Chapitre 19 Réduction des endomorphismes

Chap 19 : Réduction des endomorphismes

Position du problème : de dim finie, ( ).

Trouver les bases de dans lesquelles la matrice de prend une forme simple (diagonale, triangulaire...)

E ev u E

E u

 L

I. Stabilité, éléments propres

, ( ) (pour l'X : "invariant" = "stable" parfois) E ev uL E

( ) ( ) ( , ( ) )

Un sev de est dit stable lorsque F E u F F, invariant lorsque u F F, fixe lorsque  x F u x x ( ) (càd [ , ] 0) ker et Im sont stables par

vL E u vv u u v   v v u

. ker {0}, ( ) ( )

Supp de dim finie stable par Si F u u F u F F et u ^F_FGL F

, 1 )

1 ) , ( ) (

( ) ( , ( ) ( )

... base de s 0

base de tq _p table par _e ,

n p

i i

A B

F u E F u at u A

e _ E e e   C 

    

   

   

 L M M 

1

( ) ( ) ( )

* || ,

0 0 0

[ ] Si [ ] [ ]

Calculs : _k

k k k

e

k

e e

k

k

A B k B

C I

u u u I

I

I



 





     

     

     

   

1 0

( ) dim

1 1, 0

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

, base de et , chaque est stable par où _i

p A

i i i i i e i F

i i p Ap

E F e F e e F u u A

 

 

 

 

   

 

 

     

 

 

M

( )

Si et sont stables par , et sont stables par

est une homothétie tous les sev de sont stables par ( Schur, rec)

F G u F G F G u

u E ssi E u 

 

L

,

\ {0}, ( ) ker( ) {0}

0

ker( )

est valeur propre (vp) de lorsque : ,

On dit alors que est un vecteur propre attaché à . ( unique si ) Si est valeur propre, _{u E} est l'espa

u x E u x x ie u Id

x x

E_ u Id

  

 

 

     



  ce propre attaché à 

,

, , ,

vecteur propre de 0 et stable par

vp de commute avec tous les endomorphismes de

Si est un de dim finie, possède au moins une valeur propre (det polynôme)

u

u u

E

E E u

x u x x u

u u Id E

E ev u



  

 

 

 

 

1... p valeurs propres (2 à 2 distinctes) de u ( ), ...E x1 xp vecteurs propres associés ( ...x1 xp) est libre

  L 

0

: 0, 0 ( ) 0

Rec + composition par _{i i i i i i i p i}

i p

u x  x    x

 

    

  

, 1,

( )

Les sont alors en somme directe

iu i p

E_{ }

1 1

( ), ( ), vp de vp de et ker( ) (ker( ))

uL E aGL E  u a u a^ a u a^ Id a uId

( , ) ( ) | | | |

ou , E evn u, L E  vp de u  u

    

II.

Complément : spectre en dimension infinie

( ,E ) evn u, L_C( )E de norme | |u Spec u( ) {  /uId_E ne possède pas d'inverse continu}

vp de u Spec u( ), RECIPROQUE FAUSSE : u Id peut être inj. non surj., ou bij d'inverse non °

    C

III. Endomorphismes et matrices diagonalisables

est de dimension finie E

( ) ( )

est diagonalisable lorsque est somme directe des espaces propres de est l'ensemble des valeurs propres de

u E E u

Spec u u

L

card(Spec u( ))dimE

( ) )

,

(

( ) dim dim

( ) ( [ ] )

On a équivalence entre : est diagonalisable

Il existe une base de formée de vect. propres de est diagonale

u Sp c u

e e

u E u E E

e E u u

 

   

 



L

1 0

( ) ,

0

[ ] vp ( / ) ker ( / ( ) 0) Im ( / 0)

n

e u i i i i i i

u E Vect e u Vect e u e u Vect e



 

   

 

 

 

 

 

       

dim ( ...1 ),

Si possède u n E vp distinctes  _n u est diagonalisable

2

, , ,

1

( ) diag.com( ) ker[ , ] || com , ( ) || dim(com ) (dim ) || vp com [ ]

i p

u u u

i

u E u u v u  v E_ E_ u E_ n u u



^L       



( ) est diagonalisable s'il existe ( ) et diagonale tq 1

n n

AM A PGL  P AP^  

( )

