Polymères Dirigés & Réseaux Conducteurs de Chaleur

(1)

Polym` eres Dirig´ es

&

R´ eseaux Conducteurs de Chaleur

Systèmes de mécanique statistique à l’équilibre et hors équilibre

AlainCamanes

alain.camanes@univ-nantes.fr

Laboratoire Jean Leray - Universit´e de Nantes

Soutenance de th`ese 02 d´ecembre 2008

(2)

Polym`eres Dirig´es

&

R´eseaux Conducteurs

de Chaleur A. Camanes

Soutenance de th`ese 2/32

Plan de l’expos´ e

Les polymères dirigés Les réseaux conducteurs de chaleur

1 Mod`ele

2 Transitions de phase

3 Temp´erature critique

4 Temps continu

1 Mod`ele

2 Oscillateurs harmoniques

3 R´egularit´e et support

4 Principe de Lasalle

(3)

&

Mod`ele Transitions de phase Temp´erature critique Temps continu

Les polym` eres dirig´ es

1 Mod`ele

2 Transitions de phase

3 Temp´erature critique

4 Temps continu

(4)

&

Mod`ele

Transitions de phase Temp´erature critique Temps continu

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

g(n, ω_n) Z^d

ωn

temps n ω₁

0

(5)

&

Mod`ele

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

g(n, ω_n) Z^d

ωn

temps n ω₁

0

(6)

&

Mod`ele

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

g(n, ω_n) Z^d

ωn

temps n ω₁

0

(7)

&

Mod`ele

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

g(n, ω_n)

temps ωn

Z^d

n

(8)

&

Mod`ele

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

temps ωn

Z^d

0 1

ω₁

n g(1, ω₁)

g(n, ωn)

(9)

&

Mod`ele

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

temps ωn

Z^d

0 1

ω₁

n g(1, ω₁)

g(n, ωn)

Position du monom`ere i :ω_i. Energie du polym`´ ere `a l’instantn :Hn(ω)=

n

X

i=1

g(i, ωi).

Temp´erature :T = 1/β.

Fonction de partition :Z_n=P

e^βHⁿ^(ω) . Mesure polym`ere :µn(·)=P[·e^βHⁿ]/Zn.

(10)

&

Mod`ele Transitions de phase

Temp´erature critique Temps continu

Transitions de phase

Hypoth`eses :

(g(i,x))i,x i.i.d.sous la loiQ, λ(β)= lnQ

e^βg

<+∞.

ILa fonction de partition et l’´energie libre Wn = e^−nλZn

−−→p.s. W∞,

pn = _n¹lnWn

−−→p.s. p.

IExistence d’une transition de phase βc

?

0

p= 0 ^p^{= 0}

?

W_∞= 0p.s. W_∞= 0p.s. p<0

? fβc β

W_∞>0p.s.

(11)

&

Transitions de phase

Hypoth`eses :

(g(i,x))i,x i.i.d.sous la loiQ, λ(β)= lnQ

e^βg

<+∞.

ILa fonction de partition et l’´energie libre Wn = e^−nλZn

−−→p.s. W∞, pn = _n¹lnWn

−−→p.s. p.

IExistence d’une transition de phase βc

?

0

p= 0 ^p^{= 0}

?

W_∞= 0p.s. W_∞= 0p.s.

p<0

? fβc β

W_∞>0p.s.

(12)

&

Les cons´ equences de la transition de phase

IPrincipe d’invariance[Comets, Yoshida 06] : Siβ < βc alors pour touteF continue born´ee, B mouvement Brownien de matrice de covarianced⁻¹Id

µn

h F

√1 nωnt

i

→E[F(B)].

ILocalisation[Carmona, Hu 02]: Si β > βc alors il existe c₀>0 t.q.

lim supµn−1 ω¹_n=ω_n²

≥c0. ITemp´eratures critiques:

β_c = 0 d =1,2 [Carmona, Hu 02]

βec = 0 d =1 [Comets, Vargas 06]

IMoments d’ordre2 [Bolthausen 89]: il existe une temp´erature β2 telle que

β₂≤β_c.

