Universit´e Lyon 1 M1 CAPES: Alg`ebre g´en´erale Automne 2017
Epreuve du 20 d´ecembre 2017 Dur´ee: 3 heures
Les documents, calculettes et t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
On veillera `a r´ediger toute r´eponse avec soin et pr´ecision.
On d´esigne par N l’ensemble des entiers naturels, par Z l’anneau des entiers relatifs, et par Q, R et C les corps des nombres rationnels, r´eels et complexes.
Exercice 1
1) Questions de cours.
Pour un entier n ∈ N \ {0}, on d´esigne par Un le groupe multiplicatif des racines n−i`emes de 1 dans le corps C des nombres complexes.
a) Montrer que Un est un groupe cyclique de g´en´erateur ζ = e2iπn .
b) Montrer, `a l’aide d’une division euclidienne, que si m ∈ N est tel que ζm= 1, alors n | m.
c) Montrer que pour l ∈ N , l’ordre de ζl dans Un est ´egal `a n pgcd(l,n). d) En d´eduire le nombre d’´el´ements d’ordre n de Un.
e) Pour deux entiers naturels m et n, d´eterminer Um∩ Un.
2) Pour p et q deux nombres premiers distincts et a ∈ N \{0}, on consid`ere l’´equation de congruence n2≡ a2[pq] (E).
a) Montrer que l’entier n est solution de (E) ssi n2≡ a2[p] et n2≡ a2[q] ssi n ≡ ±a[p] et n ≡ ±a[q].
(Ici (comme ailleurs) ± signifie + ou −)
b) Faire la liste des solutions enti`eres n ∈ Z de l’´equation n2≡ 4[35].
En d´eduire les racines du polynˆome X2− 4 dans l’anneau de congruence Z/35Z.
c) Expliquer pourquoi le point b) ne contredit pas un ´enonc´e classique sur le nombre de racines d’un polynˆome de degr´e d ≥ 1.
Exercice 2 Partie A
Sous-anneaux du corps Q des rationnels.
Une partie A ⊂ Q est appel´ee un sous-anneau de Q si (A, +) est un sous-groupe de (Q, +), 1 ∈ A et ∀a, b ∈ A, ab ∈ A.
Une partie S ⊂ N \ {0} est dite multiplicative si 1 ∈ S et ∀s, t ∈ S, st ∈ S.
Pour une partie S ⊂ N \ {0} on pose Z S = {a
s, a ∈ Z et s ∈ S} ⊂ Q
(C’est l’ensemble des rationnels dont les d´enominateurs sont ´el´ements de S).
1
1) Montrer que si S ⊂ N est multiplicative, alors ZS est un sous-anneau de Q.
Soit P ⊂ N l’ensemble des nombres premiers. Pour une partie P ⊂ P, on d´esigne par SP la partie multiplicative de N constitu´ee de 1 et des entiers naturels dont tous les facteurs premiers sont
´
el´ements de P , et on note AP = SZ
P, l’anneau de la question 1.
2) a) Reconnaitre A∅, A{2,5} et AP.
b) Montrer que si P 6= P0 sont deux parties de P, alors AP 6= AP0.
[On pourra proc´eder par contraposition en supposant AP = AP0 et en consid´erant p1, p ∈ P .]
3) Donner une CNS pour que as ∈ AP admette un inverse dans AP pour la multiplication.
Soit A ⊂ Q un sous-anneau de Q et P (A) ⊂ P la partie P (A) := {p ∈ P, 1
p ∈ A}.
4) a) Montrer que Z ⊂ A et que AP (A) ⊂ A.
b) On suppose que a ∈ Z et s ∈ N \ {0}, premiers entre eux, sont tels que as ∈ A.
- Montrer que 1s ∈ A.
[Penser `a Bezout.]
- Montrer que tout facteur premier de s est ´el´ement de P (A).
c) Que peut-on conclure sur A? Sur l’ensemble A des sous-anneaux de Q?
Partie B
Division dans l’anneau AP = sZ
P
Soit A un sous - anneau de Q et a, b ∈ A. On dit que b divise a dans A s’il existe c ∈ A tel que a = bc.
