Groupe de travail probabilit´es - Paris 5 Polym`eres dirig´es et uniforme int´egrabilit´e

Groupe de travail probabilit´ es - Paris 5

Polym` eres dirig´ es et uniforme int´ egrabilit´ e

AlainCamanes

[email protected] Universit´e de Nantes

Vendredi 25 mai 2007

Sommaire

1 Le mod`ele

Le polym`ere et son milieu Les param`etres

2 La fonction de partition D´efinition

Propri´et´es

Uniforme int´egrabilit´e

3 Les moments d’ordre 2 M´ethode g´en´erale M´ethode conditionnelle

Sommaire

1 Le mod`ele

Le polym`ere et son milieu Les param`etres

2 La fonction de partition D´efinition

Propri´et´es

Uniforme int´egrabilit´e

3 Les moments d’ordre 2 M´ethode g´en´erale M´ethode conditionnelle

4 Les moments d’ordreα

La condition d’uniforme int´egrabilit´e Exemples

Le polym` ere et son milieu

n temps 0

Z^d

ω₁

le polym`ere

Exemple :g∼Bern(1/2):g= 1 en pr´esence d’eau,g =−1 en pr´esence d’huile.

g(i, x)

n temps 0

Z^d

ω₁

g(1, ω₁)

l’environnement

Le polym` ere et son milieu

Exemple :g∼Bern(1/2):g= 1 en pr´esence d’eau,g =−1 en pr´esence d’huile.

g(i, x)

n temps 0

Z^d

ω₁

g(1, ω1)

l’environnement

Les param` etres du mod` ele

L’Hamiltonien du polym`ere ω de longueurn H_n(ω) =

n

X

i=1

g(i, ω_i).

Plus le polym`ere hydrophile visite de sites aqueux, plusHn(ω) est ´elev´e.

Le poids de Boltzmann`a temp´erature T = 1/β e^βHn(ω)

Z_n(β)

Probabilit´e qu’un polym`ereωait une ´energieHn(ω) `a temp´eratureT

Les param` etres du mod` ele

L’Hamiltonien du polym`ere ω de longueurn H_n(ω) =

n

X

i=1

g(i, ω_i).

Plus le polym`ere hydrophile visite de sites aqueux, plusHn(ω) est ´elev´e.

Le poids de Boltzmann`a temp´erature T = 1/β e^βHn(ω)

Z_n(β)

Probabilit´e qu’un polym`ereωait une ´energieHn(ω) `a temp´eratureT

Hypoth` eses et notations

Notations

P mesure uniforme sur les chemins de polym`eres, Q loi de l’environnementg,

G_n=σ g(i,x), i ≤n, x ∈Z^d .

Hypoth`eses

Les variables al´eatoires (g_n,x) sont i.i.d.,

Elles ont des moments exponentiels de tous ordres λ(β):= lnQ

h e^βg

i

<+∞.

Hypoth` eses et notations

Notations

P mesure uniforme sur les chemins de polym`eres, Q loi de l’environnementg,

G_n=σ g(i,x), i ≤n, x ∈Z^d .

Hypoth`eses

Les variables al´eatoires (g_n,x) sont i.i.d.,

Elles ont des moments exponentiels de tous ordres λ(β):= lnQ

h e^βg

i

<+∞.

Sommaire

1 Le mod`ele

Le polym`ere et son milieu Les param`etres

2 La fonction de partition D´efinition

Propri´et´es

Uniforme int´egrabilit´e

3 Les moments d’ordre 2 M´ethode g´en´erale M´ethode conditionnelle

La fonction de partition

D´efinition

On appellefonction de partitiondu syst`eme la quantit´e Wn(β) =P

h

e^{βHn(ω)−nλ(β)} i

Propri´et´es

Q[Wn(β)] = 1,

(W_n) est uneG_n-martingale, β = 0 : marche al´eatoire simple.

Questions : comment se comportelim_nW_n en fonction de la temp´erature β? de la dimensiond?

