, et soitI le milieu de [BC].
Déterminer la mesure de l’angleDIA.
ABCDest un tétraèdre régulier.
DoncBCDest équilatéral.
Dans un triangle équilatéral, médianes et médiatrices sont confondues.
DoncDBIest rectangle enI et d’après le théorème de Pythagore : ID2=BD2−BI2
=l2− l 2
!2
=l2−l2 4
=3 4l2 On a ainsiID=
√ 3 2 l.
On montre de même queAI=
√ 3 2 l.
Fiche d’exercices - CH06Produit scalaire dans l’espace Ainsi :
ID# »•# » IA=1
2 k# »
IDk2+k# »
IAk2− k# » ID−# »
IAk2
=1 2
ID2+IA2−AD2
=1 2
√ 3 2 l
2
+
√ 3 2 l
2
−l2
=1 2
3 4l2+3
4l2−l2
!
=1 2
1 2l2
!
=1 4l2 Par ailleurs,# »
ID•# »
IA=ID×IA×cos
DIA . Ainsi : cos(DIA) = √314l2
2l×
√ 23l = 143l2
4l2=13. Donc DIA= arccos 1
3
!
≈71◦ .
9 Quelle est la mesure de l’angle formé par deux diagonales d’un cube ? Soitlla longueur des arêtes du cube.
# » AG•# »
EC=# » AE+# »
EF+# » FG
•
# » EF+# »
FG+# » GC
=# » AE•# »
EF+# » AE•# »
FG+# » AE•# »
GC . . .+# »
EF•# »
EF+# » EF•# »
FG+# » EF•# » GC . . .+# »
FG•# » EF+# »
FG•# »
FG+# »
FG•# » GC
=−# » GC•# »
GC+l2+l2
=−l2+l2+l2
=l2 Par ailleurs,# »
AG•# »
EC=AG×EC×cos# » AG,# »
EC . Donc cos# »
AG,# » EC
=AGAG# »×•ECEC# ».
Or, en utilisant le théorème de Pythagore, on montre que toutes les diagonales des faces du cube ont pour longueur
√
2l2, soit
√ 2l.
On montre alors, toujours avec le théorème de Pythagore, que les diagonales du cube on pour longueur
√
2l2+l2, soit
√ 3l2.
Ainsi :
cos# » AG,# »
EC
= l2
√ 3l2×
√ 3l2
= l2 3l2
=1 3 Ainsi,# »
AG,# » EC
= arccos1
3
≈71◦.
B Géométrie analytique dans l’espace
B.1 Faire ses gammes
10 On se place dans un repère orthonormé O;#»
i ,#»
j ,#»
k . SoientA(1; 0; 4),B(3; 2; 4),C2
3;14; 2 etD
0;1112; 4 .
Les droites (AB) et (CD) sont-elles orthogonales ?Justifier.
AB# »
2 2 0
et# »
CD
−2
23 3
2
. On en déduit # »
AB•# » CD= 0.
Donc (AB) et (CD) sont orthogonales.
11 Dans un tétraèdre régulierABCD, le repère A;# »
AB,# » AC,# »
AD
est-il orthonormé ? Les vecteurs # »
AB, # »
AC et # »
AD ne sont pas orthogonaux deux à deux, donc A;# »
AB,# » AC,# »
AD
n’est pas un repère orthonormé de l’espace.
12 On se place dans un repère orthonormé O;#»
i ,#»
j ,#»
k . Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ?
1. #»u
1 1
−2
et #»v
0 4 2
2. #»u
11
2
3 2
et #»v
4
−25 4
3. #»u
1 3
−4
et #»v
2
−1
−1
4
4. #»u
√1 3
−
√ 2
et #»v
√ 3
−1
√ 8
5. #»u
1 2
−5
et #»v
5
−4
−3
4
Dans chacun des cas, on applique la formule#»u•#»v =xx0+yy0+zz0, valable dans un repère orthonormée.
1. #»u•#»v = 1×0 + 1×4 + (−2)×2 = 0, donc#»u et #»v sont orthogonaux.
2. #»u•#»v = 0. Donc #»uet #»v sont orthogonaux.
3. #»u•#»v = 0. Donc #»uet #»v sont orthogonaux.
4. #»u•#»v =−4,0. Donc #»uet #»v ne sont pas orthogonaux.
5. #»u•#»v =34,0. Donc#»u et #»v ne sont pas orthogonaux.
13 SoitABCDEFGH un cube de côté 1.
1. Justifier que A;# »
AB,# » AD,# »
AE
est un repère orthonormé de l’espace.
2. Dans ce repère, calculer les coordonnées de chacun des points du cube.
3. Démontrer que les diagonales du cube ne sont pas orthogonales.
1. # » AB,# »
ADet # »
AEsont linéairement indépendants.
De plus, # » AB, # »
ADet # »
AEsont orthogonaux deux à deux, carABCDEFGH est un cube.
Enfin,k# »
ABk=k# » ADk=k# »
AEk= 1.
Donc A;# »
AB,# » AD,# »
AE
est un repère orthonormé de l’espace.
