POLYM`ERES DIRIG´ES ET R´ESEAUX CONDUCTEURS DE CHALEUR

UNIVERSIT ´E DE NANTES

FACULT ´E DES SCIENCES ET TECHNIQUES

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET TECHNOLOGIES´ DE L’INFORMATION ET DES MATH ´EMATIQUES

Ann´ee : 2008 N° B.U. :

POLYM` ERES DIRIG´ ES ET

R´ ESEAUX CONDUCTEURS DE CHALEUR

Syst`emes de m´ecanique statistique `a l’´equilibre et hors ´equilibre

Th` ese de Doctorat de l’Universit´ e de Nantes

Sp´ecialit´e : Math´ematiques et Applications Pr´esent´ee et soutenue publiquement par

Alain CAMANES

le 02 d´ecembre 2008, devant le jury ci-dessous

Pr´esident du jury : DidierRobert Professeur (Universit´e de Nantes) Rapporteurs : FrancisComets Professeur (Universit´e de Paris-Diderot)

MartinHairer Professeur Associ´e (The University of Warwick) Examinateurs : MihaiGradinaru Professeur (Universit´e de Rennes)

AnnePhilippe Professeur (Universit´e de Nantes) Directeur de th`ese : PhilippeCarmona Professeur (Universit´e de Nantes) Laboratoire : Laboratoire Jean Leray(UMR 6629 UN-CNRS-ECN)

N° E.D. : 0503-011

Remerciements

Cette soutenance n’aurait pu avoir lieu sans la lecture attentive du manuscrit par Francis Comets et Martin Hairer. Je les remercie d’avoir port´e autant d’attention `a mes travaux et de m’avoir fait part de leurs pr´ecieuses remarques. Un grand merci `a Mihai Gradinaru dont j’avais pu constater la disponibilit´e lors de ma premi`ere participation

`

a un colloque de math´ematiciens `a Saint-Flour. Didier Robert a r´eguli`erement assist´e

`

a mes expos´es au s´eminaire des apprentis. Je le remercie de sa pr´esence lors de ces s´eances et des discussions que nous avons eues. Je suis tr`es honor´e de sa pr´esence en tant que pr´esident du jury. Anne Philippe m’a ´egalement accompagn´e durant cette th`ese. Nous avons eu de longues discussions sur les stats, l’enseignement, la recherche...

ces moments m’ont beaucoup apport´e. Enfin, cette th`ese n’aurait pu voir le jour sans l’attention constante que Philippe Carmona a prˆet´ee `a mes travaux. Je le remercie pour ses enseignements, sa rigueur scientifique, ses conseils p´edagogiques, son int´egrit´e ainsi que pour les nombreuses conversations que nous avons eues.

Un grand merci `a Jean-Yves Leblin, Sabine Beaurain, Sa¨ıd El Mamouni et Philippe qui ont r´egl´e les d´etails techniques de la visioconf´erence en un temps record.

Sans d´ecrire toutes les rencontres scientifiques qui ont jalonn´e mon parcours, je tiens

`

a remercier mon p`ere qui m’a transmis sa curiosit´e alors que j’usais mes culottes sur les bancs de l’´ecole primaire, M. Carri`ere qui a favoris´e l’´epanouissement de mon int´erˆet pour les math´ematiques en classe de premi`ere, mes professeurs de pr´epa pour leur enseignement et l’ ´Ecole Normale Sup´erieure de Cachan qui par le statut de fonction- naire stagiaire qu’elle procure m’a permis d’effectuer des ´etudes dans un environnement au meilleur niveau. Parmi Les diff´erentes personnes crois´ees et recrois´ees durant les s´eminaires et ´ecoles d’´et´e, je pense sp´ecialement `a Florent Malrieu et Jean-Baptiste Bardet qui se sont toujours montr´es int´eress´es par mon travail.

Un merci collectif au laboratoire de math´ematiques de l’Universit´e de Nantes qui m’a accueilli durant ces trois ann´ees. Fran¸cois qui apporte tant aux doctorants par sa constance au s´eminaire des apprentis. Sa curiosit´e, sa culture, ses questions sont irrempla¸cables. Brigitte, Annick, Martine, Colette, sont toujours prˆetes `a nous aider pour les tˆaches administratives. Leurs qualit´es humaines sont un r´econfort quotidien.

Dani`ele nous apporte un bol d’air ext´erieur tr`es appr´eciable dans la grisaille de notre bureau. Claude, le grand maˆıtre de la biblioth`eque, a toujours occasionn´e des pauses tr`es agr´eables entre deux lectures. Enfin, un grand merci `a Sa¨ıd l’informaticien, toujours prˆet `a nous d´epanner.

Musicalement, les Fanfarons ont su m’accueillir et favoriser mon int´egration dans

le laboratoire. Merci `a Jean-Marc le clarinettiste-photocopieur de m’avoir invit´e `a me joindre `a vous. Nos ´echanges musicaux et extra-musicaux ont toujours ´et´e d´elicieux ! Merci `a Pierre-Emmanuel le chef, Xavier, Nicolas, Blandine les flˆutistes, Fran¸cois le marin-clarinettiste, Manu le violoniste pour leur pr´esence hebdomadaire. Le sous-groupe by pass, discret pour l’instant mais ˆo combien distingu´e, a su m’initier `a l’impro. Je continuerai volontiers `a apprendre aupr`es de Friedrich au cuivre ´etincelant de bont´e, ´Eric dont la virtuosit´e n’a d’´egal que la sympathie, Rodolphe et Øystein le batteur norv´egien.

Une d´edicace sp´eciale au duo ´Eric-Friedrich pour ses pauses caf´e. Les longues taroinches, discussions, soir´ees pass´ees avec Rodolphe m’ont permis d’appr´ecier sa compagnie et sa disponibilit´e.

Les th´esards. Comment en quelques lignes ´evoquer tous ces bons moments ? Les anciens dont j’ai suivi les pas : Arnaud, S´ebastien, Simon, Skander. Fanny avec qui j’ai d´ebarqu´e `a Nantes et qui a partag´e mon bureau durant ces trois ann´ees. Alexandre dont l’entrain a ´egay´e notre quotidien. Aymeric. Cette ann´ee pass´ee dans le mˆeme bureau a consolid´e une amiti´e naissante. ´Etienne, son humour, sa cuisine, sa petite femme Aline. Antoine, sa discr´etion, son amiti´e. Vincent ses d´ebats, ses coinches, ses discussions math´ematiques. Manu l’initiateur de la taroinche. L’italien Arvid. Et les petits nouveaux : Nicolas le groupo¨ıde, Ronan le statisticien blagueur, Simon l’alg´ebriste sympathique, Carlos, Baptiste et Anne. Et Julien dont l’humour a rejoint le bureau 027.

Un petit mot sur ces soir´ees pass´ees `a errer avec Archibald de Pommeraye de Hauteville (ce bon vieux Archi), Francis la brute farceuse, B´en´edec le moine planant, Vlad le pingre, sous le regard bienveillant du gentil organisateur. Et hors de Nantes ? Mon passage `a Toulouse m’a permis de rencontrer des amis formidables : Renaud, Martin, Benoˆıt, J´erˆome, St´ephane. Les rencontres cachanaises : Bertrand, ´Etienne, Mathieu, Nicolas, Vincent, Yoann. Les rencontres parisiennes : Rachel, Raph, Fabien. ´Evoluant dans d’autres domaines, nos discussions n’en sont que plus riches et anim´ees.