La fonction de partition

D´efinition

On appellefonction de partitiondu syst`eme la quantit´e Wn(β) =P

h

e^{βHn(ω)−nλ(β)} i

Propri´et´es

Q[Wn(β)] = 1,

(Wn) est uneG_n-martingale, β = 0 : marche al´eatoire simple.

Questions : comment se comportelim_nW_n en fonction de la temp´erature β? de la dimensiond?

La fonction de partition

D´efinition

On appellefonction de partitiondu syst`eme la quantit´e Wn(β) =P

h

e^{βHn(ω)−nλ(β)} i

Propri´et´es

Q[Wn(β)] = 1,

(Wn) est uneG_n-martingale, β = 0 : marche al´eatoire simple.

Questions : comment se comportelim_nW_n en fonction de la temp´erature β? de la dimensiond?

Propri´ et´ es de la fonction de partition

Convergence[Bolthausen 89] : Il existe une variable al´eatoireW∞(β) telle que

W_n(β) −→

n→∞W∞(β) p.s.

Loi du 0−1 [Bolthausen 89] :

P(W∞>0)∈{0,1}. D´ecroissance[Comets, Yoshida 03] :

β7→Qhp

W∞(β) i

est d´ecroissante. Temp´erature critique:∃β_c ∈[0,+∞] telle que

βc = sup{β; W∞>0} ⇔ faible d´esordre

Propri´ et´ es de la fonction de partition

Convergence[Bolthausen 89] : Il existe une variable al´eatoireW∞(β) telle que

W_n(β) −→

n→∞W∞(β) p.s. Loi du 0−1 [Bolthausen 89] :

P(W∞>0)∈{0,1}.

D´ecroissance[Comets, Yoshida 03] : β7→Qhp

W∞(β) i

est d´ecroissante. Temp´erature critique:∃β_c ∈[0,+∞] telle que

βc = sup{β; W∞>0} ⇔ faible d´esordre

Propri´ et´ es de la fonction de partition

Convergence[Bolthausen 89] : Il existe une variable al´eatoireW∞(β) telle que

W_n(β) −→

n→∞W∞(β) p.s. Loi du 0−1 [Bolthausen 89] :

P(W∞>0)∈{0,1}.

D´ecroissance[Comets, Yoshida 03] : β7→Qhp

W∞(β) i

est d´ecroissante.

Temp´erature critique:∃β_c ∈[0,+∞] telle que βc = sup{β; W∞>0} ⇔ faible d´esordre

Propri´ et´ es de la fonction de partition

Convergence[Bolthausen 89] : Il existe une variable al´eatoireW∞(β) telle que

W_n(β) −→

n→∞W∞(β) p.s. Loi du 0−1 [Bolthausen 89] :

P(W∞>0)∈{0,1}.

D´ecroissance[Comets, Yoshida 03] : β7→Qhp

W∞(β) i

est d´ecroissante.

Temp´erature critique:∃β_c ∈[0,+∞] telle que β_c = sup{β; W∞>0} ⇔ faible d´esordre

Motivation, R´ esultats, Perspective,. . .

Un int´erˆet de la fonction de partition Wn=e^−nλ(β)

Z

e^nβy νn(dy), o`u ν_n=P

δ_Hn/n −→ Grandes D´eviations? ?

En dimension1, 2 [Carmona, Hu 02 ; Comets, Yoshida 03]

βc = 0

En dimensiond ≥3

cf. la suite de l’expos´e. . .

Motivation, R´ esultats, Perspective,. . .

Un int´erˆet de la fonction de partition Wn=e^−nλ(β)

Z

e^nβy νn(dy), o`u ν_n=P

δ_Hn/n −→ Grandes D´eviations? ? En dimension1, 2 [Carmona, Hu 02 ; Comets, Yoshida 03]

βc = 0

En dimensiond ≥3

cf. la suite de l’expos´e. . .

Motivation, R´ esultats, Perspective,. . .

