Nous allons étudier en profondeur la section 2 : ”The Finite Theory” de l’article Martingales, Stochastic Integrals and Continuous Trading de J. M. Harrison et S. R. Pliska.

(1)

Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe

Modèles de marché à temps discret

80-646-08 Calcul stochastique I

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

(2)

Introduction

La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe

Introduction I

Nous allons étudier en profondeur la section 2 : ”The Finite Theory” de l’article Martingales, Stochastic Integrals and Continuous Trading de J. M. Harrison et S. R. Pliska.

Le modèle de marché utilisé est assez général. En e¤et, un nombre …ni (mais peut-être énorme) de titres sont

modélisés pendant un nombre …ni (mais, encore une fois, possiblement très grand) de périodes de temps.

La seule restriction concernant les distributions des prix des parts des titres à chaque instant est que ces

distributions doivent être discrètes et positives, c’est-à-dire

que pour chaque titre et chaque instant, le prix d’une part

du titre à ce moment ne peut prendre qu’un nombre …ni

de valeurs strictement positives.

(3)

Introduction

Introduction II

Le premier résultat important de cette section est la proposition 2.6 de la page 227.

Il est démontré que s’il existe une mesure de probabilité sous laquelle tous les processus de prix actualisés des titres sont des martingales, alors nous pouvons construire, à partir de cette mesure, un système de prix pour les droits contingents accessibles cohérent avec le modèle de marché.

D’autre part, s’il existe un tel système de prix, alors nous pouvons construire, en nous basant sur ce dernier, une mesure de probabilité changeant nos processus de prix actualisés en martingales.

Cette proposition établit donc une relation bijective entre

l’ensemble des mesures martingales et les systèmes de prix

cohérents.

(4)

Introduction

Introduction III

Il est à noter que cette proposition est muette quant à

l’existence d’au moins une mesure martingale ou à

l’existence d’au moins un système de prix. Elle ne fait

qu’a¢ rmer que si l’un ou l’autre existe, alors les deux

existent et elle explicite le lien qui les unit.

(5)

Introduction

Introduction IV

Le théorème 2.7 de la page 228 établit la condition nécessaire et su¢ sante à l’existence d’au moins une mesure martingale et, par conséquent, d’au moins un système de prix cohérent. Cette condition est l’absence d’arbitrage dans le modèle de marché.

Comme il est possible qu’il y ait plusieurs systèmes de prix

cohérents avec le marché, il faudrait s’assurer que peu

importe le système de prix utilisé, le prix associé à un droit

conditionnel accessible X donné soit toujours le même,

c’est-à-dire que si π

1

et π

2

sont deux systèmes de prix

cohérents, alors pour tout droit conditionnel accessible X ,

π

1

( X ) = π

2

( X ) . Ce résultat est le corollaire de la page

228.

(6)

Introduction

Introduction V

Comment fait-on pour véri…er si notre modèle de marché n’admet pas l’arbitrage? Une condition nécessaire et su¢ sante à l’absence d’arbitrage est établie au lemme de la page 228.

La proposition 2.8, page 230, démontre que la valeur au marché actualisée d’une stratégie admissible est une martingale sous toutes les mesures martingales du modèle de marché. Ce résultat est utilisé lors de la démonstration de la proposition 2.9 (page 230) indiquant comment il est possible de déterminer la valeur au marché d’un droit conditionnel accessible à tout moment.

La dernière section aborde la notion de complétude des

marchés.

(7)

Introduction La notation

Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe

L’espace probabilisé

Nous travaillons sur un espace probabilisé …ltré ( _Ω , F ^, F , P ) .

L’ensemble fondamental Ω possède un nombre …ni d’éléments, chacun d’eux représentant un des états possibles du monde. Nous supposons que l’ensemble des intervenants sur le marché s’accorde sur le fait que Ω représente tous les états du monde réalisables.

Ainsi, puisque chaque état du monde ω 2 Ω est possible, la mesure de probabilité P prévalant sur l’espace

probabilisable ( Ω , F ) doit être telle que 8 ^ω 2 Ω , P ( ω ) > 0.

La mesure P , associant une probabilité à chaque état du

monde, représente la vision d’un investisseur en particulier,

c’est-à-dire que deux investisseurs peuvent associer des

probabilités di¤érentes au même état du monde ω.

