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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Lambotte, J.-P. (1978). Contribution à l'étude asymptotique des processus de Galton-Watson (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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.iwieueoruxeilet

Faculté des Sciences

CONTRIBUTION A L ETUDE ASYMPTOTIQUE DES PROCESSUS DE GALTON-WATSON

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences

(Grade légal)

j I Année académique 1977 - 1978 Jean-Pierre LAMBOTTE

ËIBUOTHEQUE de MATHEMAllUUES et de PHYSIflUE

CONTRIBUTION A L ETUDE ASYMPTOTIQUE

3H P

DES PROCESSUS DE GALTON-WATSON Z

L 1}3

C . i

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences

(Grade légal)

Année académique 1977 - 1978 Jean-Pierre LAMBOTTE

INTRODUCTION

L’étude des processus de ramification Cbranching processes] remonte à fort longtemps, puisque c'est dans un texte de 1874 que WATSON et GALTON [sij en jetèrent les bases, en considérant le plus simple de ces processus, qui, depuis, porte leur nom.

tique des processus de Galton-Watson (simples, c’est-à-dire unidimensionnels].

Les sections 1.1 et 1.2 sont consacrées à leur définition et aux résultats fonda­

mentaux les concernant. Après avoir constaté à la section 1.3 que, sauf dans un cas déterministe, ces processus sont instables (ils s’"éteignent” ou "explosent"

presque sûrement], on peut envisager leur étude asymptotique principalement selon deux voies, qui seront décrites ci-après, en distinguant cependant le cas critique

(m=1] des cas non critiques (m<1 : sous-critique, et m>1 : sur-critique]. En rai­

son de son caractère particulier, l’étude du cas critique a été complète la pre­

mière, et les résultats qui la concernent sont rassemblés, mais seulement rappe­

lés et non établis, à la section 1.0. Ils sont dus essentiellement, sous leur forme finale, à NAGAEV [2l], KESTEN, NEY et SPITZER [ib] et SENETA [2Sj.

La section 1.4 est consacrée à quelques théorèmes et corollaires qui ser­

vent d’outil lors de l’étude ultérieure.

Pour les cas non critiques, la première voie d'étude du comportement asymptotique des processus de Galton-Watson consiste à en chercher une distribu­

tion-limite non dégénérée en les conditionnant de manière appropriée. L’idée re­

monte à YAGLOM [32] (1947], mais le résultat sous sa forme finale est dû à PAPANGELOU [23]. Il est cependant présenté ici (théorème 1.5.1] dans la version de SENETA [2B], dont la technique, basée sur des théorèmes-limites concernant les fonctions itérées de variable réelle, m’a semblé plus simple que celles utilisées j usqu’alors.

Le premier chapitre du présent travail est consacré à l’étude asympto­

D’autre part, toujours pour les cas non critiques, l'étude de la conver­

gence de la fonction génératrice, caractérisant le processus.vers la probabilité d’extinction, avait fait apparaître le caractère géométrique de cette convergence (théorème 1.6.1. dû à KARLIN et MACGREGDR [l4]], sauf, dans le cas sous-critique, si l'espérance mathématique du nombre de descendants directs d’un individu, mul­

tiplié par son logarithme, est infini (E[z^.S,n Z^] = «>} . Dans leur livre [lj. p. 63.

ATHREYA et NEY signalaient que. dans ce dernier cas. le problème du taux de con­

vergence restait ouvert. Je me suis attaché à résoudre cette question et j’y suis parvenu (théorème 1.6.2) en me servant d’un argument dû à SENETA [zz]. concernant des propriétés de variation régulière de certaines fonctions.

Chemin faisant, je me suis aperçu que la propriété utilisée permettait aussi d’établir un lien étroit entre les résultats faisant l’objet des théorèmes 1.5.1 et 1.6.1. J’ai ainsi pu établir le théorème I.Z.1. qui recoupe et explicite pas mal de résultats antérieurs.

La deuxième voie d’étude asymptotique des processus de Galton-Watson con­

siste à étudier la convergence de ces processus normés de manière adéquate. Cette méthode convient pour le cas sur-critique. L’idée de normer le processus par sa moyenne remonte à HAWKINS et ULAM

[lo]

(1944). mais ce sont KESTEN et STIGUH

[l

6]

qui ont montré les premiers que le processus ainsi normé converge presque sûrement vers une variable aléatoire non dégénérée en 0 si E[z^.Jln Z^] < “ (théorème 1.9.1).

Il a fallu attendre SENETA [26] et HEYDE [l2] pour que soit mise en évidence, dans tous les cas sur-critiques non explosifs (1 < m < “) . l’existence d’une suite des­

tinée à normer le processus de manière adéquate pour obtenir la convergence pres­

que sûre vers une variable aléatoire non dégénérée (théorème 1.9.2). Le théorème 1.9.3, dû à SENETA [26]. établit que la suite dont il est question au théorème précédent est asymptotiquement équivalente à ^[z^.î’n Z^] < La démonstration simple qui en est donnée est à nouveau basée sur un argument pré­

senté ultérieurement par SENETA [2Z]. concernant des propriétés de variation régu­

lière de certaines fonctions.

La section 1.10 fait mention de résultats récents dus à SCHUH et BARBOUR [24]

concernant le cas explosif (m=«>), pour lequel, on l’a dit. les résultats de la section 1.9 ne sont pas valables, ou doivent être adaptés.

Le chapitre 2 du présent travail, qui est, lui, entièrement personnel, est consacré à l’établissement de résultats analogues à certains de ceux du cha­

pitre 1, pour un processus de Galton-Watson à deux types d'individus, avec muta­

tion possible du type I vers le type II. L'idée m’en est venue à la lecture d'un article de DIETZ [sJ, qui traitait un processus de vie et de mort continu dans le temps, à deux types d’individus et avec de pareilles mutations possibles, et qui signalait que des résultats analogues à ceux qu’il obtenait semblaient ne pas exister dans le cas de processus discrets.

Signalons que le processus de Galton-Watson que je considère au chapitre 2 est un cas particulier de processus de Galton-Watson multidimensionnel, bidimen­

sionnel en l’occurrence, mais qu’il ne fait pas partie, parmi ceux-ci, de la

classe des processus positivement réguliers, comme définis par exemple par EVERETT et ULAI^ [5], pour lesquels le plus de résultats généraux sont connus.

Les définitions, notations et propriétés fondamentales du processus étudié sont rassemblées dans les sections 2.1 à 2.3, cette dernière se terminant par un tableau où sont répartis en neuf cas les différents comportements-limites des pro­

cessus marginaux et la probabilité d’extinction du processus. On remarquera que dans les cas (2), @ et ©, bien que l’extinction en un nombre fini de généra­

tions soit certaine, le nombre moyen d’individus du type II, qui reçoit des mutants, ne tend pas vers 0 lorsque le nombre de générations tend vers l’infini. Bien plus, dans le cas © ce nombre moyen augmente indéfiniment.

La section 2.4 constitue une sorte de parenthèse dans l’ensemble du tra­

vail, et est consacrée au nombre de mutations se produisant au cours de l’évolu­

tion du processus.

Les sections 2.5, 2.6 et 2.7 contiennent des résultats analogues, pour le processus de Galton-Watson bidimensionnel, respectivement à ceux des sections 1.5, 1.6 et 1.7. Ces résultats sont valables dans tous les cas du tableau, sauf dans les cas (4) et . Cependant, dans les cas (Jù, (^, Q) et (8), ils se réduisent à leur correspondant unidimensionnel, appliqué au processus marginal (Y }

n eM décrivant l’évolution du nombre d’individus de type I. Par contre, dans les cas

et du tableau, ils sont nouveaux et généralisent en un certain sens les résultats correspondants du chapitre 1.

Le théorème 2,5.1 établit l'existence d’une distribution-limite condition nelle propre et non dégénérée pour le processus marginal {Y } , la condition

n eil\l

étant une adaptation de celle qui apparaît au théorème 1.5.1. Il est intéressant de noter que ce résultat est notamment valable dans le cas du tableau, où, pourtant, le processus marginal est critique. L’introduction dans la con dition du temps d’extinction du proces^^s bidimensionnel, au lieu de n’y considé­

rer que le temps d’extinction de lui-même, transforme donc fondamentale­

ment le comportement asymptotique con Sillonne 1 de {Y } n ^(\l

Généralisant de manière analogue le théorème 1.6.1, on étudie au théorème 2.6.1 la convergence d’une fonction génératrice vers la probabilité d’extinction, tandis que le théorème 2.7.1 établit un lien entre les deux résultats précédents, comme le faisait le théorème 1.7.1 pour les processus de Galton-Watson simples.