Ces derni`eres lignes iront aux personnes qui me soutiennent depuis fort longtemps.

Nelly et Virginie dont la venue `a cette soutenance me fait chaud au coeur. Marie-Claude et Charles qui m’entourent depuis que je suis haut comme ¸ca et qui ont pu se lib´erer, traverser la France et sont l`a aujourd’hui. Bernard, Genevi`eve, St´ephanie, S´ebastien et Claire qui m’ont offert une place de choix au sein de leur famille. Leurs conseils avis´es, leur amiti´e sont pour moi tr`es importants. Mes grands-parents, ma soeur Isabelle avec qui je partage bien plus que mon goˆut pour les maths et mes parents ont su cr´eer, durant toutes ces ann´ees, un environnement rassurant et entourant.

Merci `a Christine... cette page est trop ´etroite et les mots me manquent pour que je puisse d´ecrire tout le bonheur que tu fais naˆıtre dans notre quotidien.

Table des mati` eres

Introduction 1

Les polym`eres dirig´es en environnement al´eatoire . . . 1

Les r´eseaux conducteurs de chaleur . . . 3

Quelques conventions. . . 5

I Les polym`eres dirig´es 7 I.1 Introduction. . . 8

I.2 Une meilleure borne sur la temp´erature critique . . . 13

I.3 Le temps continu et l’´equation d’Anderson parabolique. . . 31

II Les r´eseaux conducteurs de chaleur 47 II.1 Introduction. . . 48

II.2 Les oscillateurs harmoniques. . . 56

II.3 La r´egularit´e et l’unicit´e de la mesure invariante . . . 66

II.4 L’unicit´e : le principe de Lasalle. . . 79

II.5 L’unicit´e : la contrˆolabilit´e . . . 86

II.6 L’existence de mesures invariantes . . . 94

A Appendice 107 1 Introduction. . . 107

2 The fractional moment method . . . 109

3 Proof of Theorem 1. . . 112

4 Numerical Results . . . 114

Bibliographie 121

Table des figures 123

Index 126

Introduction

Nous pr´esentons dans cette introduction les motivations, mod`eles et r´esultats obtenus dans cette th`ese. Nous avons choisi de d´efinir bri`evement le formalisme math´ematique d`es maintenant sans entrer dans les d´etails. Les notations, r´ef´erences et r´esultats d´etaill´es seront ´enonc´es dans chacun des chapitres. Ainsi, chacun des cha- pitres pourra ˆetre lu ind´ependamment.

Cette th`ese porte sur deux exemples issus de la m´ecanique statistique. La motiva- tion principale est la compr´ehension math´ematique du comportement de ces mod`eles.

Les deux exemples trait´es portent sur deux questions bien distinctes en m´ecanique sta- tistique : le comportement de syst`emes `a l’´equilibre et hors ´equilibre ; nous verrons en particulier que les outils utilis´es pour traiter ces questions diff`erent notablement.

D’une part, un syst`eme m´ecanique `a l’´equilibre `a temp´erature T a une probabilit´e e<sup>H/T</sup>/Z d’avoir une ´energie H. La quantit´e e<sup>H/T</sup> est appel´ee facteur de Boltzmann et la mesure de probabilit´e associ´eemesure de Gibbs. Cette mesure sera l’objet central du mod`ele des polym`eres dirig´es, sujet du premier chapitre de cette th`ese.

D’autre part, l’´etude des syst`emes m´ecaniques incite `a se poser la question sui- vante :´etant donn´e un syst`eme m´ecanique, atteint-il un ´etat stationnaire ? Ainsi, si l’on place une barre m´etallique entre deux thermostats, comment va ´evoluer la temp´erature

`

a l’int´erieur de cette barre ? Va-t-on finir par observer un gradient de temp´erature `a l’int´erieur du mat´eriau ? Cet ´etat stationnaire sera-t-il unique ? Au bout de combien de temps va-t-on l’observer ? Pour r´epondre `a ces questions, nous ´etudions les ´equations qui r´egissent le comportement des r´eseaux conducteurs de chaleur hors ´equilibre. Nous nous int´eressons `a la question de l’existence et de l’unicit´e d’un ´etat stationnaire.

Dans les lignes qui suivent, nous pr´esentons bri`evement les r´esultats principaux qui seront d´evelopp´es dans le corps de la th`ese.

Les polym` eres dirig´ es en environnement al´ eatoire

Consid´erons une marche al´eatoireωde longueurn, ´evoluant dans l’espaceZ^d. Tracer le graphe de la marche al´eatoire en mettant en valeur sa dimension temporelle revient `a tracer une succession de points dansZ<sup>d+1</sup>(voir la figureI.1). Cet ensemble de points est utilis´e pour mod´eliser une succession de monom`eres, soit un polym`ere de longueur n.

Ce polym`ere vit dans un environnement al´eatoire. Ainsi, en tout point (i, x) deN×Z<sup>d</sup>, la variable al´eatoire g(i, x) repr´esente la valeur de l’environnement. Intuitivement, on peut imaginer un polym`ere constitu´e d’une suite de monom`eres hydrophiles se trouvant

dans un m´elange huile/eau. Le polym`ere va pr´ef´erer les positions o`u ses monom`eres se trouvent sur des particules d’eau. Ainsi, nous allons d´efinir l’´energie du polym`ere comme ´etant la somme des valeurs de l’environnement visit´e : Hn(ω) =Pn

i=1g(i, ωi).

Supposons quegsoit faible lorsqu’une goutte d’huile est pr´esente, ´elev´e lorsqu’il y a une goutte d’eau. Le polym`ere va donc se trouver pr´ef´erentiellement dans des ´etats d’´energie maximale.

La difficult´e majeure de ce genre de mod`eles est sa non consistance. En effet, il se peut qu’un chemin optimal de longueur 2nne suive, lors de ses premiers pas, aucun des chemins optimaux de taillen: il vaut peut-ˆetre mieux sacrifier ses premiers monom`eres si l’on souhaite que les suivants se trouvent dans une majorit´e de sites aqueux.

Conform´ement au facteur de Boltzmann introduit ci-dessus, nous allons ´etudier, lorsque le nombre de monom`eres devient tr`es grand, le facteur de Boltzmann moyen, appel´efonction de partition, pour une temp´eratureT donn´ee,

Z_n(T) =Ph e^Hn/Ti

.

Nous pouvons d`es `a pr´esent remarquer que 3 param`etres principaux vont r´egir le com- portement du polym`ere : la temp´erature, la forme de l’environnement et la dimension d dans laquelle il ´evolue (rappelons que les marches al´eatoires sont r´ecurrentes en di- mensions 1,2 et transientes en dimensions sup´erieures).

Il a ´et´e d´emontr´e que, pour ce mod`ele de polym`ere, il existe une transition de phase.

Lorsque la temp´erature est sup´erieure `a une temp´erature critique T<sub>c</sub>, le polym`ere ne tient pas compte de son environnement et son comportement est diffusif : il ressemble

`

a celui d’une marche al´eatoire. En de¸c`a de la temp´erature critique, le polym`ere va se localiser sur des sites o`u l’environnement est ´elev´e. La temp´erature T_c d´epend de l’environnement et de la dimension. Un moyen de mieux comprendre cette temp´erature critique est d’utiliser la m´ethode des r´epliques ou m´ethode du moment d’ordre2. Cette technique permet de trouver une borne sup´erieure T₂≥T_c.