(13)

&

Mod`ele Transitions de phase Temp´erature critique

M´ethode des moments Condition entropique Temps continu

Les moments fractionnaires

IL’uniforme intégrabilité [Carmona, Hu 02]: β < β_c si et seulement si (W_n)_n est uniformément intégrable.

Il existe α∈(1,2]t.q.

sup_nQ[Wn(β)^α]<+∞

⇒β < βc.

IM´ethode des moments fractionnaires[Derrida, Evans 92] : Z_n^α = Ph

e^βHⁿi2α/2

= P^⊗2 h

e^βHⁿ^(ω¹^)+βHⁿ^(ω²⁾ iα/2

= P^⊗2 h

e^β^Pⁿⁱ⁼¹^g^(i,ω¹ⁱ^)+g^(i,ω²ⁱ⁾ iα/2

(14)

&

La condition d’uniforme int´ egrabilit´ e

IOn s’int´eresse alors aux instants de rencontre des marches al´eatoires :

ω1

ω2 temps t2

t1 x2 x1 Z^d

IOn introduit les quantit´es pt,x=P

ω¹, ω² se rencontrent pour la 1`ere fois en (t,x)

, πd=X

t,x

pt,x.

ICondition d’uniforme int´egrabilit´e [Derrida, Evans 92] : S’il existeα∈(1,2] tel que λ(αβ)−αλ(β)<−lnP

t,xp_t,x^α/2 alors

β ≤βc.

(15)

&

La temp´ erature critique

IUne borne inf´erieure sur la temp´erature inverse critique : βα= sup

(

β;λ(αβ)−αλ(β)<−lnX

t,x

p^α/2_t,x )

. IGraphe de la fonctionα7→β_α,

α

1 2

βα

βc

β2

ILa temp´eratureβ₂ n’est pas optimale d`es que

∂

∂αβ_α

α=2<0.

Remarque :Lorsqueg suit une loi gaussienne, la fonction α7→βα est strictement concave.

(16)

&

De l’uniforme int´ egrabilit´ e ` a l’entropie

IOn introduit les entropies h_Q = Q

e^β²^g

e^λ(β²⁾ ln e^β²^g e^λ(β²⁾

, hν = −X

t,x

pt,x

π_d lnpt,x

π_d .

Th´eor`eme ([C., Carmona 08]) Si h_Q <h_ν alors β₂ < β_c. IPar exemple

d hν h_Q

binomial poisson gaussien

3 5.18 4.96 6.42 2.16

4 4.08 7.59 10.30 3.29

5 3.52 9.17 12.73 4

(17)

&

R´ ecapitulatif

βc

?

0

p= 0 p= 0

?

W_∞= 0p.s. W_∞= 0p.s.

p<0

? fβc β

W_∞>0p.s.

(18)

&

Equation´ d’Anderson parabolique Changement d’´echelle

Les polym` eres dirig´ es en temps continu

temps t

Z^d

τ1 τ2

ωt

x

Marche al´eatoire de taux de sautκ :ω.

Environnement au point x `a l’instantt :Bx(t).

Hamiltonien :H_t(ω)=Rt

0dB_ω_s(s).

Fonction de partition :W_t(β)=P

e^βH^t⁻^tβ

2

. Energie libre´ :p_t(β)= ¹_t lnW_t.

(19)

&

Fonction de partition et ´ energie libre

Th´eor`eme

Il existe une variable al´eatoire W∞ et une fonction p(β) telles que

W_t(β) −−→^p.s. W∞(β), p_t(β) −−→^p.s. p(β).

Structure de la d´emonstration

IPropriété de Markov + Suradditivité⇒ Convergence L¹ : Q[p_t]→Q[p].

ICalcul de Malliavin⇒ Concentration : Q(|lnWt−Q[lnWt]| ≥u)≤2e⁻

u2 2β2t.

