Points (i), (ii) et (iii)
Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Point (v) XII
Preuve du théorème 2.7
alors
Nous venons de terminer la construction d’un système de prix cohérent avec le modèle de marché.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7
Énoncé Preuve Partie 1 Partie 2 Hyperplan séparateur Structure de la preuve Point (iv) Point (v) Points (i), (ii) et (iii)
Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Point (i)
Preuve du théorème 2.7
Soit Y l’ensemble de toutes les variables aléatoires construites sur l’espace probabilisé (Ω,F,P). Nous voulons démontrer queY est un espace vectoriel.
Y est un espace vectoriel
Pour montrer queY est un espace vectoriel, il faut véri…er que 8a,b 2R et 8Y1,Y22 Y,aY1+bY2 2Y.
Cela est bien le cas, car toute combinaison linéaire …nie de (Ω,F) variables aléatoires est une(Ω,F) variable
aléatoire. Il faut aussi véri…er les autres conditions mentionnées à l’annexe.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7
Énoncé Preuve Partie 1 Partie 2 Hyperplan séparateur Structure de la preuve Point (iv) Point (v) Points (i), (ii) et (iii)
Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Point (ii) I
Preuve du théorème 2.7
X0 est un sous-espace vectoriel de Y où X0 =nX 2Y 9!
φ auto…nancée satisfaisantVT !
φ =X et V0 ! φ =0
o
Il faut montrer que
8a,b 2R et8X1,X2 2X0,aX1+bX22 X0. SoitX1 etX2,deux éléments deX0 choisis arbitrairement.
PuisqueX1 2X0,alors il existe une stratégie auto…nancée ! φ satisfaisantVT !
φ =X1 et V0 !
φ =0. De même, nous connaissons l’existence d’une stratégie auto…nancée !ϕ telle queVT !ϕ =X2 et V0 !ϕ =0.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7
Énoncé Preuve Partie 1 Partie 2 Hyperplan séparateur Structure de la preuve Point (iv) Point (v) Points (i), (ii) et (iii)
Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Point (ii) II
Preuve du théorème 2.7
Soita etb, deux nombres réels quelconque. Puisque a!
φ +b!ϕ est aussi une stratégie auto…nancée satisfaisant VT a!
φ +b!ϕ =aVT !
φ +bVT !ϕ =aX1+bX2 et
V0 a!
φ +b!ϕ =aV0 !
φ +bV0 !ϕ =0,
alorsaX1+bX2 appartient à l’ensemble X0. Encore une fois, il faut véri…er les autres conditions mentionnées à l’annexe.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7
Énoncé Preuve Partie 1 Partie 2 Hyperplan séparateur Structure de la preuve Point (iv) Point (v) Points (i), (ii) et (iii)
Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Point (iii)
Preuve du théorème 2.7
X=X+[ f0gest un cône de Y.
Démonstration. SoitX 2X quelconque. Comme pour tout nombre réelc 0, cX est une variable aléatoire non négative alorscX est un droit conditionnel, ce qui implique quecX 2X.
X+ est convexe.
Démonstration. Soit 0<α<1 etX1,X2 2X.
8ω2Ω, αX1(ω) + (1 α)X2(ω) 0, donc αX1+ (1 α)X2 2X.
La démonstration du théorème 2.7 est complète.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Énoncé
Corollaire p 228
Corollary
Corollaire de la page 228. Si le modèle de marché n’admet pas l’arbitrage, alors il existe un prix unique associé à chacun des droits conditionnels accessibles X et il est donné par π=EQ[βTX]pour n’importe quelle mesure martingale Q 2P.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Interprétation I
Corollaire p 228
La proposition 2.6 associe un système de prix à chacune des mesures martingales.
Or, il est possible qu’il existe une in…nité de ces mesures.
Donc il est aussi possible qu’il y ait une in…nité de systèmes de prix.
Le corollaire a¢ rme que siX est un droit conditionnel accessible quelconque et que π et πe sont deux systèmes de prix di¤érents, alors π(X) =πe(X), c’est-à-dire que le prix du droit conditionnel accessible est le même, peu importe le système de prix utilisé pour le tarifer.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve I
Corollaire p 228
Soit X, un droit conditionnel accessible quelconque.
