Diffusion compton dans un gaz d'électrons Maxwelliens

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Submitted on 1 Jan 1969

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Diffusion compton dans un gaz d’électrons Maxwelliens

J.P. Babuel-Peyrissac, G. Rouvillois

To cite this version:

J.P. Babuel-Peyrissac, G. Rouvillois. Diffusion compton dans un gaz d’électrons Maxwelliens. Journal

de Physique, 1969, 30 (4), pp.301-306. �10.1051/jphys:01969003004030100�. �jpa-00206788�

DIFFUSION

COMPTON DANS UN GAZ

D’ÉLECTRONS

MAXWELLIENS Par

J.

^P. BABUEL-PEYRISSAC ^et G.

ROUVILLOIS,

Commissariat à

l’Énergie

Atomique, ^{Centre d’Études de} Bruyères-le-Châtel.

(Reçu

^{le 18 avril}

1968.)

Résumé. 2014 On

développe l’équation

de Boltzmann relativiste

applicable

^{au transfert des}

photons

^{avec diffusion non cohérente sous forme d’une}

équation

^de Fokker-Planck utilisable pour ^les

photons thermiques.

^{On donne}

l’expression

^des

équations

^{de transfert}

correspondant

^à

l’approximation

^des

harmoniques sphériques.

^{Enfin, on} établit diverses formules

applicables

^à

l’échange d’énergie matière-rayonnement.

Abstract. ²⁰¹⁴ We

develop

the relativistic Boltzmann

equation

^for

photon transport

^{with non}

coherent

scattering

in the form of a Fokker-Planck

equation

^usable for thermal

photons.

^We

give

^an

expression

^{of the}

corresponding equation

^{in the}

spherical

^harmonies

approximation.

Finally,

^{we establish} formulae for energy

exchange

^between radiation and matter.

I. Introduction

(1) .

^{- Dans de}

larges

^conditions

ou la

longueur

d’onde de la lumiere reste

petite

^devant

la distance

interélectronique,

^les

photons

^se compor- tent comme des

particules

^{isol6es et il est naturel de}

leur

appliquer 1’6quation

de Boltzmann. C’est notam- ment le cas des

photons thermiques

^{dans les atmo-}

spheres

stellaires.

Nous sommes ici

partis

^de

1’6quation

de transfert relativiste et nous avons effectue un

d6veloppement

de

l’op6rateur

de choc selon la m6thode de Fokker-

Planck,

^comme

Kompaneetz [2]

^{et Dreicer}

[3]

^l’ont

propose.

^Ici les calculs sont

d6velopp6s completement jusqu’au

second ordre inclus. A titre

d’application,

nous donnons la forme _que prennent ^ces

equations lorsqu’on

^utilise pour le transfert les m6thodes des har-

moniques sph6riques

^{limit6es au}

premier

^ordre

(P1) .

On obtient ainsi des formules

g6n6ralisant

^celles

obtenues _par

Sampson

pour le _corps noir

[5].

Enfin,

^nous donnons diverses formules

importantes

pour

1’6change d’6nergie matière-rayonnement,

y

compris

^une extension relativiste.

II.

Equation

de transfert des

photons.

^{- Nous} utiliserons les notations suivantes :

- v, Q :

frequence,

^{direction du}

photon

^avant

choc,

- v : vitesse de 1’electron avant choc.

Les

quantites prim6es

^se rapportent ^aux

grandeurs apres

^{choc :}

Dans ces

conditions,

^{on a :}

(nombre

^de

photons

par intervalle

dv, dH)

(Nombre

d’electrons _par intervalle

ou

f (P)

^et

n(k)

^{sont des} invariants relativistes.

Suivant ^un raisonnement du 4 Dirac

[1] qui

^utilise

le centre de masse comme

repere intermédiaire,

^on

obtient le resultat connu

[3]

^et

[4]

^{suivant :}

Dans cette

expression,

^{on a}

suppose

que ^les electrons n’6taient _pas

d6g6n6r6s.