( ) :

( ) ( ) ( ) [ ]

On a équivalence entre : est diagonalisable est diagonalisable de dim finie , et base de tq et est diagonalisable

A

e

n n

A n A f

X AX

E ev n u E e E u A u

 

   



      

M

L La propriété est invariante par similitude

IV. Polynômes d’endomorphismes

, ( )

E ev uL E

0

0 0

[ ] ( ) ...

fois

On pose ( , )

k k

d d

k E

k k

k

k

P a X X P u a u u Id uk u u

 







(0) 0 ( )(0) 0 ( )( ) ( ) ( )

P a Id P u  PQ u P u Q u

[ ] ( )

( )

ker { [ ] / ( ) 0} [ ]

{0}.

est un morphisme de algèbres unitaire.

est un idéal de Lorsque est de dimension finie,

u

u u

u

X E

P P u

I p X P u X

E I





 

 



   

 L

2 2

dim dim ( ) ( ... ) ( ) 0

La fin : n E n  L E  Id_E uⁿ est liéeP tq P u 

. {0}

est l'idéal annulateur de Si , son générateur normalisé est le polynôme minimal de , noté

u u u

I u I  u 

( ) 0

[ ] ( ) [ , ] 0 ker ( ) Im ( )

vp de , RECIPROQUE FAUSSE

, tq laisse stables et

P Iu u P

P X v E u v v P u P u

 

  

 L  

1

1 1,

... [ ]

( ), ker(( ... )( )) ker( ( ))

Décomposition des noyaux (DDN) _r 2 à 2 premiers entre eux.

r i

i r

P P X

u E P P u P u





 L  

(( )( )( ) ( )( )( ) )...

Rec + Bezout UP u x  VQ u x x

( ) [ ] \{0} ( ) 0

(VI)u_L E u diagonalisable_{  }P X , scindé à racines simples, tq P u _

1

( ) ( ) avec 2 à 2 + DDN ( 1 Bezout)

i

i r

i i j

P X X   X  X  DDN



 



Si est diagonalisable et est stable par , alors u F u u ^F_F est diagonalisable

1, 1

1

( ) diag ( ) sev suppl. de et ... tq , avec proj. sur / /

p

i i n p i i i i

i i

j j

u E u F _ E   u    F F

 

^L    



1

1

1

: ( ) ( )

...

( ) ker( ) / /

Calcul des diag, annulée par ,

est ème interpolateur de Lagrange attaché à

est le proj de sur et

i i i j

j r

j j j j i

r

i

r

i j j

j j

u P X

L j

L u E F u Id F u

   

 

   



 

  



     





1

0 0

1

1 0 1

... ) / 0, }

( ) ... ... .

{(

..

Application : suites récurrentes linéaires à coefficients constants.

est son équation caractéristique, ses racines et

n

p n k

p

n p n

p p

p i r

k k

u

a a n u a u

R X X a X a    



 







    

 



 



1, , 0, 1

) (

leur multiplicité Une base de est

i r k i

r k n

n i _{  }

V. Polynôme caractéristique

corps commutatif, n * et E ev de dim n

( ) , vp det( _E) 0

uL E     uId 

( ) Le polynôme caractéristique de est ( ) det( )

n A n

AM A  X  AXI

( ) ( )

1

( ) ( ) ( )

Si et sont semblables,

n

n

i i i i

i

A B A

A B X A_{ } X



     

 

 

 

S

( ),( ) base de Le polynôme caractéristique . _u de est celui de [ ]( )_e : il ne dépend pas de ( )

uL E e E  u u e

, vp de u _u( ) 0

   

   

1 0

( 1) 1 ( 1) tr det( )

Ses coefficients sont : Xⁿ   ⁿ X^n   ^n A X  A

( ) 2 3 2

( )

tr( ) (tr(

2 ( ) tr( ) det 3 com )) det

sont des in

Les coefficientsde variants de similitude

A I

A

I n  X X A X A n X A X A X A



        

: ( )

Spectre dans c'est la liste des racines de  dans avec multiplicité Spec ASpec A

( ), vp de Multiplicité géométrique de : dim(ker( ))

