Lycée Fénelon Ste-Marie – la Plaine-Monceau Classe de MP
Année 2018-2019 Mathématiques
Nom : Prénom :
Interrogation n ◦ 03 — lundi 3 décembre
Durée : 15 minutes — 1 exercice au choix à traiter — ni calculatrice ni document
Exercice CCP n
◦6
Soit(un)n∈
Nune suite de réels strictement positifs et`un réel positif strictement inférieur à1.
1. Démontrer que si lim
n→+∞
un+1
un =`, alors la sérieX
un converge.
2. Quelle est la nature de la sérieX
n>1
n!
nn?
1
Exercice CCP n
◦93
SoitE un espace vectoriel réel de dimension finien >0 etu∈ L(E)tel queu3+u2+u= 0.
On noteraIdl’application identité surE.
1. Montrer queImu⊕Keru=E.
2. (a) Énoncer le lemme des noyaux pour deux polynômes.
(b) En déduire queImu= Ker(u2+u+ Id).
3. On suppose queuest non bijectif.
Déterminer les valeurs propres deu. Justifier la réponse.
2