Puisqu’il est accessible, il existe au moins une stratégie admissible !ϕ telle queVT !ϕ =X.
Soit !ϕ et !
φ 2 Φ, deux stratégies admissibles telles que VT !ϕ =X et VT !
φ =X. (9) Remarquons qu’il est possible que !ϕ = !
φ, en particulier s’il n’y a qu’une seule stratégie admissible permettant d’atteindreX.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve II
Corollaire p 228
Puisque notre modèle de marché n’admet pas l’arbitrage (par hypothèse), alors il existe au moins un système de prix cohérent avec le modèle de marché (par le théorème 2.7 suivi de la proposition 2.6). S’il n’en existe qu’un seul, alors il n’y aura qu’un seul prix associé au droit
conditionnel accessibleX.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve III
Corollaire p 228
Nous voulons véri…er que s’il existe plusieurs systèmes de prix cohérents avec le modèle de marché, alors il n’y aura toujours qu’un seul prix associé à X, c’est-à-dire que siπ et πe sont deux systèmes de prix di¤érents, alors
π(X) =πe(X). (10) Par la dé…nition (2.5a), page 226 des systèmes de prix, nous avons queX =0,π(X) =0= πe(X).Par conséquent, l’équation (10) est trivialement satisfaite lorsqueX =0. Supposons donc l’existence d’un ω 2Ω pour lequel X(ω )>0.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve IV
Corollaire p 228
Soit deux systèmes de prix cohérents avec le modèle de marché et distincts π,πe 2Π,π6=π. Puisqu’ils sonte cohérents, nous avons 8!
φ 2 Φ,
π VT !
φ =V0 !
φ etπe VT !
φ =V0 !
φ . (11)
En particulier, à cause des égalités (9), nous pouvons écrire π(X) = π VT !ϕ =V0 !ϕ = !ϕ1!S
0 (12) e
π(X) = πe VT !
φ =V0 !
φ = ! φ1!S
0
Nous voulons montrer que π(X) =πe(X). Supposons le contraire et montrons qu’alors le modèle de marché admet l’arbitrage, ce qui entre en contradiction avec la prémisse de l’énoncé du corollaire.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve V
Corollaire p 228
Supposons donc que π(X)6= πe(X) (commeπ(X)et e
π(X)sont des nombres réels, nous pouvons, sans perte de généralité, supposer que π(X)<πe(X)).
Nous allons nous construire une stratégie qui engendre des opportunités d’arbitrage.
Tout d’abord, notons que l’inégalité π(X)<πe(X) entraîne que les deux stratégies choisies à la ligne (9) sont di¤érentes.
En e¤et, par les équations de la ligne (12), 0<πe(X) π(X) =!
φ1!S
0 !ϕ1!S
0 = !
φ1 !ϕ1 !S
0
d’où !
φ1 !ϕ16= !0.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve VI
Corollaire p 228
Construisons une nouvelle stratégie !
ψ consistant en un heureux mélange des deux premières:
!ψ = !ϕ π(X) e π(X)
!φ.
Rappelons que X 6=0 implique, par la propriété (2.5a), p.
226, que πe(X)>0.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve VII
Corollaire p 228
Nous devons véri…er que !
ψ est auto…nancée, c’est-à-dire que
8t 2 f0, ...,T 1g, ! ψt!S
t = ! ψt+1!S
t
puis nous montrerons que !
ψ nous permet de créer une opportunité d’arbitrage.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve VIII
Corollaire p 228
Puisque les stratégies !ϕ et !
φ sont auto…nancées, alors 8t 2 f0, ...,T 1g
démontrant ainsi que !
ψ est, elle aussi, auto…nancée.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation Preuve
Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe
Preuve IX
Corollaire p 228
A…n de montrer que !
ψ nous permet de créer une opportunité d’arbitrage, nous devons véri…er que :
(i) V0 ! ψ =0, (ii) VT !
ψ 0, (iii) EPh
VT ! ψ
i
>0.
En e¤et, l’utilisation du lemme de la page 228 nous permet de conclure à partir de (i), (ii) et (iii) qu’il existe une opportunité d’arbitrage. Remarquons que nous n’avons pas à véri…er que la stratégie !
ψ est admissible.
Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228
Énoncé Interprétation