Chapitre 1
R´ ESOLUTION NUM ´ ERIQUE DES EQUATIONS NON LIN ´ ´ EAIRES
1.1 Introduction
La recherche des z´eros d’une fonction donn´ee f r´eelle ou complexe est un probl`eme classique qui a attir´e l’attention des math´ematiciens depuis plusieurs si`ecles. En g´en´eral, il n’existe pas de formules donnant la valeur exacte de ces z´eros, ou bien ces formules sont trop compliqu´ees.
On a alors recours `a des m´ethodes num´eriques d’approximation des solutions. Ces m´ethodes sont nombreuses et vari´ees et sont g´en´eralement it´eratives : partant d’une estimation initiale x0, on construit une suite num´erique x1, x2, ...xn, ..., o`u xi est calcul´e `a partir de xi−1, qui converge vers une solutionα de l’´equationf(x) = 0.
Dans ce chapitre, nous ´etudierons quelques unes de ces m´ethodes. Nous tacherons, pour chaque m´ethode, de :
1/ d´ecrire l’algorithme de construction de la suite (xn) ;
2/ chercher dans quelles conditions, la suite(xn) converge vers un z´ero α de f, ainsi que la rapidit´e de cette convergence.
En liaison avec cette notion de rapidit´e de la convergence, on donne la d´efinition suivante : D´efinition 1.1.1
On dira qu’une m´ethode it´erative est d’ordre p, pour la recherche d’un z´ero α de f si la suite (xn) converge vers α et si
|xn+1−α|=O(|xn−α|p) (i.e. |xn+1−α|
|xn−α|p reste born´e pour n assez grand).
1.2 La m´ ethode des Dichotomies
Cette m´ethode d´erive du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires : Th´eor`eme 1.2.1
Soit f une fonction d´efinie et continue sur un segment [a, b] de IR. Si f(a).f(b) ≺ 0, alors il existe α∈[a, b] tel quef(α) = 0.
D´emonstration (dichotomies successives) Posons [a0, b0] = [a, b] etx0 = (a0+b0)
2 (x0 est le milieu du segment [a0, b0]).
On a n´ecessairement l’une des conditions suivantes :
* f(x0) = 0 et alors α=x0 est la solution cherch´ee.
* f(a0)×f(x0)≺0 et on posera alors [a1, b1] = [a0, x0]
* f(b0)×f(x0)≺0 et on posera alors [a1, b1] = [x0, b0]
En r´eit´erant le mˆeme raisonnement pour [a1, b1] ....etc, on aura :
* ou bien : il existen∈IN tel quef(xn) = 0, avecxn= (an+bn)
2 et alorsα=xnest la solution cherch´ee .
*ou bien : on construit une suite de segments emboit´es [an, bn] et une suite (xn) telle que pour toutn∈IN :
- [a0, b0]⊃[a1, b1]⊃[a2, b2]⊃...⊃[an, bn]⊃[an+1, bn+1]⊃...
xn= (an+bn) 2 bn−an= (b0−a0)
2n
f(an)×f(bn)≺0 (1.1)
Il existe donc α tel que
{α}=∩n=n=1∞[an, bn]⊂]a, b[
On a alors :
n→lim+∞an= lim
n→+∞bn= lim
n→+∞xn=α Et d’apr`es (4.1) et puisque la fonction f est continue, on aura
n→lim+∞f(an)×f(bn) = lim
n→+∞f(an)× lim
n→+∞f(bn) =f(α)2 ≤0 soit f(α) = 0
Remarque 1.1
L’intervalle initial [a0, b0], avec la condition f(a0)×f(b0) ≺ 0, contient un nombre impair de solutions de l’´equation f(x) = 0.Ce nombre diminue d’une it´eration `a une autre jusqu’`a 1.
L’algorithme de cette m´ethode s’´ecrit : Algorithme 1.1
On choisit deux r´eels a0 etb0 tels quef(a0)×f(b0)≺0 , un r´eel 0 assez petit et un nombre entier N max.
Faire R´ep`eter
xn= (an+bn)
si f(an)×2f(xn)≺0 alors an+1=an etbn+1=xn sinon an+1 =xn etbn+1 =bn
jusqu’`af(xn) = 0 ou |xn−an| oun=N max N max est le nombre maximum d’it´erations.
Dans cet algorithme :
* f d´esigne une fonction num´erique donn´ee, d´efinie et continue sur le segment [a0, b0]
* d´esigne l’erreur absolue tol´er´ee sur la valeur approch´ee de la solution xn de l’´equation f(x) = 0.
D’apr`es la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1, la m´ethode des dichotomies est toujours conver- gente. Mais cette convergence est en g´en´eral assez lente. En effet, pour ˆetre sˆur d’obtenir une approximation d’une solution α avec une erreur absolue inf´erieure `a , le nombre d’it´erations n´ecessaires nv´erifie :
(n+ 1) log 2≥logb0−a0
puisque
|xn−α| bn−an
2 = 1
2n(b0−a0) En particulier : sib0−a0 = 1 et = 10−5 on an= 5.
