A la recherche des multipˆoles Romain

A la recherche des multipˆ oles

Romain Joly ,Yacine Dolivet 12 octobre 2005

”Chose promise, chose due”

vieux proverbe chinois R´esum´e

L’origine de ce texte est une boutade de Jean-Michel Raimond lors de son cours´electromagn´etisme et relativit´e : si on est capable d’exhiber un 32-pˆole, il nous donnera un point suppl´ementaire `a son examen. Le d´efi m´eritait d’ˆetre relev´e.

1 Probl` eme et notations

On recherche une distribution de chargesρdansR^N qui annule les premiers moments, c’est-`a-dire que pour tout multi-indice α de poids strictement plus petit quen,

Z

r^αρ(r)d^Nr= 0 , et il existe un multi-indiceαde poids ntel que

Z

r^αρ(r)d^Nr6= 0 .

Une telle distributionρest dite d’ordre n ou encore 2ⁿ-pˆole.

Remarque : • Rappelons que pour un multi-indice α = (α1, ..., αN) et r = (r1, ..., rN), on note r^α = r₁^α1...r_N^αN et on appelle poids de α la valeur

|α|=α1+...+αN.

•grce au processus d’orthonormalisation de Schmidt, on sait qu’il existeρdans R[X1, ..., Xn] qui est un 2ⁿ-pˆole. Mais bon, ce n’est pas unρtr`es ”physique”

2 Multiplication et augmentation de dimension

Propri´et´e 2.1 Soientρ1d’ordren1dansR^N1 etρ2d’ordren2 dansR^N2. Alors ρd´efinie par :

ρ(x) =ρ1(x1, ..., x_N1)ρ2(xN1+1, ..., x_N1+N2)est d’ordre n1+n2 dansR^N1+N2 D´emonstration : Soit un multi-indice α tel que |α| < N1+N2, on pose β= (α1, ..., α_N1) etγ= (αN1+1, ..., α_N1+N2). N´ecessairement, ou bien|β|< n1, ou bien|γ|< n2et donc par Fubini :

Z

r^αρ(r)d^N1+N2r= Z

r^βρ1(r)d^N1r Z

r^γρ2(r)d^N2r= 0. De plus il existeβ etγ tels que|β|=n1et |γ|=n2 et

Z

r^βρ1(r)d^N1r6= 0 et Z

r^γρ2(r)d^N2r6= 0. Donc,α= (β, γ) v´erifie

Z

r^αρ(r)d^N1+N2r6= 0

2.1 Plongement

La fonction de Diracδ0(x) est un multipˆole d’ordre 0. Donc, siρest d’ordre n sur R^N , ρ⊗δ0 est d’ordre n sur R^N+1, ce qui justifie qu’un 2ⁿ-ple de R^N plong´e dans n’importe quel espace plus grand reste un 2ⁿ-pˆole.

2.2 G´ en´ eration des 2

-pˆ oles fondamentaux

Nous connaissons le dipˆole ρdipˆole = δ1−δ−1 qui est d’ordre 1 sur R. On peut donc cr´eer ce que nous appellerons le 2ⁿ-pˆole fondamental

ρ(x1, ..., x_n) =ρdipˆole(x1)...ρdipˆole(xn),

qui est d’ordre n sur Rⁿ (et donc sur tout R^n+p pour p ≥ 0). Ce n’est rien d’autre qu’un hypercube de dimensionndont les sommets portent des charges +1 et -1 alternativement r´eparties.

Exemples :

Quadripole Octopole

Dipole

3 G´ en´ eration de multipˆ oles lin´ eaires

En s’inspirant des points de Gauss ((x1, ω1), ...,(xn, ω_n)) qui v´erifient X

i

ωixip= Z

x^pdxpour toutp < n ,

nous allons chercher des pointsxi et des poidsωi tels que :

∀p < nX

i

ωixip= 0 .

On aura alors un multipˆoleρ=P

iωiδxi d’ordre n.

En cherchant un peu, on voit que :

x1=−1 x2= 1

ω1=−1 ω2= 1 est d’ordre 1.

x1=−1 x2= 0 x3= 1

ω1= 1 ω2=−2 ω3= 1 est d’ordre 2.

x1=−2 x2=−1 x3= 0 x4= 1 x5= 2

ω1= 1 ω2=−4 ω3= 6 ω4=−4 ω5= 1 est d’ordre 3...

Cela donne graphiquement :

Nota Bene : la suite de cet expos´e n’aurait pu se faire sans la judicieuse remarque de Thierry Lahaye, le soutien de Francois Court`es et l’agr´ement de la cour aux Ernests.

Judicieuse remarque :le mot distribution vient justement de l’´electromagn´etisme, et les distributions pr´esent´ees semblent li´ees `a∂_xδ0,∂_x²2δ0et∂_x⁴4δ0. Orh∂^k_xkδ0;x^pi= (∂_x^kkx^p)(0) d’o le rapport clair avec l’annulation des k premiers moments.

Cela a aussi un lien avec la discr´etisation des deriv´ees : u^′ =ui+1−ui

δx , u^′′= ui+1−2ui+ui−1

δx² etc...

On peut alors intuiter la formule g´en´erale.

Propri´et´e 3.1 Soientδx etλdeux nombres strictements positifs et aun r´eel.

