PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Séries de Bertrand
1. Rappel du critère intégral de Cauchy
Soit f une fonction définie, positive et décroissante sur 1,+∞ . Soit ∀𝑛 ∈𝑁∗, 𝑢! = 𝑓 𝑛
Dès lors, la série 𝑢! converge ⟺l’intégrale !!!𝑓 𝑡 𝑑𝑡 converge
La preuve de ce théorème est donnée dans la fiche « Critère intégral de Cauchy » 2. Questions sur les séries de Bertrand
a. En fonction de la valeur de β, discuter la nature de l’intégrale : 𝒅𝒕
𝒕. 𝐥𝐧 (𝒕) 𝜷
!!
𝒆
1er cas : 𝛽= 1.
Dès lors : 𝑑𝑡 𝑡. ln (𝑡) ! =
!
!
1𝑡𝑑𝑡
ln (𝑡) = ln ln (𝑡) !! = 𝑙𝑛 ln (𝑥) −𝑙𝑛
!
!
ln (1)
𝑑𝑡 𝑡. ln 𝑡 ! =
!
!
𝑙𝑛 ln 𝑥
Or : lim!→!!𝑙𝑛 ln 𝑥 =+∞.
Donc : 𝑑𝑡 𝑡. ln (𝑡) !
!!
!
diverge
2ème cas : 𝛽=1. Dès lors : 𝑑𝑡
𝑡. ln (𝑡) ! =
!
!
1
𝑡 ln (𝑡) !!
!
!
𝑑𝑡
Or, on sait qu’une primitive de 𝑢!.𝑢! est de la forme : !!!!!!! avec ici 𝑢 =ln (𝑡), 𝑢! = !
! et 𝛼= −𝛽. Ainsi : 𝑑𝑡
𝑡. ln (𝑡) ! =
!
!
ln (𝑡) !!!!
−𝛽+1 !
!
= 1 𝛽−1
1 ln (𝑡) !!! !
!
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2 𝑑𝑡
𝑡. ln (𝑡) ! =
!
!
1
𝛽−1 1− 1 ln (𝑥)!!!
Or : lim!→!! !
!" (!)!!! = 0 si 𝛽−1>0⟺𝛽 >1
Conclusion : !!!!.!" (!)!" ! converge si 𝛽 >1
b. Etudier la fonction f définie par : ∀𝒙 ∈ 𝒆,+∞ ,𝒇 𝒙 =𝒙.𝒍𝒏(𝒙)𝟏 𝜷
𝑓! 𝑥 = −𝑙𝑛 𝑥 +𝑥.𝛽 ln (𝑥)!!! .1 𝑥!. 𝑙𝑛(𝑥) !! 𝑥
𝑓! 𝑥 = −𝑙𝑛 𝑥 +𝛽 ln 𝑥 !!!
𝑥!. ln 𝑥 !! = − ln 𝑥 !!!
𝑥!. ln 𝑥 !! ln 𝑥 +𝛽 𝑓! 𝑥 = − ln 𝑥 +𝛽
𝑥!. ln 𝑥 !!!
𝑓! 𝑥 < 0⟺ −ln 𝑥 −𝑐 <0⟺ln 𝑥 +𝛽> 0⟺𝑥> 𝑒!!
ln 𝑥 >0⟺𝑥 >1
Mais, l’énoncé impose le domaine de définition : 𝐷𝑓 = 𝑒,+∞ . Comme 𝑒>1 :
𝑓! 𝑥 < 0⟺𝑥> max (𝑒,𝑒!!)
c. Etudier la nature de la série de terme général : 𝒖𝒏 =𝒏.𝒍𝒏(𝒏)𝟏 𝜷
La fonction f définie à la question précédente est continue, positive et strictement décroissante ∀𝑥>max (𝑒,𝑒!!). D’après le critère intégral de Cauchy, la série de terme général 𝑢! est de même nature que !!!!.!" (!)!" !.
Ainsi la série de terme général 𝑢! = 𝟏
𝒏.𝒍𝒏(𝒏)𝜷 converge si 𝛽> 1
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d. Etudier la nature de la série de terme général : 𝒖𝒏 = 𝟏
𝒏𝜶.𝒍𝒏(𝒏)𝜷
Si 𝛼=1, d’après la question précédente, la série de terme général 𝑢! converge si 𝛽> 1
Si 𝛼≠1, considérons : 𝑛!!𝑢! =𝑛!! 1
𝑛!. 𝑙𝑛(𝑛) ! = 1
𝑛!!!!. 𝑙𝑛(𝑛) ! Dès lors :
!→!!lim 𝑛!!𝑢! = 0⟺𝛼−𝛼! >0⟺𝛼 >𝛼! Dans ce cas :
!→!!lim
1 𝑛!. 𝑙𝑛(𝑛) !
𝑛1!!
= 0⟺ 1
𝑛!. ln 𝑛 ! =𝑜 1 𝑛!! Or, la série de terme général !
!!! converge si 𝛼! > 1
Ainsi, pour que la série de terme général 𝑢! converge, il convient que 𝛼> 𝛼! et que 𝛼! >1. En d’autres termes, il convient que 𝛼 >𝛼! > 1. Par conséquent, la série de terme général 𝑢! converge si 𝜶> 𝟏.
Par ailleurs, si 𝛼−𝛼! <0⟺𝛼 <𝛼!, alors : lim!→!!𝑛!!𝑢! =+∞
Dans ce cas :
!→!!lim
1 𝑛!. 𝑙𝑛(𝑛) !
𝑛1!!
=+∞⟺ 1
𝑛!. ln 𝑛 ! ≫ 1 𝑛!! Si 𝛼! <1, la série de terme général !
!!! diverge. Dans ce cas, la série de terme général 𝑢! diverge.
Finalement la série de terme général 𝑢! diverge si 𝛼< 𝛼! et 𝛼! <1. En d’autres termes, la série de terme général 𝑢! diverge si 𝛼 <𝛼! < 1. Par conséquent, la série de terme général 𝑢! converge si 𝛼< 1.
Conclusion
La série de terme général 𝑢! =!!.!"(!)! ! converge si 𝜶 >𝟏 ou si 𝜶= 𝟏 et 𝜷>𝟏