(20)

&

Polym` eres et ´ equation d’Anderson parabolique

ILa fonction de partition point `a point Wt(β;x,y)=Px

h

e^βH^t^(ω)−tβ²^/21ωt=y

i .

IL’´equation d’Anderson parabolique

dW_t(β; 0,x) =κ∆W_t(β; 0,·)(x)dt+βW_t(β; 0,x)dB_x(t).

IFonction de Lyapunov[Cranston, Mountford, Shiga 02]: il existe une fonctionγ et une constante α >0 telles que

1 t lnPh

e^R⁰^t^dB^ω^s^(s)i

→γ(κ), avecγ(κ) ln(κ)∼₀ −^α₄².

(21)

&

Asymptotique de l’´ energie libre

Th´eor`eme

Il existe une constanteα >0 telle que pour tout κ >0, p(β) +β²

2 ∼_β→∞ α² 8

β² lnβ. IChangement d’´echelle du mouvement brownien :

B^(c)= 1

√cBct

t≥0 loi=B.

IApplication du changement d’´echelle : p(κ, β) = lim

t→∞

1 tQlnP

h

e^βH^t^(ω,B^(c)⁾ i

−β²/2

= clim

t 1 ctQlnP

e

√β

cHct(eω,B)

−β²/2

= β²γ(κ/β²)−β²/2.

(22)

&

Modèle Oscillateurs harmoniques Régularité et support Principe de Lasalle

Les r´ eseaux conducteurs de chaleur

1 Mod`ele

2 Oscillateurs harmoniques

3 R´egularit´e et support

4 Principe de Lasalle

(23)

&

Modèle Equations´ Températures constantes La chaˆıne d’oscillateur Oscillateurs harmoniques Régularité et support Principe de Lasalle

Le r´ eseau d’oscillateurs

V

Atomes :◦

Potentiel d’accrochage :V Potentiel d’interaction :U Atomes du bord :•,•

Position :q_i

Quantit´e de mouvement :pi

(24)

&

Le r´ eseau d’oscillateurs

V

Atomes :◦

Potentiel d’accrochage :V

Potentiel d’interaction :U Atomes du bord :•,•

Position :q_i

(25)

&

Le r´ eseau d’oscillateurs

U V

Atomes :◦

Potentiel d’accrochage :V Potentiel d’interaction :U

Atomes du bord :•,•

Position :q_i

(26)

&

Le r´ eseau d’oscillateurs

U V

Atomes :◦

Position :q_i

(27)

&

Le r´ eseau d’oscillateurs

U V

Atomes :◦

Position :q_i

IL’hamiltonien:

H(q,p) =X

i∈V

p²_i

2 +X

i∈V



V(q_i) +¹₂X

j∼i

U(q_i −q_j)





IHypothèse : U,V polynômes pairs,U symétrique.

(28)

&

La dynamique

ILes ´equations diff´erentielles stochastiques







dqi=∂piH dt

dp_i=−∂_q_iH dt+. . . + −p_i dt+√

2T_i dB_i 1i∈∂V

2 4

1

3

ILe g´en´erateur du semigroupe (P_t) L=X

i∈V

∂_p_iH∂_q_i −∂_q_iH∂_p_i − X

i∈∂V

p_i∂_p_i + X

i∈∂V

T_i∂_p²

i. ILes mesuresinvariantes

L^?µ= 0.

(29)

&

Un cas particulier

Lorsque les temp´eratures sont ´egales,

Ti =T >0,∀i ∈∂V. ² ⁴

U

V 1

3

IL’adjoint du g´en´erateur

L^?=−∇_pH· ∇_q+∇_qH· ∇_p+ X

i∈∂V

pi∂pi +|∂V|+T X

i∈∂V

∂_p²_i.

ILamesure de Gibbs (β = 1/T) µ(dz) = e^−βH

Z dz, est invariante

L^?µ= 0.

(30)

&

Les r´ esultats pr´ ec´ edents

ILes chaˆınes d’oscillateurs[Eckmann, Pillet, Rey-Bellet 99]: dans le cadre d’une chaˆıne d’oscillateurs, lorsque

l’interaction est plus forte que l’accrochage, il existe une unique mesure invariante.