1.3 La m´ ethode Regula-Falsi ou fausse position
Cette m´ethode ne diff`ere de la pr´ec´edente que par le choix de xn `a chaque it´eration. Au lieu de prendre le milieu du segment [an, bn], on choisit l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses, de la corde joignant les deux points de la courbe f d’abscisses respectives an et bn. Sachant que l’´equation de la droite qui passe par les deux points (an, f(an)),(bn, f(bn) est
y−f(an) = (x−an)(f(bn)−f(an)) bn−an
et en prenanty= 0, on obtient :
xn= anf(bn)−bnf(an)
f(bn)−f(an) (1.2)
(xn−an)
bn−an = f(an)
f(an)−f(bn) (1.3)
f(an) +(xn−an)(f(bn)−f(an)) bn−an
= 0 (1.4)
f(an)×f(bn)≺0 (1.5)
etxn∈]an, bn[
En effet : commef(an)×f(bn)≺0, on peut avoirf(an)≺0 et doncf(bn)0 ou bienf(an)0 etf(bn)≺0.
Choisissons par exemple f(an) ≺ 0 et donc f(bn) 0 d’o`u f(an) et f(an) −f(bn) sont de mˆeme signe et donc f(an)
f(an)−f(bn) ≥ 0 et par suite puisqe bn−an ≥ 0 de (4.3 ) on tire que xn≥an. De mˆemef(an)≤f(an)−f(bn) et donc 0≤ f(an)
f(an)−f(bn) ≤1 et de (4.3) on tire que 0≤ xn−an
bn−an ≤1 et donc xn≤bn L’algorithme s’´ecrit alors :
Algorithme 1.2
On choisit deux r´eels a0 etb0 tels quef(a0)×f(b0)≺0 , un r´eel 0 assez petit et un nombre entier N max
Faire n= 0 R´ep`eter
xn= anf(bn)−bnf(an) f(bn)−f(an)
si f(an)×f(xn)≺0 alors an+1=an etbn+1=xn sinon an+1 =xn etbn+1 =bn
n:=n+ 1
jusqu’`af(xn−1) = 0 ou |bn−1−an−1| oun−1 =Nmax Remarque 1.2
Dans le but d’´etudier la convergence de la m´ethode, remarquons d’abord que, d’apr`es la construc- tion des suites (an), (bn) et (xn), on a :
1/ La suite (an) est croissante et major´ee par b0 et la suite (bn) est d´ecroissante minor´ee para0 et on a :
∀n∈IN,a0 ≤...≤an≤xn≤bn≤...b0
Les suites (an) et (bn) sont donc convergentes. Posonsa= lim
n→+∞an etb= lim
n→+∞bn 2/ Il existe
*- ou bien : une sous-suite de la suite (xn) et une sous-suite de la suite (an) qui coincident.
*- ou bien : une sous-suite de la suite (xn) et une sous-suite de la suite (bn) qui coincident.
Puisque ∀n∈IN ,xn=an+1 ou bienxn=bn+1
ceci entraine que, dans le cas o`u la suite (xn) converge vers L, on a n´ecessairement L = a ou L=b.
Th´eor`eme 1.3.1
Soit f : [a0, b0]−→IRune fonction d´efinie et continue telle que f(a0)×f(b0)≺0 et supposons que f admet un z´ero unique α dans [a0, b0]( f(α) = 0).
Alors la suite (xn) d´efinie dans l’algorithme 1.2 converge vers α.
D´emonstration
D’apr`es la remarque 1.2, les suites (an) et (bn) sont convergentes et convergent respectivement vers aetb. D’apr`es (4.7) et la continuit´e def, on obtient :
f(a)×f(b)≤0 (1.6)
Deux cas peuvent se pr´esenter :
1er cas : f(a) = f(b) et d’apr`es (4.8) f(a)2 = f(b)2 ≤ 0 et donc f(a) = f(b) = 0. Donc les r´eelsa,bsont des z´eros de la fonctionf, et comme par hypoth`ese la fonction f admet une seule racine α dans [a0, b0], alors a=b =α. Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes et puisque elles encadrent la suite (xn) celle-ci converge vers la mˆeme limiteα.
2`eme cas :f(a)6=f(b). D’apr`es (4.2) la suite (xn) converge vers une limite Lqui v´erifie puisque f est continue :
L= af(b)−bf(a)
f(b)−f(a) (1.7)
Or, compte tenu de la remarque 1.2, la limiteLest ´egale `aaou `ab. Et de l’´egalit´e (1.7) on tire :
* Si L=a(alorsL6=b) on obtient :L= Lf(b)−bf(L) f(b)−f(L) d’o`u :
−Lf(L) =−bf(L) et comme L 6=balors f(L) = 0. L est donc un z´ero de la fonction f et par suiteL=α.
* SiL=b(alorsL6=a) on obtient : L= af(L)−Lf(a)
f(L)−f(a) d’o`uLf(L) =af(L) et commeL6=a; ceci entraine f(L) = 0.L est donc un z´ero de la fonction f et par suiteL=α.
Th´eor`eme 1.3.2 (ordre de la m´ethode Regula-Falsi)
Soit f : [a0, b0]−→IRune fonction d´efinie et continue telle que f(a0)×f(b0)≺0 et supposons que f admet un z´ero unique α dans [a0, b0]( f(α) = 0).
Si f est deux fois d´erivables sur [a0, b0] et est telle que f00 ≥ 0 (ou bien f00 ≤ 0 ) sur ]a0, b0[.
