5;2

(1)

[ ]

2de Correction du DS n° 1

Exercice 1

1. Sachant que 2, 23< 5<2, 24 et 2, 64< 7<2, 65, on a :

2, 23 2, 64+ < 5+ 7<2, 24 2, 65+ , donc 4,87< 5+ 7<4,89. 3 2, 64 3 7 3 2, 65

− × > − > − × , d’où 7,95− < −3 7< −7,92.

2, 23 2, 64× < 5× 7<2, 24 2, 65× d’où 5,8872< 5× 7 <5,936

2. On a : 1 2 7 42 3 45 4 40

; ; et

15=30 − = −5 30 2 =30 − = −3 30 d’où 7 4 1 3

5 3 15 2

− < − < < . 3. a. Comparons 1

π +5 et 1 π +6 :

5<6 donc 0< + < +π 5 π 6 donc 1 1

5 6

π+ ^>π + c’est-à-dire 1 1

6 5

π + ^<π + . b. Comparons 14

15, 14 2

15

 

 

  et 14 3

15

 

 

  :

14

0 1

<15< donc

3 2

14 14 14

15 15 15

   

< <

   

    .

Exercice 2

1. Annexe 1.

encadrement intervalle graphique

–5 x 2 ^x^{∈ −}

[

^{5 ; 2}

]

[ ]

−5 2

−1 x < 4 ^x^{∈ −}

[

^{1 ; 4}

[

[ [ 1− 4 0 < x < 6 ^x^∈

] [

^{0 ; 6} 0 6

x < –3 ^x^{∈ −∞ −}

]

^; ³

[

3−

2 x ^x^∈

[

^{2 ;}^{+ ∞}

[

2

2. a. Annexe 2 3,99 I

− ∈ 3∉J 7∉I

6, 01∉K 22

3 ∈J 2π∈I

b. On a : ^I^{∩ =}^J

[ [

^{5 ; 7} ^,^I^{∪ = − +∞}^J

]

^{4 ;}

[

^et^J^{∪ =}^K

]

^{0 ;} ^{+ ∞}

[

^.

(2)

Exercice 3

Cet exercice a été traité en module.

Exercice 4

1. Dans le triangle ABC, la droite (AH) est la hauteur issue de A.

2. Calcul de AH :

Dans le triangle AHC rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore on a :

2 2 2

AC =AH +HC d’où AH² =AC²−HC².

Or HC = BC – BH = 12 − 4 = 8 donc AH² =10²− =8² 100 64− =36. Comme AH > 0, AH = 6.

Calcul de AB :

Dans le triangle AHB rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore on a :

2 2 2

AB =AH +BH donc AB² = +6² 4² =36 16+ =52. On en déduit que AB= 52 ou encore AB=2 13. 3. Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

AB2 =52, AC² =100 et BC² =144 donc BC²≠AB²+AC². Conclusion : le triangle ABC n’est pas rectangle en A.

4. Calcul de IK

Dans le triangle AHC, la médiane issue de A coupe le segment [HC] en I donc I est le milieu du segment [HC].

Dans le triangle AHC, I est le milieu du segment [HC] et J est le milieu du segment [AH]

donc d’après le théorème de la droite des milieux, on a (IJ) // (AC).

Comme la droite (IJ) coupe le segment [AB] en K, on a donc (IK) // (AC).

Dans le triangle ABC, les points B, I et C sont alignés dans le même ordre que les points B, K et A avec (IK) // (AC) donc d’après le théorème de Thalès on a : BI IK

BC =CA. On en déduit que BI CA (BH+HI) CA (4 4) 10 80

IK BC BC 12 12

× × + ×

= = = = d’où 20

IK= 3 . Annexe 3