ILes réseaux d’oscillateurs [Maes, Neto˘cn`y, Vershuere 03] : sous des conditions reliant le potentiel d’interaction à l’ordre du réseau, il existe au plus une mesure invariante.

(31)

&

Mod`ele Oscillateurs harmoniques

Asymétrie Complétude Contre-exemple Régularité et support Principe de Lasalle

La condition d’asym´ etrie

I La matrice d’adjacence Λ = (Λ_ij)_i_,j : Λ_ij =δi∼j.

I La condition d’asym´etrie: E_Λ,∂V = Vect

n

Λ^kei, i ∈∂V,k ∈N o

= R^N.

Λ =







0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0







2 4

1

3

IExemples :

(32)

&

Asym´ etrie et unicit´ e

On suppose ici que les potentiels sont harmoniques, c’est-`a-dire que

U(x) =V(x) = x² 2 .

Th´eor`eme

Si le graphe(G,∼, ∂V)est asym´etrique alors la diffusion admet une unique mesure invariante.

Th´eor`eme

Si le graphen’est pasasym´etrique alors la diffusion admet soit aucune, soit uneinfinit´e de mesures invariantes.

(33)

&

Valeurs propres et compl´ etude : Id´ ee de la preuve

Th´eor`eme

Si le graphe(G,∼, ∂V)est asym´etrique alors la diffusion admet une unique mesure invariante.

On remarque que pourx,y ∈Rⁿ,

kPt^?δx−Pt^?δyk ≤ kZt^x−Z_t^yk

≤ ke^Mt(x−y)k,

o`u

M=

„ 0 I Λ−D−I −I∂V

« .

Lorsque la condition d’asymétrie est satisfaite, la partie réelle des valeurs propres deM estnégativeet on a donc la majoration

kP_t^?δx−P_t^?δyk ≤Ce^−µ⁰^tkx−yk.

On conclut en utilisant lacompl´etudedes espaces de Wasserstein.

(34)

&

Sym´ etrie et non-unicit´ e : Id´ ee de la preuve

Th´eor`eme

Si le graphen’est pasasym´etrique et s’il existe une mesure invarianteµ alors la diffusion admet uneinfinit´e de mesures invariantes.

On exhibe une quantit´e invariante par le flot hamiltonien qui ne d´epend pas des atomes du bord.

L^?f = −{H,f}+X

i∈∂V

pi∂p_if +|∂V|f +X

i∈∂V

Ti∂p²_if

= −{H,f}+L^?∂Vf.

Quantit´e conserv´ee:

K(q,p) =hz,pi²+αhz,qi², Λz=αz, z∈ EΛ,∂V^⊥

z

EΛ,∂V

Alors, pour toute constanteγ >0, la mesure suivante est une mesure invariante :

e^−γK Z µ(dz).

(35)

&

Modèle Oscillateurs harmoniques Régularité et support

Régularité Support et contrôle Support et récurrence Contrôlabilité faible et support Principe de Lasalle

Condition de H¨ ormander et r´ egularit´ e

IL’algèbre de Lieassociée à la diffusion : L=

∂_p_i, i ∈∂V+ stabilit´e par crochet interne et par X

j

∂_p_jH∂_q_j−∂_q_jH∂_p_j,

.

ILa condition de H¨ormander : Si pour toutz ∈Rⁿ,

dim L(z) =n alors le semigroupe est fortement fellerien et la mesure invariante admet unedensit´e C^∞ par rapport `a la mesure de Lebesgue.

IRemarque :LorsqueU, V sont harmoniques la condition d’asymétrie est équivalente à la condition de Hörmander.

