D.S. DE MATHEMATIQUES (4)

D.S. DE MATHEMATIQUES (4)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Pas de document, ni de calculatrice ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I- Cours :

1. Résoudre, sur ℝ , chacune des équations différentielles suivantes : 4y'y=0

y '−3y=2 y '−3=0 .

2. On considère l'équation différentielle : (E) : y '=2y1 . On muni le plan d'un repère O ;i ,j.

Déterminer la solution de (E), sur ℝ , dont la courbe passe par le point A(0, 3).

II - Une ville comporte 10 000 habitants. À huit heures du matin, cent personnes apprennent une nouvelle par la radio locale. On note ft la fréquence des personnes connaissant la nouvelle à l'instant t (exprimé en heures). On choisit huit heures du matin comme instant initial t = 0.

(On a donc f 0=0,01 )

La nouvelle se répand dans la ville de sorte que, la vitesse de propagation f 't vérifie la relation : f 't=1,15f t1−f t

1. Soit z la fonction définie, sur [0;∞ [, par : z=1

f (f ne s'annule pas).

a. Démontrer que z est solution de l'équation différentielle : y '=−1,15y1,15 . b. En déduire une expression de f t.

c. Déterminer le tableau complet de variations de la fonction f. (Avec la limite en ∞) 2. Déterminer à partir de quelle heure (à une unité près), 99% de la population de cette ville

connaîtra la nouvelle.

III- Partie A :

La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f x=20x10e⁻

1 2x

.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O ;i ;j. (unité graphique 1 cm).

1. Étudier la limite de la fonction f en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.

3. Établir que l’équation f x=10 admet une unique solution strictement positive α dans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner une valeur décimale approchée à 10⁻³ près de α.

4. Tracer la courbe C.

Partie B :

On note yt la valeur, en degrés Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t , t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t = 0, est y0=10 .

On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ associe yt, est solution de l’équation différentielle (E) : y ′1

2 y=20e⁻

1 2t

.

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1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ; +∞[, qui prend la valeur 10 à l’instant 0.

a. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle (E), définie sur [0 ; +∞[

vérifiant g0=10 . Démontrer g est solution de (E) si et seulement si la fonction g − f est solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle : (E′) y ′1

2 y=0 . b. Résoudre l’équation différentielle (E′).

c. Conclure.

3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.

Barème :

Exercice 1 : 3,5 points Exercice 2 : 7 points Exercice 3 : 9,5 points

Bon courage

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