Partie 1. Vocabulaire.

MPSI B Année 2014-2015. DS 2 le 10/10/14 29 juin 2019

Exercice 1. Somme trigonométrique.

1. Pour unxréel, exprimersin(3x)en fonction desin(x)et decos(x)puis en fonction de sin(x)seulement.

2. En déduire, pourk∈N^∗, une expression desin(₃k−1^x )en fonction desin(₃^xk). 3. Simplier, pourn∈N^∗,

n

X

k=1

3^ksin³(x 3^k)

Problème. Introduction aux fonctions harmoniques dis- crètes.

Dans ce problème, on considère l'ensemble Z²=Z×Z. On pourra aussi utiliser le mot point pour désigner un élément deZ².

Les fonctionsxety sont dénies dansZ² et à valeurs dansZpar :

∀c∈Z², c= (x(c), y(c)) On dénit une relationC (dite de contiguïté) dans Z²par :

∀(c, c⁰)∈Z²×Z², cCc⁰⇔(x(c⁰)−x(c))²+ (y(c⁰)−y(c))²= 1

Lorsque cCc⁰ est vraie, on dit quec⁰ est contigu àc. On noteV(c) l'ensemble des points contigus àc (voisinage dec).

Dans tout le problème,Ωdésigne une partie non vide nie deZ². on noteC(Ω)le complé- mentaire deΩdansZ². On adopte les dénitions suivantes pour les points dec∈Ω.

cest sur la frontière deΩsi et seulement si il est contigu à un point deC(Ω). On noteF r(Ω)l'ensemble des points sur la frontière deΩ.

cest intérieur à Ωsi et seulement si il n'est pas sur la frontière deΩ. On noteΩ^◦ l'ensemble des points intérieurs àΩ.

On dénit aussi une fonctionndeΩ^◦ dansNpar :

∀c∈Ω, n(c) =^◦ nombre de points de F r(Ω) contigus àc On dira enn, pour tout pointcintérieur (c∈Ω^◦) que :

cest une pointe deΩ^◦ si et seulement sin(c) = 3, cest un coin deΩ^◦ si et seulement sin(c) = 2. cest un bord de Ω^◦ si et seulement sin(c) = 1.

Partie 1. Vocabulaire.

1. a. La relation de contiguïté est-elle réexive ? symétrique ? antisymétrique ? transi- tive ?

b. Soitc= (a, b)∈Z², préciser l'ensembleV(c). Combien contient-il d'éléments ? c. Soit c ∈Ω, formuler avec des quanticateurs la phrase c ∈ F r(Ω); même ques-

tion avec c∈ Ω^◦. Caractériserc ∈Ω^◦ par une relation ensembliste contenant une intersection puis par une relation ensembliste contenant une inclusion.

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

Fig. 1: Exemple de partie Ω.

2. Sur l'exemple de la gure1, préciser la frontière et l'intérieur deΩ, expliciter la fonction n. Qui sont les bords, les coins, les pointes ?

3. Soitc= (a, b)∈Z². Calculer la moyenne des valeurs prises par la fonctionx² sur les points contigus àc, même question pour la fonction xy.

Partie 2. Fonctions harmoniques discrètes.

Une fonction f dénie sur une partie nie Ω de Z² et à valeurs complexes est dite harmonique discrète si et seulement si, pour chaquecdans l'intérieur deΩ, la valeurf(c)

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est la moyenne des valeurs def aux points contigus àc.

Pour certaines parties Ω, une fonction arbitraire dénie seulement sur la frontière admet un unique prolongement harmonique àΩtout entier.

On identie ici Z² à l'ensemble des complexes dont les parties réelles et imaginaires sont des entiers. On se donne une partieΩ =c₁, c₂,· · · , c₁₀ par un tableau en précisantc₁= 0 (doncc₇= 1 +i,· · · )

. . . .

. . . c8 . .

. . c9 c2 c7 . . c10 c3 c1 c6 .

. . c4 c5 . .

. . . .

1. Préciser la frontière et l'intérieur deΩ.

2. Pour une fonctionf quelconque deΩdansC, on note f(ci) =

(fi sici∈F r(Ω) yi sici∈Ω^◦

a. Former un système (S) d'équations linéaires d'inconnues x₁,· · · (à préciser) et caractériser le fait quef soit harmonique à l'aide de ce système.

b. Montrer que si on se donne une fonction arbitraire sur la frontière deΩ, on peut la prolonger de manière unique en une fonction harmonique discrète surΩ. (Utiliser uniquement des opérations élémentaires et les coder précisement)

3. Pour une fonctionf dénie sur la frontière par

∀c∈F r(Ω), f(c) =c²

Présenter dans un tableau les valeurs defsur la frontière, former le système et calculer le prolongement harmonique. Que vérie-t-on ?

4. Pour une fonctionf dénie sur la frontière par

∀c∈F r(Ω), f(c) = 1 c

Présenter dans un tableau les valeurs de f sur la frontière, former le système sans le résoudre. Que peut-on dire de l'unique prolongement harmonique ?

5. Pour une partie Ωde Z², on note H(Ω,C)l'ensemble des fonctions de Ω dansC qui sont harmoniques discrètes.

a. Montrer que toute fonction constante dénie dansΩappartient àH(Ω,C). Mon- trer que les restrictions àΩdes fonctionsxety sont dansH(Ω,C).

b. Soitf etg dansH(Ω,C)etλ,µdansC, montrer queλf+µgest dansH(Ω,C). c. Parmi les fonctions x²,y²,xy,x²−y², quelles sont les fonctions harmoniques ?

Exercice 2. Calculs divers.

1. a. Pourtréel, exprimer

e^2t−1 e^2t+ 1

à l'aide des fonctions trigonométriques hyperboliques.

b. Pour toutϕréel non congru à ^π₂ moduloπ, simplier tan²ϕ−1

tan²ϕ+ 1 c. Montrer que, pour tout tréel,

arccos(th(t)) + 2 arctan(e^t) =π d. On considère, pourx∈

0,^π₂, l'équation cht= 1

cosx

d'inconnuet. Montrer qu'elle admet une seule solution positive que l'on exprimera à l'aide de ^π₄, ^x₂,tan,ln.

e. Former et démontrer, suivant les valeurs det, une formule reliant arcsin( 1

cht)et arccos(tht) 2. Simplier l'écriture des deux nombres réels

(7 + 5√

2)¹³ −(−7 + 5√

2)¹³ 13 + 5√ 17 2

!¹₃

− −13 + 5√ 17 2

!¹₃

3. Linéariser

cosxcos 2xcos 3xsin 2x 4. Montrer que

arctan(1 +x)−arctanx= arctan( 1 1 +x+x²)

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