La premi`ere partie sera consacr´ee `a l’´etude d’un crit`ere permettant d’assurer que la temp´erature critiquen’est pas la temp´erature T2.

Th´eor`eme (cf. Th´eor`eme I.1). En dimension d plus grande que 3, lorsque l’entro- pie du r´eseau sur lequel ´evolue le polym`ere est plus faible que l’entropie du milieu, la temp´erature critique est diff´erente de la temp´eratureT₂.

La seconde partie de ce chapitre sera consacr´ee `a l’´etude de l’´energie libre. Cette

´

etude sera effectu´ee dans le cadre de polym`eres `a temps continu ´evoluant dans un envi- ronnement gaussien (nous noterons maintenant tla variable temporelle). Nous verrons comment l’´etude de ces polym`eres permet de mieux comprendre la fonction de Lyapu- nov de l’´equation d’Anderson parabolique. La d´emonstration que nous donnerons du th´eor`eme suivant pr´esentera l’avantage d’ˆetre tr`es succincte.

Th´eor`eme (cf. Th´eor`eme I.4). Soient u₀ une fonction born´ee, u(t, x) la solution de l’´equation (I.11) d’Anderson parabolique satisfaisant u(0, x) = u0(x). Il existe une fonction γ telle que, pour toute fonction born´ee u0,

t→∞lim

1

tlnu(t, x) =γ.

Introduction

Enfin, en notant p_t(T) = ¹_tlnZ_t(T) l’´energie libre du syst`eme, nous montrerons l’´equivalent asymptotique suivant via une m´ethode de changement d’´echelle.

Th´eor`eme (cf. Th´eor`eme I.3). Soitp(T) = limt→∞pt(T). Il existe une constante α telle que lorsque T tend vers 0,

p(T)∼ −α² 8

1 T²lnT.

Les r´ eseaux conducteurs de chaleur

Les r´eseaux conducteurs de chaleur mod´elisent un r´eseau d’atomes dont certains sont en contact avec des thermostats. Le r´eseau d’atomes sera repr´esent´e par un graphe connexe de sommetsV et d’arˆetes∼; le sous-ensembles des atomes constitu´e des atomes reli´es `a un thermostat sera appel´e bord du graphe et not´e ∂V. Nous supposerons que tous les atomes sont de masse unit´e et nous noterons qi (resp. pi) la position (resp. la quantit´e de mouvement) de l’atome i.

A ce r´` eseau d’atomes est associ´ee une ´energie H. Naturellement, H est la somme de l’´energie cin´etique et de l’´energie potentielle. L’´energie potentielle est elle-mˆeme d´ecompos´ee en deux parties : une partie d’interaction entre atomes voisins d´ependant de la distance inter-atomes et une partie d’accrochage, chacun des atomes ´etant attir´e vers sa position favorite. Ainsi, on d´efinit

H(q, p) =X

i

p²_i

2 +V(q_i) +¹₂X

j∼i

U(q_i−q_j).

Les potentiels d’interaction et d’accrochageU, V seront suppos´es attractifs, nous dirons qu’ils sont confinants, i.e. lim

|x|→∞U(x) = lim

|x|→∞V(x) = +∞.

En l’absence de contact avec les thermostats, l’´evolution du syst`eme est d´ecrite par une dynamique hamiltonienne. La quantit´e de mouvement est la d´eriv´ee de la position, l’acc´el´eration d´erive de la force `a laquelle est soumise la particulei∈ V,

q˙_i = ∂_piH =p_i,

˙

pi = −∂_qiH.

Consid´erons maintenant l’interaction entre atome et thermostat. On notera Ti la temp´erature du thermostat reli´e `a l’atome i. Intuitivement, l’atome reli´e avec un ther- mostat est frein´e par ce contact (le coefficient de frottement est not´e γ<sub>i</sub>) alors que l’agi- tation mol´eculaire proportionnelle `a la temp´erature de ce dernier engendre un terme de diffusion. Ainsi, pour tout atome ireli´e `a un thermostat `a temp´eratureTi, on remplace l’´equation pr´ec´edente par

dpi(t) =−∂_qiH dt−γipidt+p

TidBi(t), o`u (Bi)i∈∂V est une famille de mouvements browniens ind´ependants.

L’objectif de ce mod`ele est de montrer que la description pr´ec´edente permet d’obtenir la loi de Fourier, c’est-`a-dire que lorsque le syst`eme a atteint son ´etat stationnaire, le courant de temp´erature traversant le r´eseau est proportionnel (via la conductance) au gradient de temp´erature. Nous nous sommes int´eress´es `a l’existence et `a l’unicit´e d’un tel ´etat stationnaire. Math´ematiquement, cela revient `a r´epondre `a la question : la diffusion d´efinie par l’´equation diff´erentielle stochastique pr´ec´edente poss`ede-t-elle une unique mesure de probabilit´e invariante ?

Dans un premier temps, nous d´ecrirons le cas o`u les potentiels sont harmoniques (i.e. U(x) = V(x) = x<sup>2</sup>/2). Nous d´efinirons une condition alg´ebrique permettant de v´erifier que les thermostats sont dispos´es de mani`ere asym´etrique dans le r´eseau. Nous montrerons, via un th´eor`eme de point fixe, le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme (cf. Th´eor`eme II.3). Supposons que les potentiels U, V soient harmo- niques. Lorsque le graphe(V,∼, ∂V) satisfait la condition (II.6) d’asym´etrie, le syst`eme converge exponentiellement vite vers un unique ´etat d’´equilibre.

De plus, lorsque la condition d’asym´etrie n’est pas satisfaite, il existe une quantit´e inva- riante par le flot hamiltonien qui permet de d´efinir une infinit´e de mesures de probabilit´e invariantes.

Remarquons d`es `a pr´esent que la d´emonstration de ce th´eor`eme propose une mani`ere constructive pour d´efinir une infinit´e de mesures invariantes lorsque la condition d’asym´etrie n’est pas satisfaite.

Nous utiliserons ensuite dans un premier temps le principe de Lasalle et la contrac- tion de la diffusion, puis dans un deuxi`eme temps une m´ethode de contrˆolabilit´e faible pour montrer le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme (cf. Th´eor`eme II.13). Lorsque le potentiel U est un monˆome et V est un polynˆome, si la disposition des thermostats dans le graphe est asym´etrique, l’´etat d’´equilibre, s’il existe, est unique.

Enfin, nous g´en´eralisons les r´esultats d’existence d’une mesure invariante obtenus pour des chaˆınes d’oscillateurs au cadre des r´eseaux conducteurs de chaleur. Nous serons pour cela amen´es `a effectuer une hypoth`ese suppl´ementaire de rigidit´e : on supposera que lorsque les atomes du bord du r´eseau sont contraints `a l’immobilit´e, le r´eseau est alors obligatoirement immobile.

Th´eor`eme (cf. Th´eor`eme II.17 & Th´eor`eme II.20). Lorsque la condition (II.14) de rigidit´e est satisfaite et que le potentiel d’interaction est plus puissant que le potentiel d’accrochage, il existe un unique ´etat stationnaire.