^La

quantite

^{d1t est la pro-}

babilit6 de transition 616mentaire

correspondant

^à

(v, Q)

⁺

(P)

^-

(v’, Q’)

+

(P’)

^{et l’on a} utilise le

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003004030100

302

choc inverse de ce dernier afin de ^{ne faire} intervenir

qu’une

^seule

probabilite

^d1t.

11 est

important

d’insister ^sur la validite relativiste de

1’equation

de Boltzmann ainsi obtenue.

La

probabilite

de transition 616mentaire dn est, selon

Jauch

^{et Rohrlich}

[6],

^le

produit

de la section efficace relativiste invariante _par le flux réduit :

On trouve

([6],

page

232) :

avec :

De sorte

que X

^{devient :}

On trouve

([6], page 166) :

de sorte que, finalement :

Enfin,

^{on a} la relation de conservation de

1’6nergie ([6], page 230) :

Remplaçant n

par ^sa valeur en fonction de I et

la d6riv6e ^en suivant les

particules

par ^son

d6velop-

pement, ^{on obtient la forme} habituelle :

Nous nous

plaçons

maintenant a une densite elec-

tronique

suffisante _pour que les

temps

^{de mise en}

6quilibre

des electrons entre eux soient tres inferieurs

aux temps d’evolution du

rayonnement,

^ce

qui

^nous

permet

^de

prendre

^une fonction de distribution maxwellienne relativiste du

type Maxwell-Juttner

pour les electrons :

Comme la difference

d’énergie

^entre les 6tats P et P’ est celle

prise

par le

photon

^{dans le}

choc,

^nous

avons :

L’équation

^de transfert devient ainsi :

III.

Équation

^de Fokker-Planck pour les

frdquences thermiques

^a

T, 20

^{keV. - Dans ce cas, hv}

et kT sont du meme ordre. A

1’equilibre planckien

hv ⁼

2,7kT.

^{Si les}

temperatures

^{ne sont} pas trop

fortes,

^{sont des}

grandeurs petites.

^Ainsi

De

plus,

^{dans la}

plupart

^{des chocs}

Compton, 1’6change d’energie

^sera

faible,

c’est-a-dire :

sera

petit.

^{11 en} r6sulte que l’on pourra effectuer des k T hv

deveioppements

par

rapport a -,

_{v mc mc}

k T 25 hv .

^{Dans le cas}

des tres fortes

temperatures

^au

contraire,

la raie de r66mission

Compton s’61argit

^{et un tel}

développement,

meme s’il était

possible,

^n’aurait

guere

^{de sens}

phy- sique.

Nous allons nous

placer

^{dans le cas a}

Te

^{20 keV}

et

d6velopper l’op6rateur

de choc. Pour

cela,

^nous

utiliserons la fonction de distribution relativiste non

d6g6n6r6e

^des

6lectrons,

^{soit :}

g( T)

^donne par

qui, apres développement,

^{s’ecrit :}

On _{pose :}

L’intensit6

I(v’, Q’)

^se

d6veloppe

par la formule de

Taylor :

On

pourrait

penser am6liorer la

precision

^{en effec-}

tuant un

d6veloppement

^le

plus pouss6 possible.

^En

fait,

^{les travaux}

math6matiques

^{effectu6s sur}

l’équi-

valence entre

l’op6rateur

de Boltzmann et

1’equation

de Fokker-Planck

(relative

^aux

particules mat6rielles)

semblent montrer

qu’un d6veloppement

au-dela de l’ordre deux est illusoire

(2). Aussi,

^{nous nous limiterons}

ici a l’ordre deux. Dans ces

conditions, d6veloppant

le crochet de

l’op6rateur

^de

diffusion,

^{.on obtient :}

Il reste a faire les _moyennes sur la fonction de distribution relativiste de

On trouve,

apres

des calculs faciles mais fastidieux :

Il est commode de _{poser :}

Un calcul

pouss6 jusqu’a

^l’ordre quatre ^{donnait :}

L’équation

de transfert s’6crit alors :

expression

^ou

I’1

⁼

I (v, Q’).

