Terminale S Physique – Partie C – Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC Page 1 sur 4
1. Décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine
1.1. Étude expérimentale
On envisage le circuit RLC série schématisé ci-contre, constitué :
d’un condensateur de capacité C initialement chargé sous une tension E,
d’une bobine de résistance r et d’inductance L
et d’un rhéostat de résistance ajustable r’.
La résistance équivalente du montage est notée R = r + r’.
Comment évoluent les grandeurs électriques au cours du temps ?
1.2. Analyse des phénomènes physiques
Le condensateur stocke de l’énergie électrique. Lorsque l’interrupteur K passe en position 2, il possède une tension E à ses bornes et l’énergie électrique élec = 1
2.C.E2. Le circuit RL est donc soumis à une différence de potentiel E : un courant électrique peut s’établir et les charges portées par les armatures du condensateur peuvent circuler.
Rappel : La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité (étude du circuit RC).
L’intensité qui circule dans la bobine ne subit pas de discontinuité (étude du circuit RL).
En conséquence la tension uC(t) aux bornes du condensateur qui se décharge diminue depuis la valeur E : l’énergie électrique stockée par le condensateur diminue.
L’intensité i du courant qui circule dans le circuit série augmente, en valeur absolue, depuis la valeur 0 : une partie de l’énergie est dissipée, sous forme d’effet joule, dans la résistance équivalente R et une autre partie est emmagasinée par la bobine sous forme d’énergie magnétique.
La bobine peut ensuite restituer son énergie magnétique, dont une partie sera dissipée par effet joule et une autre partie stockée par le condensateur et ainsi de suite : le condensateur se charge et se décharge à intervalle de temps régulier : on parle de décharge oscillante.
1.3. Formes de la tension aux bornes du condensateur
On observe, pour de faibles valeurs de la résistance R, une tension oscillante amortie (l’amortissement étant dû à l’énergie dissipée par effet joule dans le conducteur ohmique) : on parle de régime pseudopériodique.
Lorsque la résistance R augmente l’amortissement est plus important.
Si la résistance R augmente encore, il existe une valeur limite (La résistance est alors appelée résistance critique) pour laquelle l’amortissement est tellement important que les oscillations ne sont plus possibles : on parle alors de régime apériodique (non périodique).
Rem. : on peut montrer (la relation est hors programme) que RC = 2 L
C
On appelle pseudopériode T, la durée séparant deux passages consécutifs par la valeur nulle de la tension uC(t), la tension variant dans le même sens.
Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC série
E
K
r’
(L,r) C
1 2
R0
Circuit RLC série Circuit de
charge
i
T T
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
t (ms)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5 uC (V)
R faible : régime pseudopériodique R plus élevée : régime pseudopériodique R très élevé : régime apériodique
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2. Cas d’un amortissement négligeable : étude analytique
2.1. Tension aux bornes du condensateur dans un circuit LC
Lorsque la résistance équivalente R est négligeable et le condensateur initialement chargé sous une tension E, quelle est l’évolution temporelle de la tension uC(t) aux bornes du condensateur ?
2.1.1. Établissement de l’équation différentielle
D’après la loi des mailles : uC + uL = 0 Or uL = L.di
dt ; i = dq
dt ; q = C.uC donc i = C.duC
dt . Ainsi di
dt = C.duC
dt. Par conséquent : uC + LC.duC
dt = 0 duC
dt +
LC.uC = 0 ou •u•C + 1
LC.uC = 0
2.1.2. Résolution de l’équation différentielle
On peut montrer en mathématiques que la solution de cette équation différentielle est de la forme : uC(t) = Um.cos(
T
.t + ) Um représente l’amplitude des oscillations en volt (V) ;
représente la période propre en seconde (s)
et représente la phase en radian (rad) à l’origine des dates.
Montrons que la solution proposée est bien solution de l’équation différentielle :
duC
dt = – Um.