Lorsque le potentiel d’interaction est harmonique et le potentiel d’accrochage est deux fois plus fort, on ne pourra pas obtenir de convergence exponentielle vers la mesure invariante.

On remarque cependant que la convergence exponentielle vers l’´etat d’´equilibre n’a pu ˆetre obtenue lorsque le potentiel d’interaction est plus fort que le potentiel d’accro- chage.

Introduction

Quelques conventions

Dans la suite de cette th`ese, nous utiliserons les conventions de notation suivantes.

u_nv_n : pour toutes suites de r´eels (u_n),(v_n), 0<lim inf ^u_vⁿ

n ≤lim sup^u_vⁿ

n <+∞.

|A|: pour tout ensemble A,|A|d´esigne son cardinal.

kx−yk₁ : pour tout couple de vecteurs x= (x₁, . . . , x_d), y= (y₁, . . . , y_d)∈Z^d, d´esigne la norme 1, Pd

i=1|x_i−yi|.

f ≡c: pour toutz∈Rⁿ, c∈R^m et f :Rⁿ→R^m,f(z) =c.

(ei)i∈{1,...,n} : la base canonique deRⁿ.

B(z, ε) : pour toutz∈Rⁿ, ε >0, la boule de centre z et de rayonε.

[·,·] : pour tout couple de champs de vecteurs (X, Y), on note [X, Y] le crochet de Lie entre X etY, [X, Y] =X(Y)−Y(X).

◦

A : pour tout ensemble Ade Rⁿ,

◦

Ad´esigne l’int´erieur de A.

Nn,Zn : pour tout entiern,Nn={i∈N, i≤n} etZn={i∈Z,|i| ≤n}.

I - Les polym` eres dirig´ es

polymère environnement

temps n

g(n, ω_n)

0 1 ω1

ωn

Z^d

g(1, ω₁)

Fig. I.1 – Polym`ere dirig´e dansZ^d Plan du chapitre

I.1 Introduction . . . . 8

I.1.1 Le mod`ele . . . . 8

I.1.2 Les transitions de phase . . . . 10

I.1.3 Plan du chapitre . . . . 12

I.2 Une meilleure borne sur la temp´erature critique . . . . 13

I.2.1 La m´ethode des moments fractionnaires . . . . 15

I.2.2 Une ´etude de fonction . . . . 18

I.2.3 La condition entropique : d´emonstration du Th´eor`eme I.1 . . . 22

I.2.4 L’environnement gaussien et la condition suffisante . . . . 25

I.2.5 Des exemples d’environnements . . . . 26

I.2.6 Programmes . . . . 27

I.3 Le temps continu et l’´equation d’Anderson parabolique . . 31

I.3.1 Les polym`eres dirig´es et l’´equation d’Anderson parabolique . . 33

I.3.2 Quelques r´esultats de convergence . . . . 35

I.3.3 Le comportement asymptotique de l’´energie libre . . . . 41

I.3.4 Les solutions de l’´equation d’Anderson parabolique . . . . 43

I.1 Introduction

Les polym`eres dirig´es en environnement al´eatoire ont ´et´e introduits dans la litt´erature par D. Huse et C. Henley [HH85] pour mod´eliser l’interface dans un mi- lieu al´eatoire. Le formalisme math´ematique a ´et´e introduit par J.Z. Imbrie et T. Spen- cer [IS88]. Il s’agit d’un mod`ele de marche al´eatoire qui cherche `a optimiser son trajet dans un environnement qui est ´egalement al´eatoire. Nous proposons, dans cette partie, une description de l’interaction entre la marche al´eatoire et son environnement. Nous rappelons ensuite les principaux th´eor`emes connus sur ce mod`ele. Enfin, nous terminons par un r´esum´e des r´esultats que nous d´emontrons dans cette th`ese.

I.1.1 Le mod`ele Le polym`ere dirig´e

Notons Ω_nl’ensemble des chemins de marches al´eatoires dansZ^d, i.e. l’ensemble des chemins issus de 0, de longueurn, dont les sauts sont de longueur 1,

Ωn=

ω∈ Z^d

n+1

;ω0 = 0,∀i= 1, . . . n, kω_i−ωi−1k₁= 1

.

Nous appellerons polym`ere dirig´e tout cheminω ∈Ωn. Nous ´evoquerons ´egalement le mod`ele des polym`eres dirig´es ´evoluant sur des arbres, i.e. nous substituerons `aZ^dun arbre r´egulier `a dbranches et forcerons le polym`ere, `a chacun de ses pas, `a se diriger dans la direction oppos´ee `a la racine (cf. [BPP93] et figureI.2).

g(2, ω₂) g(1, ω1)

g(3, ω3)

0

Fig. I.2 – Polym`ere sur un arbre r´egulier `a 2 branches

L’environnement al´eatoire

Le polym`ere ´evolue dans un environnement al´eatoire not´e (g(i, x))_i∈N,x∈Z^d. Nous supposons dans la suite que ces variables sont ind´ependantes et suivent une mˆeme

I.1. Introduction

loi de probabilit´e Q. Pour tout β ∈ R nous appelons cumulant le logarithme de la transform´ee de Laplace de la loi de la variable al´eatoire g,

λ(β) = lnQ h

e^βg i

.

Nous supposons que cette quantit´e est finie pour toutβ positif. Cette hypoth`ese permet d’utiliser les arguments g´en´eriques sur les martingales. Pour une autre approche issue de la percolation dirig´ee et permettant de supprimer en partie cette hypoth`ese, nous renvoyons le lecteur `a l’article de V. Vargas (cf. [Var07] Theorem 3.1).

Remarque. Nous supposerons dans la suite que β est positif. En effet, lorsque β est n´egatif, il suffit de consid´erer l’environnement o`u −g est substitu´e `a g.

Pour tout chemin ω ∈ Ωn, nous d´efinissons l’´energie associ´ee au polym`ere comme

´

etant la somme des valeurs de l’environnement qu’il visite. Cette quantit´e est appel´ee l’hamiltonien du syst`eme :

Hn(ω) =

n

X

i=1

g(i, ωi).

La fonction de partition

En notantPla loi de la marche al´eatoire simple, nous appelonsfonction de partition du syst`eme la quantit´e

Zn(β) = _(2d)¹n

X

ω∈Ωn

e^{βPni=1g(i,ωi)}

= P

h

e^βHn(ω) i

,

o`u β d´esigne l’inverse de la temp´erature. Nous oublierons souvent la d´ependance en β pour all´eger les notations.

La fonction de partition permet de d´efinir lamesure polym`ere µ_nd´efinie par µn(·) = P

·e^{β Hn} Z_n(β) . L’´energie libre

Une autre quantit´e importante permettant de d´ecrire le comportement du polym`ere dirig´e est l’´energie libre d´efinie pour toute temp´erature inverse β ≥0 par :

p_n(β) = _n¹ln

Z_n(β)e^−nλ(β) .

D’un point de vue physique, la quantit´e ayant mˆeme dimension qu’une ´energie est _nβ¹ lnZn(β). Cependant, pour all´eger notre propos, nous adopterons la notation pr´ec´edente.

I.1.2 Les transitions de phase

Nous r´esumons ci-dessous l’ensemble des r´esultats obtenus pour les polym`eres dirig´es en environnement al´eatoire qui motivent les diff´erentes parties de cette th`ese. La plupart de ces r´esultats sont rappel´es avec leur d´emonstration dans l’article [CSY04].