Alors il existe c∈IR telle que
n→lim+∞
|xn+1−α|
|xn−α| =c
La m´ethode Regula -Falsi est `a convergence lin´eaire (d’ordre 1) dans ce cas.
Pour la d´emonstration du th´eor`eme on aura besoin du
Lemme 1.3.1
Soit f : [a, b]→ IR une fonction d´efinie et continue sur [a, b], deux fois d´erivables sur ]a, b[ et soit c ∈]a, b[. Alors il existe un r´eelσ ∈]a, b[tel que :
(b−a)(f(c)−f(a))−(c−a)(f(b)−f(a)) = (c−a)(c−b)(b−a)f00(σ) 2 D´emonstration du lemme 1.1
Soit h une fonction d´efinie sur [a, b] par :
h(x) = (b−a)(f(x)−f(a))−(x−a)(f(b)−f(a))−M(x−a)(x−b)(b−a) o`u M est un r´eel choisi tel queh(c) = 0, ce qui donne
M = (b−a)(f(c)−f(a))−(c−a)(f(b)−f(a)) (c−a)(c−b)(b−a)
On a alors :h(a) =h(b) =h(c) = 0 eth est deux fois d´erivable sur ]a, b[
D’apr`es le lemme de Rolle :
* Il existeλ1 ∈]a, c[ tel queh(c)−h(a) =h0(λ1)(c−a) d’o`u h0(λ1) = 0.
* Il existeλ2 ∈]c, b[ tel queh(b)−h(c) =h0(λ2)(b−c) d’o`u h0(λ2) = 0
* Il existeσ ∈]λ1, λ2[ tel que h0(λ2)−h0(λ1) =h00(σ)(λ2−λ1) d’o`u h00(σ) = 0 Comme h00(x) = (b−a)(f00(x)−2M ) on tire que f00(σ) = 2M et donc
(b−a)(f(c)−f(a))−(c−a)(f(b)−f(a)) = (c−a)(c−b)(b−a)f00(σ) 2 D´emonstration du th´eor`eme 1.3
Supposons, pour fixer les id´ees que f(a0)≺0≺f(b0) et que f00≥0 sur ]a0, b0[.
Comme xn ∈ ]an, bn[ on peut appliquer le lemme 1.1 en prenant c = xn, a = an et b = bn il existe alorsσn∈]an, bn[ tel que :
(bn−an)(f(xn)−f(an))−(xn−an)(f(bn)−f(an)) = (xn−an)(xn−bn)(bn−an)f00(σn) 2 Et puisque d’apr`es (1.4) on a
f(an) +(xn−an)(f(bn)−f(an)) bn−an
= 0 on obtient :
f(xn) = (xn−an)(xn−bn)f00(σn) 2 on conclut donc que :
pour toutn dansIN, f(xn) ≤0 et comme f(b0)0 l’algorithme 1.2 nous donne pour passer de l’it´eration n`a l’it´eration n+ 1
bn+1=bn et par suitebn+1=b0 etan+1 =xn et
xn+1 = an+1f(b0)−b0f(an+1) f(b0)−f(an+1)
D’o`u, en rempla¸cant an+1 parxn, on obtientxn+1=g(xn) o`ug est une fonction d´efinie par g(x) = xf(b0)−b0f(x)
f(b0)−f(x)
On constate que la fonctiongest une fonction continue et deux fois d´erivables sur ]a0, b0[ et par passage `a la limite dans l’´equation xn+1=g(xn) on aura α=g(α) o`u α est le z´ero def. En ´ecrivantxn+1−α=g(xn)−g(α) et en appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction g, il existe cn ∈]xn, α[ ou ]α, xn[ tel que :
xn+1−α=g(xn)−g(α) = (xn−α)g0(cn) d’o`u |xn+1−α|
|xn−α| = g0(cn)
et par passage `a la limite, puisqueg0 est continue, on a :
n→lim+∞
|xn+1−α|
|xn−α| = g0(α)
=
1 + (α−b)f0(α) f(b)
.
Notons que la fonction f et sa d´eriv´ee seconde sont de signes oppos´es `a l’int´erieur de ]a0, b0[ et donc l’une des deux suites (an), (bn) de l’algorithme 1.2 est constante, et on obtient :
Algorithme 1.3
On choisit deux r´eels a0 etb0 tels quef(a0)×f(b0)≺0, un r´eel 0 assez petit, une variable enti`ere n,
variable r´eelle c0 et un nombre entier N max Faire
(D´etermination du signe de la d´eriv´ee seconde et choix de la suite constante)
x0=a0 ,c0 =b0 n= 1
x1= c0f(x0)−x0f(c0) f(x0)−f(c0)
Sif(x1)×f(c0)≺0 alors c0 =b0 etx0 =a0
sinon c0=a0 etx0 =b0 R´ep`eter
xn+1 = c0f(xn)−xnf(c0) f(xn)−f(c0) n:=n+ 1
jusqu’`a f(xn−1) = 0 ou|xn−1−xn−2| oun−1 =Nmax
1.4 La m´ ethode des approximations successives
Cette m´ethode consiste `a faire d’abord des op´erations alg´ebriques sur l’´equation g´en´erale f(x) = 0 pour l’´ecrire sous la formex=g(x) o`u g est une fonction `a d´eterminer.