Il est int6ressant d’écrire ^cette

expression

^{sous la}

forme ou ^a n’est pas

int6gr6.

^{Nous mettons en evidence}

dans le resultat la différence

(I i

^-

I).

^En

effet, quand I’

⁼

I,

^le

champ

^est

isotrope.

^{Le terme}

proportionnel

^a

(I’1- I)

^{est donc la}

partie anisotrope

de

l’op6rateur.

^{C’est un}

operateur

de diffusion cohe- rente, ^car la source

correspondante

^{est a la meme}

frequence

que

1’absorption.

^{Ce terme ne} donnera donc lieu a aucun

6change d’6nergie.

11 reste un deuxieme terme

proportionnel

^a

I’.

^On

pourrait

^le

qualifier

^{de terme}

isotrope

^s’il

n’y

^avait

pas les effets induits. Nous

l’appellerons

^{terme d’inter-}

action

puisqu’il

^est

responsable

^des

6changes d’energie

en I’absence de transfert directionnel.

304

Explicitons :

(partie anisotrope

^{ou diffusion}

coh6rente)

⁺

(partie isotrope

^{ou terme}

d’interaction) (partie anisotrope

^{ou diffusion}

coh6rente)

(partie isotrope

^{ou terme}

d’interaction)

On remarque ^{sur ces} resultats que la

partie

^aniso-

trope

contient,

^{outre le terme} habituel bien connu

du

scattering

^Thomson

(1

⁺

cos20),

^{des termes cor-}

rectifs d’ordre

deux,

c’est-a-dire du meme ordre que

ceux de la

partie isotrope.

^{Ces resultats} que ^nous avions obtenus en 1962

[7] g6n6ralisent

^{ceux de}

Kompaneetz (1957, [2]) qui

n’a donne que le ^terme

isotrope

d’interaction.

Signalons 6galement

^{un travail}

recent de M.

Peyraud [10] qui

^retrouve des resultats

equivalents

^{en ce}

qui

^{concerne le terme} d’interaction.

IV.

Approximation

^{PI des}

harmoniques sphdriques

pour le transfert

d’espace.

^{- 11 est} int6ressant d’uti- liser les

expressions pr6c6dentes

pour examiner la forme des

equations

de transfert dans

l’approximation

du

premier

^ordre

(P1 )

^des

harmoniques sph6riques.

Nous

d6signerons

par

D(I’, I ) 1’operateur complet

^de

diffusion

(ici,

^{I’ _}

I(v, 62’)) :

et nous poserons ^{encore :}

Dans ces

conditions, 1’6quation

^de transfert s’écrit :

Suivant la

procedure habituelle,

^on pose :

ou

Io

^{et J sont}

independants

^des directions ^et on

remplace

I par ^sa valeur dans

1’equation

de transfert.

En

integrant

directement sur Q

1’equation pr6c6dente, puis

^en

l’int6grant apres multiplication

par

Q,

^on

obtient les deux

equations

d’evolution de

I,

^{et J :}

Dans

1’equation

d’evolution de

Io,

^on remarque, ^à cote des termes habituels du flux et du bilan D

du

champ isotrope,

^{un terme du a 1’action}

conjuguee

des effets induits et de

l’anisotropie,

^{terme propor-}

tionnel

à f1. Quant

^au

flux,

^{on constate} que la diffu- sion

Compton

^{le fait}

glisser

^en

frequence

^{par le}

terme D

I

^{Si l’on fait}

F approximation

^{du trans-}

fert

diagonal,

^{ce terme}

disparaitra. Si,

^en

plus,

^{on fait}

celle du transfert

stationnaire,

^on

peut

^{r6soudre en J :}

V. Calcul des

dchanges dldnergie matière-rayon-

nement. ^-

L’6change d’6nergie

par centimetre cube

et par seconde est donnee par

l’int6grale

^sur

62, v

^du

second membre de

1’6quation

de transfert :

Il est ais6 de voir _que le

premier

^{terme donne un}

resultat

nul,

^ce

qui

^{est normal}

puisqu’il repr6sente

^la

diffusion coherente.