La fonction de partition

E. Bolthausen (cf. [Bol89]) a remarqu´e que W_n = Z_ne^−nλ(β) est une martingale positive, donc cette quantit´e converge vers une variable al´eatoire positive, finie presque sˆurement, que nous noterons W∞. De plus, une version de la loi du 0−1 permet de montrer que pour toutβ ∈R+ (cf. [Bol89] Lemma 2),

Q(W∞= 0)∈ {0,1}.

En utilisant l’in´egalit´e FKG (d’apr`es Fortuin, Kasteleyn et Ginibre), F. Comets et N. Yoshida (cf. [CY06] Theorem 3.2) ont montr´e que la fonctionβ 7→Q

hp

W∞(β) i

est d´ecroissante. Nous pouvons donc d´efinir une temp´erature inverse critique β_c ∈[0,+∞]

telle que

W∞(β)

>0Q-p.s. , si β < β_c

= 0Q-p.s. , si β > βc

.

La zone β < β_c est appel´ee zone de faible d´esordre, la zone β > β_c est appel´ee zone de fort d´esordre. Pour comprendre dans un premier temps cette terminologie, on peut remarquer que lorsque β = 0 (i.e. lorsque la temp´erature est infinie), le polym`ere se comporte comme une marche al´eatoire simple. Tous les chemins ont alors la mˆeme probabilit´e, il n’y a pas de d´esordre, etW∞= 1.

Pour les dimensions 1 et 2, Ph. Carmona et Y. Hu (cf. [CH02] Theorem 1.1) dans le cadre d’un environnement gaussien (puis F. Comets et N. Yoshida, cf. [CSY03] Theo- rem 1.1, dans un environnement quelconque) ont montr´e queβc = 0.

Pour caract´eriser la phase de faible d´esordre, Ph. Carmona et Y. Hu (cf. [CH02]

Proposition 5.1) ont montr´e qu’il y a ´equivalence entre «se trouver dans la phase de faible d´esordre»et«la martingale (Wn) est uniform´ement int´egrable». Nous utiliserons cette propri´et´e pour obtenir une meilleure description de la temp´erature inverse critique βc dans la partie I.2, lorsque la dimension du r´eseau Z^dest sup´erieure ou ´egale `a 3.

L’int´erˆet de cette transition de phase r´eside dans un principe d’invariance. En effet, dans la phase de faible d´esordre, F. Comets et N. Yoshida (cf. [CY06] Theorem 1.2) ont montr´e que sous la mesure polym`ere, la marche al´eatoire (ωn)nse comporte lorsquen→

∞ comme un mouvement brownien. Son comportement est donc diffusif. D’autre part, lorsque le polym`ere se trouve dans la phase de fort d´esordre, les chemins se localisent (cf. [CH02] Theorem 1.1, [CSY04] Theorem 2.2.1 et [CH06] dans le cadre des polym`eres

`

a temps continu), i.e. il existe une constante c₀ ∈ (0,1) telle que pour deux marches al´eatoires ind´ependantesω¹, ω²,

lim supµ^⊗2_n−1(ω¹_n=ω_n²)≥c₀.

I.1. Introduction

L’´energie libre

Dans l’article [Bol89], E. Bolthausen utilise la propri´et´e de Markov des marches al´eatoires et le fait que l’environnement est i.i.d. pour montrer, via le th´eor`eme de suradditivit´e qu’il existe une fonctionp telle que

p_n(β)−→^L1 p(β).

Ph. Carmona et Y. Hu ([CH02], Proposition 1.4) ont ´egalement montr´e quepnsatisfait une ´egalit´e de concentration qui permet de passer de la convergenceL¹ pr´ec´edente `a la convergence presque sˆure. Plus pr´ecis´ement, pour toutν >1/2, il existen₀ =n₀(β, ν)∈ N tel que pour toutn≥n0,

P(|lnW_n−QlnW_n| ≥n^ν)≤e⁻¹⁴ⁿ

2ν−1 3 .

Enfin, comme pour la fonction de r´epartition, l’in´egalit´e FKG (cf. [CY06] Theo- rem 1.1) permet de montrer que la fonction β7→p(β) est d´ecroissante.

Ainsi, il existe une constante βec ∈ [0,+∞] telle que p(β) = 0 si β < βec, et p(β) < 0 β >βe_c. On remarque que lorsque W∞ >0, p(β) = 0. Nous appellerons ainsi (0,βe_c) la zone detr`es faible d´esordre et (βe<sub>c</sub>,+∞) la zone detr`es fort d´esordre.

F. Comets et V. Vargas, dans [CV06] ont montr´e en utilisant les cascades (cf. [Liu98]) qu’en dimension 1, la temp´erature inverse critique βec est nulle. Savoir si, quelle que soit la dimension, les phases de faible et tr`es faible d´esordre co¨ıncident (i.e. siβc=βec) est `a ce jour une question ouverte.

L’int´erˆet d’une bonne description de cette phase r´eside dans le r´esultat de localisa- tion. Dans la phase de tr`es fort d´esordre, les polym`eres se«concentrent»sur les sites o`u les environnements sont ´elev´es. Plus pr´ecis´ement, on (cf. [CSY03] Corollary 2.2, [CH06]) montre que lorsque p(β)<0, il existe une constantec∈(0,1) telle que

lim inf

n 1 n

n−1

X

k=0

µk−1(ω¹_k=ω²_k)≥c.

V. Vargas [Var07] montre un r´esultat plus fort en consid´erant les ε-atomes, i.e. l’en- semble des points de Z^d qui sont charg´es par la mesure polym`ere d’un poids au moins

´

egal `a ε.

Pourquoi ´etudier ces quantit´es ?

Nous allons rappeler bri`evement les liens ´etroits qui existent entre principe de grandes d´eviations et ´energie libre (cf. [Car08]).

On d´efinit la mesure suivante, o`uδ_x d´esigne la masse de Dirac au pointx∈R: ν_n= ₂¹n

X

ω∈Ω_n

δ_Hn

n (ω).

On peut alors r´e´ecrire la fonction de partition du syst`eme de la mani`ere suivante : Z_n(β) = ₂¹n

X

ω∈Ωn

e^βHn(ω)

= ₂¹n

X

ω∈Ωn

e^nβHnn(ω)

= Z

Ωn

e^{nβHnn (ω)}P(dω)

= Z

R

e^nβxν_n(dx).

Rappelons que d’apr`es la d´efinition de l’´energie libre,

n→∞lim

1

nlnZn(β) =p(β) +λ(β).

Commeν_n suit un principe de grandes d´eviations avec une bonne fonction de tauxI, si la loiQ v´erifie une in´egalit´e de Sobolev logarithmique, on aura :

p(β) =I^∗(β), I(x) =p^∗(x).

C’est en ce sens que nous pouvons dire que les informations importantes sur le comportement du syst`eme sont contenues dans la fonction de partition et l’´energie libre.

R´esum´e

En guise de r´esum´e, nous pouvons construire le tableau r´ecapitulatif suivant :

βc βec β

?

0

p(β) = 0 ^{p(β) = 0}

?

W_∞= 0p.s.

W_∞>0p.s. W_∞= 0 p.s.

p(β)<0

?

d= 1,2, β_c = 0.

d= 1, βe_c = 0.

Arbre, βc =βec.

