Introduction aux modèles de marché en temps discret : le modèle binomial

(1)

binomial

Modèle binomial à une seule période Modèle binomial à deux périodes

Introduction aux modèles de marché en temps discret : le modèle binomial

80-646-08 Calcul stochastique

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

(2)

binomial

Modèle binomial à une seule période

Les prix Espace probabilisable Portefeuille Arbitrage Droit contingent Tari…cation Mesure neutre au risque

Mesure martingale Facteur d’actualisation Modèle binomial à deux périodes

Le titre sans risque I

Le modèle de marché

Le processus stochastique

n

S

_t⁽¹⁾:

t = 0, 1

o

représente l’évolution du prix d’une part d’un titre non risqué (une obligation, par exemple).

Supposons que le temps est mesuré en périodes (une période pouvant correspondre à un an, à un mois, à une journée, à une heure, à une seconde, etc.)

Letaux d’intérêt périodique r soit constant pendant le temps d’observation du processus,

alors

8^ω2Ω, S₁⁽¹⁾(ω) =S₀⁽¹⁾(ω) (1+r). On peut supposer que8^ω2^Ω, ^S0⁽¹⁾(ω) =1 ce qui implique que

8^ω2Ω, S₁⁽¹⁾(ω) = (1+r).

(3)

binomial

Le titre risqué I

Le modèle de marché

Le second processus stochastique

n

S

_t⁽²⁾ :

t = 0, 1

o

, lui, représente l’évolution du prix d’une part d’un titre risqué, S

_t⁽²⁾

étant le prix d’une part du titre au temps t.

Comme le prix actuel d’une part de ce titre est connu avec certitude,

8

^ω

2

Ω,

S

₀⁽²⁾

(

ω

) = s

₀

2

R+

= ( 0,

∞

)

.

Nous supposons qu’à la période suivante, le prix d’une

part du titre risqué ne peut prendre que deux valeurs,

disons s

11

et s

12

(s

11,

s

12

2

R+,

s

11

< s

12

).

(4)

binomial

Espace probabilisable I

Question. Quel est l’espace probabilisable …ltré nous

permettant de modéliser cette situation?

Réponse. Dans cet exemple, l’expérience aléatoire n’est

pas clairement dé…nie. Cependant, si nous considérons le processus stochastique à deux dimensions

! _S

t

=

ⁿ

S

_t⁽¹⁾,

S

_t⁽²⁾ :

t = 0, 1

o ,

nous remarquons que ce processus n’a que deux trajectoires di¤érentes, soit

S

₀⁽¹⁾,

S

₀⁽²⁾ ^>

S

₁⁽¹⁾,

S

₁⁽²⁾ ^>

trajectoire #1 ( 1, s

₀

)

^>

( 1 + r, s

₁₁

)

^>

trajectoire #2 ( 1, s

0

)

^>

( 1 + r, s

12

)

^>

(5)

binomial

Espace probabilisable II

Par conséquent, si Card (

Ω

) > 2, alors il y aurait des trajectoires identiques, c’est-à-dire que

9

^ω^1,^ω²

2

Ω

tels que 8 ^t 2 f ^0, ¹ g ^, ! _S

t

(

ω1

) = ! _S

t

(

ω2

) et alors même notre plus grande source d’information,

F

¹

=

σ

S

₀⁽¹⁾,

S

₀⁽²⁾,

S

₁⁽¹⁾,

S

₁⁽²⁾ ,

ne saurait distinguer entre la réalisation de

ω1

et celle de

ω2

.

(6)

binomial

Espace probabilisable III

Pour cette raison, nous choisissons Card (

Ω

) = 2 et

ω

S

₀⁽¹⁾

(

ω

)

,

S

₀⁽²⁾

(

ω

)

^>

S

₁⁽¹⁾

(

ω

)

,

S

₁⁽²⁾

(

ω

)

^>

ω1

( 1, s

0

)

^>

( 1 + r, s

11

)

^>

ω2

( 1, s

0

)

^>

( 1 + r, s

12

)

^>

Ce n’est pas la seule forme possible pour

Ω

, mais celle-ci est commode.