Multiplicité algébrique de : sa multiplicité en tant que racine de

E

A

u E  u  u Id

 

L 

1

1 1

( ) tr det

Si est scindé ⁱ, ⁱ

p

A A i i

p p

i i

i i

X ^ A i^ A

     

  









( ) sev de stable par , ^F_{F v}| _u

uL E F E u vu  

( ) ,

vp de , sa multiplicité algébrique, sa multiplicité géométrique : tq _u soit scindé sur diagonalisable vp de u

u E u u

   

 

    

   



L   

( ), ( )

En pratique : On étudie AX X Si _A est scindé, diagA    Spec A re AI_n  n 

( ) ( ) 0

Cayley-Hamilton :  A M_n , _A A 

( ) , ( ) ,( )( ) ( )

écriture AXI_n 





1 1

. | deg

( 1) ( ) ( ) ( ) 1, ( ) 0, ke (r( ) )

polynôme minimal annulateur de

Si ⁱ, comme ^{i j i}

p

A A A A

n n

A i

p i i

i j A i

A n

X ^ X ^ X ^ A A I ^

   

     

 

 

 



( ( ), ker( ) ker( ) )2

scindé diag

A A Spec A A I A I

       

1ker(( ) )ⁱ 1ker( )

p p

i i

n

i i

A I ^ A I

 

      

VI. Trigonalisation

1 0 1

1

1

( ) ( ... ) [ ]( )

( ) ( ),

est trigonalisable s'il existe une base de tq

est trigonalisable lorsque triangulaire supérieure

a e

a n

n n

n n

u E e e E u

A P GL P AP T

 

 

 

 

 

 



 

   

L M

1 1

( ( ... )) ( ... )

trig. _{k k}

u  u Vect e e Vect e e ( )

[ ] \{0} ( ) 0

. On a équivalence entre : est trigonalisable

est scindé scindé tel que

u

u E u

P X P u



 

    

L

31) Rec P u( ) 0 u possède une vp, hyppl/H Im(uI)Hstable par u v, u ^H_H trigon., tq e_n H e_nE

1 1

( ) ( ... ) [ ], ( ( )) ( ( )... ( ))

nilpotent trigonalisable

annulé par scindé _n ⁿ, et si _n

u u

u P spec u   Q X spec Q u Q  Q 



    

//HP//

Compléments

C-I. Méthodes usuelles en théorie de la réduction

1 0

: [ ] [ ] '

0, 0...

Calcul de valeurs propres :

Trouver attaché à à l'aide de Equa diff

Relation de récurrence entre les coeff du système linéaire (si besoin, _n )

u X X A P P

x x _

  

  

Si P AP^1   diagonale, les colonnes de sont les vecteurs propres de P A

0 1 0

0 1

1 0 0

Matrices cycliques : C Cⁿ I_n Spec C( ) _n

 

 

 

 

 

 

 

   

dimE n 1,uL( )E de rang : d1 u iagtru0 (ACLLCtr ,A X2XtrA annule A)

2 2

( ) ker ker 0

, diag Tout sev stable par possède un suppl. stable par

, diag. diag diag nilpotente

n

E ev u u u

A A A A A A A

 

M    

,B _n( ) _{AB BA} ( inv ok, B B I_n / p B, continuité des coefs)

A M    

(

2

) _n( ) nilpotent tr .... tr ⁿ 0 (vp avec rep, trig, ( )=0 abs avec ( ))

I

p

i i

i

A A A A P  P X X 





^M    

 

2

( ) 0 det 0 0

?