L’integration

du deuxieme peut etre faite

completement

^en eliminant les d6riv6es

partielles

par

rapport

^{a v} par des

integrations

par

partie.

^{Dans le cas de}

l’approximation

^{des harmo-}

niques sphériques,

^{nous obtenons}

(voir

details des calculs

[8]) :

Sur cette

formule,

^{nous obtenons ce r6sultat} que

l’anisotropie J

n’intervient dans les

6changes

que par les effets induits. D’autre

part,

^ces derniers introduisent aussi un terme en

15

^{dans le terme}

principal isotrope.

En

supprimant

^les

anisotropies,

^{on retrouve les for-}

mules de

Kompaneetz (1957)

^{et de}

Peyraud (1967).

- Cas

particulier

^du

rayonnement

^noir

isotrope.

^-

Prenons un

champ

^de rayonnement ^en

6quilibre

^à

la

temperature TR :

On

obtient,

^a

partir

^{de la formule}

pr6c6dente :

Cette formule ^est

importante,

^{car elle montre} que,

physiquement, 1’echange d’energie

^est

proportionnel

a

TR

^et

qu’il peut

donc devenir tres

important

^{a forte}

temperature.

Nous avions donne cette formule

en 1959

[11].

^{Elle a}

été, depuis, publi6e (sans

^d6mons-

tration)

^par Taro Kihara en 1962

[12].

- Extension relativiste de

la formule

^des

échanges d’ énergie.

- Reprenant

^et

compl6tant

^{une idee de notre}

collegue

L.

Dagens,

^{l’un de nous}

[13]

^{a donne une extension}

aux electrons relativistes dans le ^cas ou les

photons

gardent

^une

frequence

^{assez faible} pour que l’on ait

toujours hv /Y me2 petit.

En

effet, 1’6change d’6nergie

^est donn6 directement par la formule :

ou nous avons

n6glig6

les effets induits. Ceci

devient,

en

remplaqant

^les divers elements _par leurs valeurs

indiquees plus

^{haut dans}

le §

^{II :}

L’approximation

faite consiste a

négliger hv/Ymc2

dans :

ainsi _que dans

X,

^mais pas ^au numérateur où

I

restent du meme ordre. D’ou :

On

integre

^{d’abord sur les} directions et Q’ en

supposant

I(v, Q) isotrope.

^{Le calcul est facile mais}

long

^et fastidieux

(voir

^detail

[13]).

306

On obtient :

Utilisant _pour

f (P)

^la fonction de distribution rela- tiviste de

Maxwell-Juttner :

g ^est determine _par

Sachant _par ailleurs _{que :}

on aboutit aux

expressions

suivantes :

De sorte que, finalement :

Dans la limite non

relativiste,

^on

prend

^le

d6velop-

pement

asymptotique

^valable

pour z »

^{1 :}

D’ou :

D’autre

part,

^{avec ces memes}

développements :

On voit donc

qu’en

^ce

qui

^concerne

1’equation

d’évolution de la

temperature

^le

premier

terme correctif en

kT/mc2 disparait avec

celui de

1’6change d’6nergie.

Cette remarque permet ^de pro-

longer

^vers les hautes

temperatures

la validite de la formule non relativiste d’evolution de la

temperature.

Enfin,

pour de tres hautes

temperatures,

^{on a :}

On voit _que, dans ce cas, le

couplage

^electron-

photon

^sera

plus

^severe.

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[10]

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J. Physique,

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[11]

BABUEL-PEYRISSAC,

Rapport

^{interne CEA,}

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l’exposé

^{du 14 mai 1959, n° 26 KE 1003,}

1959.

[12]

^TARO KIHARA,

Comptes

^{rendus du}

congrès

^{sur les}

propriétés thermophysiques,

Princeton,

24 jan-

vier 1962

(Academic Press).

[13]

ROUVILLOIS

(G.),

Note interne CEA 65-01 DR 008 W-X, ^{du 1er mars 1965.}