La technique utilisée au chapitre 1 pour démontrer le théorème 1.7.1 con vient encore pour établir le théorème suivant qui lie directement la fonction- limite R[sl du théorème 2.6.1 à la fonction génératrice B[s] de la distribution- limite du théorème 2.5.1.
Théorème 2.7.1.
Si l’on n’a pas simultanément m^ = 1 et £ 1. et si y[q2^ ^ 0,
R[s] = ---. [l - B [-]J , s € [O.w] . [2.23] B’[1 ] ■
némonstration.
et soit toujours la fonction f(x] introduite en (2.16]
f(x] = w - i|)(w-x] = w - FCw-x) - vq^.
Moyennant ces notations, l'équation (2.13) peut être simplifiée:(2.13)
w - F(y) - vq„
<==> 1 - B [l----] =6. [l - B (^)J = 6. [l - B (1 - ^)]
«flw - F(y) - vq^] = ô. $(w-y) , y e [o.wj .
En posant y = w-x. il vient
$|_w - F(w-x) - vq^J = 6. $(x) .
ou, finalement,
$[f(x)J = ô. 'î’(x) , x€[0.w]
(2.25).
Les fonctions $(x) et f(x) sont strictennent monotones et possèdent donc chacune une fonction inverse, définie sur un certain intervalle
|o,a|,
soient res--1 -1 pectivement $ (s) et f (s).
En inversant les deux membres de
(2.25).
il vient, pour s e[o.o],
(ô"*s) = f"'[$"'(s)] , avec ô > 1 , puisque 6 < 1 .
B(s) étant la fonction génératrice d'une distribution propre de probabilités, on
, . -1
en déduit que $ (s) est strictement croissante et convexe, c'est-à-dire que .-If, .$"*(s) .
0 IsJ et --- sont croissantes. s
-1 + Dès lors, comme 0 (s) 4-0 pour s 4- o ,
lim f'^D ^(s)] ^ $ (s) lim (s)
lim ^ [f (s) J =
s O 1 .-1 lim f’(s) + S ^ ODonc lim s ->■ O -1 -1 $ (6 s] IV^'cs^l ^ ^-1 Cb) lim s O -1 $ C S} r “ 1 ]
La croissance de --- permet d'écrire que V X e 1_1, 6 J,
$ ^(As] 0 ^[6 ^s]
1 < As 6~1s
$"^(s) $ \
Mais le dernier membre tend vers 1 pour s -> o^, de sorte que V A g [l. 6 J .
lim s O
j> \As] + $"^(s)
= A.
Par un raisonnement analogue à celui utilisé à ce stade de la démonstra tion du lemme 1.6.1, on en déduit que cette propriété est vraie V A > 0, et donc que l’on peut poser
'î>"'(s) = s. LCsI ,
où L(s] est une fonction à variation lente au voisinage de 0.
□b plus.
.-1, , 1 - b"^C1 - -)
T ■ iri n- $ISJ W
lim Lis] = lim --- = lim
---+ + S ■*'5 S->-0 S^O S'^O lim [- + L b"'' M - -]J^ J S ->■ O - 1 - 1 lim [b Cl - -]]’ 5 O - • lim B’ Cl - w + w s ->■ 0 C2.26] B Cl
Cela étant établi, en itérant n fois (2.25), il vient, V n € IN et V X
e
[o, wJ ,
4>[f^(x)] = ô'^. $(x) ,
-1
d’ou l’on tire, en utilisant la propriété trouvée pour 0 (s).
f^(x) = $ ^[ô".<î>(x)] = 6^. $(x). l[6".<I>(x}] ,
ou encore
f (x)
= $(x). L [â'^.OCx)].
En posant w - x = s et en passant à la limite pour n il vient, en tenant compte de (2.17), (2.24) et (2.26) lim n -V ” w - (s) n B’ (1 ) [l - B (v)J , s e [0,w] ,
c’est-à-dire, en multipliant les deux membres par y(Q2^ tenant compte de (2.7) et (2.19)
R(s)
B’ (1 )
3—. fl - B(-)l . c. q. f. d.