(8)

La …ltration

Structure d’information

Nous choisissons d’observer le système jusqu’à un moment T , date d’échéance des activités économiques considérées.

Comme le temps est étudié de façon discrétisée, la

…ltration

F = fF

^t

^: ^t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T gg

représente l’information disponible à chaque instant.

Nous posons F

⁰

= f ∅ , Ω g ^, la tribu ne contenant aucune information, et F

^T

= l’ensemble de tous les événements de Ω , c’est-à-dire que F

^T

nous permet de distinguer chacun des états du monde réalisables.

Comme Card ( Ω ) < _∞ , il existe pour tout t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T g , une partition …nie

P

^t

= A

^t₁

, ..., A

^t_n_t

qui engendre la sous-tribu F

^t

^.

(9)

Les titres I

Nous modélisons K + 1 titres.

De…nition

Le processus stochastique multidimensionnel

! _S = ⁿ ! _S

t

: t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T g ^o

représentant l’évolution du prix des parts de chacun des titres est formé des vecteurs colonnes aléatoires

! _S

t

= S

_t⁰

, S

_t¹

, ...S

_t^K ⁰

où

S

_t^k

= le prix d’une part du titre k au temps t.

(10)

Les titres II

Chacune des composantes S

^k

= S

_t^k

: t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T g du processus de prix ! _S est un processus stochastique adapté à la …ltration F et est à valeurs strictement positives.

Puisque Card ( Ω ) < ∞ , nous avons que 8 ^t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T g

et 8 ^k 2 f ^0, ^{1, ...,} ^K g ^, ^S

t^k

est une variable aléatoire de

distribution discrète, c’est-à-dire qu’elle ne peut prendre

qu’un nombre …ni de valeurs.

(11)

Les titres III

De…nition

Le 0 ième titre a un rôle un peu particulier, en ce sens qu’il est un titre sans risque (nous pouvons penser, par exemple, à un compte bancaire ou à une obligation). Cela implique que

8 ^ω 2 ^Ω ^et 8 ^t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T ¹ g ^, ^S

t⁰

( ω ) S

_t⁰₊₁

( ω ) . Nous pouvons aussi supposer, sans perte de généralité, que

8 ^ω 2 ^Ω ^, ^S

0⁰

( ω ) = 1.

Nous utiliserons le processus stochastique unidimensionnel β

_t

= ¹

S

_t⁰

comme facteur d’actualisation.

(12)

Les titres IV

La …ltration F décrit comment l’information est révélée aux investisseurs à tout moment.

Le fait que F

0

= f

^∅,^Ω

g implique que les composantes de

!

_S

0

sont constantes, c’est-à-dire qu’au temps

t

= 0, les prix de tous les titres sont connus avec certitude.

Comme F

^t

est engendrée par la partition …nie

P

t

=

A^t₁, ...,A^t_n_t ,

alors, au temps

t, tout investisseur

connaît avec certitude lequel des atomes de P

t

s’est réalisé, mais n’est pas en mesure de distinguer entre les éléments de cet atome.

Puisque F

T

est la tribu composée de tous les événements

possibles de

Ω

, les investisseurs peuvent, au temps

T

,

déterminer avec certitude quel est l’état du monde

ω

qui

s’est réalisé.

(13)

Les titres V

Cela signi…e que nous regroupons sous une même

appellation, disons

ω_i,

tous les états du monde ayant les

mêmes e¤ets sur le marché. C’est une des raisons qui

justi…e la restriction de l’ensemble fondamental à un

ensemble …ni (

Card

(

_Ω

) <

_∞

) .

(14)

Stratégie d’investissement I

De…nition

Une stratégie d’investissement est un processus stochastique vectoriel prévisible

! φ = ⁿ !

φ

t

: t 2 f ^{1, ...,} ^T g ^o dans lequel le vecteur ligne aléatoire !

φ

t

= φ

⁰_t

, φ

¹_t

, ...φ

^K_t

représente le portefeuille de l’investisseur au temps t :

φ

^k_t

= le nombre de parts du titre k détenues au temps t.