2. A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1) et H(0; 1; 1).
3. Déjà démontré dans l’exercice 9.
B.2 Exercices d’entraînement
14 SoitABCDEFGH un pavé droit tel queAB= 2,AD= 3 etAE= 2.
1. Définir#»
i,#»
j et #»
k tels que A;#»
i ,#»
j ,#»
k
soit un repère orthonormé de l’espace.
2. Donner les coordonnées des sommets du pavé droit dans ce repère.
1. k# »
ABk= 2, donck1
2
AB# »k= 1.
On a de mêmek1
3
# »
ADk= 1 etk1
2
# » AEk= 1.
Ainsi, #»
i = 12# » AB, #»
j = 13# » AD et #»
k = 12# »
AE forme une base orthonormée de l’espace, et
A;#»
i ,#»
j ,#»
k
forme ainsi un repère orthonormé de l’espace.
2. On a alors : A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 3; 0), D(0; 3; 0), E(0; 0; 2), F(2; 0; 2), G(2; 3; 2) etH(0; 3; 2).
15 Soit O;#»
i ,#»
j ,#»
k
un repère orthonormé.
Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées d’un vecteur#»nnormal au plan dirigé par les deux vecteurs donnés.
1. #»u
1 1 1
et #»v
3 1 2
2. #»u
3 0 1
et #»v
1 1 0
Dans chacun des cas, on cherche #»n
x y z
tel que#»u•#»n= 0 et #»v •#»n= 0.
1.
#»u•#»n= 0
#»v •#»n= 0 ⇔
1×x+ 1×y+ 1×z= 0 3×x+ 1×y+ 2×z= 0
⇔
x+y+z= 0
2x+z= 0 L2−L1
⇔
x+y+z= 0 z=−2x
⇔
x+y−2x= 0 z=−2x
⇔
y=x
z=−2x
Les vecteurs normaux au plan sont donc de la forme
x x
−2x
.
En particulier, #»n
1 1
−2
(on choisit x = 1 arbitrairement) est un vecteur normal au plan dirigé par les vecteursu#»et #»v.
2.
u#»•#»n= 0
#»v •#»n= 0 ⇔
3x+z= 0 x+y= 0
⇔
z=−3x y=−x
Les vecteurs normaux au plan sont donc de la forme
x
−x
−3x
.
Fiche d’exercices - CH06Produit scalaire dans l’espace
En particulier, #»n
1
−1
−3
(on choisit x = 1 arbitrairement) est un vecteur normal au plan dirigé par les vecteurs#»u et#»v.
16 Dans un repère orthonormé O;#»
i ,#»
j ,#»
k
, soient A(3;−2;−1), B(1; 2; 1) et C(−1; 2; 1).
Déterminer la mesure de l’angleBAC[à 0,1 degré près.
On a : # » AB=
xB−xA
yB−yA
zB−zA
=
1−3 2−(−2) 1−(−1)
=
−2 4 2
et :# » AC=
xC−xA yC−yA
zC−zA
=
−1−3 2−(−2) 1−(−1)
=
−4 4 2
.
On se place dans un repère orthonormé, donc on peut utiliser l’expression ana- lytique du produit scalaire.
Ainsi :
AB# »•# »
AC=−2×(−4) + 4×4 + 2×2
= 8 + 16 + 4
= 28 Or on sait aussi que# »
AB•# » AC=k# »
ABk × k# »
ACk ×cos# » AB,# »
AC
=AB×AC×cos
BAC[
. Or :
AB= q
(−2)2+ 42+ 22
=
√
4 + 16 + 4
=
√ 24
= 2
√ 6 et :
AC= q
(−4)2+ 42+ 22
=
√
16 + 16 + 4
=
√ 36
= 6
On a donc finalement :
cos
BAC[
=
AB# »•# » AC AB×AC
= 28
2
√ 6×6
= 28 12
√ 6
= 7 3
√ 6 DoncBAC[= arccos
7 3
√ 6
≈17,7◦
17 SoitABCDEFGH un cube et soientIetLles milieux respectifs de [AB] et [CD].
Déterminer la mesure deIHLd au degré près.
IHLd ≈41,81
C Projection orthogonale
C.1 Faire ses gammes
18 On se place dans un repère orthonormé O;#»
i ,#»
j ,#»
k .
SoitP le plan passant par les pointsA(0; 0; 3),B(0;−3; 0) etC(0; 3; 0).
SoitM(3;−4; 5).
Déterminer la distanced(M,P).
H(0;−1; 2) (voir méthode du cours).
MH= q
(xH−xM)2+ (yH−yM)2+ (zH−zM)2
= r
(0−3)2+
−1−(−4)2
+ (2−5)2
= q
(−3)2+ 32+ (−3)2
=
√ 3×32
= 3
√ 3
C.2 Exercices d’entraînement
19 SoientABCDEFGHun cube d’arête de longueur 1 etKle centre du carréABFE.
1. Choisir un repère orthonormé puis déterminer les coordonnées deK dans ce re- père.
2. Calculer la distanced
K,(ACE) .
1. On peut se donner comme repère orthonormé le repère A;# »
AB,# » AD,# »
AE . On a alorsK1
2;12;12 .
2. Kest le centre du cube, doncKest le milieu de [CE].
DoncK∈[CE] et ainsiK∈(ACE).
Doncd
K,(ACE)
= 0.