T.sin
T.t et duC
dt = – Um.(
T)2.cos
T.t .
L’équation différentielle peut s’écrire : – Um.(
T)2.cos(
T.t + ) +
LC.Um.cos(
T.t + ) = 0 ou bien encore : (
LC – (
T)2).Um.cos(
T.t + ) = 0
Cette dernière relation doit être vérifiée quelque soit Um et t donc LC – (
T)2 = 0 ainsi (
T)2 =
LC T0 = 2. LC.
T0 est appelée période propre des oscillations. L’expression de la période propre est : T0 = 2. LC
Si l’inductance L est exprimée en henry (H) et la capacité C en farad (F), la période propre T0 est en seconde (s) ! Analyse dimensionnelle : [T0] = [L]1/2.[C]1/2 =
[U].[T]
[I]
1/2
.
[I].[T]
[U]
1/2
= ([T]2)1/2 = T : dimension d’un temps !
Rem. : dans le cas d’un régime pseudopériodique (amortissement non nul) on peut assimiler la pseudopériode T à la période propre T0 à condition que la résistance R soit très inférieure à la résistance critique RC : T T0
2.1.3. Utilisation des conditions initiales
Conditions initiales : à t = 0, uC(0) = E et donc i(0) = C.(duCt
dt )t = 0 = 0 donc duCt
dt = 0 à t = 0 ! E = uC(0) = Um.cos() et 0 = – Um.
T.sin() donc sin() = 0 et cos() > 0 par conséquent = 0.
Par conséquent la tension uC(t) peut s’écrire : uC(t) = E.cos(
T.t) avec T0 = 2. LC
Conséquence : la tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale d’amplitude E et de période : T0 : le régime est périodique !
2.2. Intensité du courant dans le circuit LC
i(t) = C.duC(t)
dt = – CE.2
T0
.sin(2
T0
.t) donc i(t) = 2
T0
.CE.cos(2
T0
.t + 2) L’intensité du courant est donc déphasée de
2 par rapport à la tension uC(t) et d’amplitude Im = 2
T0
.CE
L’intensité i(t) du courant et la tension uC(t) aux bornes du condensateur sont en quadrature de phase (déphasé de 2).
i
(L,r) C
Circuit LC
uC uL
i
Rappel mathématique : d
dt
cos
T
.t = –
T
.sin
T
.t
en effet (cos(u))’ = – u’.sin(u) d
dt
sin
T.t =
T.cos
T.t
en effet (sin(u))’ = u’.cos(u) sin = – cos ( +
2)
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élec : énergie stockée par le condensateur
magn : énergie emmagasinée par la bobine
totale : somme des énergies dans le condensateur et la bobine
0
t Énergie (cas du régime pseudopériodique)
t1 t3 t4
Rem. : La perte d’énergie par effet joule est plus importante lorsque le courant est grand (i(t) maximale en valeur absolue) car PJ = R.i(t)2. Ainsi la courbe bleue (l’énergie totale) décroit fortement autour de t1, t3, etc.
t2
À t0, uC(t) = E et i(t) = 0.
Entre t0 et t1 : la tension uC(t) diminue : le condensateur se décharge ; l’intensité augmente en valeur absolue.
À t1 = T
, la tension aux bornes du condensateur est nulle (uC(t) = 0), l’intensité est maximale, en valeur absolue.
Entre t1 et t2 : la tension uC(t) augmente, en valeur absolue : le condensateur se charge.
À t2 = T
, l’intensité du courant est nulle (i(t) =0), la tension aux bornes du condensateur est, en valeur absolue, maximale (uC(t) = – E).
Entre t2 et t3 : la tension uC(t) diminue : le condensateur se décharge.
À t3 = .T
, la tension aux bornes du condensateur est nulle (uC(t) = 0), l’intensité est maximale.
Entre t3 et t4 : la tension uC(t) augmente : le condensateur se charge.