(36)

&

Contrˆ ole et support

Système stochastique Système déterministe dZ_t=f(Z_t)dt+σ◦dB_t z˙_t=f(z_t) +σ u(t), u∈ C^morc IThéorème du support[Stroock-Varadhan 1972]: Pour tout t₀ >0, x ∈Rⁿ,

Supp P_t₀(x,·) = C`

z_t₀;∃u ∈ C^morc, z₀=x, z˙_t =f(z_t) +σu(t) IContrˆolabilit´e faible : Pour tout z ∈Rⁿ,A⊂Rⁿ, il existe T_z,A>0,u t.q.

z₀ =z,z_T_z,A ∈A.

A zTz,A

u(t) z

(37)

&

Support et r´ ecurrence

Th´eor`eme

Supposons que la condition de H¨ormander soit satisfaite et qu’il existe une mesureµt.q.

Suppµ=Rⁿ, µ est invariante.

Alors, la diffusion(Z_t^z) est r´ecurrente.

µest ergodique

h(z) =P[1Zt∈A] est invariante ⇒ (Zt^z) est r´ecurrente.

h(Zt) est convergente h(z) = 1µ-p.s.

Corollaire

Le système déterministe(S) est alors faiblement contrôlable Remarque :Pour des températures égales, le système est faiblement contrôlable.

(38)

&

Contrˆ olabilit´ e et unicit´ e

IUnicité de la mesure invariante [Hairer 2005]: Supposons que la condition de Hörmander soit satisfaite. Si (S) est faiblement contrôlable alors la mesure invarianteµde (Σ) est unique (si elle existe) etSuppµ=Rⁿ.

Remarque :Pour toute matriceσ inversible, la contrôlabilité faible des systèmes suivants est équivalente :

(S1) z˙t=f(zt) +σu(t) (S₂) z˙_t=f(z_t) +u(t)

Th´eor`eme

Si la condition d’Hörmander est satisfaite et les températures sont toutes strictement positives, la diffusion possède au plus une mesure invariante.

(39)

&

Freinage et thermostats Principe de Lasalle et support Perspectives

Freinage sans excitation

IThermostats `a temp´erature nulle :

1 3

4 6 5

2

D :•,•: Atomes frein´es.

∂V :• : Atomes frein´eset excit´es.

ILes ´equations diff´erentielles stochastiques :







dq_i=∂_p_iH dt

dpi=−∂_q_iH dt+· · ·

· · · −pi1i∈D dt+√

2Ti1i∈∂V dBi

(40)

&

Supports disjoints & Principe de Lasalle

IR´egularit´e : (Pt) est asymptotiquement fortement fellerien au pointz s’il existe d_n(x,y)→1x6=y, (t_n) telles que

γ→0limlim sup

n→∞ sup

y∈B(z,γ)

kP_t_n(z,·)−P_t_n(y,·)k_d_n = 0.

IPrincipe de Lasalle : S’il existe une unique solution à l’équation ˙H(z) = 0 alors toute solution de l’équation sans bruit converge vers l’unique minimum deH.

R

T 0

c

IPropri´et´e[Hairer, Mattingly 06] : Si le semigroupe estASF en c alorsc appartient au support d’au plus unemesure invariante.

(41)

&

Conditions de r´ egularit´ e et d’unicit´ e

On notec le point o`u H atteint son minimum.

ICondition de rigidité: On dit que le réseau est rigide si toute solution de l’équation sans bruit satisfaisantp_i1i∈D ≡0 est la solution constantez =c.

Th´eor`eme

Lorsque le semigroupe est fortement fellerien en c et le r´eseau est rigide, il existe au plus une mesure invariante.

De plus, c∈Suppµ.

Remarque :Lorsque les potentiels sont harmoniques, le syst`eme est rigide si et seulement sidimE_M,D=n.

(42)

&

Perspectives

IÉtude de la production entropique :[Maes, Neto˘cn`y, Vershuere 03]La production d’entropie est strictementnégative si et seulement si les températures sont différentes.

IGénéraliser les résultats sur les vitesses[Hairer 08]de convergence aux réseaux.

ILorsque l’interaction est quadratique et l’accrochage au moins de degr´e 4, la convergence n’est pas exponentielle.