Outre les corollaires 2.7.1 et 2.7.2, qui généralisent, en les contenant comme cas particuliers, les corollaires 1.7.2 et 1.7.3 respectivement, on peut énoncer finalement un corollaire 2.7.3, où est exprimé le comportement asymptotique de la probabilité d’avoir l’extinction du processus bidimensionnel en un nombre fini de générations, sachant que le processus marginal ^Y^} n’est pas encore éteint à la n-ième génération, mais le sera en un nombre fîn^^de générations.

encore lui qui m’a suggéré de m’intéresser aux processus de Galton-Watson.

De plus, l’aboutissement de mon travail tient en grande partie aux encourage­

ments et aux conseils qu’il n’a cessé de me prodiguer tout au long de mes recherches.

Due soient aussi remerciés ici tous ceux qui, à l’occasion de séminaires ou de simples conversations, ont pu, par des suggestions ou des remarques constructives, contribuer à améliorer le présent travail.

PROCESSUS DE GALION - WATSON SIMPLE

1.1. DEFINITIONS ET NOTATIONS

Soit {D } une suite de variables aléatoires indépendantes et équi- net\l

distribuées telles o que :

r^-] “ j] " P-' j £ avec p. ^ 0 V. e (N,et ^

J JJ j=Q

Une chaîne de MarKov { } , sur l'espace des états I = (N, est dite de Galton-Watson [C.M.G.W.1 si'^e^^seulement si, Vn e DM,

P. .

ij i] P[0^+--- = ,ie (N^, j £ (N , et

P = 1.

oo

Plus simplement, un tel processus est appelé processus de Galton-Watson [P.G.W.).

On ne nuit pas à la généralité en supposant toujours que P [z^ = J ] = J- Sous cette hypothèse, la définition peut être interprétée de la manière suivante:

un individu, appelé ancêtre, produit, à la fin de sa vie, un nombre aléatoire 0^

de descendants directs, constituant la première génération. Chacun de ces des­

cendants se comporte indépendamment des autres et, à la fin de sa vie, produit une descendance directe d'effectif distribué comme 0^. L'ensemble des descendants directs des individus de la première génération constitue la deuxième génération, et ainsi de suite, de sorte que si l'on note Z , n e (N, le nombre d'individus de

n

la génération , on a Z^ = 1 p.s., et, pour n* e (N^, la distribution condi­

tionnelle de Z , étant donné que Z . = i o, coïncide avec la distribution de

n n-1

la somme 0. + ... + 0. . 1 1

Comme les probabilités de transition P., d’une C.M.G.W. n'ont pas d’ex- ij

pression explicite simple en fonction des probabilités p, , l'outil de travail K

principal de l’étude des P.G.W. est la fonction génératrice de la distribution de probabilités de :

OO

f(s) = ^ p. s-^ . s e [ 0. 1 ] (1.1]

j=o

ün définit les fonctions itérées f (si de f(s), n e (IJ, par n

f (s] = s , f^(s] = f(s) . f .(s] = f r■f (s] 1 . n e (N (1.2]

O 1 n + 1 -n-' O

On a :

f (s] = f [fnfs]] , m, neDM.

m+n m

^0P|^0

Par convention, on notera la j itérée d'une fonction 4>(s]

quelconque, sans en répéter la définition, semblable à celle donnée en (1.2].

1.2. FONCTION GENERATRICE DE LA DISTRIBUTION DE PROBABILITES DE Z ET MOMENTS n--- DE Z .

--- n

Le premier résultat, fondamental dans l’étude des P.G.W., a été établi dès 1874 par WATSON [si] .

Théorème 1.2.1.

La fonction génératrice de la distribution de probabilités de Z^ est f (s], n e (N.

n

Démonstration.

Le résultat est trivial pour n = o, d’après (1.2] et l’hypothèse Z^ = 1 P. s.

Soit la fonction génératrice de la distribution de probabilités de Z^, n e 0\l. La fonction génératrice de la distribution conditionnelle de Z^, étant donné que = j, est, par définition, [f(s)]'^, n e OM , j e Hj. Dès lors,

OO

f, ,(s] = ^ P [Z = j 1 . [fCs)]-^' = f, [fts]] , n e (N .

(nJ . ‘-n-11 i- [n-1 ] o

J=o

Comme f, ,(s} = f (s] = s, il s'ensuit par induction que f, ,[s] = f Cs], n e 0\l. loj O f- -I P

Corollaire 1.2.1.

Les probabilités de transition en n pas de la C.M.G.W. sont les

= coefficients de s'^ dans ff (s)l^, i, j e (N, n e iN . ncflM

Le théorème 1.2.1 permet d'obtenir facilement les moments successifs de Z . Dans ce but. on introduit les notations

n

m E [Z^] = j = i J • Pj = '

= Var [Z ') = ^ j^. p. - m^ = f"(1 1 + m - m^ , j = 1 ^

où l'on supposera toujours, sauf indication contraire, que m < «>.

Corollaire 1.2.2.

E [Zj = ^{n e}

tandis que si a < °°. on a, pour n e N^,

Var (Z ) n

p„ ... n 2n f” M ] + m - m

2 n-1 , n a .m . Im 1]

m - 1 , si m 1 , f” CI )

n n .O , si m = 1.

Démonstration

De (1.2), on tire

E [z J

⁼

^f’

^,

^{M”} =}

^f

[fM)]. f’M')

= m.

f’ (1

] . n e TJ ,

n + l"* n + 1 n n

d’où l’on déduit par récurrence

f ’ (1 ] = m , n e (N.

n

En dérivant C1.2] une deuxième fois, il vient, pour s —► 1 , n e 0\l

f” ) = f" (1 ) . [ f’ M ) ]^ + f" [T) . f ’ [1 )

n + 1 n n

M .31

De même, partant de f ^Csl = f [f (sll , il vient V n e 0\l,

n+1 n

f”_.J1 ) = f" (1 ) . [ f ’ (1 ) ]^ + f ’ M'I . f" [1 1

n + 1 (1.41

(1.31 et (1.41 ==> f" (1 1 . {f f’ (1 1 j- f’M n = f”(ri.{[f’ (1 l]"^- f’ (1 1}

n ■ n n

d’où, si m / 1

f” (1 1 n

,_2 2. , 2n n.

(P - m + m 1 . (m - m . m - m2

n , n ^,

cr.m.(m -11 n ,n ..

------ + m . (m - 11 , m - m

ce qui conduit au résultat annoncé pour Var (Z^^l dans le cas m ^ tandis que si m = 1, (1.31 ou (1.41 fournissent immédiatement

f" J1 1 = f" (1 1 + a'" , n e (N .

n+1 n

d’où le résultat annoncé pour Var dans le cas m = 1, par récurrence.

Les moments d'ordres supérieurs de peuvent être obtenus en poussant plus loin les méthodes du corollaire 1.2.2.

1.3. INSTABILITE DES P.G.W. ET EXTINCTION - - - - ---- - --- t

Il est clair, d’après la définition, que l’état o de la C.M.G.W. il ) ne(N , , O est absorbant, donc récurrent positif. Le caractère instable du processus a ete mis en évidence par STEFFENSEN

[so] .

Théorème 1.3.1.

Si p^ X 1, tous les états i X o sont transitoires.

Démonstration.

On a

p[u

{Z _m+n

=j}|z

_{-J •' I m}

= jl

_-JJ

n € fl\l

P,, < 1 . si p^ = o ,

tandis que

P[ U {Z =j}Z=j<1-P. =1-p^<1,sip >0. c.q.f.d,

^ m+n ' m ' — jo o o

n £ ON ^

o

Corollaire 1.3.1.

Si p. X 1, lim P \l = jl = o, pour tous les états j X o.

1 n ^ 00 n

Démonstration.

On a P [Z^ = j]

1.3.1.

qui tend vers o pour n “O, en vertu du théorème

Lorsque le processus {Z } atteint l'état absorbant o, on dit que le n ^ 0\l

P.G.W. est éteint. On définit la probabilité d'extinction du processus

q = P [ U {Z = o} ] . n e IN

ü

Comme Pfz .=o|Z =q1=P =1, on a

L n + 1 * n -*00

q = P [ {Z^ = o }U { Z^ = 0 }U...] = lim P[ {Z^ = o } U. . . U { Z^ = o } ] n ^ 00

= lim P fz = o 1 = lim f (o1 .

n -> n

n -> oo P -> oo

Si p^ = 1, on a évidemment q = o, puisque Z^ = 1 p.s., V n e 0\l .

On supposera dorénavant que p^ ^ 1, c'est-à-dire que f(s] est soit linéaire avec f(o] > o, soit strictement convexe sur [o, 11.

La valeur de la probabilité d'extinction q est donnée par le théorème sui­

vant, dû en partie à WATSON [31 ], qui avait conclu erronément en 1874 que q = 1 dans tous les cas, et à STEFFENSEIM [30] qui rectifia cette erreur en reprenant le problème en 1930.

Théorème 1.3.2.