Par exemple, si f(x) =x3+x−1, on peut choisir : g(x) = 1−x3, g(x) = 1
1 +x2, g(x) = (1−x)13
.
ou plus g´en´eralement :
g(x) =x+ f(x) h2(x) o`u h2 est une fonction qui ne s’annule pas.
La recherche d’une solution de l’´equation f(x) = 0 ´equivaut alors `a la recherche d’un point fixe de g ( i .e α tel que g(α) =α).
L’algorithme de la m´ethode des approximations successives est le suivant :
partant d’une estimation initialex0 de la solutionα, on construit la suite (xn), en posant xn+1=g(xn)
On voit alors que, lorsque cette suite est bien d´efinie et convergente, sa limite est un point fixe de g, si gest continue.
Algorithme 1.4
On choisit un r´eel x0, une pr´ecision et un entier N max . n= 0
R´ep`eter
xn+1 =g(xn) n=n+ 1
jusqu’ `a |xn−xn−1| ≺ou n−1 =Nmax
Cet algorithme pr´evoit un nombre d’it´erations `a ne pas d´epasser (N max), fix´e `a priori `a l’avance, car, comme nous allons le voir, la convergence de la suite n’est pas toujours assur´ee.
Th´eor`eme 1.4.1
Soit g: [a, b]→[a, b] telle que g([a, b])⊂[a, b]et g est une fonction contractante. (i. e. il existe λ∈[0,1[ tel que : |g(x)−g(y)| ≤λ|x−y|,∀x, y∈[a, b])
Alors, pour tout choix de x0 ∈ [a, b], la suite d´efinie par : xn+1 =g(xn) converge vers l’unique point fixe α deg.
D´emonstration :
1/Existence du point fixe.
Posonsh(x) =g(x)−x, alors hest une fonction continue sur [a, b] et h(a)×h(b)≤0 et d’apr`es le th´eor`eme 1.1 il existe α∈[a, b] tel queh(α) = 0 et doncg(α) =α.
2/Unicit´e du point fixe.
Supposons qu’il existe deux points fixes diff´erentsα et β deg,alors g(α) =α etg(β) =β.
|α−β|=|g(α)−g(β)| ≤λ|α−β|
commeλ∈[0,1[ alors on a une contradiction d’o`u α=β.
3/Convergence de la suite (xn).
Pour ´etudier la convergence de la suite on va utiliser le crit`ere de Cauchy. Mais, tout d’abord, regardons |xn−xn−1|.
|xn−xn−1|=|g(xn−1)−g(xn−2)| ≤λ|xn−1−xn−2| ≤...≤λn−1|x1−x0| D’o`u pour tout n , m entiers (m≥n) on a :
|xn−xm| ≤(λm−1+λm−2+...λn)|x1−x0|=λn1−λm−n
1−λ |x1−x0| (1.8) puisqueλ∈[0,1[ lim
n→+∞|xn−xm|= 0 quand n, m→+∞
On conclut que la suite (xn) est de Cauchy dans [a, b] donc elle est convergente. Soit Lsa limite.
En passant `a la limite dansxn+1 =g(xn) et puisquegest continueLv´erifieg(L) =L, on obtient doncL=α. De plus, si on fixen et on fait tendremvers l’infini dans (4.9)
|xn−α| ≤λn 1
1−λ|x1−x0|
On constate que la convergence est d’autant plus rapide que λest proche de z´ero.
Corollaire 1.4.1
Le r´esultat du th´eor`eme 1.4 reste valable si l’on remplace l’hypoth`ese ”g contractante” par : g de classe C1 sur [a, b] et|g0(x)| ≺1,∀x∈[a, b].
D´emonstration
g est de classe C1 donc la fonction g0 est continue sur [a, b] et de mˆeme pour la fonction |g0|et donc atteint son maximum sur [a, b]. Soitλ= max|g0(x)|alors d’apr`es l’hypoth`ese λ≺1.
Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction gen deux points x, yde [a, b] : g(x)−g(y) =g0(ζ)(x−y)
o`u ζ ∈]x, y[
d’o`u
|g(x)−g(y)| ≤ g0(ζ)
|x−y| ≺ λ |x−y| donc la fonctiong est contractante et on peut appliquer le th´eor`eme 1.4.
Corollaire 1.4.2
Soit g une fonction num´erique admettant un point fixe α. Supposons que g est continuement d´erivable au point α. Alors :
1/ Si |g0(α)| ≺1, la m´ethode des approximations successives est localement convergente, i.e. il existe un voisinageV deαtel que, pour tout choixx0 ∈V, la suite(xn)d´efinie parxn+1=g(xn) converge vers α .
2/Si |g0(α)| 1, la m´ethode des approximations successives est divergente pour tout x0.
D´emonstration
1/La fonction g0 est continue au point α, il existe alors un voisinage de α, V = [α−, α+] avec 0 tel que |g0(x)| ≺1,∀x∈V etg(V)⊂V, on peut donc appliquer le corollaire 1.1.
2/ Si|g0(α)| 1 et puisque g0 est continue au point α il existe alors un voisinage V de α et un r´eel r1 tel que |g0(x)| r,∀x∈V.