^ema£q_ue_^
La conjonction des théorèmes 2.6.1 et 2.7.1 montre que B’(1 ) = ” <=> m,j < 1, m^ 1 et E[y^.2.n = 1 ] = ”. On retrouve en fait le corollaire 1.7.1 concernant le processus marginal {Y }
Corollaire 2.7.1.
1 et m2 < 1. et si ^
(2.27)
où il faut comprendre que cette limite est nulle si m^ < 1, m^ <_ 1 et = 1] = ».
Démonstration.
Si l'on n’a pas simultanément m
1
lim n 00
Pfn<N^^N <“]
B' M )
Il suffit de faire s = 0 dans (2.19), d'utiliser (2.23) et de se rappeler que P [n < <_ N < »] = q - H^^^CO.q^).
Corollaire 2.7.2.
1 im n 00
Si l’on n’a pas simultanément m^ = 1 et m^ £ 1. et si ^ 0»
PFn + 1 = N.<N <ooj
'• 1— -'_(1-6).q
B’ (T)
(2.28)
où il faut comprendre que cette limite est nulle si m^ < 1, m^ <_ 1 et Eprt" ■ 1] ■
Démonst ration,
^ema£q£e^
Dans les cas (T), (^, (?") et du tableau, les théorèmes 2.5.1, 2.6.1 et 2.7.1, ainsi que les corollaires 2.5.1, 2.7.1 et 2.7.2 se réduisent respective ment aux théorèmes 1.5.1, 1.6.1 et 1.7.1, ainsi qu'aux corollaires 1.5.1, 1.7.2 et 1.7.3, concernant le processus marginal {Y } .En effet, dans ces cas-là ,
" n eOM
on a q = w = q^ et q^ = 1, de sorte que les événements { n + 1 = N < °°} et {n < <_ N < «} sont respectivement stochastiquement équivalents aux événements
{N^ = n + 1} et {n < puisque N < “, tandis que, toujours dans ces cas-là, H, .ts, q„} = F [s] , l n J 2 n 6 = F- Lq^~) . BCs] = A(s} , RCs) = Dtsi .
où il faut comprendre que les fonctions A(s) et OCs] sont celles qui apparaissent respectivement aux théorèmes 1.5.1 et 1.6.1, appliqués au processus marginal {y }
n eiN La condition ^ ^ bien satisfaite, puisque q^ = 1 => YCq^^ =
1-On peut encore énoncer le corollaire suivant, exprimant, dans les cas où m^ > 1, le comportement asymptotique du temps d'extinction l\l, sous la condition qu'à la n-ième génération le processus marginal{Y } n'est pas encore éteint,
n êfi\l
mais qu'il s’éteindra en un nombre fini de générations. Il y sera fait usage des notations suivantes :
A(s) : fonction génératrice de la distribution-limite conditionnelle du processus marginal } , dont l'existence est assurée, si m^ / 1, par le
théo-Corollaire 2.7.3. a] Si > 1. ^ 1 et Y(q2^ ^ 0. lim P [n < ”|n < N < “] . n -> 00 q . a’M ]
q.,. B’d-}
b) Si m^ 1. O ^ 2 < OO 1 m.. > 1 et YTq^) ^ 0, lim n -)■ CO pI.N < “>|n < N^J 2. B'M ) c] Si m^ <1. E(_Y^.2.n |y^ = lj < °°, m^ > 1 et Y^q2^ ^ 0-m n lim P [n < oo|n < N^] . [—] n -»• 00 q . A'M ] B’ M'] Démonstration.a] C’est, en raison de la relation
P [n < N. £ N < ooj P |N <oo|n <ooJ = --- ,
P [ n < l'J .j < “
J
une conséquence des corollaires 1.7.2 et 2. 7.1.
b] C’est, en raison de la relation
P [IM < oo|n < N.^]
P[n <N.j <N <oo]
c) Oe la même manière, c’est une conséquence du corollaire 1.7.2 (cas m, < 1 avec 1
E[V^.£n Y^] < donc = 1 et la condition < °° est automatiquement satis faite] et du corollaire 2.7.1.
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TABLE DES MATIERES
Pages
INTRODUCTION I