Le fait de regrouper tous les

ω

indi¤érenciés sous une

même appellation est pratique courante. C’est aussi une

des raisons pour lesquelles plusieurs confondent les

concepts d’ensemble fondamental et de variable aléatoire.

(7)

binomial

Espace probabilisable IV

En choisissant un tel

Ω

= f

^ω¹^,^ω²

g , nous serons en mesure de distinguer lequel de ses éléments s’est réalisé lorsque nous aurons observé le processus jusqu’à échéance, c’est-à-dire jusqu’à t = 1.

C’est pourquoi, F

¹

= F

= f tous les événements de

Ω

g

= f?

^,

f

^ω¹

g

^,

f

^ω²

g

^,^Ω

g

^.

Comme le processus S est constant au temps

t = 0, F

⁰

= f?

^,^Ω

g ^.

(8)

binomial

Le portefeuille I

Soit

φ₁

= le nombre de parts détenues du titre non risqué

φ₂

= le nombre de parts détenues du titre risqué.

De…nition

On appelle portefeuille le couple !

φ

= (

φ₁,φ₂

) 2

^{R R}^.

Si

φ_i

est négatif, c’est qu’il y a eu vente à découvert de

φ_i

parts du titre i.

La valeur de ce portefeuille au temps t est

V

_φ

( t,

ω

) =

φ₁

S

_t⁽¹⁾

(

ω

) +

φ₂

S

_t⁽²⁾

(

ω

)

.

(9)

binomial

Le portefeuille II

Puisque V

_φ

( 0,

ω

) =

φ₁

+

φ₂

s

0

, nous devrons débourser un montant de

φ₁

+

φ₂

s

0

a…n d’acquérir le portefeuille !

φ siφ₁+φ₂s₀<0, nous recevrons un montant de

(φ₁+φ₂s₀)lors de l’acquisition du portefeuille ! φ.

(10)

binomial

Opportunité d’arbitrage

De…nition On dit que !

φ

est une opportunité d’arbitrage si ( A1 ) 8

^ω

2

^Ω^,

^V

^φ

( 0,

ω

) = 0 ( A2 ) 8

^ω

2

^Ω^,

^V

φ

( 1,

ω

) 0 ( A3 ) 9

^ω

2

Ω,

V

_φ

( 1,

ω

) > 0,

c’est-à-dire qu’à partir d’un investissement nul ( A1 ) , nous

sommes certains de ne pas essuyer de perte ( A2 ) et nous avons

une probabilité positive de réaliser un gain ( A3 ) .

(11)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? I

La condition ( A1 ) implique que, pour que !

φ

= (

φ₁,φ₂

) soit une opportunité d’arbitrage, il faut que

φ₁

=

φ₂

s

₀

(1) puisque 0 = V

_φ

( 0,

ω

) =

φ₁

+

φ₂

s

₀

.

Il faut dès à présent noter que la condition ( A3 ) nous assure que ( 0, 0 ) n’est pas une opportunité d’arbitrage. De ce fait, (

φ₂

s

₀,φ₂

) ne peut être une opportunité

d’arbitrage si

φ₂

= 0. Supposons donc

φ₂

6 = 0.

(12)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? II

La condition ( A2 ) fait en sorte que (

φ₂

s

₀,φ₂

) est une opportunité d’arbitrage seulement si

V

_φ

( 1,

ω1

) =

φ₂

s

0

S

₁⁽¹⁾

(

ω1

) +

φ₂

S

₁⁽²⁾

(

ω1

)

=

φ₂

s

₀

( 1 + r ) +

φ₂

s

₁₁

=

φ₂

( s

₁₁

s

₀

( 1 + r )) 0 et

V

_φ

( 1,

ω2

) =

φ₂

s

₀

S

₁⁽¹⁾

(

ω2

) +

φ₂

S

₂

( 1,

ω2

)

=

φ₂

s

₀

( 1 + r ) +

φ₂

s

₁₂

=

φ₂

( s

12

s

0

( 1 + r )) 0.