Supposons que la suite (xn) converge versα il existe alors un entierN tel que :∀n≥N xn∈V et par suite|g0(xn)| r.
Appliquons maintenant le th´eor`eme des accroissements finis on a : pour tout n≥N
|xn+1−α|=|g(xn)−g(α)| ≥ g0(ξn)
|xn−α| ≥r|xn−α| ≥...≥rn−N|xN −α|
.
Si on passe `a la limite on obtient : lim
n→+∞|xn+1−α|= +∞,
ce qui est absurde, la m´ethode est donc divergente (sauf si accidentellement xN =α).
Remarque 1.3
Le cas|g0(x)|= 1 est le plus d´elicat `a traiter car on peut avoir convergence ou divergence Th´eor`eme 1.4.2
Soitg une fonction num´erique admettant un point fixe α. Supposons qu’il existep∈IN∗ tel que g soit de classeCp au voisinage de α et queg(p)(α)6= 0, g(k)(α) = 0∀k∈IN∗ et k≤p−1 (g(k) d´esigne la d´eriv´ee d’ordre k de g).
Alors : si la m´ethode des approximations successives pour la recherche du point fixe α converge, elle est d’ordre p.
En particulier, si g0(α)6= 0, la convergence est d’ordre1.
D´emonstration
Soit xn+1 etxn deux ´el´ements de la suite (xn) et appliquons la formule de Taylor `a la fonction g aux pointsxn+1 etα sachant quexn+1=g(xn) et α=g(α) on obtient :
xn+1−α=g(xn)−α= Xp
k=1
(xn−α)kg(k)(α)
k! + (xn−α)p(xn−α) avec lim
n→+∞(xn−α) = 0.
D’o`u
n→lim+∞
|xn+1−α|
|(xn−α)p| =
g(p)(α) p!
ce qui prouve que|xn+1−α|=o(|xn+1−α|p) et donc la m´ethode des approximations successives est d’ordre p.
1.5 La m´ ethode de Newton
Soitf une fonction de classe C2 dans un voisinage d’une racine simpleαde l’´equationf(x) = 0.
La m´ethode de Newton consiste `a construire, `a partir de x0, une suite (xn) tel que xn+1 est l’intersection de la tangente `a la courbe au point (xn, f(xn)) et l’axe desx.
d’o`u
xn+1 =xn− f(xn) f0(xn) Et on obtient l’algorithme suivant :
Algorithme 1.5
On choisit x0, une pr´ecision , une pr´ecision 0,
un entier N max et une variablex, une variable enti`ere n n= 0
R´ep`eter
Sif0(xn) = 0 alors afficher ”la m´ethode ne converge pas” fin xn+1 =xn− f(xn)
f0(xn) n=n+ 1
jusqu’`a|xn−xn−1| ≤ou / et|f(xn)| ≤0 ou n−1 = N max.
Remarquons que la m´ethode de Newton peut ˆetre consid´er´ee comme une m´ethode des approxi- mations successives, si l’on choisit g(x) =x− f(x)
f0(x). Th´eor`eme 1.5.1
Soit f une fonction de classe C2 dans un voisinage V d’une racine simple α de l’´equation f(x)
= 0. La m´ethode de Newton est localement convergente et est `a convergence au moins quadratique ( d’ordre 2).
D´emonstration On axn+1 =g(xn) avec
g(x) =x− f(x) f0(x) d’o`u
g0(x) = f(x)f00(x) (f0(x))2 et doncg0(α) = 0 car f(α) = 0
En appliquant le corollaire 1.2, il existe un voisinage U ⊂ V de α tel que ∀x0 ∈ U, la suite d´efinie par xn+1 =g(xn) est convergente vers α.
Si on applique la formule de Taylor aux points xn,α, il existe unζn compris entre xn et α tel que
f(xn)−f(α) = (xn−α)f0(xn) + (xn−α)2f00(ζn) 2 d’o`u
α=xn− f(xn)
f0(xn) + (xn−α)2f00(ζn) 2f0(xn) α−xn+1 = (xn−α)2f00(ζn)
2f0(xn) et donc
n→lim+∞
|α−xn+1|
|α−xn|2 =
f00(α) 2f0(α)
et la m´ethode de Newton est d’ordre 2 .
1.6 La m´ ethode de la s´ ecante
Cette m´ethode peut ˆetre consid´er´ee comme une variante de la m´ethode Regula Falsi si on rempla¸ce les points an et bn par les points xn et xn−1. Elle peut ˆetre consid´er´ee aussi comme une variante de la m´ethode de Newton si on approchef0(xn) par f(xn)−f(xn−1)
xn−xn−1
. Partant dex0 etx1, on d´efinit la suite (xn) par :
xn+1 = xn−1f(xn)−xnf(xn−1)
f(xn)−f(xn−1) (1.9)
Remarqons que xn+1 est l’abscisse du point d’intersection, avec l’axe des abscisses, de la droite joignant les points de la courbe def, d’abscisses respectivesxn et xn−1.
Algorithme 1.6
On se donnex0 etx1 deux r´eels, et deux pr´ecisions,0 et un entierN max
R´ep`eter
xn+1= xn−1f(xn)−xnf(xn−1) f(xn)−f(xn−1)
jusqu’`a|xn+1−xn| ≤et / ou|f(xn+1)| ≤0 ou n≥N max.