I.1.3 Plan du chapitre

Pour ´etudier la transition de phase associ´ee `a la fonction de partition, la m´ethode des r´epliques consiste `a calculer son carr´e puis `a regarder les deux facteurs du produit comme deux r´ealisations ind´ependantes du syst`eme. Cette m´ethode s’appelle ´egalement la m´ethode du moment d’ordre 2. Elle permet d’obtenir une borne inf´erieure β₂ pour la temp´erature inverse de transition de phase βc. Savoir si l’´egalit´e β2 = βc a lieu d´epend du mod`ele consid´er´e. Par exemple, dans le cas du mod`ele des verres de spin de Sherrington-Kirkpatrick l’´egalit´e a lieu lorsqu’il n’y a pas de champ ext´erieur alors qu’il n’y a pas ´egalit´e dans le Random Energy Model (correspondant `a un mod`ele de Sherrington-Kirkpatrick o`u l’on a moyenn´e le champ), cf. [Tal03]. Pour les polym`eres

I.2. Une meilleure borne sur la temp´erature critique

dirig´es en environnement al´eatoire, nous savons qu’en g´en´eral ces temp´eratures sont diff´erentes pour les mod`eles sur un arbre (cf. [BPP93], [DES93]). Dans cette partie, nous montrons comment, en utilisant une m´ethode de calcul des moments introduite par B. Derrida et M.R. Evans (cf. [DE92]), nous pouvons trouver une condition qui permet de montrer que la temp´erature inverse critique β<sub>c</sub> est strictement inf´erieure `a β2.

Dans un deuxi`eme temps, nous nous int´eressons `a un mod`ele continu de polym`ere dirig´e en environnement al´eatoire gaussien. Ce mod`ele a notamment ´et´e utilis´e par Ph. Carmona et Y. Hu [CH06] pour montrer la localisation des polym`eres par une m´ethode ´el´egante utilisant principalement la formule d’Itˆo. L’´etude de la fonction de partition de ce mod`ele permet d’´etablir un lien entre l’´etude de l’´energie libre d’un polym`ere dirig´e et les exposants de Lyapunov de l’´equation d’Anderson parabolique.

Des r´esultats sur l’ind´ependance de la fonction de Lyapunov par rapport `a la condition initiale ont ´et´e obtenus par R. Carmona, L. Koralov et S. Molchanov [CKM01] puis g´en´eralis´es par M. Cranston, T. Mountford et T. Shiga [CMS02] en utilisant des ar- guments de percolation. Nous pr´esentons une d´emonstration de ces r´esultats succincte utilisant les propri´et´es des polym`eres dirig´es. Nous d´eduisons de ces propri´et´es le com- portement asymptotique de l’´energie libre lorsque la temp´erature inverse β→0. Cette derni`ere propri´et´e sera obtenue par un simple argument de changement d’´echelle.

I.2 Une meilleure borne sur la temp´ erature critique

Soientω¹,ω²deux marches al´eatoires ind´ependantes issues de 0. Pour (t, x)∈N×Z^d, nous noterons p(t, x) la probabilit´e que ces marches al´eatoires se rencontrent pour la premi`ere fois `a l’instant t, au pointx, i.e.

p(t, x) =P^⊗2 ω¹_j 6=ω_j²,1≤j < t, ω_t¹ =ω_t²=x

. (I.1)

D´efinissons alors pourα∈(1,2],

ρ(α) =X

t,x

p(t, x)^α/2. (I.2)

En utilisant une m´ethode de moment d’ordre 2, E. Bolthausen (cf. [Bol89]) a trouv´e une borne inf´erieure β2 pour la temp´erature inverse critique βc. En utilisant le th´eor`eme pr´ec´edent, nous formulons une condition suffisante qui assure queβ₂ n’est pas la temp´erature inverse critique. Nous introduisons pour cela les deux entropies suivantes :

hν(α) = −X

t,x

p(t, x)^α/2

ρ(α) lnp(t, x)^α/2

ρ(α) , (I.3)

h_Q(α) = Q

e^αβαg

Q[e^αβαg] ln e^αβαg Q[e^αβαg]

, (I.4)

o`u βα sera d´efini en (I.10).

Nous allons montrer le th´eor`eme suivant (la d´emonstration se trouve dans la par- tie I.2.3).

Th´eor`eme I.1. En dimension dplus grande que 3, si hν(2)< hQ(2), alors β2< βc.

Pour d´emontrer ce th´eor`eme, nous utilisons le r´esultat d’uniforme int´egrabilit´e sui- vant dont nous rappellerons la d´emonstration dans la partieI.2.1.

Th´eor`eme I.2 ([DE92]). On suppose que la dimension d est plus grande que 3. Soit β ∈R+. S’il existeα∈(1,2]tel que

λ(αβ)−αλ(β)<−lnρ(α), alors (Wn(β))_n est uniform´ement int´egrable etβ ≤βc. Remarques.

• La quantit´e h_ν(2) ne d´epend que du graphe dans lequel ´evolue le polym`ere. Les r´esultats pr´esent´es ci-dessous sont donc valables pour des formes de r´eseaux plus g´en´erales que Z<sup>d</sup>, d`es que les marches al´eatoires sur ce r´eseau sont transientes.

Nous ´evoquerons par exemple le cas des graphes r´eguliers qui est trait´e dans [BPP93].

• Ce th´eor`eme pr´esente une m´ethode rapide et peu coˆuteuse en calcul pour v´erifier que la m´ethode du moment d’ordre 2 n’est pas optimale. En effet, le calcul de la quantit´ehν(2) est `a effectuer une fois pour toutes, quel que soit l’environnement dans lequel ´evolue le polym`ere et le calcul dehQ(2) repose sur celui deβ2 qui est obtenu par r´esolution d’une ´equation.

• Lorsque l’environnement est gaussien, nous verrons (cf. partieI.2.4) que l’in´egalit´e entropique est une condition n´ecessaire et suffisante. Plus pr´ecis´ement, la m´ethode des moments fractionnaires introduite par B. Derrida et M.R. Evans fournit une meilleure borne que celle du moment d’ordre 2 si et seulement sih_ν(2)< h_Q(2).

• Nous tenons `a ´evoquer bri`evement la borne inf´erieure obtenue par M. Birkner (cf.

[Bir04] ainsi que les r´ef´erences contenues dans cet article). L’id´ee est la suivante.

Etant donn´´ ee la fonction de partition W_n, nous ´etudions la variable al´eatoire gWn=P¹

h

e^{β(Hn(ω1)+Hn(ω2))} i

e^−nλ(β),

o`u ω¹, ω² d´esignent deux marches al´eatoires ind´ependantes, P¹ la mesure uni- forme sur les chemins de marches al´eatoires ω¹. La quantit´e gW_n est ainsi une variable al´eatoire d´ependant de l’environnement g mais ´egalement de la marche al´eatoireω². M. Birkner montre que l’uniforme int´egrabilit´e de (W_n) est

´equivalente `a la tension de la loi de (gW<sub>n</sub>). Ainsi, il consid`ere la temp´erature inverse critiqueβ? = sup

n

β; sup_n∈NQ h

gWn

i

<+∞o

. On introduit alors une quantit´eα?