Donc l’arbitrage ne sera possible que si

s

₁₂

> s

₁₁

s

₀

( 1 + r ) ou si s

₁₁

< s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) .

(13)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? III

L’ajout de la troisième condition ( A3 ) implique que si s

12

> s

11

s

0

( 1 + r )

,

alors, pour tout

φ₂

> 0, le portefeuille (

φ₂

s

0,φ₂

) est une opportunité d’arbitrage puisque

V

_φ

( 1,

ω1

) =

φ₂

( s

₁₁

s

₀

( 1 + r )) 0;

V

_φ

( 1,

ω2

) =

φ₂

( s

₁₂

s

₀

( 1 + r )) > 0 et si s

₁₁

< s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) alors, pour tout

φ₂

< 0, le portefeuille (

φ₂

s

0,φ₂

) est une opportunité d’arbitrage car

V

_φ

( 1,

ω1

) =

φ₂

( s

₁₁

s

₀

( 1 + r )) > 0;

V

_φ

( 1,

ω2

) =

φ₂

( s

₁₂

s

₀

( 1 + r )) 0.

(14)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? IV

Autrement dit, si s

12

> s

11

s

0

( 1 + r ) alors il su¢ t de

vendre à découvertns₀ parts du titre non risqué (emprunter un montant dens₀ dollars)

pour acheternparts du titre risqué.

Le montant à débourser estV_φ(0) = ns₀ 1+n s₀ =0.

Àt =1, nous vendons les parts du titre risqué (nous obtenons une somme denS₁⁽²⁾(ω)dollars)

et remboursons notre prêt ainsi que les intérêts (un montant dens₀(1+r)dollars).

Nous recevons donc un montant net de

nS₁⁽²⁾(ω) ns₀(1+r) =V₍ _ns₀_,n)(1,ω)

= ^ns¹¹ ^ns⁰(1+r) =n(s11 s0(1+r)) 0 siω=ω1

ns₁₂ ns₀(1+r) =n(s₁₂ s₀(1+r))>0 siω=ω2.

(15)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? V

Si s

₁₁

< s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) alors on peut

vendre à découvertnparts du titre risqué et

investir le montantns0 obtenu dans l’achat dens0 parts du titre sans risque:

V_φ(0) =ns₀ 1 n s₀ =0.

Au tempst =1,un montant dens₀(1+r) dollars est obtenu de la vente du titre sans risque et achetons à un coût denS₁⁽²⁾(ω)lesnparts du titre risqué que nous avions vendues à découvert.

Le montant net de cette transaction est

ns₀(1+r) nS₁⁽²⁾(ω)

= V_(ns₀_, _n)(1,ω)

= ^ns⁰(1+r) ns11=n(s0(1+r) s11)>0 siω=ω1

ns₀(1+r) ns₁₂=n(s₀(1+r) s₁₂) 0 siω=ω2.

(16)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? VI

Par contre, si s

₁₁

< s

₀

( 1 + r ) < s

₁₂,

il n’y a pas de portefeuilles qui sont des opportunités d’arbitrage puisque

V_φ(0) =0)^φ1 = φ₂s₀.

Siφ₂=0,alorsV_φ(1,ω1) =V_φ(1,ω2) =0 et, siφ₂ 6=0,alorsV_φ(1,ω₁)etV_φ(1,ω₂)ne peuvent pas être tous les deux non négatifs puisque

V_φ(1,ω1) = φ₂(s₁₁ s₀(1+r))

| {z }

<0

etV_φ(1,ω₂) = φ₂(s₁₂ s₀(1+r))

| {z }

>0

.

(17)

binomial

Quelles sont les opportunités d’arbitrage du modèle? VII

Dans ce qui suit, nous supposons que notre modèle de marché n’admet aucune opportunité d’arbitrage, c’est-à-dire que

s

₁₁

< s

₀

( 1 + r ) < s

₁₂.

