2) Règle de Cauchy

Cauchy vs d’Alembert

Pour étudier la nature d’une série à termes positifs par comparaison à une série géométrique, le pro- gramme officiel nous fournitla règle de d’Alembert.

On trouve dans la littérature un résultat très ressemblant, la règle de Cauchy. Voyez plutôt.

1) Règle de d’Alembert

Propriété : soit(u_n) à termes >0 à partir d’un certain rang, telle que lim

n→∞

u_n+1

un =ℓ∈R⁺∪ {+∞}

•siℓ <1, alors u_n converge ;

•siℓ >1, alors u_n diverge grossièrement (avec plus précisément u_nn→∞−→ +∞) ;

•siℓ= 1: cas douteux de la règle de d’Alembert (cf. les séries de Riemann).

2) Règle de Cauchy

Propriété : soit(un) à termes ≥0 à partir d’un certain rang, telle que lim

n→∞

√nu_n=ℓ∈R⁺∪ {+∞}

•siℓ <1, alors u_n converge ;

•siℓ >1, alors u_n diverge grossièrement (avec plus précisément u_nn→∞−→ +∞) ;

•siℓ= 1: cas douteux de la règle de Cauchy (cf. les séries de Riemann).

Dém.Siℓ <1, je fixe r tel que ℓ < r <1 ; alors, à partir d’un certain rangn₀, √ⁿu_n ≤r, ort→tⁿ est croissante surR⁺, d’où : ∀n≥n₀ 0≤u_n≤rⁿ.

J’en déduis la convergence de u_n par comparaison à la série géométrique convergente rⁿ.

Même méthode pour ℓ > 1 ; dans ce cas u_{n n→∞}−→ +∞ par minoration par une suite géométrique de raison r >1.

Les séries de Riemann 1

n^α sont toutes dans le cas douteux, d’où son nom puisqu’une telle série peut converger ou diverger, selon que α >1 ou non. . . En effet :

n 1

n^α = exp −α

nlnn _n→∞−→ 1 cela pour tout α, par continuité en 0 de l’exponentielle, puisque lnn

n _n→∞−→ 0 selon les croissances comparées.

3) Comparaison des deux résultats

En pratique, malgré la contrainte des termes strictement positifs, la règle de d’Alembert est plus commode à utiliser car u_n+1

u_n se simplifie souvent dans les exemples usuels (typiquement avec les séries entières !) et le quotient se prête mieux à l’utilisation des équivalents que la racine n-ième. . .

C’est bien pour ça que c’est celle qui a été retenue dans le programme officiel !

Pourtant en théorie la règle de Cauchy est plus “efficace”, à cause du résultat suivant.

Propriété : soit(un) à termes >0 à partir d’un certain rang, telle que lim

n→∞

u_n+1

u_n =ℓ∈R⁺∪ {+∞}. Alors lim

n→∞

√nu_n=ℓ.

Par conséquent, à chaque fois que la règle de d’Alembert s’applique, la règle de Cauchy s’applique aussi, alors quela réciproque est fausse, comme le prouve l’exemple ci-dessous.

Cauchy vs d’Alembert Page 2 Soit u_n= 2^−n+(−1)n = exp ([−n+ (−1)ⁿ]·ln 2). Cette dernière expression montre que

√nu_n= exp −1 +(−1)ⁿ

n ·ln 2 _n→∞−→ exp (−ln 2) = 1 2 et donc la règle de Cauchy s’applique ! Alors que la suite de terme général u_n+1

u_n = 1

2·2^2(−1)n+1 diverge, puisque

∀q∈N u_2q+1 u_2q = 1

8 et u_2q+2 u_2q+1 = 2.

Noter que ce contre-exemple amusant montre aussi que l’on peut (souvent) donner la nature de la série sans recourir, ni à la règle de d’Alembert, ni à celle de Cauchy (qui est de toute façon hors programme !).

En effet un=O 1

2ⁿ permet ici de conclure immédiatement ! Revenons maintenant au cas général.

Démonstration de la propriété Je supposen₀ tel que :

∀n≥n₀ un>0 et lim

n→∞

u_n+1

u_n =ℓ∈R⁺∪ {+∞}. Je dispose alors de la suite (vn)_n≥n0 définie par

∀n≥n₀ vn= lnu_n+1−lnun= lnu_n+1 u_n .

Cette dernière expression de v_n montre par composition de limites que (vn)_n≥n0 admet une limite L, avec

L=−∞ siℓ= 0, L= lnℓ si ℓ∈R^+∗ et L= +∞ si ℓ= +∞;

la première expression de v_n fait penser à introduire une somme télescopique et plus précisément à utiliser le lemme de Cesàro sur la convergence en moyenne ! En effet ce dernier nous indique que la suite définie par

∀n > n₀ M_n= 1 n−n₀

n−1

k=n0

v_k (c’est bien une moyenne arithmétique)

admet aussi pour limite L (le lemme de Cesàro, dans le cas réel, s’applique y compris en cas de limite infinie : voir le bonus correspondant sur la page PSIxCours. . . ).

Or, après l’hécatombe, Mn= 1

n−n₀ lnun−lnun0 d’où 1

nlnun= 1

nlnun0+n−n₀ n Mn

en forçant la chance ! Il en résulte en vertu des théorèmes opératoires classiques que 1

nlnu_nn→∞−→ L d’où par composition de limites et par définition deL

exp 1

nlnu_{n n→∞}−→ ℓ.

Autrement dit

n→∞lim

√nu_n =ℓ.

Noter que, pour que le raisonnement reste correct en cas de limites infinies, il a fallu proscrire l’utilisation des équivalents. . .