Si m 1, q = 1 .

Si m > 1, q est la solution unique dans jo, l) de l'équation s = fCsI.

Démonstration.

Il est clair que la suite {f (o)} est non décroissante.

n e fl\l

Donc O < f.Co] < f„(o) < .... < q = lim f Co) < 1.

-1—2 - — n —

n -> “>

Comme f .Co] = f Tf (o]l , on a q = fCq) et o < q < 1.

n + 1 '-n-‘ — —

Sim<_1, fCo] >oetf'Cs)<_f'(1 ] =m^1. Vse [o,l]. Le théorème de la moyenne implique alors que fCs] > s, V s e[o, 1], de sorte que q = 1.

Si m > 1, le théorème de la moyenne implique que fCs] < s pour s suffisam-' ment proche de 1. La stricte convexité de fCs] assure l'unicité de la solution de l'équation fCs] = s dans [o,1l . Enfin, si q = 1, on aurait que fpiCo] approcherait 1 pour n -> «> et on en déduirait que f .to] = f ff Co]l < f [o], ce qui est

absurde, c.q.-f.d.

Complément au théorème 1.3.2.

q = lim f Cs] . \f s e [o, 1] . [1.5]

n -+ oo

Démonstration.

Pour S€ [o,q] , la thèse provient du fait que fCo] fCs] ^ q, par itéra­

tion .

Pour s eCq.1] , avec nécessairement m > 1, on a

q < fCs] < s ,

d'où, par itération,

s>fCs]>f_Cs]>...>fCs]>...>q.

2 n

La suite {f (s}} est donc décroissante et bornée; sa limite existe et n n e(N

est solution de ffsî = s; il s'agit donc de q. c.q.f.d.

La convergence de vers q sera étudiée à la section 1.6 pour les cas m 1 (cas non critiques), tandis que les résultats analogues concernant le cas m = 1 (cas critique] seront mentionnés à la section 1.0.

Le corollaire suivant est dû à FELLER [b].

Corollaire 1.3.2.

La suite {Z } converge, lorsque n -> oo, vers 0 ou œ avec les probabili- n

tés respectives q et 1 - q.

Démonstration.

Puisque tous les états i / 0 sont transitoires, on a

P = j infiniment souvent j = 0.

Donc, dans la suite {Z } , il est stochastiquement certain qu’aucun n GffM

des états j / 0 n'apparaît infiniment souvent. Ceci signifie qu'avec une probabi­

lité 1 la suite tend soit vers 0, soit vers ”, quand n Or. le théorème 1.3.2 indique que la probabilité pour Z^ de tendre vers 0 est q. c.q.f.d.

On définit le temps d'extinction N du P.G.W {Z } comme le plus petit n eOM

indice n tel que Z^ = 0, c'est-à-dire qu’il s’agit du temps d'absorption par l'état 0.

La distribution de la variable aléatoire N est donnée par :

=

0

,

P [ N = 0 ]

p[n = n] = P[Z^_^^ 0 et Z^= o] = p[z^= o] - P[z^_^= O et Z^= o] = p[z^= o] - p[z^_^= O

fCo]-f .Co), neON.

n n-1 Q

Dans le cas m > 1 (cas sur-critique], on a, d'après le corollaire 1.3.2,

P [n < “] = q < 1,

d’où E [ N ]= “.

Par contre, si m < .1 (cas sous-critique], on montrera plus loin que E [n] < “ (voir corollaire 1.7.4],

Enfin, si m = 1, on peut établir le théorème suivant, dû en partie à BRENY [2] , ainsi que, sous la forme présentée ici, à REUTER et SENETA [2S] .

Théorème 1.3.3.

Si m ment.

1, E [n] et

/

0

1 - X f(x] - X

dx sont finies ou infinies simultané-

□émonstration.

Soit g(s] = --- = --- , s e [0,1] . f(s] - s 1 - f(s]

^ ' 1 - s

Comme f’(1 ] = m = 1, -—;;;—est la fonction génératrice d'une distribu-

1 - s ^

tion propre de probabilités. Donc g(s] est positive, continue et monotone crois- santé sur [0,1] avec g(s] ->■ + œ si s -> 1 . Donc / g(x].dx existe, tandis

1 0 que / g(x].dx peut converger ou diverger.

0

Puisque g(s] est monotone croissante et quê {f (o]} est une suite n e(N

croissante vers 1, on a

I 00

= l + gCx1.dx< I f^Co)] .g Col ]

n=o n=o

oo

n = 1

Maisis, f Jo)- f (o] = [f [o]- f Jo)].f’(0 ]. V n£(N . où f ,(ol < 0 < f (o),

n+1 n n n-1 n o n-1 n n

en vertu du théorème de la moyenne, de sorte que, pour n >_ n^,

f ,Co3- f Co] > TT ff Co}- f .(o]l , puisque 0 1 lorsque n •> oo.

n+1 n — 2 L n p-1 J ^ n

Il en résulte que si converge, il en est de même de ^ , tandis que le contraire est évident. Donc et / g(x).dx convergent ou divergent simul­1 ^ tanément. La démonstration est ainsi achevée, puisque

oo 1 - f [o1

Il = I

^{Col- f Co)}

n=o n+1 n n=o

I [1 - f (o)] = E [n].

car, en effet.

n-1 i = -1 ^ ^ n -+ oo ^ 1 = 0

n-1

lim [n - I f.[o]] = I [l - f.[ol]

n ^ oo ^{1 = 0 1 = 0} N

Soit Z = I : il s’agit de la variable aléatoire représentant la popu­

lation totale, c'^est-à-dire le nombre total d'individus issus de l’ancêtre, y com­

pris celui-ci, jusqu’à extinction du processus.

Soient :

P[z = i] = z. ,ieO\l

1 O

00

ç[s]= 'l Z. s^,se[o,l].

i = 1 ^

Le théorème suivant, dû à HAWKINS et ULAN [lo], établit les propriétés de cette fonction génératrice.

Théorème 1.3.4.

Si p^ > D, ç(s) est la solution unique de l'équation fonctionnelle

ç(s] = s.f [ç(s}]

telle que 0 < ç(s] £ 1 pour s e CD,l].

De plus

P [z < oo] = çM) 1 si m £ 1 q si m > 1.

Démonstration.

Dn a Z. = P et 1 O

^i + 1

j = 1 '^j

I

i,...i,=i

i e (N O

d’où l’on tire

ç C s ] = s. P O

00

1 P [çCsl] = s. f [çCsl] . k = 1

+ S .

L’unicité découle du fait, qu’il est aisé de montrer, que f (x]

est stric­

tement convexe sur C0,l] , avec lim f(x]

et f[1]

1

,

Dès lors, l’équation —^ = — possède,V s e Co,lJ , une solution unique dans [0,l] , soit ç(s], et ç(1) est la plus petite racine positive de f[x) = x, c’est-à-dire 1 ou q suivant que m < 1 ou m > 1. c.q.f.d.

1.4. THEOREMES PRELIMINAIRES A L’ETUDE DU COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D’UN P.G.W.

Dans cette section sont rassemblés les théorèmes de base qui seront utili­

sés dans les sections ultérieures.

Il s’agit tout d’abord de deux théorèmes-limites sur les fonctions itérées (le théorème A dû à KUCZMA [ib] et le théorème B dû à SENETA [2B] ], ensuite d’un théorème C, présenté dans leur livre par ATHREYA et NEY [l], aboutissant, dans ses corollaires, à établir l’équivalence de conditions qui, de prime abord, semblent différentes, et qui apparaîtront à plusieurs reprises, sous l’une ou l’autre forme, dans la suite. L’important corollaire C.3 a été mis en évidence en 1967 par

HEATHCOTE, SENETA et VERE-JDNES [il].

Théorème A.

Soit une fonction f(x) satisfaisant aux hypothèses suivantes : a) f(x] continue et strictement monotone croissante pour x g [o,d] , d < °°;

b] f(o) = 0;

c} O < f(x) < x , pour x e (o,d] ;

f(x] r

dj —-— monotone pour x e (o,dJ ;

= 1 n • f ( xi ' •

e1 lim --- = y , O < y < 1.

+ X X ->■ O

Alors, si d’ est fixé quelconque dans (o,d] et si c est une constante arbitraire, c. . lim ^n

f (d’] = î>(x] existe, avec o < $Cx] < «> si c / o, sur [o,dlj n ->■ oo n

de plus, la fonction $(x] ainsi définie satisfait à l’équation fonctionnelle de Schroeder

<I>[f(x)] = y. $(xl

et en est la solution unique, à la constante multiplicative c près, telle que 0 [ X}

--- soit monotone.

X

Théorème B.