(15)

Stratégie d’investissement II

En exigeant que la stratégie soit un processus prévisible, nous permettons à l’investisseur de choisir le portefeuille qu’il détiendra au temps t tout juste après que les prix des parts des titres au temps t 1 ont été annoncés. Par conséquent, la variable aléatoire φ

^k_t

représente le nombre de parts du titre k détenues pendant la période de temps ( t 1, t ] (à l’exception de φ

^k₁

qui représente le nombre de parts du titre k détenues pendant la période de temps [ 0, 1 ] ).

La valeur au marché du portefeuille !

φ

t

, juste après que les prix des titres au temps t 1 sont disponibles, est

! φ

t

! _S

t 1

, tandis que la valeur au marché du même portefeuille, mais au temps t, est !

φ

t

! _S

t

.

(16)

Stratégie d’investissement III

De…nition

Nous disons qu’une stratégie est auto…nancée s’il n’y a aucun argent qui est retiré ou injecté dans l’investissement après le temps t = 0, c’est-à-dire que

8 ^t 2 f ^{1, ...,} ^T ¹ g ^, ! φ

t

! _S

t

= ! φ

t+1

! _S

t

. Ainsi, !

φ

t

! _S

t

représente le montant que nous recevons au temps t + ε (ε représente une très petite quantité positive) lors de la liquidation du portefeuille !

φ

t

et ! φ

t+1

! _S

t

est le montant que nous devons payer, toujours au temps t + ε, pour acheter le portefeuille !

φ

t+1

.

Remarquons qu’il n’y a aucun coût de transaction.

(17)

Stratégie d’investissement IV

Le processus V !

φ = ⁿ V

t

!

φ : t 2 f ^0, ^{1, ...,} ^T g ^o représente la valeur au marché de la stratégie à tout instant.

V

_t

! φ =

( !

φ

1

! _S

0

si t = 0

! φ

t

! _S

t

si t 2 f ^{1, ...,} ^T g ^.

(18)

Stratégie d’investissement V

De…nition

Une stratégie d’investissement est dite admissible si elle est auto…nancée et si sa valeur au marché n’est jamais négative.

Une stratégie admissible fait donc en sorte que

l’investisseur n’est jamais en situation de dette. Cela ne signi…e pas pour autant que les ventes à découvert sont interdites.

Φ = l’ensemble des stratégies admissibles

= 8 >

> >

<

> >

> :

! φ

chacune des composantes φ

^k

de !

φ est prévisible,

! φ est auto…nancée et 8 ^t 2 f ^{0, ...,} ^T g ^, ^V

^t

!

φ 0

9 >

> >

=

> >

> ;

.

(19)

Opportunité d’arbitrage I

De…nition

Une statégie admissible !

φ est une opportunité d’arbitrage si V

0

!

φ = 0 et si E

^P

h

V

_T

! φ

i > 0.

Notons que cette dernière condition implique qu’il existe un ω 2 Ω pour lequel V

T

!

φ , ω > 0.

En e¤et,

E^Ph V_T

!

φ

i

= ∑

ω2Ω

V_T

!

φ,ω

| {z }

0

P

(

ω

)

| {z }

>0

Donc, pour que

E^Ph V_T

!

φ

i

> 0, il faut qu’il y ait au moins un

ω

pour lequel

V_T

!

φ,ω

> 0.

(20)

Opportunité d’arbitrage II

La stratégie !

φ est donc une opportunité d’arbitrage lorsqu’en investissant rien V

₀

!

φ = 0 , nous sommes certain de ne pas perdre d’argent (V

_T

!

φ , ω 0 car ! φ est admissible) et nous avons une probabilité positive de réaliser un gain ( 9 ^ω 2 Ω pour lequel V

T

!

φ , ω > 0).

(21)

Droits conditionnels I

De…nition

Un droit conditionnel X est une ( _Ω , F

^T

) variable aléatoire non-négative. Il peut être vu comme un contrat entre deux parties tel qu’un montant de X ( ω ) sera versé par une des parties à l’autre si ω survient.

De…nition

X = l’ensemble des droits conditionnels

= X X est une ( Ω , F

^T

) variable aléatoire

telle que 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^X ( ω ) 0 .

(22)

Droits conditionnels II

De…nition

Un droit conditionnel X est dit accessible s’il existe une stratégie d’investissement admissible !