Un int´erˆet de la fonction de partition Wn=e^−nλ(β)

Z

e^nβy νn(dy), o`u ν_n=P

δ_Hn/n −→ Grandes D´eviations? ? En dimension1, 2 [Carmona, Hu 02 ; Comets, Yoshida 03]

βc = 0

En dimensiond ≥3

L’uniforme int´ egrabilit´ e

Th´eor`eme (Carmona, Hu 02)

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes W∞>0 p.s.

(Wn)n∈N est uniform´ement int´egrable.

D´emonstration :

L’uniforme int´ egrabilit´ e

Th´eor`eme (Carmona, Hu 02)

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes W∞>0 p.s.

(Wn)n∈N est uniform´ement int´egrable.

D´emonstration :

(⇐)

convergence en probabilit´e uniforme int´egrabilit´e

ff

⇒convergenceL¹

L’uniforme int´ egrabilit´ e

Th´eor`eme (Carmona, Hu 02)

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes W∞>0 p.s.

(Wn)n∈N est uniform´ement int´egrable.

D´emonstration :

(⇒) Lemme deFatou

Q[W∞]≤lim infQ[Wn] = 1.

Propri´et´e deMarkov Q

»W∞

Wn

–

=X

x

Q

»Wn(x) Wn

–

Q[W∞] =Q[W∞].

Lemme deFatou

1≤lim infQ

»W∞

Wn

–

=Q[W∞].

L’uniforme int´ egrabilit´ e

Th´eor`eme (Carmona, Hu 02)

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes W∞>0 p.s.

(Wn)n∈N est uniform´ement int´egrable.

D´emonstration :

Programme :

Evaluer les moments d’ordre 2

Evaluer les moments d’ordre α∈(1,2]

Sommaire

1 Le mod`ele

Le polym`ere et son milieu Les param`etres

2 La fonction de partition D´efinition

Propri´et´es

Uniforme int´egrabilit´e

3 Les moments d’ordre 2 M´ethode g´en´erale M´ethode conditionnelle

4 Les moments d’ordreα

La condition d’uniforme int´egrabilit´e Exemples

Les moments d’ordre 2

ω¹,ω² marches al´eatoires ind´ependantes, q_d =P^⊗2 ∀n∈N, ω_n¹6=ω²_n

.

Th´eor`eme (Bolthausen 89)

D`es que λ(2β)−2λ(β)<−ln(1−qd), W∞(β)>0.

Notation :β2∈[0,+∞] la valeur limite (β2≤βc)

EnvironnementBernoulli:λ(β) = lnch(β), β2= +∞. EnvironnementGaussien:λ(β) =β²/2,

β2=p

−2 ln(1−qd).

Les moments d’ordre 2

ω¹,ω² marches al´eatoires ind´ependantes, q_d =P^⊗2 ∀n∈N, ω_n¹6=ω²_n

.

Th´eor`eme (Bolthausen 89)

D`es que λ(2β)−2λ(β)<−ln(1−qd), W∞(β)>0.

Notation :β2∈[0,+∞] la valeur limite (β2≤βc) EnvironnementBernoulli:λ(β) = lnch(β),

β2= +∞.

EnvironnementGaussien:λ(β) =β²/2, β2=p

−2 ln(1−qd).

Ordre 2 : La d´ emonstration

(Wn)n∈N born´eeL² ⇒ (Wn)n∈N est U.I.

SoitL_n=Pn i=11_ω¹

i=ω²_i.

Q h

Wn²

i

= Q

h P

h e^βHn(ω1)

i P

h e^βHn(ω2)

ii e^−2nλ(β)

= QP^⊗2h e^β

P_n

i=1g(i,ω¹_i)+g(i,ω_i²)i e^−2nλ(β)

= P^⊗2h

e^Ln·(λ(2β)−2λ(β))i , sup

n

Qh W_n²i

≤ P^⊗2h

e^L∞·(λ(2β)−2λ(β))i .

