Cours de math´ematiques
Variables al´ eatoires
D´efinition 1. On appelle variable al´eatoire X une grandeur num´erique associ´ee `a une exp´erience al´ea- toire.
Exemple 1. La somme des points obtenus lors du lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es est une variable al´eatoire.
D´efinition 2. Etant donn´´ ee une variable al´eatoire X, on notex1,x2, . . .,xn les n valeurs prises par X.
Exercice 1. On consid`ere la variable al´eatoire X, somme des points obtenus lors du lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es. D´eterminer les valeurs prises parX.
D´efinition 3. Etant donn´´ ee une variable al´eatoire X prenant les valeurs x1, x2, . . ., xn, on note p1, p2, . . ., pn les probabilit´es P(X =x1),P(X =x2), . . .,P(X =xn). La fonction qui `a xi associe sa probabilit´e pi est appel´ee loi de probabilit´ede la variable al´eatoire X.
Exercice 2. On consid`ere la variable al´eatoire X, somme des points obtenus lors du lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es. D´eterminer la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire X.
D´efinition 4. On appelle fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire X la fonction F d´efinie par F(x) =P(X 6x).
Exercice 3. On consid`ere la variable al´eatoire X, somme des points obtenus lors du lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es. Repr´esenter graphiquement la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire X.
D´efinition 5. On appelle esp´erance d’une variable al´eatoire X prenant les valeurs x1, x2, . . ., xn avec les probabilit´es p1, p2, . . ., pn :
E(X) =p1x1+p2x2+· · ·+pnxn
Exercice 4. On consid`ere la variable al´eatoire X, somme des points obtenus lors du lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es. Calculer l’esp´erance de la variable al´eatoire X.
D´efinition 6. On appellevariance d’une variable al´eatoire X prenant les valeursx1, x2,. . ., xn avec les probabilit´es p1, p2, . . .,pn :
V(X) =p1[x1−E(X)]2+p2[x2−E(X)]2+· · ·+pn[xn−E(X)]2
Exercice 5. On consid`ere la variable al´eatoire X, somme des points obtenus lors du lancer de deux d´es cubiques ´equilibr´es. Calculer la variance de la variable al´eatoire X.
Propri´et´e 1. Soit X une variable al´eatoire X prenant les valeurs x1, x2, . . ., xn avec les probabilit´es p1, p2, . . ., pn alors :
V(X) =p1x21+p2x22+· · ·+pnx2n−[E(X)]2 Exercice 6. V´erifier la propri´et´e sur l’exercice pr´ec´edent.
D´efinition 7. On appelle ´ecart-typed’une variable al´eatoire X la racine carr´ee de sa variance : σ(X) =p
V(X)
www.emmanuelmorand.net 1/1 Tsti1011Chap07Cours