φ permettant de reproduire le ‡ux monétaire engendré par X , c’est-à-dire que V

_T

!

φ = X .

(23)

Systèmes de prix I

De…nition

Un système de prix π est un opérateur linéaire sur X à valeurs non-négatives π : X ! [ 0, ∞ ) satisfaisant

π ( X ) = 0 , ^X = 0 et

8 ^a, ^b ^{0 et} 8 ^X

¹

^X

²

2 ^X, ^π ( aX

₁

+ bX

₂

) = aπ ( X

₁

) + bπ ( X

₂

) . Comme son nom l’indique, le sytème de prix a pour but d’associer à chacun des droits conditionnels, un prix.

Puisque pour toute stratégie admissible !

φ , V

_T

! φ est une ( _Ω , F

^T

) variable aléatoire à valeurs non-négatives, V

_T

!

φ 2 ^X.

(24)

Systèmes de prix II

De…nition

Un système de prix est dit cohérent avec le modèle de marché si le prix associé au droit conditionnel V

_T

!

φ est sa valeur au marché au temps t = 0, V

₀

!

φ , c’est-à-dire que π V

_T

!

φ = V

₀

!

φ .

(25)

Systèmes de prix III

De…nition

Π

= l’ensemble des systèmes de prix cohérents avec le modèle de marché

= 8>

>>

<

>>

>:

π:X![0,∞)

π(X) =0,^X =0 8^a,^b ^{0 et}8^X¹^,^X² 2^X, π(aX₁+bX₂) =aπ(X₁) +bπ(X₂) 8!

φ 2^Φ,^π ^VT !

φ =V₀ ! φ

9>

>>

=

>>

>; .

(26)

Mesures neutres au risque I

Nous bâtirons, si possible, un ensemble de mesures de probabilité sur ( Ω , F ) que nous appelons les mesures martingales (elles sont aussi connues sous l’appellation de mesures neutres au risque).

Ces mesures n’ont, a priori, aucun lien avec la probabilité réelle qu’un événement survienne, pas plus qu’elles ne re‡ètent la connaissance qu’a un investisseur du marché.

Elles ne sont qu’un arti…ce de calcul fort commode lors de

la tari…cation des droits conditionnels.

(27)

Mesures neutres au risque II

De…nition

P

= l’ensemble des mesures martingales équivalentes à P

= 8 <

: Q

Q est une mesure de probabilité sur ( _Ω , F ) , 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^Q ( ω ) > 0 et

8 ^k 2 f ^0, ^{1, ...,} ^K g ^, ^βS

^k

^{est une} ^Q martingale.

9 =

;

(28)

Fonctions indicatrices I

De…nition

Tout au long de ce texte, nous dénoterons les fonctions indicatrices par I , c’est-à-dire que 8 ^A 2 F ^, ^I

^A

^: ^Ω ! f ^0, ¹ g est dé…nie par

I

A

( ω ) = ^{1 si} ^ω 2 ^A 0 si ω 2 / ^A ^.

A…n de se familiariser avec ce type de fonctions, le lecteur peut véri…er que:

( i ) Si A 2 F

^t

^alors ^I

^A

^est F

^t

^mesurable.

( ii ) Si A, B 2 F disjoints alors I

A[^B

= _I

A

+ _I

B

.

( iii ) Si Y est une variable aléatoire alors Y = _∑

_ω₂_Ω

Y ( ω ) I

ω

.

(29)

Introduction La notation Prop. 2.6

Énoncé Interprétation Preuve

Partie I Partie II

Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe

Énoncé

Proposition 2.6

Theorem

Proposition. Il existe une relation bijective entre l’ensemble Π des systèmes de prix cohérents avec le modèle de marché et l’ensemble P des mesures martingales équivalentes à P. Cette relation est

( i ) π ( X ) = E

^Q

[ β

_T

X ] , X 2 ^X

( ii ) Q ( A ) = π S

_T⁰

I

A

, A 2 F ^.