(2)

(18)

binomial

Droit conditionnel I

De…nition

Un

droit conditionnel

est un contrat entre deux parties, un vendeur et un acheteur, dont la valeur dépendra de l’état du marché pendant la période de validité du contrat. C’est comme un contrat d’assurance.

Mathématiquement parlant, un droit conditionnel C est

toute (

Ω,

F ) variable aléatoire à valeurs non négatives.

(19)

binomial

Droit conditionnel II

Par exemple, une option de vente est un droit conditionnel intervenant au temps t = 0 entre les deux parties,

permettant à l’acheteur de vendre, au temps t = 1, une part du titre risqué à un prix …xé dès maintenant, disons K

,

que l’on appelle le prix d’exercice.

Ainsi, siS₁⁽²⁾<K alors l’acheteur se prévaudra de son option et vendra sa part du titre risqué à un montantK supérieur à celui qu’il obtiendrait sur le marché.

Par contre, siS₁⁽²⁾ K, l’acheteur n’exercera pas son option puisqu’il peut obtenir un meilleur prix sur le marché que celui qui est stipulé par le contrat.

Donc la valeur de l’option de vente est max K S₁⁽²⁾,0 . Bien entendu, le vendeur du droit conditionnel n’o¤rira pas cet avantage à l’acheteur sans être dédommagé. Le montant versé au tempst =0 par l’acheteur au vendeur a…n d’acquérir l’option est le prix du droit conditionnel.

(20)

binomial

Tari…cation

Droit conditionnel

Question. Quel est le prix du droit conditionnel?

(21)

binomial

Tari…cation I

Peut-on choisir le portefeuille de sorte que sa valeur à t = 1 soit identique au droit contingent? Dans le cas où il y a autant de scénarios que de titres, il est possible d’obtenir une solution unique sous certaines conditions.

Si c

i

= C (

ωi

) alors

8

^ω

2

Ω,

V

_φ

( 1,

ω

) = C (

ω

)

,

^φ1

( 1 + r ) +

φ₂

s

11

= c

1

et

φ₁

( 1 + r ) +

φ₂

s

12

= c

2

,

^φ¹ φ₂

=

s12c1 s11c2

(s12 s11)(1+r) c2 c1

s12 s11

!

(22)

binomial

Tari…cation II

Ainsi, la valeur au temps t = 0 de ce portefeuille est V

_φ

( 0,

ω

)

= ^s

¹²

^c

¹

^s

¹¹

^c

²

( s

12

s

11

) ( 1 + r ) + ^c

²

^c

¹

s

12

s

11

s

0

= ^c

¹

1 + r

s

12

s

0

( 1 + r ) s

₁₂

s

₁₁

+ ^c

²

1 + r

s

0

( 1 + r ) s

11

s

₁₂

s

₁₁ .

(3)

(23)

binomial

Mesure neutre au risque I

Jusqu’à présent, nous avons travaillé sur un espace probabilisable …ltré et il n’a pas encore été question de mesure de probabilité.

Posons

q = ^s

¹²

^s

⁰

( 1 + r ) s

₁₂

s

₁₁

et notons que la condition de non-arbitrage est équivalente au fait que q soit compris entre 0 et 1:

s

₁₁

< s

₀

( 1 + r ) < s

₁₂

, ⁰ < q < 1.

Ainsi, si

Q

(

ω1

) = q et

Q

(

ω2

) = 1 q alors

Q

est une

mesure de probabilité construite sur notre espace

probabilisable (

_Ω,

F ) .

(24)

binomial

Mesure neutre au risque II

Il est important de noter que

Q

(

ω1

) ne correspond vraisemblablement pas à la probabilité ”réelle” que l’événement

ω1

survienne.

Généralement, nous ne connaissons pas cette probabilité.

Appelons donc

P

la mesure de probabilité qui associe à chacun des

ω

de l’ensemble fondamental la probabilité

”réelle” que cet événement survienne (

P

(

ω1

) = p et

P

(

ω2

) = 1 p).