La distribution de charge ((xi, ωi))0≤i≤n, o`u xi =iδx+a et ωi =λ(−1)ⁱC_nⁱ, d´ecrit une densit´e ρ=P

iωiδxi qui est d’ordre n surR

D´emonstration :Il faut montrer queP

iωixipest nulle pour tout 0≤p≤ n−1 et non nulle pourp=n(le cas n=0 est trivial¹). Or, une r´ecurrence simple fait apparaˆıtre que :

X

i

ωixip= (−1)^pλδx^p(∂_x^pp(x−1)ⁿ)(1) pour 0≤p≤n ,

d’o le r´esultat

Exemples : dipˆole 1 -1 quadripˆole 1 -2 1 octopˆole 1 -3 3 -1 hexadecapˆole 1 -4 6 -4 1 128-pˆole 1 -7 21 -35 35 21 7 -1

Remarque :Comme Pn

i=0C_nⁱ = 2ⁿ, on retrouve une justification de l’ap- pellation physique de 2ⁿ-pˆole. De plus, quandδxtend vers 0, la distributionρ tend vers une des d´eriv´ees de la fonction de Dirac.

4 Et c’est parti !

Nous avons maintenant tous les outils n´ecessaires `a la cr´eations de multipˆoles.

4.1 32-pˆ oles

Pour trouver ρ d’ordre 5, il suffit de trouver des d´ecompositions de 5 en somme d’entiers.

5=1+1+1+1+1 le 32-pˆole fondamental (dansR⁵) 5=2+1+1+1 un 32-pˆole dansR⁴

Les suivants sont repr´esentables dansR³:

1non...vous croyez ?

1

1

1 1 3

3 3 3 -1

-1

-1

-1 -3

-3

-3 -3

1

1 1

1

2

2

2 2

4 -2

-2 -2

-2

-1 -1

-1 -1 -4

1

1

4

6

4 -1

-4

-4

-6

-1

1 1

-1 -1

3

-3 -3

3

2 -2

6

-6

1 -5 10 -10 5 -1

5=5+0+0 5=3+2+0

5=4+1+0 5=2+2+1

5=3+1+1

Remarque :la question qui peut ˆetre alors pos´ee est : est-ce un point par 32-pˆole, ou a-t-on le droit `a un prix de gros ?

message subliminal :la g´en´erosit´e est la beaut´e du cœur

4.2 64-pˆ oles

Pour le plaisir, trois petits 64-pˆoles :

1 1

1 1

1 1

1 1 -2

-2 -2

-2

-2 -2

-2

-2

-2

-2 -2 -2

4

4

4 4

4

4 -8

1 1

1 1

-4

-4 -4

-4

-4

-4 -4

-4

6

6

6

6

16 16

16 16

-24 -24

-24

-24 36

1 -6 15 -20 15 -6 1

6=6

6=3+3 6=2+2+2

5 Projections

En observant les exemples :

1 -2

1

1 -3

3 -1

on trouve le th´eor`eme suivant :

Propri´et´e 5.1 Le 2ⁿ-pˆole lin´eaire est la projection selon la grande diagonale de l’hypercube fondamental d’ordre n.

D´emonstration : On se place dans le rep`ere d´efini par l’hypercube. La grande diagonale a pour ´equation :x1=...=x_n. La projectionP du sommet S= (s1;...;s_n) (si=0 ou 1), v´erifie :

(S−P).P = 0 i.e.x1(s1−x1) +...+x_n(sn−x_n) = 0 Orx1=...=x_n d’ox1=^s1+...+s_n ⁿ.

Au site de projection num´ero p, on trouve donc la projection de C_n^p sommets (tous les sommets tels ques1+...+s_n=p). De plus le signe des charges vaut (−1)^s1+...+sn. Donc, au site p, on a la charge (−1)^pC_n^p. Corollaire :Tous les multipˆoles fabriqu´es par notre m´ethode sont des pro- jections de l’hypercube fondamental suivant un espace d´efini par des grandes

diagonales de faces. Ceci expliquant aussi pourquoi `a chaque fois, le nombre total de charges (la ”masse” du multipˆole) vaut 2ⁿ.

On a aussi des projections plus amusantes :

1 1

-1 -1

2 -2

De mˆeme, sur nos 32-pˆoles on a :

•4+1 est la projection de 2+2+1 suivant le plan diagonal `a la grande face.

•5 est la projection de 3+1+1 suivant une grande diagonale d’un cube.

Etc...

Plus surprenant, on peut annihiler des charges :

L’hexagone ´etant bien un octopˆole d’apr`es les souvenirs de taupins de Chris- tophe MADEC.

Il est alors tout naturel d’essayer d’extrapoler : Conjectures :

•Tous les 2ⁿ-pˆoles sont des projections du multipˆole fondamental d’ordren.

• Toute projection du multipˆole fondamental d’ordre n sur un espace “ca- ract´eristique de la dimension”, c’est `a dire perpendiculaire `a aucune ar`ete, reste un 2ⁿ-pˆole.

Conclusion :

Nous avons donc atteint le but que nous nous ´etions fix´es, `a savoir la g´en´eration syst´ematique (mais non exhaustive) de multipˆoles ´electrostatiques d’ordre ar- bitrairement ´elev´e. Nous pensons qu’en faisant osciller toutes les charges d’un multipˆole avec une pulsationωet des amplitudes ´egales, on obtient un multipˆole rayonnant d’ordren+ 1.