CommeL∞∼ Geom(q_d),

(Wn)n∈N L²-int´egrablesiλ(2β)−2λ(β)<−ln(1−q_d)

Ordre 2 : La d´ emonstration

(Wn)n∈N born´eeL² ⇒ (Wn)n∈N est U.I.

SoitL_n=Pn i=11_ω¹

i=ω²_i.

Q h

Wn²

i

= Q

h P

h e^βHn(ω1)

i P

h e^βHn(ω2)

ii e^−2nλ(β)

= QP^⊗2h e^β

P_n

i=1g(i,ω¹_i)+g(i,ω²_i)i e^−2nλ(β)

= P^⊗2h

e^Ln·(λ(2β)−2λ(β))i , sup

n

Qh W_n²i

≤ P^⊗2h

e^L∞·(λ(2β)−2λ(β))i .

CommeL∞∼ Geom(q_d),

(Wn)n∈N L²-int´egrablesiλ(2β)−2λ(β)<−ln(1−q_d)

Ordre 2 : La d´ emonstration

(Wn)n∈N born´eeL² ⇒ (Wn)n∈N est U.I.

SoitL_n=Pn i=11_ω¹

i=ω²_i.

Q h

Wn²

i

= Q

h P

h e^βHn(ω1)

i P

h e^βHn(ω2)

ii e^−2nλ(β)

= QP^⊗2h e^β

P_n

i=1g(i,ω¹_i)+g(i,ω²_i)i e^−2nλ(β)

= P^⊗2h

e^Ln·(λ(2β)−2λ(β))i , sup

n

Qh W_n²i

≤ P^⊗2h

e^L∞·(λ(2β)−2λ(β))i .

∼ Geom(q

M´ ethode conditionnelle : l’approche

D´efinition

ConnaissantWn, on d´efinit

La variable sized-biasedWcn :∀ f ∈ B_b, Qh

f(cW_n)i

=Q[W_nf(W_n)]. La variable Wf_n,

Wfn=P h

e^{β(H(ω1)+H(ω2))} i

e^−2nλ(β).

Nous avons les ´equivalences suivantes

(Wn) U.I. ⇔ L(cWn) tendue

⇔ L(fWn) tendue

M´ ethode conditionnelle : l’approche

D´efinition

ConnaissantWn, on d´efinit

La variable sized-biasedWcn :∀ f ∈ B_b, Qh

f(cW_n)i

=Q[W_nf(W_n)]. La variable Wf_n,

Wfn=P h

e^{β(H(ω1)+H(ω2))} i

e^−2nλ(β).

Nous avons les ´equivalences suivantes

⇔ L(c

M´ ethode conditionnelle : Les limites

D´eterminer

β∗= supn β, Qh

fWn

i

<+∞p.s.o

D´emarche (Birkner 02)

Utiliser un th´eor`eme de Sanov conditionnel pour montrer λ(2β∗)−2λ(β∗) = 1 +X

n≥1

e^−H(pn),

o`u H(p_n) =−P

x∈Z^dP(ω_n=x) lnP(ω_n=x).

Alors, d’apr`es l’in´egalit´e deJensen,β∗> β2.

Probl`eme : Le principe de grandes d´eviations ´enonc´e est `a ce jour non d´emontr´e. . .

M´ ethode conditionnelle : Les limites

D´eterminer

β∗= supn β, Qh

fWn

i

<+∞p.s.o

D´emarche (Birkner 02)

Utiliser un th´eor`eme de Sanov conditionnel pour montrer λ(2β∗)−2λ(β∗) = 1 +X

n≥1

e^−H(pn),

o`u H(p_n) =−P

x∈Z^dP(ω_n =x) lnP(ω_n=x).

Alors, d’apr`es l’in´egalit´e deJensen,β∗> β2.

Probl`eme : Le principe de grandes d´eviations ´enonc´e est `a ce jour non d´emontr´e. . .