Lemme 1.6.1
Soit (xn) la suite d´efinie par (4.12) et supposons que f est de classe C2 au voisinage d’un z´ero α de f. Alors :
∀n∈IN∗, il existe un r´eel cn compris entre xn−1 et xn et un r´eel dn ´el´ement du plus plus petit intervalle In contenant xn, xn−1 et α tel que :
xn+1−α= 1
2(xn−α)(xn−1−α)f00(dn)
2f0(cn) (1.10)
D´emonstration
xn+1−α = xn−1f(xn)−xnf(xn−1) f(xn)−f(xn−1) −α
= (xn−α)−f(xn) xn−xn−1 f(xn)−f(xn−1)
= (xn−α)(1− g(xn, α) g(xn, xn−1))
= (xn−α)(xn−1−α)(1−h(xn, xn−1, α) g(xn, xn−1) ) en posant
g(x, y) = f(x)−f(y) x−y et
h(x, y, z) = [(z−x)(f(x)−f(y))−(x−y)(f(z)−f(x))]
(x−y)(z−x)(y−z)
D’apr`es la formule des accroissements finis, il existecn compris entrexn etxn−1 tel que g(xn, xn−1) = f(xn)−f(xn−1)
xn−xn−1 =f0(cn)
D’apr`es le lemme 1.1, il existe dn ∈Intel que : h(xn,xn−1, α) = f00(dn)
D’o`u 2
xn+1−α= (xn−α)(xn−1−α)f00(dn) 2f0(cn) . Th´eor`eme 1.6.1
Supposons que f est de classe C2 au voisinage d’une racine simple de l’´equation f(x) = 0 [ f(α) = 0, f0(α)6= 0 ].
Alors la m´ethode de la s´ecante est localement convergente [i.e il existe un voisinage V de α, tel que, pour tout x0 et x1 dans V, la suite(xn) d´efinie par (4.12) converge vers α ].
De plus, l’ordre de convergence est p= 1 +√ 5 2 D´emonstration
Puisque f0(α) 6= 0, il existe un voisinage de α o`u f0 ne s’annule pas, il existe donc, 0≺≺1 etV1={x /|x−α| ≺} tel que ∀x∈V1 f0(x)6= 0.
Comme f est de classeC2 on peut d´efinir : c1 = inf|f0(x)|,c2 = sup|f00(x)| pourx dansV1 et on pose
* c= c2 c1 + 1
* V =
x,|x−α| ≺ c ⊂V1
* p= 1+2√5 la racine positive de l’´equation p2−p−1 = 0
* Choisissonsx0, x1 dansV. On a alors :
* ∀n∈IN,xn∈V.
Ceci se d´emontre par r´ecurrence. En effet x0, x1 ∈V, supposons alors quexn ∈V etxn−1∈V pour n∈IN∗.
D’apr`es (4.13), il existe cn,dn∈V tels que :
xn+1−α= (xn−α)(xn−1−α)f00(dn) 2f0(cn).
d’o`u
|xn+1−α| ≤ |xn−α| |xn−1−α| 2ff000(d(cnn))
≤c|xn−α| |xn−1−α|
≤c c c = 2
c ≺ c
(1.11) doncxn+1 ∈V.
*D´emontrons que la suite (yn) d´efinie par yn=c|xn−α|est convergente vers z´ero.
Posonsλ= max(y0, y1) o`u y0=c|x0−α|ety1 =c|x1−α|etp= 1+2√5 Alorsy0 ≤λp0 ety1≤λp1 (facile `a v´erifier) et λ≺≺1
et
∀n∈IN, yn ≤λpn (1.12)
Ceci se d´emontre par r´ecurence. En effet, supposons que yn ≤λpn etyn−1 ≤λpn−1
on ayn+1 =c|xn+1−α| ≤c2|xn−α| |xn−1−α|d’apr`es (1.11) d’o`u
yn+1 ≤yn yn−1
≤λpnλpn−1 =λpn+pn−1 (1.13) D’o`u yn+1≤λpn−1(p+1)
Comme p2 =p+ 1 on a yn+1≤λpn+1
On en d´eduit, puisque λ≺1, que la suite yn est convergente vers z´ero et par suite la suite xn converge versα.
* D’apr`es (1.13) on a : ∀n∈IN,yn+1≤yn yn−1. D’o`u yn+1
ypn ≤yn1−pyn−1 et d’apr`es (1.12) on obtient : yn+1
ynp ≤(λpn)1−pλpn−1 =λpn−pn+1+pn−1 =λpn−1(p+1−p2)≤λ0= 1 ( carp2−p−1 = 0) d’o`u
|xn+1−α|
|xn−α|p ≤cp−1 et donc la m´ethode est au moins d’ordre p= 1+2√5.
D´emontrons maintenant que l’ordre de convergence est exactement p.