Soit une fonction f(x] satisfaisant aux mêmes hypothèses que celles du théorème A ci-dessus. Alors,

lim nCx]

M[x) pour X e [o.d] ,

où MCx) est soit strictement positive et finie, soit = 0, soit = «>, pour x eCo,d] . La condition nécessaire et suffisante pour que 0 < MCx) < «> pour x e Co,d] est que / ^{fCx) - Px} dx < «>, pour q quelconque e (o,d] .

Lorsque cette condition n'est pas satisfaite, ri(x] e 0 ai f(x]

santé pour x o^, tandis que M(x] H œ si Üüi est décroissante pour x

est crois- +

Théorème C.

Soit X une variable aléatoire non négative, avec o < m = E [X] < CO .

Alors, V a > o.

a

/

U

- e . du < “O <=> E |]x. I P.n X |] < .

Démonstration.

uX

E [e = E [e m >, uX 1 - 1 + — I + 1 . m

- U - e-U

Comme pour u^o, onao_<e'^-1 + u 1,il suffit de montrer que a . - uX

/ — E [e - 1 + —] . du < » 4=> E [x|£n x|] < “4

ou ^

Soit F(x) = P

[x

< m x] - uX

Alors, / —^ .E[e '^-1+— l.du / [ / U ^ (e 1 + ux).dF(x]] du O O

/ [ / y-" ,_-uX— U X "l

[e - 1 + ux) du J. dFCx), puisque l’intégrande est > 0.

Dr, en posant v = ux, il vient

a ax

/ U ^ (e - 1 + ux] du = X./ v^Ce'^-l+v). dv,

O O

d’où il est clair que a

lim [I U (e - 1 + ux] . du] . Cx. £n x] = 1 , X ->■ 00 O

puisque

ax

lim

X -> oo

/ V ^ [e 1 + v] dv

£n X

1 r ~ax . V a.7—le - 1 + ax;

lax]4 „~ax . ^

,. , . e - 1 + ax

lim --- --- = lim

X X ^ ax

uX

Il en résulte que ( . E fe 1 + —1 du < «> en même temps que

l ii2 m-J

/ X. I£nx|.dFCx] < ».

O

0 .q .f.d.

Corollaire C.1.

OO

Soit f(s1 = ^ P. s-^ une fonction génératrice de probabilités, j = o

0 < m = f Cl } < “>. Alors

1 _{I — —} U _OO

/ u'^ [f Ce ”^5 - e . du < oo ,^=^> ^ P-.j- < ” .

O j=o ^

Démonstration.

Il suffit d'appliquer le théorème C à une variable aléatoire X >

entières de fonction génératrice de probabilités f(s].

Corollaire C.2.

Soit gCu) "" j ^ ~ t"! “ fM “ u)] , O < U £ 1

in U = 0

Sous les mêmes hypothèses qu'au corollaire C.1, gCu] est ^ o et santé; de plus, \/r,c.eC0,11 ,

I g Ccr'^] <

n=o

y p.. j. ünj j=o

< OO

Démonstration.

Comme lim gCu] = U -> o"'"

La monotonicité de

OO

y g Ccr”^) < «> 4==>

n = o

o et que f(u) est convexe, gCu] et g'Cu) sont

gCu] permet d'affirmer que

O

# OO t ^{f ^4}

J gCcr 1 dt < OO <t=> J V .gCvl dv < “ O

avec

O à valeurs

non décrois-

> O, Vu > O.

O

la dernière équivalence s'obtenant en posant v = or JJ

J. /I fTt

En posant encore v = 1 - e , on a -1 . g ( V} = [f (1 - V ] - 1 + mv]

r„, m, -U ,, m U, -U , t -2 , u ,

= [fCe ]-e + m(1-e - —]+ e -1 ⁺ uJu (--- ÿJ 1 - e m

tandis que les bornes d'intégration o et c deviennent respectivement o et c'.

La dernière parenthèse n'influence pas la nature de l'intégrale de o à c', puis-

“X “ "1

que sur tout intervalle fini 1 _< x (1 - e ) < D'autre part, V x ^ o.

^ *1 m LJ 2

de sorte que / v . g(v) . dv < <» <5=^ / [f(e ] - e ] u .du < (c’ > o) .

o o

Le corollaire C.1 achève donc la démonstration du corollaire C.2.

Corollaire C.3.

Sous les mêmes hypothèses qu'au corollaire Ç.1.

1 00

r f(1-v)-1+mv ^^ V ...

J ------ dv < °° <=> I P.-J* ^ “ •

o v"^ . ^

J=o Démonstration.

La démonstration du corollaire C.3 est incluse dans celle du corollaire C.2, puisque l'on y a montré que V . g( v) .dv f(1 - v] - 1 + mv

dv [ o < c 1]

1.5. DISTRIBUTION-LIMITE CGNDITIONNELLE DANS LES CAS NON CRITIQUES

L instabilité du P.G.W. {Z } . mise en evidence a la section 1.3, a n _{n elM}

conduit à chercher comment, par un conditionnement adéquat, on peut obtenir mal­

gré tout une distribution-limite propre pour Z^, Dans les cas non critiques Cm ^ 1), la condition qui convient est n < N < “, qui se réduit à n < N, c'est-

i èmB

à-dire à la non-extinction à la n génération, lorsque m < 1.

C’est d'abord dans ce cas sous-critique, où la condition est assez natu­

relle, qu'a été établi pour la première fois, par YAGLOM [sz] en 1947, le théorème suivant, sous la condition restrictive a < “. Toujours pour m < 1, cette condi­2 tion restrictive a été successivement adoucie par NAGAEV [zi] en 1961 en la con­

dition suivante :

1-mx-f(1-x]

3 a > O tel que lim | --- | .

+ X

X ^ O

puis rendue totalement superflue en 1967, quasi simultanément par JOFFE [l3] , HEATHCOTE , SENETA et VERE-JONES [il] , ainsi que par NAGAEV et BADALBAEV [zz] . Immédiatement après, PAPANGELOU [Z3] , puis SENETA [Z6] notèrent que le théorème restait valable pour m > 1, moyennant l'adaptation de la condition de non-extinc­

tion en n < N < «>.

On notera désormais y “ f’tQ ), c’est-à-dire y = m, si m < 1, mais y=f’(q] <1. sim>1.

Théorème 1.5.1.

Si m 1 et si q O,

lim Pfz = j|n<N<oo]=a. ,je(N,

L n ' J J O

n -V oo

CO 00 ^ ^

où I a. = 1 , et si A(s) = J a. s“^ , s e[o.l],

j = 1 j = 1

cette fonction génératrice de probabilités satisfait à l'équation fonctionnelle

1 - A [iM], ï. [1 - A ci)] . y c [o.q] , M .6)

et en est la solution unique telle que A(o1 = G.

Remarques.

1. Si q = 0, {a^}

j cIN

n’est pas définie.

O

2. Si m = 1, le théorème reste valide, mais la condition de non-extinction n'est

La démonstration du théorème 1.5.1, basée sur le théorème A dans la ver­

sion de SENETA [2B] , ne sera pas reproduite ici. Elle peut d’ailleurs être retrou­

vée marginalement dans la démonstration du théorème 2.5.1, dont l’énoncé et la démonstration généralisent ceux du théorème 1.5.1.

Corollaire 1.5.1.

Si m ^ 1. et si q 0,

plus satisfaisante, car a. = 0, Vi e 0\l .

J O

1 - Y M .71

Démonstration.

En faisant s = G dans [1.61, il vient

Y-

Or,

A [ ] = lim I P

[z

= j

I

n < N < oo] .

^ n . 00 j = 1 " J L q ^

lim n -> 00

j = 1 ^^

□ Cn] K

^1k • k = 1

f [f(ol] - f (olr> •- J n lim

n -)■ oo f [q] - f Co)

n n

lim

f .(o] - f (o) n + 1 n

q - f Co]

n

P [n = n + l]

lim --- . c.q.f.d.

n->«>p[n <N <«>]

1.6. ETUDE DE LA CDNVERGENCE DE f (s) VERS q DANS LES CAS NDN CRITIQUES ______ n____________2_________________________________ __

Dn sait - voir (1.5). complément au théorème 1.3.2 - que, V s e[o,1} ,

f^(s) ->■ q, pour n ->■ 00.

Le théorème 1.6.1, dû à KARLIN et MAC GREGDR [l4j , établit le caractère géométrique, de taux Y* de cette convergence, dans presque tous les cas non cri­

tiques .

L’exception est constituée par le cas où m < 1. avec E [z^.ün Z^] = °o . La situation correspondant à ce dernier cas sera décrite au théorème 1.6.2, qui constitue le premier apport entièrement personnel de ce travail.

La démonstration directe du théorème 1.6.1 est présentée ici selon la démarche choisie dans leur livre par ATHREYA et NEY [l] et est divisée en quatre parties (voir aussi la remarque qui suit cette démonstration).

Théorème 1.6.1.