(25)

binomial

Mesure neutre au risque III

Comme nous l’avons déterminé à l’équation (3), le prix du droit conditionnel C est

c

1

1 + r

s

12

s

0

( 1 + r ) s

₁₂

s

₁₁

+ ^c

²

1 + r

s

0

( 1 + r ) s

11

s

₁₂

s

₁₁

= ^c

¹

1 + r

s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) s

₁₂

s

₁₁

+ ^c

²

1 + r 1 s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) s

₁₂

s

₁₁

= ^c

¹

1 + r q + ^c

²

1 + r ( 1 q )

=

E^Q

C

1 + r = ¹

1 + r

E^Q

[ C ]

.

Donc, le prix de tout droit conditionnel C correspond à la

valeur espérée, sous la mesure

Q

, dudit droit conditionnel

actualisé

₁^C₊_r

(26)

binomial

Mesure neutre au risque IV

Merveilleux! Au lieu d’avoir à résoudre un problème

d’optimisation a…n de déterminer le prix d’un droit

conditionnel, nous n’aurons qu’à calculer une espérance,

pourvu que l’on connaisse la bonne mesure de probabilité

à placer sur notre espace probabilisable …ltré.

(27)

binomial

Mesure neutre au risque I

Pourquoi cette appellation?

Le rendement d’un titre pendant la période de temps allant de t 1 à t est dé…ni par

R

_S

( t,

ω

) = ^S

^t

(

ω

) S

_t ₁

(

ω

) S

t 1

(

ω

)

où S

_t

(

ω

) dénote le prix d’une part du titre au temps t.

(28)

binomial

Mesure neutre au risque II

Pour toute mesure de probabilité

Pb

, le rendement espéré du titre sans risque sur la période de temps [ 0, 1 ] est

E^P^b

[ R

_S(1)

( 1 )] = ∑

ω2Ω

S

₁⁽¹⁾

(

ω

) S

₀⁽¹⁾

(

ω

) S

₀⁽¹⁾

(

ω

)

Pb

(

ω

)

= ∑

ω2Ω

( 1 + r ) 1 1

Pb

(

ω

)

= ∑

ω2Ω

r

Pb

(

ω

)

= r.

(29)

binomial

Mesure neutre au risque III

Le rendement espéré du titre risqué, sous la mesure

Pb

, est

E^P^b

[ R

_S(2)

( 1 )] =

∑

2 i=1

S

₁⁽²⁾

(

ωi

) S

₀⁽²⁾

(

ωi

) S

₀⁽²⁾

(

ωi

)

Pb

(

ωi

)

= ^s

¹¹

^s

⁰

s

0

Pb

(

ω1

) + ^s

¹²

^s

⁰

s

0

Pb

(

ω2

)

.

(30)

binomial

Mesure neutre au risque IV

Donc le ”vrai” rendement espéré du titre risqué est celui calculé sous la mesure

P

et correspond à

E^P

[ R

_S(2)

( 1 )] = ^s

¹¹

^s

⁰

s

₀ P

(

ω1

) + ^s

¹²

^s

⁰

s

₀ P

(

ω2

)

= ^s

¹¹

^s

⁰

s

0

p + ^s

¹²

^s

⁰

s

0

( 1 p )

= ^s

¹¹

^s

⁰

s

₀

s

12

s

0

s

₀

p + ^s

¹²

^s

⁰

s

₀

= ^s

¹²

^s

⁰

s

0

s

₁₂

s

₁₁

s

0

p

et cette dernière quantité sera, en général, di¤érente de r.

(31)

binomial

Mesure neutre au risque V

Par contre, le rendement espéré du titre risqué, calculé sous la mesure

Q

, est

E^Q

[ R

_S(2)

( 1 )]

= ^s

¹¹

^s

⁰

s

₀ Q

(

ω1

) + ^s

¹²

^s

⁰

s

₀ Q

(

ω2

)

= ^s

¹¹

^s

⁰

s

₀

s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) s

₁₂

s

₁₁

+ ^s

¹²

^s

⁰

s

0

1 s

₁₂

s

₀

( 1 + r ) s

12

s

11

= r

ce qui signi…e que, sur l’espace (

Ω,

F

^,^Q

) , il n’y a pas de

béné…ce associé au risque, le rendement espéré du titre

risqué est le même que celui du titre non risqué.