M´ ethode conditionnelle : Les limites

D´eterminer

β∗= supn β, Qh

fWn

i

<+∞p.s.o

D´emarche (Birkner 02)

Utiliser un th´eor`eme de Sanov conditionnel pour montrer λ(2β∗)−2λ(β∗) = 1 +X

n≥1

e^−H(pn),

o`u H(p_n) =−P

x∈Z^dP(ω_n =x) lnP(ω_n=x).

Alors, d’apr`es l’in´egalit´e deJensen,β∗> β2.

Probl`eme : Le principe de grandes d´eviations ´enonc´e est `a ce jour non d´emontr´e. . .

Sommaire

1 Le mod`ele

Le polym`ere et son milieu Les param`etres

2 La fonction de partition D´efinition

Propri´et´es

Uniforme int´egrabilit´e

3 Les moments d’ordre 2 M´ethode g´en´erale M´ethode conditionnelle

Notations et r´ esultats

∃α∈(1,2] sup_nQ[W_n^α]<+∞⇒ (W_n)n∈N est U.I.

ω1,ω2m.a. ind´ependantes issues de 0 : p(t,x)=P^⊗2“

0<j<t, ω¹_j 6=ω²_j, ω_t¹=ω_t²=x” .

Th´eor`eme (Derrida, Evans 92) Siλ(αβ)−αλ(β)<−lnP

t,xp(t,x)^α/2, alors W∞>0.

Notation :βα la valeur critique ainsi obtenue.

Notations et r´ esultats

∃α∈(1,2] sup_nQ[W_n^α]<+∞⇒ (W_n)n∈N est U.I.

ω1,ω2m.a. ind´ependantes issues de 0 : p(t,x)=P^⊗2“

0<j<t, ω¹_j 6=ω²_j, ω_t¹=ω_t²=x” .

Th´eor`eme (Derrida, Evans 92) Siλ(αβ)−αλ(β)<−lnP

t,xp(t,x)^α/2, alors W∞>0.

Notation :βα la valeur critique ainsi obtenue.

Notations et r´ esultats

∃α∈(1,2] sup_nQ[W_n^α]<+∞⇒ (W_n)n∈N est U.I.

ω1,ω2m.a. ind´ependantes issues de 0 : p(t,x)=P^⊗2“

0<j<t, ω¹_j 6=ω²_j, ω_t¹=ω_t²=x” .

Th´eor`eme (Derrida, Evans 92) Siλ(αβ)−αλ(β)<−lnP

t,xp(t,x)^α/2, alors W∞>0.

Notation :βα la valeur critique ainsi obtenue.

Moments d’ordre α : Id´ ee de la preuve

On utilise les moments d’ordre 2

e^2nλ(β)W_n² =Pn m=0

P

r∈(N×Z^d)^mP^⊗2 h

e^β(Hn1+Hn2)1_ω1r

=ω²

i

e^2nλ(β)Q[W_n^α] = Qh

(W_n²)^α/2i

≤

n

X

m=0

X

r∈(N×Z^d)^m

Qh

Y(r)^α/2i

sup

n

Q[W_n^α] ≤ q^α/2_d

∞

X

m=0

eλ(2β)−2λ(β)X

t,x

p(t,x)^α2

!m

.

Objectif : Etudier ^∂β_∂α^α α=2

Moments d’ordre α : Id´ ee de la preuve

On utilise les moments d’ordre 2

e^2nλ(β)W_n² =Pn m=0

P

r∈(N×Z^d)^mP^⊗2 h

e^β(Hn1+Hn2)1_ω1r

=ω²

i

e^2nλ(β)Q[W_n^α] = Qh

(W_n²)^α/2i

≤

n

X

m=0

X

r∈(N×Z^d)^m

Qh

Y(r)^α/2i

sup

n

Q[W_n^α] ≤ q^α/2_d

∞

X

m=0

eλ(2β)−2λ(β)X

t,x

p(t,x)^α2

!m

.