Si m / 1

q - f [s]

lim --- --- = 0(s],se[o,1), (1.B]

n '■

n -»■ 00 Y

où Q(s] E O m<1 et E[z^.JlnZ^]=“,

et, dans les autre cas, 0(s) est la solution unique de l’équation fonctionnelle

Q [f(s3] = y. QCs) (1.9]

qui satisfasse 0(q] = o et 0'(q ] = - 1.

Démonstration.

f’(f ,(s]]

--- ^--- ] } , s e[0.1]

Y Soit Q, ,(s]

(n)

q - f (s]

n s e

[

0,1

] .

Alors n’ .(s] =- ' in)

f’ (s]

n n-1 f'[f.(s]l n-1 ,n --- J--- = - .n {1- R -

J=0 Y J=o ^

Soit 0'(s] = lim Q’|.^^(s] , s e[0,1l , si cette limite existe.

n 00

^r£m^è_re_p_arjti£ : existence de Q'(s), avec Q'(s] ^ o et finie, si m > 1 .

Pour m > 1, soit s fixé dans [o,1] et soit c. = |f'(q] - f’[f.(s]] [. Il

CO J J

suffit de montrer que 'l c. < “ pour que Q'(s] existe et soit i o, puisque alors le produit infini sera~^ aBsolument convergent. Or, soit e > o tel que o<_q<q + e<1 et y’ = f’(q + e] < 1 .

Si est tel que fj(s] < q + e , V,1 2. Jg* théorème des accroissements finis.

c. £ f" (q + e].| q - f. . J+J f. . (s] 1 = |f. . (q]

J+J, . 1 f ; . . (q] - f . Cs] ,

c’est-à-dire, en itérant j fois, c. . <_ f” (q + e) . (y’l'^.|q~f. Cs][ < e. f”(q+EK[y

Comme o < y' <1, cette première étape de la démonstration est termiinée.

Deuxième partie : existence de Q'Csl, avec Q’(s] ^ o et finie, si m < 1 et E fz, . «,n Z J < «> .

'-1 V

Pour m<1, onaq=1ety=m. Ici, m - f [f^Csl] ^ o, donc la conver­

gence du produit infini est assurée, mais il faut voir s'il ne converge pas vers 0.

CO

ün aura C- °° <] O’Cs) < o <=> {m - f [f^(s]]} converge.

CO

Or, m-f [f.(sl] = I [f.(s]] 1

J k = 1 ^

“ “ k-1 00 oo

Donc D’fsl < o ^ k p, L ^1 -[f.fs)] I k p I ^1 -M -(1-f.fs)U ^

k=1 J =0 k = 1 j = o ^

Mais, pour s efo,!! , _U (1 - p H1 - s) < 1 - f(s] < m (1 - s] ,_{P, — ---}

d’où, en itérant, M - p (1 - s) < 1 - f.[s) < m'^.

o - J -

0° . k-1 oo k-1 00 . k-1

D’où I {1 - [l-M-p^l-^ M-s)] } il { 1 -[l-(1-f.fs])] } 1 [1 - M-m'^] ] ■

j=o j=o j=o

OO .K

Sachant qu’une série du type ^ [l - [ 1 - cr'^ ] ] , avec c e(0,l]et r e[o,1') converge V k fini, mais est de l’ordr^ âe £n k pour k puisque, en effet, en posant 1 - cr^ = u,

OO

/ [1 - [1-cr^l^Jdt = -^/t. K

SinrJ 1-u Anr ^

M-c

1 1, 1 r,. , (1-c)^ [1-c)'^l

2 k«,nrL 2 k-*

la première inégalité montre que

k-1

D’Cs] < o -=> k P ^ {1 - [l - Cl-p d-sl] } converge,

k=1 j=o °

c’est-à-dire =» ^ kP|^.£n K converge, en faisant c = M - s) et r = 1 - p dans

-l 'i £,nQ

ce qui précède( 1 ’intégrale étant > - -z--- (1 +...+ —3 “ 2,nk pour un cer-

— £nr k Jlnr 1

tain > o), tandis que, en faisant c = 1 et r = m dans ce qui précède, il existe

< “ tel que

/ [l - [1 - m^)^J dt < C„ ilnk, d'oùou

^ kp £nk converge —„ ,

k=1 k=1

I

^{*^P|<}

1

["1 “ M - m'^]^ "'] converge => Q’(s] < o.

j = o

Donc, pour m < 1, O’Cs) existe et est i o E î,n Z.l <

I-*

l^r£i^i£m£ £a£t^e_: passage de Q’(s) à Q(s].

CO f'[f.(s]]

O’Cs) = lim O'f ..Cs) = - îi ---

^ C n ) . Y

n j=o

, s e [□.1] .

d ’ où

“ f’[f.Cs]J oo f’[f.Co)]

- î-n [- O’Cs)] = - I £n --- ^---<- I £n ---i--- = - £p [- O’Co)] < », s e[o,1)

J=o J=o

Par le théorème de convergence dominée, on en tire que, V s^ e[o,1)

» f’[f.Cs)J

lim { - £n [- O’Cs)]} = - )] £n lim --- ^--- = - £n [- O’Cs )] ,

s ^ s j=o s ->• s °

o o

donc O’Cs) est continue sur [0,D.

En particulier.

lim s a- q

3=0

Zn

f’[f.Cs)]

Y

} = o ,

donc Q'(q ) = - 1.

Soit alors

Q[s] = / Q’ (tî .dt . s e[ü,1) . q

□n a bien, pour s e[o,l).

lim Q|.^^(s] = lim

n -)• oo n ”

s s

lim / Q'. .[t].dt = / O’CtKdt = Q(sl l n J

n ->■ “ q

Quatrième partie : équation fonctionnelle et unicité de la solution.

Le fait que Q(s] satisfait à l’équation M.9} provient du passage à la limite sur n dans la définition de Q^^^CsK où l’on remplace s par f(s) :

0(n) L'=>]

q - f . (s]

n+1 n [fCsî] = Y- Qfs] .

Enfin, l’unicité de la solution de cette équation, pour autant qu’elle satisfasse aux conditions Q(q] = o et Q’Cq ) = - 1, provient du fait que, si

et Q*'^^[s) sont deux telles solutions.

,^2} -1lo(1) .(2) - n I „ i' 1 ]

Q^^^[f (s)] - 0'^^[f fs)]C2}

= lO,,3^311.

q - f Csl n ,(2]

+ 1-1

(1]

|0,^^Cs]|.{|l

(slj Q^'^[f (s)]

+ 1 f Cs1

n q - f [s]

n et, comme V s e[]ü,1], f^fsl -> q, pour n

.(i)

® r (il’ , • •

lim --- = lim _ ^ (si] = 1, i = 1, 2, n->oo q-f(s} s-+q

n ^

on voit que, V s e[0,1).

0 (sJ - 0 IsJ c.q.f.d.

Remarque .

Gn peut également démontrer le théorème 1.B.1, du moins pour s e[o,q], à l'aide du théorème B, appliqué à la fonction

•FCs) = q - f(q - s]

[

¹

.

¹⁰

].

comme le fait SENETA [2b] pour démontrer le cas particulier du théorème où m < 1 et s = O.

S'il a été préféré de présenter ici plutôt la démonstration directe qui précède, c'est, d'une part, parce qu'elle est valable pour s e[o,lJ dans tous les cas, et, d'autre part, parce qu'il sera fait appel au théorème B pour démontrer le théorème 2.6.1, qui contient le théorème 1.6.1. Il est donc Inutile de dévelop­

per ici cette variante de démonstration, puisqu'elle peut être retrouvée margina­

lement dans la démonstration du théorème 2.6.1.

Cependant, il est intéressant de noter que le fait qu'il faille introduire la condition E[z^.2-n < °°, si m < 1, alors que cette condition est superflue lorsque m > 1, s'explique au départ du théorème B de la manière suivante.

(■h I f ( X ) - Ux I

La condition J --- --- ^-.dx < “ du théorème B devient, lorsqu'on l'ap- o

plique à la f onction *F [ s ),

O

YS - f(q - s]

-. ds < °° , n e[o,q]

Or, en appliquant deux fois la règle de l'Hospital, on voit que

|q - Ys - f[q - sl| ^ fCq - s] - q +Ys ^ f"[q ]

+ s^ + s^ ■

s O s ^ O

lim

2

et on peut donc affirmer, si m > 1. donc q < 1, que cette limite est finie et que f ” C1 ~ ]

l’intégrale converge toujours, tandis que si m < 1, la limite vaut —--- sur laquelle aucune hypothèse n’a été faite.

té

Enfin, le grale pour m <

.n f[1 - s) - J

corollaire C.3 montre que 1, à savoir alors

"1 ms ^f 1

--- .ds < “>, n elo,qJ,

la condition de convergence de l’in­

est équivalente à E[z^.£n Z^] < O®.