(32)

binomial

Mesure martingale I

Parce que, sur l’espace probabilisé …ltré (

Ω,

F

^,^F^,^Q

) , les processus de prix actualisés des titres

^S⁽

i) t

(1+r)^t :

t = 0, 1 sont

des martingales.

(33)

binomial

Mesure martingale II

Preuve

. Dans le cas du titre sans risque,

E^Q

"

S

₁⁽¹⁾

1 + r F

⁰

#

=

E^Q

1 + r 1 + r F

⁰

= 1

= ^S

(1) 0

( 1 + r )

⁰^.

(34)

binomial

Mesure martingale III

En ce qui concerne le titre risqué,

E^Q

"

S₁⁽²⁾ 1+r F0

#

= E^Q

"

S₁⁽²⁾ 1+r

#

=

∑

2 i=1

S₁⁽²⁾(ω_i) 1+r Q(ωi)

= ^s¹¹

1+rQ(ω1) + ^s¹² 1+rQ(ω2)

= ^s¹¹ 1+r

s₁₂ s₀(1+r) s12 s11

+ ^s¹² 1+r

s₀(1+r) s₁₁ s12 s11

= s0

= ^S

(2) 0

(1+r)⁰^.

(35)

binomial

Facteur d’actualisation

Nous avons vu que si le modèle n’admet pas l’arbitrage, alors il existe une mesure de probabilité

Q

telle que le prix du droit contingent au temps 0 est l’espérance de la valeur actualisée de ses ‡ux monétaires futurs

Prix =

E^Q

C 1 + r

.

Or, sous la « vraie» mesure de probabilité

P,

il n’y a aucune raison d’actualiser les ‡ux monétaires futurs avec le facteur d’actualisation issu du taux d’intérêt sans risque puisque le droit contingent est un actif risqué.

On pourrait obtenir le prix du droit contingent en prenant l’espérance, sous la mesure

P

, de la valeur actualisée de ses ‡ux monétaires futurs.

Le problème dans ce cas est de déterminer le facteur

d’actualisation.

(36)

binomial

Le modèle Espace probabilisable Exemple Processus prévisible Stratégie d’investissement Exemple Arbitrage Mesure neutre au risque Tari…cation

Le titre sans risque

Le modèle

Le processus stochastique

n

S

_t⁽¹⁾:

t = 0, 1, 2

o

représente l’évolution du prix d’une part d’un titre non risqué.

Supposons que le taux d’intérêt périodique r soit constant pendant le temps d’observation du processus et que

8

^ω

2

^Ω^,

^S

0⁽¹⁾

(

ω

) = 1, alors

8

^ω

2

^Ω^,

^S

t⁽¹⁾

(

ω

) = ( 1 + r )

^t.

(37)

binomial

Le titre risqué I

Le modèle

Le second processus stochastique

n

S

_t⁽²⁾ :

t = 0, 1, 2

o

, lui, représente l’évolution du prix d’une part d’un titre risqué, S

_t⁽²⁾

étant le prix d’une part du titre au temps t.

Comme le prix actuel d’une part de ce titre est connu avec certitude,

8

^ω

2

Ω,

S

₀⁽²⁾

(

ω

) = s

₀

2

R+

= ( 0,

∞

)

.

Nous supposons qu’à la période suivante, soit t = 1, le

prix d’une part du titre risqué ne peut prendre que deux

valeurs, disons s

11

et s

12

(s

11,

s

12

2

^R⁺^,

^s

¹¹

< s

12

).