Posonsyn=xn−α. De l’expression xn+1−α= xn−1f(xn)−xnf(xn−1)
f(xn)−f(xn−1) −α on tire : yn+1= yn−1f(xn)−ynf(xn−1)
f(xn)−f(xn−1) (1.14)
En supposant quef0(α)6= 0 etf00(α)6= 0, la formule de Taylor-Lagrange nous donne au voisinage de α :
f(xn)= (xn−α)f0(α) + (xn−α)2
2 f00(α) + (xn−α)2ζ(xn−α) o`u ζ(xn−α)→0 quand xn−α→0
En ´ecrivant cette formule aux points xn etxn−1 et en utilisant (1.14) on obtient :
yn+1∼ynyn−1 f00(α)
2f0(α) quand n→+∞ (1.15) D’autre part, la m´ethode de la s´ecante est dite d’ordrepsi|yn+1|=O(|yn|p) ou encore s’il existe une constante C tel que |yn+1|
|yn|p ∼C quand n→+∞ d’o`u |yn+1| ∼C|yn|p, |yn| ∼C|yn−1|p et par suite|yn+1| ∼Cp+1|yn−1|p2 et en utilisant (1.15) on obtient :
Cp|yn−1|p2 ∼ |yn−1|p|yn−1|
f00(α) 2f0(α)
et donc
Cp|yn−1|p2−p−1
f00(α) 2f0(α)
−1
∼1
et ceci pour toute fonctionf et pour toutnassez grand d’o`up2−p−1 = 0 et doncp= 1 +√ 5
2 .
1.7 R´ esolution d’un syst` eme non lin´ eaire
On consid`ere le syst`eme :
f1(x1, x2, ..., xn) = 0 f2(x1, x2, ..., xn) = 0 fn(x1, x2, ..., xn) = 0
(1.16)
o`u les fonctions fi sont des fonctions d´efinies sur un ouvert de IRn `a valeurs dans IR et de classe C2 dans un voisinage V d’une racine α = (α1, α2, ...αn), du syst`eme (1.16) ( i e fi(α) = 0 pour i= 1 jusqu’`an).
Posons X = (x1, x2, ..., xn) et F = (f1, f2, ..., fn), alors le syst`eme peut s’´ecrire sous la forme :
F(X) = 0 (1.17)
Supposons qu’on puisse faire des op´erations alg´ebriques sur la fonction F pour l’´ecrire sous la forme F(X) = X−G(X) avec G= (g1, g2, ..., gn), o`u les gi sont des fonctions d´efinies sur un ouvert de IRn.
Le syst`eme (1.16) s’´ecrit :
X=G(X) (1.18)
et si α est solution de (1.16), alorsα est solution de (1.18) etα est un point fixe de la fonction G.
Pour chercher la solution de (1.16) on se ram`ene `a la recherche du point fixe de la fonctionG.
Pour cela, on construit l’algorithme suivant :
Algorithme 1.7 X0 donn´e
Xn+1 =G(Xn)
Etudions la convergence de cet algorithme : Th´eor`eme 1.7.1
Soit U un ferm´e born´e de IRn et Gune fonction d´efinie sur U telle que : 1) G(U)⊂U (i.e. ∀X∈U G(X)∈U)
2/Il existe une constante K: 0≤K ≺1 telle que
∀X∈U ∀Y ∈U kG(X)−G(Y)k ≤KkX−Yk o`u k.k d´esigne la norme dansIRn.
Alors l’algorithme d´efini par
X0 ∈U
Xn+1=G(Xn) converge vers α∈U (α v´erifieG(α) =α ).
D´emonstration
La d´emonstration est analogue `a celle que l’on a faite dans le cas d’une ´equation.
Algorithme 1.8
On se donneX0, une pr´ecision et un entier Nmax
R´ep`eter
Xn+1 =G(Xn)
jusqu’`a kXn+1−Xnk ≤ou nNmax.
Th´eor`eme 1.7.2
Soit U un ferm´e born´e de IRn et G une fonction d´efinie sur U de classe C1 (i.e. toutes les fonctions partielles gi sont de classe C1) telle que :
maxX∈U
Xn
i,j=1
g0j,x2 i(X))≺1
o`u g0j,xi(X) = ∂gj
∂xi(x). Alors l’algorithme d´efini par : ( X0 ∈U
Xn+1 =G(Xn) converge vers α∈U (α v´erifieG(α) =α )
D´emonstration
Remarquons que, puisque les fonctions partielles gi sont de classe C1, les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 sont continues et le max
X∈U
Xn
i,j=1
gj,x02 i(X) existe.
soit K= max
X∈U
Xn
i,j=1
gj,x02 i(X) ce maximum.
SoientXetY deux ´el´ements deU. Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction Gaux points X etY.
Il existe ξ∈U tel queG(X)−G(Y) =G0(ξ)(X−Y)
o`u G0(ξ) est la d´eriv´ee de G au point ξ, c’est donc une application lin´eaire de IRn dans IRn repr´esent´ee par la matrice suivante :
DG=
g1,x0 1(ξ) g02,x1(ξ) ... g0n,x1(ξ) g1,x0 2(ξ) g02,x2(ξ) ... g0n,x2(ξ)
. . . .