Pour compléter l’étude de la convergence de fj_|fs] vers q, s e [o, 1 ) , il reste à envisager le cas où m < 1 et E[z^.£n Z^]= «>, dans lequel cas ATHREYA et NEY signalaient dans leur livre que le problème du taux de convergence de f|_|ts) vers i, s e[o,1], restait encore ouvert [voir [l], problème 7, p. 631. Le présent travail apporte la réponse à cette question, par le théorème 1.6.2, qui, bien que n’apportant réellement quelque chose de plus que le théorème 1.6.1 que dans le cas m < 1 et E . £n Z^] = <», est énoncé pour tous les cas m 1 par souci de généralité. Il est intéressant de constater l’analogie qui existe entre ce théo­

rème 1.6.2 et le théorème 1.9.2 présenté plus loin.

La démonstration du théorème 1.6.2 est essentiellement basée sur le résul­

tat suivant, dû à SENETA [2Z] , où sont utilisées les fonctions ^(sl, introduite en (1.101, et

$[sl = 1 - A (1 - -Il , se [o,q] [1,11],

où A[s] est la fonction génératrice définie au théorème 1.5.1, ainsi que leurs fonctions inverses "F (si et 0 [si, définies sur [o,l].

Lemme 1.6.1.

Si m 7^ 1, et si q G, 0 [s] est une fonction à variation régulière

d’exposant 1, au voisinage de 0, c’est-à-dire que l’on peut poser

$ "'[s] = s. L(s], s e[o,l],

où L(s) est une fonction à variation lente au voisinage de 0.

Démonstration.

Avec les notations introduites en [1.10] et [1.11], l’équation fonction­

nelle [1.6] se simplifie en

^fpCs]] =y'I’(s] , se[o,q]

[

1

.

12

].

Si l’on Inverse les deux membres de cette équation, il vient

[y "'si = ‘F ' [o '[s]] . se[o.l] ,.-1 r.,-1

M .13]

avec Y >1, puisque y < 1.

Il est aisé de voir que. puisque A[s] est une fonction génératrice, '(s]

-"1

est croissante et convexe, c’est-à-dire que $ (s] et croissantes.

$ "'[s]

sont toutes deux

-1 ⁺

Des lors, comme 0 [s] décroît vers D pour s ^ o . on a

«F [s]]

lim lim T '[s]

”1 + S

S^O $ [s] s->-o

lim [s]] = —

+ ' Il

1 s -> O lim T’[s] +

S^O

Y ^ [1.14]

De [1.13] et [1.14], on tire Û'Vs]]

-1 -1

$ [y s] <F lim ---—--- = lim — s->-o 0 [si s->-o $ (s]

-1

On a donc, V X c [l. y ,

$ ( As$ (y s]

1 < Xs Y s^-1

$ (s] $ Csü

-1 -1

$ [y s] . +

--- —!---. Y ^ i> pour s ,

$'\s)

On en conclut que. V A e [l*Y »

, . $ ^(As] , lim ---:--- = A.

s O^{+ $ [s]}

Cette même propriété est dès lors vraie V A > o, car si A > y .en choi- -, -1

sissant n tel que A < y . on a

, . ^ CAs]

lim --- :--- = lim + ^-1 - - +

$ \as) $ ' (A .s] $ ' (A .5) n-1

.-1,, n

1/n -1 s ^O $ (s] s -> ^O n-1

1/n

-1 n-2

lim

0 [ A . ]

$ [A'^'.s] <I> (AO.s]

1/n

$ "'fs]

. lim

$'^A .z^]

+ <î>\z } + <î>''fz ]

O 1 ^{z^} ^ ^O 2

1/n 1/n,

. . A = ( A A.

tandis que si o < A < 1 .

o"'(As] $"*(z}

lim ---- --- = lim 1 1

+ -1 ^ A /»

S ->■ o $ (s) Z O 0 (^1 lim $ [z.y] Y

A . AA

2^0 -q---

$ (z)

= A.

Gn en conclut que $ (s] = s.L(s). où L(s] est une fonction a variation lente au voisinage de 0. c.q.f.d.

Théorème 1.6.2.

Si m / 1. et si q / 0. il existe, pour toute valeur s^ fixée e[o.q]. une

suite numérique {c (s ]}

no q - f (si lim --- T-—^— = Q n a>

c t s 1 n O

Démonstration.

. décroissante vers 0.

n cO\l

(s, s 1 ^ G et finie, s e O ’

telle que

[o.q] (1.15).

Soit c (s 1 = q - f (s 1 . s fixé e [o,ql .

n O n O O ^

En itérant l'équation fonctionnelle (1.12], il vient, V n e (N,

$[*F (si] = $(s] . se [o,q] ,

d’où f (si = $ [y^-'Î’(s]]

n ^i(s] . L [y'^. 1>(s]] , (1.161 en vertu du lemme 1.6.1.

Dès lors, pour s e[o,q] et s^^ fixé e[o,q],

$ [y^. j>(q - si]

lim

q - f (si n , c ( s 1 n -V 00 n O

lim

“F (q - si n

. *F (q - s n 00 P,

lim

o' n 0 "'[Y'^.$(q - si]

lim Y'^.*î*(q - si . l[Y'^.’l’(q ~ si]

Y'^.$(q - s 1 . L [y^ . $(q - s l]

$(q - si

■Mq -si’

0

en vertu de la propriété de variation lente de L(sl au voisinage de 0.

Dn a donc bien

q - f ( s 1 1

lim ---,---T--- = D (s,s 1 = —

c (s 1 O

n ^ oo n O 1

A(-lq S Q

A(^l

(1.171

qui est bien, pour s^ fixé e[o,q' et s e[o,q], ^ o et finie, puisque A(sl est fonction génératrice de probabilités, c.q.f.d.

une

Remarques.

1. Les fonctions QCs) et QCs.s^] des théorèmes 1.6.1 et 1.6.2 sont liées,lorsqu’on n’est pas dans le cas où m < 1 et E[z^.£.n Z^] = par la relation

nr 1 Ots g[s,s ) =

puisque

q - f (si q -

0(s) = lim --- ^--- = 0(s,s 1. lim --- ^--- = Qfs.s^l .0(s^1 ,

n->oo Y n->“ Y

fixé e[o,q"', s e[o,q] ,

tandis que, si m < 1 et E[z^.£n Z^] = «>, 0(s,s^1 ^ 0 et finie, alors que Q(s) = 0.

2. Dans ce dernier cas. le seul où le théorème 1.6.2 apporte quelque chose de plus que le théorème 1.6.1, on peut écrire (1.151 sous la forme

1 - f (si 1 - f (si 1 - A(s1

lim ------ = lim ------ = 0(s.s 1 = --- , ^ 0 et finie, n->oo c(s1 n-vo°'l“ffs1 ° 1-A(s1

" no no O

5 e[o.l], s^ fixé e[o,1î.

Corollaire 1.6.1.

Si m 1, et si q / O, V s^ €[o,q) , , . P [n < N < ”] 1

lim —--- = ---g— • n CO q - fpCs^l ,, _ ^^_o^

q

Démonstration.

Il suffit de faire s = o dans (1.171 et de remarquer que q-f(ol=Prn<N<«>]

Corollaire 1.6.2.

lim ^p[N = n H- l] 1 - Y s 1 - A[—]

q

Démonstration.

C'est une conséquence directe des corollaires 1.5.1 et 1.6.1.

1.7. LIEN ENTRE LES RESULTATS DES DEUX SECTIONS PRECEDENTES.

Le deuxième apport personnel de ce travail consiste à avoir mis en évidence, par le théorème 1.7.1, le lien étroit qui existe, non seulement entre les fonctions Ofs.s^) et ACs). qui apparaît déjà en M.17], mais aussi entre les fonctions üfs]

et A(s], dans tous les cas non critiques. Ce résultat généralise en fait celui que l’on peut trouver dans le livre d’ATHREYA et NEY[[l] , lemme 1, p. 44}. où est démontré de manière directe la relation que l’on obtient en faisant s = o dans le théorème 1.7.1.

C’est encore sur le lemme 1.6.1 qu’est basée la démonstration du théorème.

Théorème 1.7.1.

Si m 1. et si q / o, on a. pour s e[o,q].

0(s}

A’ (1 }

q

_M.16}.

Démonstration.

D’après Te lemme 1.6.1, on sait que, pour s e[o.l].

0 ^(s) s . L [ s ].

où L(s) est une fonction à variation lente au voisinage de 0.

De plus.

^-1, . 1 - - -) lim L(s) = lim ---— = lim --- ^ s ->■ o s -> O s ^ O

lim s ->■ O

[- a'^m - -i]

+ a J

- 1

- 1 ^[1.19]

11. ^ [a(1 - 1)] ' s O

- . lim A’ (1 s O

q

A’ (1 ]

Si l’on repart, comme dans la démonstration du théorème 1.6.2, de [1.1B]

on a donc. W n e ÛM et s e[o,q].