(38)

binomial

Le titre risqué II

Le modèle

Nous supposons qu’à la seconde période, soit t = 2, il n’y ait que quatre valeurs possibles pour le prix d’une part du titre, disons s

₂₁

, s

₂₂

(si S

₁⁽²⁾

= s

₁₁

), s

₂₃

et s

₂₄

(si

S

₁⁽²⁾

= s

12

) avec les contraintes s

21,

s

22,

s

23,

s

24

2

R+,

s

₂₁

< s

₂₂,

s

₂₃

< s

₂₄

.

(39)

binomial

Le titre risqué III

Le modèle

ω

S

₀⁽¹⁾

(

ω

) S

₀⁽²⁾

(

ω

)

!

S

₁⁽¹⁾

(

ω

) S

₁⁽²⁾

(

ω

)

!

S

₂⁽¹⁾

(

ω

) S

₂⁽²⁾

(

ω

)

!

ω1

( 1, s

0

)

^>

( 1 + r, s

11

)

^>

( 1 + r )

²,

s

21

>

ω2

( 1, s

₀

)

^>

( 1 + r, s

₁₁

)

^>

( 1 + r )

²,

s

₂₂ ^>

ω3

( 1, s

0

)

^>

( 1 + r, s

12

)

^>

( 1 + r )

²,

s

23

>

ω4

( 1, s

₀

)

^>

( 1 + r, s

₁₂

)

^>

( 1 + r )

²,

s

₂₄ ^>

(40)

binomial

Espace probabilisable …ltré

Le modèle

Tel que nous avons argumenté précédemment, nous pouvons justi…er le choix d’un ensemble fondamental

Ω

= f

^ω¹^,^ω²^,^ω³^,^ω⁴

g ^.

La tribu F est l’ensemble de tous les événements de

Ω

et la …ltration

F

= fF

^t ^:

^t = 0, 1, 2 g est constituée des sous-tribus de F ^suivantes:

F0 =f?^,Ωg^,

F1 =σff^ω1,ω2g^,f^ω3,ω4gg^et F2 =F^.

(41)

binomial

Exemple

Le modèle

Si r = 10% alors

ω

S

₀⁽¹⁾

(

ω

)

S

₀⁽²⁾

(

ω

)

!

S

₁⁽¹⁾

(

ω

) S

₁⁽²⁾

(

ω

)

!

S

₂⁽¹⁾

(

ω

) S

₂⁽²⁾

(

ω

)

!

ω1

( 1; 2 )

^>

( 1, 1; 2 )

^>

( 1, 21; 1 )

^>

ω2

( 1; 2 )

^>

( 1, 1; 2 )

^>

( 1, 21; 3 )

^>

ω3

( 1; 2 )

^>

( 1, 1; 4 )

^>

( 1, 21; 1 )

^>

ω4

( 1; 2 )

^>

( 1, 1; 4 )

^>

( 1, 21; 5 )

^>.

(42)

binomial

Notation

Le titre sans risque

De…nition

Un processus stochastique X = f ^X

^t ^:

^t = 0, 1, 2, ... g ^construit

sur un espace probabilisable (

Ω,

F ) est dit

prévisible

par

rapport à la …ltration fF

^t ^:

^t = 0, 1, 2, ... g ^si ^X

⁰

^{est une}

(

Ω,

F

⁰

) variable aléatoire et 8 ^t 2 f ^1, ^{2, ...} g

^,

^X

^t

^{est une}

(

Ω,

F

^t ¹

) variable aléatoire.

(43)

binomial

Stratégie d’investissement I

Les processus stochastiques prévisibles

n

φ⁽_t¹⁾ :

t = 0, 1, 2

o

et

n

φ_t⁽²⁾ :

t = 0, 1, 2

o

représentent l’évolution de notre portefeuille au cours du temps:

φ⁽¹⁾_t = nombre de parts du titre non risqué détenues pendant la période de temps(t 1,t],

φ⁽²⁾_t = nombre de parts du titre risqué détenues pendant la période de temps(t 1,t].

Introduction aux modèles de marché en temps discret : le modèle binomial