g1,x0 n(ξ) g2,x0 n(ξ) ... g0n,xn(ξ)
et on a
gi(X)−gi(Y) = Xn
j=1
gj,x0 i(ξ)(xj−yj) et donc
kG(X)−G(Y)k2= Xn
i=1
(gi(X)−gi(Y))2 = Xn
i=1
Xn
j=1
g0j,xi(ξ)(xj−yj)
2
et en d´eveloppant :
Xn
j=1
(gj,x0 i(ξ)(xj−yj)
2
= Xn
j=1
gj,x02 i(ξ)(xj−yj)2+ Xn
l, k= 1 l6=k
g0k,xi(ξ)(xk−yk)gl,x0 i(ξ)(xl−yl)
Et en remarquant que, ´etant donn´es 4 r´eelsa, b, c, d, on a 2abcd≤a2b2+c2d2
d’o`u
Xn
j=1
(gj,x0 i(ξ)(xj−yj)
2
≤ Xn
j=1
gj,x02i(ξ)(xj−yj)2+ Xn
l, k= 1 l6=k
(gk,x02
i(ξ)(xk−yk)2+gl,x02i(ξ)(xl−yl)2)
≤[ Xn
j=1
gj,x02i(ξ)][
Xn
i=1
(xi−yi)2] = Xn
j=1
gj,x02i(ξ)] kX−Yk
On tire donc que
kG(X)−G(Y)k ≤( Xn
i=1
( Xn
j=1
g0j,x2i(ξ))) kX−Yk
≤[ Xn
j,i=1
gj,x02i(ξ)] kX−Yk ≤KkX−Yk
avec K= max
x∈U( Xn
j,i=1
gj,x02 i(X))
Comme par hypoth`eseK ≺1 etU est un ferm´e born´e les hypoth`eses du th´eor`eme sont v´erifi´ees et l’algorithme d´efini parXn+1=G(Xn) converge.
1.8 La m´ ethode de Newton
C’est une m´ethode qui consiste `a lin´eariser le syst`eme (1.16) et `a remplacer la r´esolution du syst`eme non lin´eaire par une suite de syst`emes lin´eaires qu’on r´esout successivement( g´en´eralement par une m´ethode directe).
On consid`ere maintenant le syst`eme (1.16) ou encore l’´equation (1.18) o`u les fonctions fi sont de classe C2 dans un voisinage U de la racine α = (α1, α2, ...αn) de l’´equation (1.18). Si on
´ecrit la formule de Taylor au point X d’un voisinage deα et en n´egligeant le terme d’ordre 2 on obtient :
F(α)−F(X) =F0(X)(α−X) d’o`u
F(X) +F0(X)(α−X) = 0
o`u F0(X) est une application lin´eaire dont la matrice qu’on appelle la matrice jacobienne est :
F0(X) =
f1,x0 1(X) f2,x0 1(X) ... fn,x0 1(X) f1,x0 2(X) f2,x0 2(X) ... fn,x0 n(X)
. . . .
f1,x0 n(X) f2,x0 n(X) ... fn,x0 n(x)
Si on construit une suite it´erative (Xk) approximantαon obtient une meilleure d´efinition de la suite par :
F(Xk) +F0(Xk)(Xk+1−Xk) = 0.
On obtient Xk+1 en r´esolvant le syst`eme lin´eaire
F0(Xk)(Xk+1−Xk) =F(Xk) Ce syst`eme aura une solution siF0(Xk) est inversible .
On obtient l’algorithme suivant : Algorithme 1.9
On choisit un vecteurX0 dansU, une pr´ecision et un entier N max
R´ep`eter
R´esolution du syst`eme lin´eaire suivant par l’une des m´ethodes connues.
F0(Xk)(Xk+1−Xk) =F(Xk) jusqu’`a kXk+1−Xkk
kXkk ≤ou k≥Nmax Remarque
- La m´ethode de Newton est tr`es efficace.
- La convergence est quadratique au voisinage de la solution (apr`es un certain nombres d’it´erations) - L’inconvenient majeur de la m´ethode est d’avoir `a calculer `a chaque it´eration la matrice jacobienne (n2 fonctions ∂fi
∂xj `a ´evaluer ) et les fonctionsfi.
Pour surmonter ce probl`eme plusieurs variantes de la m´ethode de Newton existent : 1) M´ethode de Newton `a jacobienne par diff´erences finies :
C’est une m´ethode qui consiste `a approcher `a chaque it´eration kles d´eriv´ees partielles ∂fi
∂xj
(Xk) par :
∂fi
∂xj
(Xk)' fi(X1k, ..., Xjk+h, ...Xnk)− fi(X1k, ..., Xjk, ...Xnk) h
o`u h est un r´eel fix´e suffisamment petit.
2) M´ethode de Newton simplifi´ee :
c’est une m´ethode qui consiste `a conserver la matrice jacobienne constante pendant un certain nombre d’it´erations.
3) M´ethodes de Newton `a it´eration lin´eaire :
ce sont les m´ethodes o`u on r´esout le syst`eme lin´eaire
F0(Xk)(Xk+1−Xk) =F(Xk)
par une m´ethode it´erative (Jacobi, Gaus -Seidel, relaxation... ) mais en faisant un nombre limit´e r d’it´erations (r =1,2 ,3.. ). Et on obtient deux it´erations l’une dans l’autre. On obtient ainsi des m´ethodes dites Newton-It´erations lin´eaires `a r (r= 1,2, ou3) pas :
4) Newton-Gauss-Seidel `a r pas.
5) Newton-Relaxation `ar pas.
Fin du chapitre 1.
