OCB et ^ OBC ^

Page 1 CORRECTION INTERROGATION ÉCRITE 9 avril 2012

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1. Calcul de la mesure de l’angle

BOC ^

^.

 D’une part on remarque que le triangle OBC est isocèle de sommet principal O . Donc les angles

OCB et ^ OBC ^

sont égaux.

 D’autre part : On sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.

On en déduit que :

mes ( OCB ^{^} ) + mes ( OBC ^{^} ) + mes ( ^{^} BOC ) =180°

68+ 68+ mes ( ^{^} BOC ) =180 136+ mes ( ^{^} BOC ) =180 mes ( ^{^} BOC ) =180−136 mes ( ^{^} BOC ) =44 °

2. Calcul de la mesure de l’angle

CAB ^

.

L’angle au centre

COB ^

et l’angle inscrit

CAB ^

interceptent le même arc

CB ^

^. On en déduit que

COB=2× ^ ^ CAB

^.

Par conséquent

44 ° =2× mes ( CAB ^{^} ) mes ( CAB ^{^} ) = 44

2 mes ( CAB ^{^} ) =22 °

2

On veut montrer que le triangle ABC est rectangle.

^ ABC et ^ AEC

sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc

^ AC

, donc ils sont égaux.

^ ABC =^ AEC=50 °

On en déduit que les angles :

^ ABC et ^ ACB

^sont complémentaires.

Un triangle est rectangle, si deux de ses angles sont complémentaires.

Conclusion :

ABC

est un triangle rectangle en A.

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a) La nature du triangle

ABD

.

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Par hypothèse, on sait que le point

D

est diamétralement opposé au point

B

. Donc le côté

[ BD ]

du triangle

ABD

est un diamètre du cercle circonscrit.

Par conséquent :

ABD

est un triangle rectangle en

A

. b) Calcul de la mesure de l’angle

^ ABD

^.

Par hypothèses on sait que le triangle ABC est équilatéral.

Donc

^ ABC =^ BAC=^ ACB=60 °

^. D’autre part, on a :

BAD=^ ^ BAC + ^ C AD 90 °=60 ° + ^ CAD CAD=90− ^ 60 CAD=30° ^

Or les angles inscrits

CBD et ^ CAD ^

interceptent le même arc

CD ^

. Donc ils sont égaux.

Sachant que

^ ABD + ^ DBC=^ ABC

. Donc

^ ABD +30=60

^ ABD= 60−30

^ ABD=30 °