(30)

Partie I Partie II

Interprétation I

Proposition 2.6

Si nous connaissons une mesure martingale Q équivalente à P, alors nous pouvons nous construire un système de prix π cohérent en posant 8 ^X 2 ^X, ^π ( X ) = E

^Q

[ β

_T

X ] . D’autre part, si nous disposons d’un système de prix π cohérent avec le modèle de marché, alors nous pouvons construire une mesure martingale Q équivalente à P en dé…nissant 8 ^A 2 F ^, ^Q ( A ) = π S

_T⁰

I

A

.

Cette proposition nous dit que s’il existe une mesure martingale équivalente à P ou s’il existe un système de prix cohérent avec le modèle de marché, alors les deux existent et elle établit le lien les unissant.

Cependant, rien ne nous permet encore de montrer que

l’un ou l’autre de ces objets existe.

(31)

Partie I Partie II

Interprétation II

Proposition 2.6

La condition nécessaire et su¢ sante à l’existence de la

mesure martingale, et par conséquent du système de prix,

est l’objet du théorème 2.7.

(32)

Partie I Partie II

Dé…nition

Preuve

De…nition

Soit P et Q deux mesures de probabilité existant sur l’espace probabilisable ( Ω , F ) . Les mesures P et Q sont dites

équivalentes si et seulement si les événements impossibles sont les mêmes sous les deux mesures, c’est-à-dire que

8 ^A 2 F ^, ^P ( A ) = 0 , ^Q ( A ) = 0.

Dans notre cas, puisque 8 ^ω 2 Ω , P ( ω ) > 0, toutes les mesures Q équivalentes à P devront satisfaire la condition

8 ^ω 2 Ω , Q ( ω ) > 0.

(33)

Partie I Partie II

Première partie I

Preuve

À montrer. Soit Q une mesure martingale équivalente à P.

Alors la fonction π dé…nie sur l’ensemble des droits

conditionnels X par π ( X ) = E

^Q

[ β

_T

X ] est un système de prix cohérent avec le modèle de marché.

Puisque Q 2 ^P ^alors

1

Q est équivalente à P , c’est-à-dire que 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^Q ( ω ) > 0,

2

et les composantes du processus de prix actualisés des

titres, β ! _S , sont des martingales sous la mesure Q .

(34)

Partie I Partie II

Première partie II

Preuve

Nous voulons montrer que π est un système de prix cohérent.

Il faut donc véri…er que (i) π ( X ) = 0 , ^X = 0, (ii) 8 ^a, ^b ^{0 et} 8 ^X

¹

^, ^X

²

2 ^X,

π ( aX

₁

+ bX

₂

) = aπ ( X

₁

) + bπ ( X

₂

) , (iii) 8 !

φ 2 Φ , π V

_T

!

φ = V

0

!

φ .

(35)

Partie I Partie II

Première partie - Point (i)

Preuve

Partant de la dé…nition de π, nous obtenons π ( X ) = E

^Q

[ β

_T

X ] = ∑

ω2Ω

β

_T

( ω )

| {z }

>0

X ( ω )

| {z }

0

Q ( ω )

| {z }

>0

.

Notons que β

_T

( ω ) > 0 car β

_T

=

_S¹0 T

et le modèle de marché suppose que les prix possibles pour les titres sont strictement positifs. Donc,

π ( X ) = 0 , ∑

ω2Ω

β

_T

( ω )

| {z }

>0

X ( ω )

| {z }

0

Q ( ω )

| {z }

>0

= 0

, 8 ^ω 2 Ω , X ( ω ) = 0.

(36)

Partie I Partie II

Première partie - Point (ii)

Preuve

8 ^a, ^b ^{0 et} 8 ^X

¹

^, ^X

²

2 ^X,

π ( aX

₁

+ bX

₂

) = E

^Q

[ β

_T

( aX

₁

+ bX

₂

)]

= aE

^Q

[ β

_T

X

₁

] + bE

^Q

[ β

_T

X

₂

]

= aπ ( X

₁

) + bπ ( X

₂

) .

(37)

Partie I Partie II

Première partie - Point (iii) I

Preuve

Nous voulons montrer que 8 ! φ 2 Φ , π V

_T

!

φ = V

₀

! φ .

Mais, par dé…nition de π, π V

_T

!

φ = E

^Q

h

β

_T

V

_T

! φ

i

, (1)

donc nous déterminons, dans un premier temps, β

_T

V

_T

!

