Physique Avancée I – Examen Janvier 2015 – Prof. J-Ph. Ansermet fait à la maison
Nom : l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 Prénom : l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2 l2
N◦ Sciper : l2 l2 l2 l2 l2 l2
A. Régulateur de Watt (4/10 points)
O
P 1 P 2
✓
z
˙
R R
x
y
On modélise un régulateur de Watt (voir esquisse à gauche) par deux points matériels, pesants, de masses m, reliés chacun à un point O de l’axe de rotation Oz par des tiges rigides sans masses, de longueursR. Les masses sont astreintes à se déplacer dans un plan en rotation autour de l’axeOzavec une vitesse angulaireφ˙ comme indiqué. On suppose que le régulateur est sans frottement. La vitesse angulaire φ˙ peut changer, par l’action sur le plan en rotation d’une corde et d’une poulie liée à ce plan, par exemple. L’axeOz est vertical, orienté vers le bas, dans le sens de la pesanteur caractérisée par le vecteur g. Le système d’axes cartésiens Oxyz correspond à la définition conventionnelle des coordonnées sphériques.
Dans ce problème, on va analyser le comportement mécanique de ce système en se concentrant uni- quement sur le point matériel indiquéP1 et on utilisera les coordonnées sphériques et le repère associé (qui n’est pas représenté sur le dessin).
Questions et réponses au verso !
3. (0.5 point) A quoi est égale la dérivée par rapport au temps de la composante z du moment cinétique en O du point matériel P1, en termes des forces extérieures appliquées à P1? C’est la projection surOz du moment des forces extérieures :
d( ˆz·LO)
dt =N Rsinθ
4. (1.0 point) Exprimer l’énergie mécanique du point matériel en coordonnées sphériques, en prenantO comme point de référence du potentiel.
E = 1
2mR2θ˙2+1
2mR2φ˙2sinθ2−mgRcosθ
5. (0.5 point) Trouver l’angle θ0 à l’équilibre quandφ˙ est constant, sous la condition θ6= 0.
cosθ0= g Rφ˙2
6. (0.5point) On peut obtenir à nouveau l’accélération du point matérielP1 en appliquant le for- malisme du mouvement relatif, prenant le plan vertical et sa normale comme référentiel relatif, etOxyz comme référentiel absolu. Avecvr =rθ˙eˆθ et la vitesse angulaire de rotation du réfé- rentiel relatifΩ= ˙φˆz, calculer l’accélération de Coriolis projeté sur le repère des coordonnées sphériques :
aCoriolis= 2Ω∧vr = 2 ˙φ(cosθˆer−sinθeˆθ)∧ Rθ˙eˆθ
= (0) ˆer+ (0) ˆeθ+
2 ˙φRθ˙cosθ ˆ eφ
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B. Balançoire circulaire (4/10 points)
Un solide est formé d’un cercle et d’un point matériel situé sur le cercle. Le cercle est en tout temps dans un plan vertical, il roule sans glisser sur une table horizontale, il est soumis à la pesanteur, sa masse vautm/2, son rayon estR. Sa massem/2est entièrement sur le cercle (ce n’est pas un disque).
Le point matériel enP est pesant, de massem/2, il est fixé en un point du cercle. Le solide constitué du cercle et du point matériel est donc de masse totalem. On désigne parC le centre du cercle, par P le point matériel et par Gle centre de masse du solide composé du cercle et du point matériel.
O x
P y
G
C
✓
g
R
Questions et réponses au verso !
3. (0.5 point) Avec des règles élémentaires sur les propriétés des moments d’inertie, calculer le moment d’inertie enG du solide (cercle et point matériel) (IG6=IC). On applique la règle de Steiner pour le cercle et on ajoute la contribution du point :
IG= m
2R2+m 2
R 2
2
+m 2
R 2
2
= 3 4mR2
4. (1.0 point) En utilisant IG supposé connu, obtenir grâce au théorème du moment cinétique une équation du mouvement pourθ(t). On peut traiter la pesanteur comme une force appliquée enGdont le moment enG est donc nul. La réaction du solN vers le haut et le frottementF en avant donnent les contributions :
IG θ¨=NR
2 sinθ−FR
2 (2−cosθ)
5. (1.0 point) Tenant compte de la condition de roulement sans glissement VC =Rω, trouver l’expression vectorielle de l’accélération de G (sur feuille annexe), appliquer le théorème du centre de masse et projeter selonxˆ ety.ˆ
VG = VC+ω∧CG
aG = V˙C+ ˙ω∧CG+ω∧(ω∧CG)
= Rω˙yˆ+ ¨θzˆ∧ −R
2 cosθˆx+−R 2 sinθyˆ
−ω2R(−cosθxˆ−sinθy)ˆ
( ˆx) m R
2θ¨sinθ+R
2θ˙2cosθ
=N−mg
( ˆy) m
Rθ¨+R
2θ¨cosθ+R
2θ˙2sinθ
=F
6. (0.5 point) En considérant IG et la vitesse vP du point P connus, exprimer l’énergie méca-
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C. Gyrotronique (2/10 points)
Une charge q considérée comme un point matériel de masse m est soumise à un champ d’induction magnétiqueB=Bzˆuniforme et constant. On admet que le point matériel a une trajectoire dans un plan normal au champ B. On note v sa vitesse et p sa quantité de mouvement. On veut examiner ici les conséquences de la définition relativiste de la fonction p(v). L’équation de la dynamique est donnée :
dp
dt =qv∧B
Questions et réponses au verso !
1−v /c
On note queγ = 1
p1−v2/c2 est une constante. On peut donc écrirep=γmv et : dv
dt = −qB γm ∧v=
˙ vx
˙ vy
0
=
ˆ
ex 0 vx ˆ
ey 0 vy ˆ
ez ω 0
=
−ωvy ωvx
0
ω= −qB γm
¨
px =−ω2px
¨
py =−ω2py
3. (0.5point) Montrer que la trajectoire est un cercle et donner son rayonRen termes dep, q, B.
Comme v subit une rotation de vitesse angulaire ω = −qBγm , on doit avoir vx = vcosωt et vy =vsinωt. Doncx(t) = ωv sinωt+x0 ety(t) = ωv cosωt+y0. C’est l’équation paramétrique d’un cercle de rayon :
R= p
qB = γmv qB
4. (0.5 point) Quelle est la norme ωc du vecteur de vitesse angulaire du point matériel sur le cercle ?
ωc= qBp
1−v2/c2 m