À t4 = T0, la tension aux bornes du condensateur est maximale (uC(t) = E), l’intensité du courant est nulle (i(t) = 0).
3. Étude des échanges d’énergies dans un circuit RLC
3.1. Amortissement négligeable : cas du circuit LC
Dans un circuit LC, l’énergie totale est égale à la somme de l’énergie électrique stockée dans le condensateur et de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :
totale = élec + magn = 1
2.C.uC2(t) + 1
2.L.i2(t).
L’énergie n’est pas dissipée (pas d’effet joule), et donc l’énergie totale se conserve :
totale = cste = 1
2.C.E2 = 1 2.L.Im2
: échange d’énergie incessant entre la bobine et le condensateur.
3.2. Cas d’un amortissement non négligeable
Dans un circuit RLC, l’énergie totale du circuit est égale à la somme de l’énergie électrique stockée dans le condensateur et de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :
totale = élec + magn1 2C.E2
L’énergie est progressivement dissipée par effet joule dans la résistance, donc l’énergie totale du circuit RLC ne se conserve pas.
À t0 : élec est max et magn = 0 À t1 : élec = 0 et magn est max À t2 : élec est max et magn = 0 À t3 : élec = 0 et magn est max À t4 : élec est max et magn = 0
de t0 et t1 : élec ↓ et magn ↑ de t1 et t2 : élec ↑ et magn ↓ de t2 et t3 : élec ↓ et magn ↑ de t3 et t4 : élec ↑ et magn ↓
élec magn totale
0
t Énergie
t1 t2 t3 t4
i (A) t (s)
0
uC (V)
t1 t2 t3 t4
T0
T0
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4. Oscillations entretenues
Nous avons vu que lorsque la résistance équivalente R diminue, les oscillations sont de moins en moins amorties, jusqu’à devenir sinusoïdales dans le cas d’une résistance nulle.
Est-il possible, expérimentalement, de parvenir à cette situation ?
La perte d’énergie par effet joule ne peut pas être annulée, en effet tout circuit électrique est (au moins légèrement) résistif. Toutefois il est possible de fournir au circuit (grâce à un dispositif supplémentaire) à chaque instant une énergie équivalente à l’énergie qu’il dissipe par effet joule. Ainsi le circuit RLC devient équivalent à un circuit LC et oscille avec une période propre T0 qui dépend uniquement de la valeur de L et de la valeur de C (T0 = 2. LC) !
Rem. :
uC(t)2 = E2.(cos(2
T0
.t))2
élec = 1
2.C.uC(t)2 = 1
2.C.E2.(cos(2
T0
.t))2
i(t)2 = Im2
.(sin(2
T0
.t))2
magn = 1
2.L.i(t)2 = 1 2.L.Im2
.(sin(2
T0
.t))2
totale = 1
2.C.E2.(cos(2
T0
.t))2 + 1 2.L.Im2
.(sin(2
T0
.t))2 = 1
2.C.E2.(cos(2
T0
.t))2 + 1 2.L.(2
T0
)2.C2E2.(sin(2
T0
.t))2
totale = 1
2.C.E2.(cos(2
T0
.t))2 + 1 2. L.
LC.C
E2.(sin(2
T0
.t))2
totale = 1
2.C.E2.((cos(2
T0
.t))2 + (sin(2
T0
.t))2). Or (sin a)2 + (cos a)2 = 1 Donc totale = 1
2.C.E2 = cste, dans le cas d’oscillations entretenues (ou amortissement nul) !
_________________________
http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/phy_chi/Menu/Activites_pedagogiques/livre_TS/
http://perso.orange.fr/gilbert.gastebois/java/rlc/rlclib/rlc.html (Cliquer sur RLC et observer l’influence de R, de L et C sur la forme de la tension ; puis observer l’influence de L et de C sur la période propre T0).
i
(L,r)
C
uC
uL i
E– E+ R0
dispositif d’entretien des
oscillations