φ :

(38)

Partie I Partie II

Première partie - Point (iii) II

Preuve

β_TV_T ! φ

= β_T! φT!_S

T par dé…nition deVT, (réf.: éq. (2.4), p. 226).

= β_T! φT!_S

T+

T 1 i

∑

=1

β_i ! φi!_S

i !

φi+1!_S

i

| {z }

=0

car !

φ est auto…nancée.

= β_T!_φ

T!_S

T+

T 1 i

∑

=1

β_i!_φ

i!_S

i T 1

i

∑

=1

β_i!_φ

i+1!_S

i

= β_T!_φ

T!_S

T+

T 1 i

∑

=1

β_i!_φ

i!_S

i

∑

T i=2

β_i ₁!_φ

i!_S

i 1

= β_T! φT!_S

T+β₁! φ1!_S

1+

T 1 i

∑

=2

!φi β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1 β_T ₁!

φT!_S

T 1

= β₁! φ1!_S

1+

∑

T i=2

!φi β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1

(39)

Partie I Partie II

Première partie - Point (iii) III

Preuve

Par conséquent, remplaçant l’expression ci-haut dans l’équation (1),

π VT ! φ

= _E^Q^hβ_TVT !_φ ⁱ

= E^Q

"

β₁! φ1!_S

1+

∑

T i=2

!φi β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1

#

= E^Qh β₁!_φ

1!_S

1

i+

∑

T i=2

E^Qh!_φ

i β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1

i

= _E^Q^h_E^Q^hβ₁!_φ

1!_S

1jF⁰ⁱⁱ+

∑

T i=2

E^Qh E^Qh!_φ

i β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1 jFⁱ ¹ⁱⁱ

= E^Qh! φ1E^Qh

β₁!_S

1jF⁰ⁱⁱ+

∑

T i=2

E^Qh! φiE^Qh

β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1 jFⁱ ¹ⁱⁱ car!

φ est prévisible,

(40)

Partie I Partie II

Première partie - Point (iii) IV

Preuve

= _E^Q 2 66 66 4

!φ1E^Qh β₁!_S

1jF⁰ⁱ

| {z }

β₀! S₀

3 77 77 5

+

∑

T i=2

E^Q 2 66 66 64

!φiE^Qh β_i!_S

i β_i ₁!_S

i 1 jFⁱ ¹ⁱ

| {z }

=E^Qh β_i!_S

ijFi 1 i

β_i ₁!_S i 1=!₀

3 77 77 75

car les composantes deβ!_Ssont des martingales sous la mesure Q,

= E^Qh! φ1β₀!_S

0

i

=β₀! φ1!_S

0

car β₀,! φ1 et!_S

0sontF⁰ mesurables donc constantes,

= !_φ

1!_S

0 carβ₀= ¹ S₀⁰ =1

= V0 !

φ par dé…nition deV0 (réf.: éq. (2.4), p. 226).

(41)

Partie I Partie II

Démonstration I

Deuxième partie

À montrer. Soit π, un système de prix cohérent avec le modèle de marché. Alors la fonction Q, dé…nie sur l’ensemble des événements F ^{par Q} ( A ) = π S

_T⁰

I

A

est une mesure martingale équivalente à P.

Puisque π 2 ∏ alors

1

π ( X ) = 0 , ^X = 0;

2

8 ^a, ^b ^{0 et} 8 ^X

¹

^, ^X

²

2 ^X,

π ( aX

₁

+ bX

₂

) = aπ ( X

₁

) + bπ ( X

₂

) ;

3

8 !

φ 2 Φ , π V

_T

!

φ = V

₀

!

φ .

(42)

Partie I Partie II

Démonstration II

Deuxième partie

Nous voulons montrer que Q 2 P , c’est-à-dire que (i) Q est une mesure de probabilité;

(ii) Q est équivalente à P , c’est-à-dire que 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^Q ( ω ) > 0;

(iii) Les composantes du processus de prix actualisés des titres,

β ! _S , sont des martingales sous la mesure Q .

(43)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (i) I

Preuve

Commençons par la construction d’une stratégie qui nous sera utile par la suite :

8 ^t 2 f ^{1, ...,} ^T g ^, ^posons !