On dit que A est euclidien s’il existe une application φ : A \ {0} → N
telle que pour tout couple (a, b) ∈ A2 avec b 6= 0, il existe un couple (q, r) ∈ A2 tel que a = bq + r, avec r = 0 ou φ(r) < φ(b).
(Cette d´efinition g´en´eralise la division euclidienne de Z pour laquelle φ(n) =| n | .) 5) Soit P ⊂ P.
a) Montrer que tout ´el´ement as ∈ AP s’´ecrit a
s = a0pa11· · · parr
o`u a0∈ Z est sans facteur premier dans P , p1, . . . , pr ∈ P et pour tout i, ai∈ Z.
Dire pourquoi a0 est d´etermin´e uniquement par a.
b) Soit φ : AP \ {0} → N l’application a
s 7→ φ(a
s) =| a0| . 2
Montrer que l’anneau AP est euclidien pour φ.
[Pour (a, b) ∈ A2P, b 6= 0, utiliser le couple (a0, b0) ∈ Z2.]
Partie C
Un groupe matriciel `a coefficients dans l’anneau A{2}.
On d´esigne par Gl2(Q) le groupe (pour la multiplication matricielle) des matrices 2 × 2 inversibles
`
a coefficients rationnels.
6) Montrer que la partie
K = { 2k as
0 1
, k ∈ Z,a
s ∈ A{2}} est un sous-groupe de Gl2(Q).
[L’inverse d’une matrice triangulaire inversible est une matrice triangulaire.]
7) On pose
M = 2 0 0 1
, N = 1 1 0 1
.
On d´esigne par hM, N i le plus petit (pour l’inclusion) sous-groupe de Gl2(Q) contenant M et N.
Il est constitu´e des matrices qui sont produits d’un nombre fini de M, N, M−1, N−1. Pour la suite, pour d ∈ Z<0 un entier strictement n´egatif et A une matrice inversible, Ad signifie (A−1)−d. a) Calculer MaNbMc, a, b, c ∈ Z.
b) Montrer que tout ´el´ement de K appartient au sous-groupe hM, N i.
c) En d´eduire que K = hM, N i.
8)? Soit K0 le sous-groupe de K constitu´e des matrices 1 as 0 1
,as ∈ A{2}. a) Expliciter un isomorphisme du groupe additif (A{2}, +) sur K0.
b) En d´eduire que K0 n’est pas un sous-groupe de type fini, i.e. qu’il n’existe pas de partie finie P ⊂ K0 telle K0= hP i (le plus petit sous-groupe de K0 contenant P ).
Partie D
D´eveloppement de 1n en base 2.
9) Question de cours
Pour un entier n ∈ N \ {0, 1}, soit Z/nZ l’anneau des classes de congruence modulo n.
Montrer que la classe a ∈ Z/nZ admet un inverse multiplicatif ssi pgcd (a, n) = 1.
En d´eduire l’ordre (i.e. le cardinal) du groupe (Z/nZ)? des inversibles multiplicatifs de Z/nZ.
Quels sont les ordres de (Z/1000Z)? et de (Z/103Z)?? On suppose `a pr´esent que l’entier n ∈ N \ {0, 1} est impair.
On pose d0= 0 et r0= 1 et on d´efinit deux suites d’entiers (dl) et (rl) en d´eclarant que, pour tout l ≥ 0, dl+1 est le quotient et rl+1 est le reste de la division euclidienne de 2rl par n.
10)
a) Montrer que pour tout l ≥ 0, on a n1 =Pl k=0
dk
2k +2rlln. En d´eduire que
1
n = liml→∞
l
X
k=0
dk
2k. 3
La s´erie P
k≥0 dk
2k est appel´ee le d´eveloppement en base 2 de n1. b) Montrer que pour tout l ≥ 0, 2l≡ rl[n].
c) En vous servant de la question 9) et d’un r´esultat de cours, expliquer pourquoi il existe un diviseur δ de φ(n) (l’indicatrice d’Euler) pour lequel rδ= 1 et pour tout entier l tel que 1 ≤ l < δ, rl 6= 1.
d) En d´eduire que le d´eveloppement de n1 en base 2 est p´eriodique.
e) Donner le d´eveloppement de 17 en base 2.
Quelle est la p´eriode du d´eveloppement de 211 en base 2?
4