*F [q - s]

—------- = $(q-s],L[Y^.$[q-s]],

y'^

ou

q - f [s ]

---^--- = [ ^ - • L - s] ]

d’où, en passant à la limite pour n ^ œ, et en vertu de [1.19] :

Q[s] = lim n ->■ <»

q - f Cs]

n

Y A’M']

3—. [1 - A(J] ] . c. q . f. d.

Grâce à ce théorème, on peut retrouver, en tant que corollaires, plusieurs propriétés connues. C’est ainsi que le résultat du corollaire 1.7.1 date de 1966

[SENETA et VERE-JONES [29]].

Corollalre 1.7.1.

Si m 1, et si q / 0,

A’d'] = ” «=î. m < 1 et E[z^.«.n Z^] =

Démonstration.

D’après le théorème 1.6.1, Qts) = 0 ^—> m < 1 et E[z^.î-n Z^] = quand m ^ ^.

Or. si m 7^ 1 et q O, le théorème 1.7.1 affirme que, pour s e[o,q],

gts] = --- 3_ . [i - A [-)] . A’ fl ) *='

C’est donc que A’fl ) = » dans les conditions indiquées, c.q.f.d.

Dans les corollaires 1.7.2 et 1.7.3 sont retrouvés deux résultats asympto­

tiques concernant le temps d’extinction, avec la valeur explicite de la limite, telle que l’obtint SENETA [2bJ en 1969. Pour ce qui est du corollaire 1.7.2, il est intéressant de noter que la mise en évidence du caractère géométrique de la convergence de vers 1, lorsque m < 1. remonte à 1938, où KOLMOGOROV [l7]

s’appuyait sur l’hypothèse < °°, tandis que celle de vers q. lorsque m > 1 et sans hypothèse restrictive, figure dans le livre de 1963 de HARRIS ( [s]. p. 17] .

Cornllaire 1.7.2.

Si m 1, et si q / o, , . P [n < N < “] q lim --- --- = --- r- .

^ Y A’CI )

où il faut comprendre que la limite est nulle <=> A’fl ] = “ <ï=î> E [z ^ . £n Z^] = si m < 1.

Démonstration.

T . P [n < N < “1 , . lim —---R--- ^ = Il

q - f Co)

m ---Z--- = Q(o]

n ->• oo n -> 00 ,n

A’ (1 ]

c.q.f.d.

Corollaire 1.7.3.

Si m / 1. et si q O,

lim n ->• oo

p[n = n + l]

= M -

y

)

A' [1 ]

, avec la même interprétation de cette

limite qu’au corollaire 1.7.2.

Démonstration.

C’est une conséquence directe des corollaires 1.5.1 et 1.7.2.

Remarque.

Lorsque m < 1 et E[z^,)ln Z^] = la limite est nulle dans chacun des deux corollaires précédents, mais on a, en vertu des corollaires 1.6.1 et 1.6.2, parti­

cularisés à ce cas, V s €[0,1), O

lim n ->■ 00

N]

f (s ) n O

1 1 - A(s ]

O

et

lim n 00

P [n = n + 1 - f fs )

n O

II

^{1 - m}

1 - Afs ) ’ O avec chacune de ces deux limites D.

Le corollaire 1.7.4 ci-dessous complète les résultats établis à la section 1.3 concernant le temps moyen d’extinction.

Corollaire 1.7.4.

Sim<1,E[N] <”.

Démonstration.

E ] = l [^ - -F ^0^] •’ or, n = o

lim n -»■ oo

1 A' M“]

qui est un nombre fini > o <=> E[z^.£n Z^] < “, et = o E[z^.£n Z^] = °°.

Donc il existe un nombre C, avec o < C < “, tel que

OO

e[n] <C.)] m'^<“> . c.q.f.d.

n = o

1.8. RESULTATS ASYnPTDTiqUES DANS LE CAS CRITIQUE.

Dans cette section sont rassemblés, sans démonstration, les divers résul­

tats qui jouent, pour le cas critique, le même rôle que ceux présentés dans les autres sections pour les cas non critiques.

Dn a déjà remarqué que le théorème 1.5.1, s'il reste valable dans le cas m = 1, ne conduit pas à une distribution-limite propre et non dégénérée. SENETA [25]

a montré qu'un conditionnement adéquat pour obtenir une distribution-limite non dégénérée de Z^ dans le cas critique est de supposer que l'extinction a lieu à la génération n + k [k e • Son théorème peut être énoncé comme suit :

Théorème 1.8.1.

SI m = 1. W k e OM .O

j|N = n + k]=aj(K], jelN^.

1

.

Tous les autres résultats concernant le cas critique s'expriment explici- tement en fonction de la variance a de Z^, qu’il faut donc supposer finie pour 2 qu'ils soient consistants. Ils peuvent tous être déduits du théorème de base sui­

vant. dû à KESTEN, NEY et SPITZER [is].

Théorème 1.8.2.

Sip.|/1.m=1eta <°°.2

. . 1 r 1 1 1

l:m — I --- --- J

^ 1 - f (s) 1 - s n ->• ” n

uniformément pour s e[o,11.

ün en déduit immédiatement le corollaire suivant, analogue du théorème 1

.

⁶

.

¹

.

Corollaire 1.8.1.

Si p,| ^ 1. m = 1 et a < «>,2

lim n-fl-fCs]] = ^ , se[o,1).

n 00 O

En faisant s = o dans ce corollaire, on obtient le résultat suivant, qui lim P [z_r

n 00 oo

y a.(k]

ou ... J J = 1 ^

joue pour le cas critique le même rôle que le corollaire 1.7.2. Il est à noter que ce résultat remonte à 1938, où KÜLMOGOROV [l7] l’avait obtenu moyennant

l’hypothèse superflue f” M ) < “. hypothèse qui fut levée pour la première fois par NAGAEV [2l] en 1961.

Corollaire 1.8.2.

Si p^ / 1, m = 1 et a < °°.2

O lim n. P [n < N J = — .

n °o a

Le résultat analogue au corollaire 1.7.3 pour le cas critique a aussi été déduit de leur théorème de base 1.8.2 par KESTEN, NEY et SPITZER [is], mais est dû également en priorité à NAGAEV [2l].

Corollaire 1.8.3.

Si P.J / 1, m = et 2 O < “.

lim n^. P [n = n + 1 ] = -| . n -y CO

La conjonction des corollaires 1.8.2 et 1.8.3 conduit immédiatement au résultat suivent, analogue pour le cas critique du corollaire 1.5.1.

Corollaire 1.8.4.

Sip^;^1,m=1eta <“,2

n.p[N = n+ l]

Pfn < Ni

n 00 -•

Enfin, le dernier corollaire qu’ont tiré KÈSTÉN, NEY et SPITZER [ISJ de leur théorème de base 1.8.2 joue, pour le cas critique, un rôle, situé à mi-chemin

entre celui des résultats asymptotiques des sections précédentes, d’une part, et, d’autre part, de la section 1.9, où est étudié, dans le cas m > 1, le comportement asymptotique de Z^. normée de façon adéquate. Il est en effet question dans le corollaire ci-dessous, pour le cas m = 1, du comportement asymptotique de Z^, à la fois normée de manière appropriée et sous la condition de non-extinction du pro­

cessus. Le résultat mentionné remonte à 1947 où YAGLOM [szj l’établit sous la con­

dition restrictive f’" M ] < “, condition qui fut levée en 1961, à nouveau par NAGAEV [21] .

Corellaire 1.6.5.

e , X ^ O-X . X < O .

1.9. COMPORTEMENT ASYriPTOTIQUE DE L’EFFECTIF DES GENERATIONS.

Soit la suite de variables aléatoires {X } , où X

" n eIN ^ D’après la définition même des P.G.W., on a

Si p^ X 1, m = 1 et O < °°, 2

2 Z

lim P [--- ^ < x|n > n ] =

n -X 00 n. G

E[z |Z ] = m.Z , neOM.

n + 1 ' n n

En divisant les deux membres de cette égalité par m , il vientn 1

n-1 X .

n

On voit donc que, V m < °», la suite {X } est une martingale, et, comme

ri , n €^0\1

E LX^ J = 1, on en déduit que X^ converge p.s. vers une variable aléatoire X de moyenne ^ 1 [voir par exemple DOOB [4] , p. 319].

La variable aléatoire X est évidemment identiquement nulle si m ^ 1, puis­

que alors Z

n O p.s.