Objectif : Etudier ^∂β_∂α^α α=2

Moments d’ordre α : Id´ ee de la preuve

On utilise les moments d’ordre 2

e^2nλ(β)W_n² =Pn m=0

P

r∈(N×Z^d)^mP^⊗2 h

e^β(Hn1+Hn2)1_ω1r

=ω²

i

e^2nλ(β)Q[W_n^α] = Qh

(W_n²)^α/2i

≤

n

X

m=0

X

r∈(N×Z^d)^m

Qh

Y(r)^α/2i

sup

n

Q[W_n^α] ≤ q^α/2_d

∞

X

m=0

eλ(2β)−2λ(β)X

t,x

p(t,x)^α2

!m

.

La fonction ρ(α)

On consid`ere la quantit´e

ρ(α) =X

t,x

p(t,x)^α/2.

On r´e´ecrit la condition d’uniforme int´egrabilit´e : λ(αβ)

αβ −λ(β)

β <−lnρ(α) αβ . Propri´et´es :

ρ(α)<+∞sur (1 + 2/d,2]

ρ(a)>0 sur [α₁,2].

ρ admet pour d´eriv´ee, ρ⁰(α) = 1

2 X

t,x

lnp(t,x)p(t,x)^α/2

Apport de la m´ ethode

On d´efinit

( hQ(2) = Q h e^β2g

Q[e^β2g]ln ^eβ2g

Q[e^β2g]

i , hν(2) = −P

t,x p(t,x) 1−q_d ln^p(t,x)_1−q

d.

Th´eor`eme (C., Carmona 07) Il existeα tel queβα> β2 si

h_ν(2)<h_Q(2).

Remarque : Leβ_α∗ optimal satisfait l’´equation α∗βα∗λ⁰(α∗βα∗)−λ(α∗βα∗) =hν(α∗).

Apport de la m´ ethode

On d´efinit

( hQ(2) = Q h e^β2g

Q[e^β2g]ln ^eβ2g

Q[e^β2g]

i , hν(2) = −P

t,x p(t,x) 1−q_d ln^p(t,x)_1−q

d.

Th´eor`eme (C., Carmona 07) Il existeα tel queβα > β2 si

h_ν(2)<h_Q(2).

Remarque : Leβ_α∗ optimal satisfait l’´equation α∗βα∗λ⁰(α∗βα∗)−λ(α∗βα∗) =hν(α∗).

Apport de la m´ ethode

On d´efinit

( hQ(2) = Q h e^β2g

Q[e^β2g]ln ^eβ2g

Q[e^β2g]

i , hν(2) = −P

t,x p(t,x) 1−q_d ln^p(t,x)_1−q

d.

Th´eor`eme (C., Carmona 07) Il existeα tel queβα > β2 si

h_ν(2)<h_Q(2).

Remarque : Leβ_α∗ optimal satisfait l’´equation α β λ⁰(α β )−λ(α β ) =h (α ).

Am´ elioration : environnements particuliers

Valeurs approch´ees de hν(2)

d hν(2) 3 4,6 4 3,8 5 3,6

Valeurs deh_Q(2) pour diff´erents environnements d Gaussien Binomial Poissonien

3 2,16 4,14 6,42

4 3,29 6,23 10,30

5 4,00 7,42 12,73

Enrougeles cas o`u β∗ > β₂.

Am´ elioration : environnements particuliers

Valeurs approch´ees de hν(2)

d hν(2) 3 4,6 4 3,8 5 3,6

Valeurs deh_Q(2) pour diff´erents environnements d Gaussien Binomial Poissonien

3 2,16 4,14 6,42

4 3,29 6,23 10,30

Conclusion

En g´en´eral,β26=βc.

Obtenir une meilleure borne inf´erieure surβ_c.

Relier les notions de faible et fort d´esordre aux valeurs de la fonction de taux de la fonctionnelle de grande d´eviation.

Quel est le lien avec l’´energie libre ? p_n(β) = 1

nlnW_n(β)