Utile : , mq Calcul des racines de , vérifier l'absence de

tq Soit on diagonalise, soit on utilise des polynômes interpolateurs

P A A P

M M A

   

  

C-II. Commutation et réduction simultanée

, ( ) sont codiagonalisables s'ils sont diag. dans une même base (cotrigonalisables analogue)

u vL E 

,

, ( ) (

) )

( ) (

( )

, diagonalisables et codiag

famille commutative (qcq) d'endomorphismes diag est codiag regarder

i i I i i I u

E ev u v E u v u v

u E

v u

u _{  }

   

 L

( )u_{i iI} fam d'involutions de ^m commutant à 2 2 | | 2I ^m (atteint)

:GL_n( ) GL_m( ) isomorphisme de groupes m n (respecte les involutions cardinal)

    

(u1...u_p) fam commutative d'élément trig. de s L( )E cotrigonalisables

C-III. Espaces cycliques

1, ( )

de dim finie

E ev n uL E

( ( )) L'espace cyclique attaché à pour est _x ^k _k

xE x u F Vect u x _

{ ( ) | [ ]}

est le plus petit de contenant stable par

x x

F sev E x u F  P u x P  X

0, min{ *| ( ,..., ^m( )) est liée} ( ,..., ^p 1( )) est une base de _x (DE poly)

x p m x u x  x u ^ x F

( ) 0 _{u x}, | P u   x  P

est dit cyclique lorsqu'il existe tel que _x

E xE F E

Ex: nilpotents d'ordre ( )^I n

1 ( )^I uL( )E cycliqueCom( )u  [ ]u (on écrit v a( ) sur la base ( ...a u^n( ))...a )

0 1 1

0 0 1 2

1 1

1 0

( ) ... (/!\ signes), la matrice compagnon de est

a n

P an

n n

an

P X X a X a X a P C

 

 

 

  

  

 

  

 

      

( )I      d^1   d  d^1   F 

Le polynôme caractéristique de C_P est ( 1) ⁿP, et minimal est C_P diagonalisable scindé à racines simples

CP P

[ ] normalisé de racines complexes ( )_i *, [ ] normalisé tq ses racines sont ( _i^k)

P X   k  Q X 

C-IV. Polynôme minimal

( ) _u( ) 0 (passer par polynômes) Spec u

    

diagonalisable _u scindé à racines simples

u 

C-V. Décomposition de Jordan-Dunford, espaces caractéristiques

, 1

( 1) ( ) ( ) . ker( ) est l'espace caractéristique atta

Supposons ^{i i} ché à la vp

p n

u i i

i

F u u Id

X X  ^ _ ^

  



  





1 1 ,

1

( ) ( ker

( 1) ) , ( )

Si ^{i i}

p p p

n

u i i u

i i

i

X X ^ E u Id ^ F_

  

 



     





( ) [ , ] 0

Jordan-Dunford : , avec scindé. , avec diag, nilpotente, et Une telle décomposition est unique

uL E u   u D N D N D N 

! , , , ' ' ' '

: +trig. N D. : D N     N D laissent stable F_i, comm. avec sur D F_i N   D

           

C-VI. Réduction et topologie

1 1

( ) 1, , | | ( ) ( , )

Disque de Gershgorin : , i

n n i j

j i

j i

i

n i i

A n r a Spec A D a r

 



^M   



( ) ( ) | | ( )

norme d'algèbre sur _n ,

N M Spec A  N A

1 ( , )

1 1

0

( ), ( ... ), 0 ( ) tq ^{i j} avec; ,| |

n

a

n n n i j

A SpecA P GL P AP i j a





   ^{  } 

          

 

M

( 2

( ) ( ) )

L'ensemble des matrices de  M_n ayant vp distinctes est dense dans n M_n _k _k ^k ( ) dim ( ) || norme de ( ) ( ou ) inv par similitude (densité de ( ))

n n G n

AM  Com A n N M L

,| ( ) | ( , )

{ ( ) / ( ) } ( )

fermé de , est fermé dans (suite )

p

n A

n n p

F X  AM Spe Ac F M A  z d z F

( )

( ) , ( ) ( )

Utile : mettre en évidence un sev stable où faire des calculs simples (dim 2...) (pour l'absurde) distance

p

I I

A

p A

A A z  z  z



     

C-VII. La réduction en général

1 1

2 2

1 0

0 0 1

0

( ), ( )

Décomposition de Jordan : scindé semblable à ⁿ où

n

J

m m

J

n A

A A J













 

   

   

   

   

   

   

M   M

1 0

1 2

0

( ) Frobenius : est semblale à ^P où matrice compagnon de et | | ... |

Pk

C

P C

n k

A A   C P P P P

  

 

M