Pour m > 1. la convergence en distribution de vers X fut mise en évi­

dence dès 1944 par HAWKINS et ULAM

[lo]

sous l’hypothèse de l’existence de moments finis de tout ordre pour Z^, puis par YAGLün [3Z] en 1947 qui supposait seulement que 0^ < «>. La démonstration de la convergence presque sûre est due à HARRIS [b] en 1948 sous cette même hypothèse. Après que LEVINSON [is] eût donné en 1959 une condition suffisante moins restrictive que a < °° pour que X ^ o. ce sont KESIEN et STIGUM [ib] qui établirent en 1966 le théorème sous la forme présentée ci- dessous. La démonstration qui en est donnée est celle choisie par ATHREYA et NEY dans leur livre [l].

Ihéoreme 1.9.1.

Si 1 < m < on a soit X = o p.s., soit E

[x] =

1.

Ce dernier cas se présente <=> E[z^.£n Z^] < et,

si p^ < 1, W i ciN, e[x] = 1 <=> P[x = o] = q.

r *sXt

Dr plus, la fonction (f)Cs] = E [e J satisfait à l’équation fonctionnelle

= f [())(-^]] , s e [o,l] . M.20).

□émonstratign_de_E£z^ .^n_Z^l <

E_[x_]_g

1,

Soit (j) (ul = E [e J et cjjCul = E [e = lim tj) (u).

n ->■ oo

Cette fonction est non décroissante en n, Vu fixé. En effet

-uXn

e P . s ., car {X } n e(N

est une martingale.

En calculant les espérances des deux membres, 'il vient :

-uX . -uX

E[e " ].

Soit ip (u) = n + 1

(() . ( u] - <() ( u]

n + 1 n

u > O . -uX

En notant que (|) = E [e

"'j

^{= f}

[

^'!>

J

» on obtient, en utili n + 1

H.- n m'

sant le théorème de la moyenne pour f(s] sur [o,l] , la relation de récurrence

ip . (ul < ip [—) ,

^n+1 — ^n m

d'où, par itération \p Cu} <_ ip (—]

n + 1 1 m'^

Or, par définition = e d'où

O <

-u <j>.[u)-(j>(u} V (|)(u) - e _ _ ^n_+1________ O _

lim

n ->■ oo

. ti^ (u) . n= 1 n

Si a(u1 = ï \p (ul < “, Vu > O et si lim a(u] = o

n = 1 u -+ O

[1.211

on a lim ^= lim { — M - e + — [e ^ - tf^ful] } = 1,

Il .11 u

u -+ O u -+ O+ u

:'est-à-dire E

[x]

= 1.

La démonstration est donc achevée si l'on démontre (1.211.

De \p ..(u) < ù, (—1, et de la monotonicité de ip. pour u < u , découle

n + 1 - 1 n 1—0

m O <

00 ^

ocj) 1 ï *1 (:TTéT> i / *1 '3> ■ n = o

En posant —— = v, on a, pour u ^ u ,

m^ °

O < a(ul < _{£.n m •' V}•/

O

dv.

Mais = V

-V/n - V e ].

et le corollaire C.1 de la section 1.4 permet donc d'affirmer que

I --- . dv < pour U < U , si E|Z^.Ü,n Z^l < c.q.f.d.

•' V o '-11-'

o

□émonstration_de_E_[ xJ_ = _1_=^_Ej|z^^£n_Z^ .

On va démontrer que E[z^.£n Z^] = “=;>E [x] = o C<è=P P [x = o] = 1).

Si E [x] > O, J a, 3 e(o,1). tels que

------ >2 6. pour 0 < U < a.

U - — -

1 - é fui Soit X [ij] E --- ---.

n U

Comme ô (ij] ->■ é(u]. Vu > o, on voit qu'il existe n tel que X (a) > 6,

^n o n

pour n > n .

Mais Vn, A (ul est une fonction décroissante de u > o. Donc

A Cu] > B, pour o<u<a, n>n.

n — — — o

De la relation de récurrence è .[u) = f fd) [—^ 1 , il s'ensuit

^n + 1 U m Jn m

A ,(ij]

n + 1

f[+ (-)]

" ■ X (ü).{ 1 - 1 .g [H .J (ü)] ) ,

U nm m ^mum-*

où g(s] est la fonction définie dans l'énoncé du corollaire C.2 de la section 1.4.

Comme gfs) est non négative.et non décroissante sur [o.l]. il vient, pour n > P ,

— 0 ^{' ■}

\

^(u) < X . r "i ” ” g

_{n + 1} —''nm l- m m-1

1

< A f—î • exp

r

■ ~

g 1

, O < U < a ^car

1

- x < e pour x > o)

— nm l-m m-l— — — —

En itérant cette dernière inégalité, il vient K

I r=1

^ , (u) < exp \ g 1 . puisque A < lim A Cx] = eIx 1 = 1

□r. par le corollaire C.2 de la section 1.4,

lim \ g = 00 si E [Z^.Jln ] K ->■ oo r~ 1 ni

ce qui implique ici que lim A fu] = o, pour o _< u _< a. et contredit le fait que

n -> 00

A^(u] > 6, pour o £ u a- c.q.f.d.

Démonstration de_E [.X J_ = _1 [x=o J_ = _g__ (si_p^_<_1. _y_i_£_[N)

Soit r = P [x=o] < 1 , si E [xJ = 1

On a

r=

I

P [x=o|z^=k] .P[Z^ = K ] =

I

p^.{p[x=o]} = f(r1 ,

k=1 k=1

d’où r = q. c.q.f.d.

Démonstration de (1.20K

On a, pour s e [o, l] ,

E [e

^ J

=

f

Ce = f [f Ce

n n-1

m m'rFT

En faisant tendre n vers + il vient

<|>(s) = f [<()(—

il

^{, se[o,l] c.q.f.d.}

^ m

Il existe une certaine analogie entre le théorème 1.9.1 et le théorème 1

.

⁶

.

¹

.

Dans les deux cas, on étudie le comportement asymptotique d'une suite, en normant ses éléments à l’aide des éléments d’une suite géométrique, mais on cons­

tate dans les deux cas également que la convergence n’est pas toujours géométrique Cependant, alors que le théorème 1.6.1 Indique que, pour m < 1 et

E[z^,«,n Z^] = } = {m*^} est une suite qui ne convient pas pour normer n f(N n el\l

{q - f [si} E {1 - f [s]} , on a démontré au théorème 1.6.2 qu’il est

n n

n e(N n elN

toujours possible de trouver une suite {c (s 1} , destinée à remplacer {m'^}

no n f- «M

. n e!\l

qui convienne dans ce but.

On va montrer maintenant que le théorème 1.9.1 peut lui aussi être géné­

ralisé, dans le sens qu’il existe toujours une suite {c (s ]} telle que —^

n O c [ s ]

n e IN n O

converge presque sûrement vers une variable aléatoire non dégénérée, du moins lors que p^ / 1, Vi e tN.

-sZ.

Soit K[sl = -JlnE[e J=-£nf[e^l , se[o, +«=}

ün voit que, puisque kCol = o, K(+ «>] = - Un f(o) = - 2,n p , et f’(e^l —s

K’(sl = --- . e , avec donc k’ Co ) = m (> 11, qu’il s’agit d’une fonction f (e"^l

continue, strictement croissante et strictement concave sur [o, + , que les va­

leurs qu’elle y prend e[o, - £n p^l , et qu’elle possède comme seuls points fixes

O et - £n q.

Soit alors k [si = k fk .[si]

n t n-1 4 = - £n f [(

£n f .[si

n-1 ].= -£nf[sl, neIN;

n O

la suite {k Cs]} constitue donc une suite de fonctions itérées correspondant n elM

à {f (s)}

n n e (\l

Enfin, k(s] étant strictement croissante, sa fonction inverse h(s) = K '(s) -1 existe et est définie, au moins sur [o, - £n ql , et il est aisé de voir que la suite d’itérées {h CsH

n

n ^(N

constitue la suite des fonctions inverses des k [s^.

n

Le théorème annoncé a été établi en 1969 par SENETA [2b] , qui n'envisa­

geait que la convergence en distribution, puis en 1970, sous sa forme finale, par HEYDE [12]. La démonstration, telle qu’elle est donnée ici, a été simplifiée par SENETA [20] C1975).

Théorème 1.9.2.

Si 1 < m<“>, V s e (o, - £n q), 3{c (s )} telle que ---—= W (s ]

O ^ no cfs]no

n € (N no

converge p.s. vers une variable aléatoire W(s^], qui est non dégénérée si p^ < 1, Vi e (N, telle que P [wCs^] =0] = q.

-sWCs^]

De plus, si K(s,s^] = - £n E [e ] , on a

Ktms, s ) = k [Kfs,s ] 1 , s e[0, + “î [1.221.

o o

Démonstration.

Soit c [s 1 n o s e (o, - £n q] .

o

Soit V (s ] n o

--- , où h (si est la fonction inverse de k (si, et où h (s 1 n o ’ ^

- W [ s 1

e , st 4^^ la <r- algèbre engendrée par Z^,...., Z^.

On a :