I.2. Une meilleure borne sur la temp´erature critique

telle que λ(2β_?)−2λ(β_?) =−lnα_?. Cependant, le th´eor`eme permettant de mon- trer que α_? = 1 +

P

n≥1e^{−Pxpn(x) lnpn(x)}−1

repose sur un th´eor`eme de Sanov conditionnel dont la preuve est incompl`ete. Si cette valeur pour α? est av´er´ee, l’in´egalit´e de Jensen permet de montrer queβ₂ < β_? ≤β_c.

I.2.1 La m´ethode des moments fractionnaires

Pour faciliter la compr´ehension des parties suivantes, nous commen¸cons par pr´esenter une d´emonstration du th´eor`eme I.2 des moments fractionnaires. Pour mon- trer l’uniforme int´egrabilit´e, B. Derrida et M.R. Evan ont utilis´e la condition n´ecessaire suivante (par exemple [Wil91] 13.3 (a)) : S’il existeα >1 tel que

sup

n

Q(W_n^α)<+∞, alors (Wn)n est uniform´ement int´egrable.

Nous restreindrons notre ´etude `a desα∈(1,2] ; cela nous permettra de nous ramener `a la m´ethode du moment d’ordre 2 pour laquelle nous savons faire des calculs explicites via les r´epliques.

Dans la suite, lorsque deux marches al´eatoires ind´ependantes ω¹,ω² se rencontrent aux instants t₁ <· · ·< t_m et sont alors enx₁, . . . , x_m (cf. figureI.3), i.e.

ω₀¹ =ω₀²= 0, ω_t¹_i =ω_t²_i =x_i, i= 1, . . . m, ω¹_j 6=ω_j², j6∈ {t₁, . . . , t_m} , nous ´ecrironsr= ((t₁, x₁), . . . ,(t_m, x_m))∈ N×Z^dm

et

ω¹=^r ω². (I.5)

ω₁

ω2

temps t2

t₁ x2

x₁ Z^d

Fig. I.3 – Sch´ema de deux marches al´eatoires se rencontrant en (t_i, x_i)

D´emonstration du th´eor`eme I.2. Nous commen¸cons par ´evaluer le moment d’ordre 2 de la fonction de partition Zn. Pour cela, nous introduisons deux marches al´eatoires

ind´ependantes puis s´eparons les esp´erances en fonction de leurs instants de rencontre : Z_n² = Ph

e^{β(Hn(ω1)+Hn(ω2))}i

=

n

X

m=0

X

1≤t1<···<tm≤n

X

(x1,...,xm)

P h

e^{β(Hn(ω1)+Hn(ω2))}1_ω1r

=ω²

i

=:

n

X

m=0

X

r

Y(r).

Remarque. On retrouve ici une version plus ´elabor´ee du calcul du moment d’ordre 2 effectu´e par E. Bolthausen dans [Bol89].

Nous calculons ensuite les moments d’ordre αde la fonction de partitionZ_n lorsque α∈(1,2], en utilisant l’in´egalit´e classique

Xxi

γ

≤X

x^γ_i, γ ∈[0,1], xi ≥0. (I.6) Nous obtenons,

Q[Z_n^α] = Qh

(Z_n²)^α/2i

= Q



 ( _n

X

m=0

X

r

Y(r) )α/2



≤

n

X

m=0

X

r

Q h

Y(r)^α/2 i

.

Regardons plus en d´etail la quantit´e Y(r). Nous d´efinissons les hamiltoniens partiels : H_j^j2

1(ω) =

j2

X

i=j1+1

g(i, ω_i).

Notons ω_i,j = (ω_k)_{k∈{ti,...,tj}}, t₀ = 0, t_m+1 =n et ω_m,m+1¹ 6=ω_m,m+1² d`es que ω¹_i 6=ω¹_i pour touti∈ {t_m, . . . , tm+1}. Nous pouvons ainsi d´ecomposer, en utilisant la propri´et´e de Markov,

Y(r) = P

"_m Y

i=1

e^β

“

H_ti−1^ti (ω¹)+H_ti−1^ti (ω²)”

1{ω¹_i−1,i^(ti,xi= ⁾ω_i−1,i² }

×e^β(^H_tm^{n (ω1)+H}_tm^{n (ω2)})1{ω¹_m,m+16=ω_m,m+1² }

i .

=

m

Y

i=1

Yi−1,i×Yem,n,

I.2. Une meilleure borne sur la temp´erature critique

o`u nous avons not´e

Yi−1,i = P

e^β

“

H^ti_ti−1(ω¹)+H_ti−1^ti (ω²)

”

1{ω¹_i−1,i^(ti,xi= ⁾ω_i−1,i² }

, Ye_m,n = Ph

e^β(^H_tm^{n (ω1)+H}_tm^{n (ω2)})1{ω¹_m,m+16=ω_m,m+1² }

i .

Ainsi, en utilisant l’ind´ependance des environnements par rapport `a la dimension tem- porelle,

Q[Z_n^α]≤

n

X

m=0

X

r m

Y

i=1

Qh Y_i−1,i^α/2i

Qh Ye_m,n^α/2i

.

Dans l’expression pr´ec´edente, les marches al´eatoires ne se rencontrent plus apr`es l’instantt_m. Ainsi, en utilisant l’in´egalit´e de Jensen,

Q h

Ye_m,n^α/2 i

≤P ω_j¹ 6=ω_j², tm< j ≤nα/2

e^{α(n−tm)λ(β)}. Nous obtenons ainsi la borne sup´erieure

Q[W_n^α] ≤

n

X

m=0

X

r

P ω¹_j 6=ω_j², tm < j≤nα/2 m

Y

i=1

Q h

Y_i−1,i^α/2 i

e^{−tmαλ(β)}

=

n

X

m=0

X

r

(

P ω_j¹6=ω²_j, t_m < j≤nα/2 m

Y

i=1

Qh

e^{−α(ti−ti−1)λ(β)}Y_i−1,i^α/2i )

En majorant la probabilit´e par 1 et comme les environnements sont ind´ependants et identiquement distribu´es,

Q[W_n^α]≤

∞

X

m=0





 X

t1∈N,x1∈Z^d

Q h

e^{−αt1λ(β)}Y_0,1^α/2 i







m

.

Or, nous verrons `a la fin de ce calcul que cette suite est sommable d`es que λ(αβ)− αλ(β) <−lnρ(α). Ainsi, en utilisant le th´eor`eme de convergence domin´ee, on pourra passer `a la limiten→ ∞ dans l’expression pr´ec´edente.

D’une part, en dimensiondplus grande que 3, les marches al´eatoires sont transientes et il existe une quantit´eq_d∈(0,1) telle que

n→∞lim P ω_j¹6=ω²_j, tm < j≤n

= P ω_t¹_m =ω_t²_m =xm, ω_j¹ 6=ω_j², j > tm

.

=: q_d

D’autre part, nous pouvons utiliser l’ind´ependance des environnements, en notant

(t, x) = (t₁, x₁) et en utilisant l’in´egalit´e de Jensen, Q

"

Y_0,1^α/2 e^αtλ(β)

#

= e^−αtλ(β)Q

P h

e^{βPt−1i=1g(i,x1i)+g(i,x2i)}e^2βg(t,x)1

ω^1(t,x)= ω²

iα/2

= e^−αtλ(β)e^λ(αβ)Q

Ph

e^{βPt−1i=1g(i,x1i)+g(i,x2i)}1

ω^1(t,x)= ω²

iα/2

≤ eλ(αβ)−αtλ(β)

QP h

e^{βPt−1i=1g(i,x1i)+g(i,x2i)}1

ω^1(t,x)= ω²

iα/2

= eλ(αβ)−αtλ(β)

e^{2α2λ(β)(t−1)}P(ω^{1 (t,x)}= ω²)^α/2

= eλ(αβ)−αλ(β)p(t, x)^α/2.