φ

t

= ( 1, 0, ..., 0 ) . Cette stratégie d’investissement fait en sorte que, à tout moment, nous ne détenons qu’une seule part du titre sans risque.

Remarquons qu’à tout instant !

φt

est constante, c’est-à-dire que 8

^ω

2

^Ω,

!

φt

(

ω

) = ( 1, 0, ..., 0 )

.

Par conséquent, !

φt

est F

0

mesurable, donc F

t 1

mesurable, ce qui implique que !

φ

est prévisible.

Il est aussi aisé de montrer que !

φ

est auto…nancée

puisque nous conservons le même portefeuille.

(44)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (i) II

Preuve

Maintenant, V

_T

!

φ =

∑

K k=0

φ

^k_T

S

_T^k

par la dé…nition de V ! φ

= S

_T⁰

par la dé…nition de !

φ . (2)

et

V

0

! φ =

∑

K k=0

φ

^k₁

S

₀^k

par la dé…nition de V ! φ

= S

₀⁰

par la dé…nition de ! φ .

= 1 car, par hypothèse, S

₀⁰

= 1. (3)

(45)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (i) III

Preuve

Montrons maintenant que Q ( Ω ) = 1.

Partant de la dé…nition de

Q,

Q ( Ω )

= π S

_T⁰

I

_Ω

= π S

_T⁰

= π V

_T

!

φ par l’égalité (2).

= V

₀

!

φ car π est cohérent avec le modèle de marché.

= 1 par l’égalité (3).

(46)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (i) IV

Preuve

Il faut aussi s’assurer que pour tous événements A

₁

, ..., A

_n

2 F ^disjoints,

Q

[n

i=1

A

_i

!

=

∑

n i=1

Q ( A

_i

) .

(47)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (i) V

Preuve

Mais Q

[n

i=1

A

_i

!

= π S

_T⁰

I

^Sⁿ_i₌₁Ai

= π S

_T⁰

∑

n i=1

I

Ai

!

=

∑

n i=1

π S

_T⁰

I

Ai

par la propriété (2.5b), p. 226.

=

∑

n i=1

Q ( A

i

) par la dé…nition même de Q .

(48)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (ii)

Preuve

Nous voulons prouver que 8 ^ω 2 Ω , Q ( ω ) > 0.

Supposons l’existence d’au moins un ω 2 Ω pour lequel Q ( ω ) = 0 et montrons qu’il survient une contradiction.

Par la relation d’équivalence π ( X ) = 0 , ^X = 0, nous avons 0 = Q ( ω ) = π S

_T⁰

I

ω

, 8 ^ω 2 Ω , S

_T⁰

( ω ) I

ω

( ω ) = 0 ) ^S

T⁰

( ω ) = S

_T⁰

( ω ) _I

_ω

( ω ) = 0.

Comme les prix sont strictement positifs, nous avons que 8 ^ω 2 ^Ω ^, ^S

T⁰

( ω ) > 0. Par conséquent

S

_T⁰

( ω ) I

ω

( ω ) = S

_T⁰

( ω ) > 0.

Contradiction! Il ne peut donc pas exister de ω 2 Ω pour

lesquels Q ( ω ) = 0.

(49)

Partie I Partie II

Deuxième partie - Point (iii) I

Preuve

L’objectif est de montrer que chacune des composantes du vecteur de prix actualisés des titres, β ! _S _{, est une}

Q martingale.

Choisissons une des composantes arbitrairement : soit k 2 f ^0, ^{1, ...,} ^K g ^.

Par le Optional Stopping Theorem, il sera su¢ sant de montrer que

E

^Q

h β

_τ

S

_τ^k

i

= E

^Q

h β

₀

S

₀^k

i pour tout ( Ω , F ^, ^F ) temps d’arrêt borné τ ( 8 ^ω 2 Ω , τ ( ω ) T ).

Choisissons donc arbitrairement un temps d’arrêt borné τ.

Nous allons étudier en profondeur la section 2 : ”The Finite Theory” de l’article Martingales, Stochastic Integrals and Continuous Trading de J. M. Harrison et S. R. Pliska.

Modèles de marché à temps discret

80-646-08 Calcul stochastique I

Geneviève Gauthier

Introduction I