Ainsi, nous avons obtenu la borne sup´erieure (rappelons que ρ est d´efini en (I.2)) : lim sup

n

Qh W_n^α/2i

≤q_d^α/2

∞

X

m=0

n

eλ(αβ)−αλ(β)ρ(α)om

. Finalement, s’il existe α∈(1,2] tel que

λ(αβ)−αλ(β)<−lnρ(α),

la martingale (W_n(β))_n est uniform´ement int´egrable, et le th´eor`eme est d´emontr´e.

Remarques.

• On remarque que ce calcul reste valable d`es que le polym`ere ´evolue sur un graphe pour lequel les marches al´eatoires simples sont transientes.

• Lorsque α = 2, ρ(2) = 1−q_d. La condition pr´ec´edente est donc la mˆeme que celle obtenue par E. Bolthausen dans [Bol89] en utilisant la m´ethode du moment d’ordre 2,

λ(2β)−2λ(β)<−ln(1−q_d).

• Les valeurs num´eriques de q_d peuvent ˆetre trouv´ees dans l’article de P. Grif- fin [Gri90] avec une grande pr´ecision. Nous les utiliserons par la suite.

I.2.2 Une ´etude de fonction

Nous allons commencer par ´etudier la fonction ρ.

Les valeurs caract´eristiques

On d´efinit la borne inf´erieure du domaine de d´efinition de ρ:

α₀= inf{α ∈(1,2];ρ(α)<+∞}. (I.7) Proposition I.2.1. 1. ρ(2) = 1−q_d<+∞.

2. La fonction α 7→ρ(α) est d´ecroissante sur(α0,2].

I.2. Une meilleure borne sur la temp´erature critique

Fig.I.4 – Graphe de la fonction ρen dimension d= 3 3. Il existeα1∈(α0,2)tel que

ρ(α1) = 1.

D´emonstration. 1. Pour α= 2, on a (rappelons qued≥3) ρ(2) = P

∃t∈N, x∈Z^d;ω_t¹=ω²_t =x

= 1−P ∀t∈N, ω_t¹ 6=ω_t²

= 1−q_d

< 1.

2. Comme ρ est d´erivable sur son domaine de d´efinition, ρ⁰(α) = ¹₂

P

t,xp(t, x)^α/2lnp(t, x) P

t,xp(t, x)^α/2

est une quantit´e n´egative car p(t, x)<1, pour tout (t, x)∈N×Z^d. 3. Lorsque d≥3, nous montrons dans la proposition I.2.2suivante que

α↓αlim₀ρ(α) = +∞.

La monotonie de ρ ainsi que sa valeur pourα = 2 permettent de conclure grˆace au th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

Remarque. Lorsque le polym`ere vit sur un arbre r´egulier, la quantit´e ρ est tr`es facile `a calculer. En effet, soit les marches al´eatoires se rencontrent au premier pas, soit elles ne se rencontreront jamais. Ainsi, lnρ(α) = (α−1) ln(2d) et α0 =α1= 1.

Proposition I.2.2. Pour d≥3, nous avons l’encadrement 4/d < α0 ≤1 + 2/d.

Dans la suite, dans un souci de lisibilit´e, nous noteronsp_t,x =p(t, x).

D´emonstration de la proposition I.2.2. Comprendre comment se comportent les quan- tit´esp_t,xlorsquetest grand n’est pas ais´e. En effet, la condition d’´evitement est difficile

`

a traiter et nous renvoie aux notions de marches al´eatoires auto´evitantes. Nous donnons ici le meilleur encadrement que nous avons pu ´etablir sur α0.

• Pour ´etablir la borne inf´erieure, nous utilisons l’in´egalit´e (I.6). En effet, on rappelle que

ρ(α) =X

t∈N

X

x∈Z^d

p^α/2_t,x . Commeα∈(1,2], nous obtenons

ρ(α) ≥ X

t∈N



 X

x∈Z^d

pt,x





α/2

= X

t∈N

P ω_t¹ =ω_t², ω_j¹6=ω²_j, j < tα/2

= X

t∈N

P(ω_2t= 0, ω_j 6= 0, j <2t)^α/2,

o`u ω d´esigne une marche al´eatoire simple sur Z^dissue de x. Enfin, commed≥3 (cf. [Gri90] Appendix 7),

P(ω2t= 0, ωj 6= 0, j <2t) P(ω2t= 0) t^−d/2. Ainsi, d`es queα≤ ⁴_d, nous avonsρ(α) = +∞ et ainsi

α₀ ≥ 4 d.

• Pour ´etablir la borne sup´erieure, nous supprimons la condition d’auto´evitement.

En effet, soit

r_t,x=P ω_t¹=x . Nous avons alors

p_t,x≤r²_t,x.

Rappelons que d’apr`es le th´eor`eme central limite (cf. [Law91] Lemma 1.2.1),

P(ωt=x)−¯rt,x

=Ot→∞

1 t^1+d/2

,

o`u ¯rt,x:= 2 _2πt^d d/2

e^−dkxk

2 2t .

I.2. Une meilleure borne sur la temp´erature critique

Ainsi, uniform´ement enx,r_t,x r¯_t,x. De plus, nous remarquons que ¯r_t,xne d´epend que de la norme dex et notons

N

√ R

= n

x∈Z^d,kxk² =Ro

, ρ(α) =¯ X

t,x

¯ r^α_t,x.

¯

ρ converge si et seulement si

∞

X

t=1

1 t^αd/2

t²

X

R=0

N(R)e^−αdR2t converge.

Commeα∈[1,2) etd≥3,P∞

t=1t^αd/2 est convergente, et on peut donc supprimer le terme enR= 0 dans le calcul pr´ec´edent. Apr`es une inversion de sommes, nous devons donc ´etudier le comportement de la s´erie

∞

X

R=1

N(R)

∞

X

t=b√ Rc

1

t^αd/2e^−αdR2t . L’´etude des variations de la fonction t 7→ ¹

t^αd/2e^−αdR2t permet de majorer cette derni`ere expression par

∞

X

R=0

N(R) (Z ∞

b√ Rc

1

t^αd/2e^−αdR2t dt+ 1

R^αd/2e^−αd2 )

.

Enfin, un changement de variable dans la partie int´egrale permet d’obtenir la majoration

∞

X

R=0

N(R)R^{−αd2 +1} Z ∞

1/b√ Rc

1

u^αd/2e^−αd2udu+c_α,d

∞

X

R=0

N(R)R^−αd/2.

Or, lorsque R tend vers l’infini, on a la majoration, N√ R

≤ C_dR^d/2−1 (voir par exemple [IK04], Theorem 20.9 et Theorem 20.15). Cette s´erie converge donc d`es que

d

2−1 + 1−αd 2 ≤ −1.

Ainsi, ¯ρ(α) < +∞ d`es que α ≥ 1 + ²_d. Finalement, comme ρ ≤ ρ, on obtient¯ comme annonc´e

α0 ≤1 +2 d.